新日本製鉄是永正 Two Dirnensional Dynamic Water Pressure on

九州工業大学研究報告（工学）No37 1978年9月      1

地震時における多柱基礎の2次元動水圧

      （昭和53年4月5日 原稿受付）

開発土木工学教室高西照彦

新日本製鉄是永正

Two Dirnensional Dynamic Water Pressure on  Multi−Piles Foundation during Earthquake

      by Teruhiko TAKANISHI       Tadashi KORENAGA

  It is the aim of this paper to provide an analytical 501ution for two dimensiorlal dynamic

water pressure on multi−piles foundation vibratillg in water alld obtain tlle added mass coeffici・

ents on the multi・piles foundatioll by using this analytical solution、

  The experiments usillg two dimensional models of multi−piles foundation were carried out 且nd it was collf▲rmed that the added mass coefficients obta｛11ed by亡he theory（：oincide with those obtained by the experiments．

      実験値とよく一致することを示した。しかし，前誌の近

1・まえがき        似解は，すぺてその直径力割い円柱群について言えば，

 地震時における多柱基礎の2次元動水圧問題を解析す    円柱の中心点問距陛rと円柱の直径∂との比「／4が2よ るには，静止流体中に無限に長い円柱群が存在して，各    り大きい場合には，厳密解とよく一致するが・ ／ゴが2よ 円柱がすべて同一方向に同一量だけ運動する場合を考え   り小さくなるに従って，厳密解との差が次第に大きくな ればよい。       るという欠点があった。

 完全流体中で調和振動を行う円柱群に対する2次元動    本論では多柱基礎において，「／ゴが比較的小さい場合 水圧を求める厳密な理論解は、既に小坪llによって2本   に対してもその2次元動水圧を精度よく求めることがで 柱について，双曲座標を利用した解が得られている。ま   きる近似理論を新たに提案し，これを厳密解と比較して た．山本㍗ま円柱群が流れの中で運動するとき，単一円注   その精度について検討を行い，さらにすべて同じ直径の に対する連度ポテンシャルを用いて，これに Millle一   円柱あるいは異なる直径の円柱から構成された数種類の ThOm5011の円定理を適用することによって、各円柱に   多柱基礎摸型を用いて実験を行い，特に「〃が比較的小 働く動水圧を求める厳密な理論解を導いた。しかし，小   さい場合について本論による計算値と実験値とを比較し 坪の解は2本柱のみを取扱っており，また山本の解はそ   て，著者等の理論の有用性を確かめた。

の数値計算が煩雑で，特に円柱の本数が多くなると幾何

       2．解析理誼 級数的に計算手数が増大し，現在の大型電子計算機を用

いても，莫大な記憶容量を必要とする点から考えて，それ    2．1．円柱群の速度ポテンシャル

は実用的であるとはいい難い。       図一1に示すように，円柱群が1荷止した完全流体中で・

 著・者等は前論ユハにおし・て，完全流体中で調和振動を行    そのすぺての円柱が同一方向巨あるいは」方向）に同 う多柱基礎の2次元動水圧を容易に求めることができる   一振幅の調和振動を行っているとき、同図中の任意の点 近以理請を導き，さらに多柱基礎の2次元模型による実   Qにおける連度ポテンシャルをφとすれば，φは次のよ 験を行って，著者等の近似理論によって求めた計算値が   うに表わすことができる。すなわち，いまこの円柱群か

2

ら勝手に一つの円柱fを取り上げて，この円柱の運動に     ここに，酷はr柱の半径，㌔θ∫は点Qの極座標・・4治・

よって生ずる点Qの速度ポテンシャルをφゴとすれば，   8 。は境界条件によって定まる未定係数である。従って・

φは次式のように表わすことができる。      図一1に示す円柱群が静止流体中でエ方向あるいは，y方        w      向の調和振動ξ＝COSω を行っているとき，流体中の任

      φ＝融   ω 意点Qの醜ポテンシャ，レ｛ま鵡（脚 ここに，Nは円柱の麟である・ ＿一   φ＝φ、＋Σφ」

 さて，図一2において円柱がξ＝cosωどの調和振動をし      川

‡：㌶；：≧籔㌫盧認1二：駕   ＝彙1｛・1逗σ「）晋s 」泓

きる・．        ＋B ・彗P⇒ω・i・ω     劇A呉ll° 硯   ＋蔦｛編・㌣ 撃一乱

      ＋B・・ra｝ω・i・ω  12） ＋疏。r嚇｝ω・il1ω1（31

        と表わせる。式｛3）において右辺第1項は，∫柱の運動に        よる点Qの連度ポテンシャルを表わし，第2項は1柱以 凸      外の円柱の運動による点Qの速度ポテンシ÷ルを表わ

       っぎに，式（3）における未定係数A畑B伽等は式｛3）か        ら求められる各円柱表面上の水分子の半径方向の変位速       X      度が次に示す境界条件を満足するように定められなけれ       ばならない。すなわち，例えば円柱群がエ方向振動をし       ＼ぐ         ている場合には，各円柱表面の半径方向の変位速度は，

      πr＝一ωC。5θ、sinωr （f＝1．2，…，∧り（4〕

      y方向に振動している場合には

      鋪＝一ω§inθ、sinω∫（∫ニ1、2，…I N）  （5｝

図一一1 水中で振動する円柱群

       と表わされるので，式｛3｝によって求められる変位速度は，

       それぞれ式｛4｝あるいは式㈲に等しくなければならない。

σ輌

o

防      しかし，各円柱表面上のすべての点において、上述の境        界条件を満足することは困難であるので，本論では，図        Q

  r、         −3に示すように各円柱表面上に選んだ有限個の点（各円

．      柱について2M個とする）において両者の変位速度が等 0         しくなるように宋定係数・4↓m，β佃目＝1，2，…，凡

エ    」｝Fl ワ … 肋を定めた従って本論では点Qのロ      ニ   ヘ    サ      ロ         リ    ペ

    速度ポテンシャルとして式③の代りに近似的に、

       φ＝φ∫十Σφ」

       ノ土∫

＜≒＿＿＿亨 ξ＝cosω，       培＝1     ♪・

＝±｛且謹 1i暑s） 「θ∫

図一2円柱噸系    ＋β川 ㌣†聖a｝ω・i・ω1

3

して， 柱の本数N・選点数2酷2』百V元の連立耀  ．．

式を1靱してこれを鰍だけで一雅群醜度ポテン  荒・・。・賑昆｝

鋼㌫㌫酬水圧1ま容三めることがで 研㍉醐一乱）

きる。この場合円柱群を構成する各円柱の直径がそれぞ   が成り立つ。従って式mの右辺の各項は

舞∴≧註㌶遼鷲㌫瓢  昔（COS1ηθ」  」・r）＝一帯…川α

することが縮の℃任繊有する1壬意配置の多柱 蕊（sil劉＝「呉・si θ・

基礎に対する2次元動水圧を見通しよく簡潔に求めるこ

とができる・      昔（CG剖＝一剥…輌・〔・・一の

       ＋由川・・si・（α一の｝

    ＋測脳㍗  漂隠」㍍1：鴛次の閏係

    ＋譜禦｝一∫ （6）・・Slnの一i・乱一…・砺｝ ｛8〕

       房＝己十｝・1ノー2」・fr々COS（昆一θ∫」）

を採用したことになる・このように酬ま未定1鞠こ関 がある脈，

ξ㎜庄 @，》ξ・i鴫 畜（shi劉＝一帯｛・i・切伽・｛α一の

      一cos］，〜O」sill（θ∫−o㌧）｝

      と表わせるので，結局式｛7］は

・｛1印

     ・M   2M  II・…真・中・C・・喘8・諏・θ・｝ω・i・ω∫

図一3円蹴上略点におけ・変位速度 @ ＋・1閨問 坤・朋￠・…（刷．

繍1の近似解は試㈲において掴とした場合に   …・・小i・（品）L…1］

相当する。このとき未定係数を定めるための境界条件と       1 ＝L乳…，八り しては，各円柱の中心位置における水分子の変位速度が，    とな禎。

モの円 柱の変位連度に等しいという条件を採用した。以 後，前論引の近似解を中心点法と呼ぶことにする。

 2．2，未定係数の決定

 未定係数・4帽，瓦。1等を定めるには，まず式㈲からそ れぞれの円柱に対して円柱表面上の水分子の半径方向の 変位速度制を求めなければならない。それは、

・ド [1口。、       日1

 ＝慧L＝、、，＋Σ｛鷲i㍑＋篭票｝L。、、〔7｝

    （∫＝1，2，…，A咋

によって与えられる。ここで，図司を参照すれば，極座       図一4 ・」柱

μ

J」・ρ

」

v

θ、

〆

fJ，

、  日r

o、 rl、

∫1圭

．t㌦

θ1，

．rl

r柱

速㌫㌶：漂遮欝籔ご㌶裏   二一記鯉亨∫（A・細・・α

上L選んだ2媚の点において，円柱と水分子醜髄   ＋B・・SIIMIθ・）C°§°・4°・C°Sω〜

度と胤いという蹴件を用・・ることによってド  ー隠輌1∫〔禦ん・・醐

㌍霞蒜＝慧え∵き、驚； ÷脇・i・〃捌〕・・㌍θ・ゴθ・c・・ω∫（ D

2・一蝋＝L2・…・・棚を代入して両式を等 昨ゐ．己ρ鼎緬〕．一。，届θ・ （15｝

置し，共通項一ωsinω「で約分すればゴ4師B泡等に関

する連立隔式を得ることができる・剛・ち・  ここに∫＿唖の円周上を1周す聯分を

業1｛？一・輌1曲・一・繊｝  竃嵩：㌶：㌶隠蕊濃驚

   爆、鴎）摺←1｛・・…防…（θ訓  を用いて上と幽こ表わすことができる・

＋蒋遮1蕊∵｝編  P㍗＝∫罐一レα 岡

   一一r蜘乱一畔・〕；：；；二   w〔一暢緬〕．棚  ^‖了）

＝ピ：；璽  る瓢1ご麟鑑㌫㌶

       （占＝・1，2．…、2』｛『「＝1，2，…，八「）  ｛121  ∫・・…a…醐

ここに，帥柱におけ＿目の選点の。幽票 ＝∫輌眠一已二1；

：蕊㌶題蕊謬る憲誉ス蒜 ∫一白・i鋼

連立耀式を解くことによって，円勝のそ］・それ靖  ＝∫・i・1・θ・c・・θ・齢・

向及的方向振動に対する未定係網賄β・等を定め を用いれば

ることができる・従って式（6｝からそれぞれ描向及の    一げρ。。融、

方向振動に対する点Qの連度ポテンシャルφエ，φ叉が得       ，．

       となる。第2項の櫃分については，

られる。

2．：］・円柱に対す翻圧    顕，・・の＝∫πアー1「・i皇輌5乱▲μ

 流体中の任意点Qの動水圧♪は，円柱の変位速度は小

さいとしてその2次の項綱す繊ぺ・レ詞の定 五川調）＝∫°鞠禦sinθ ▲、4岳

理より

       カ＝一碍    u3］ 刷・川）＝声1鴉嚇醐…14ぴ

によっ蹴ること繊る．ここ｝こ，。は流体酬 緬…）＝∫翻三； 綱ぽ▲，縄

〔18｝

09）

であろ・従って・円柱群が工方向に振動しているときの    とおき，さ15に

1注に繊嚇水圧噺び輌動水酬 @∫鵠一の聞θ・輌醐

 P戸＝」［、一。，，〔一ρ宰・c・…〕石、。，ゴ抗      〔｛COSθ一・〜一一sin2θ｝m−1

     一  〒・仁  1

とおけば騰を参照して訓＝1のとき  ㎡エ＝蕊

 1・・｛∫・∫，・・1）＝一∫・・（∫，」・， d  ・      ＝A 1＋艮、≦1蓋五・U，ノ澗）ん・

｛…θ1コー・就 〕∂θ （2①加質蹴は

＝一

ﾃ当（−Dm∫・G・し・1＋エ）θ・

∫ s（ 1ノ，1｝D＝∫5 ｛∫口，川）

＝一

唐P（−1門・illい，・＋1）θ・・

         ＋∫・典垣・1）β・・｝     （191

別    αr㌔」写よ       130］

         ノt苗ρピ

によって得ることができろ。♪方向振曲に対しても全く       ｛川＝2 3 …」1の      同様にして，それぞれ水の付加質量及び付加質：iit係誼を と表わすことができる・      求めることができる。

 ここに， ε＝酌／声         ｛動   最後に，円柱群全体に対する水の付加質量係放は，工方      θ゜＝sin 1E      閻    向振動に対して

である。］π＝1のときは      N

舗：B：；：：1漂；：二ll：蒜｝聞  庁慧竺    杣

      「＝1

式卿積分∫についてはその醐自皐を勅ることは可   。・㌔o      l321

鷲瓢㌶嶽1欝璽：蕊：：y方向振動に対して1ま

ることができるので，本論ではそれ1・従った。    ・工剖     （闘）

以上よワ，1柱に対する動水圧苧｝ま       ±。編

pr・；一ω・ρ一C・・副     α 』＝誌   脚

       ドロ

    ー，顯1ω減伍・帽，川）㌔   である。

       ■     ÷∫、，GJ、」｝〜）8加lc。sω      ㈱

と劾せる・踏零丹vについても全く同様にして・ 3．描の融び中心点法による廠囎解との止ヒ較

式㈹及び式閻，倒を用いてこれを表わすことができる。

特に式U刀のPr糊こついては      著者らの導いた解の削度を確かめるため・すべて同径       の2，も5．6，9本柱と，異なるi呈をもつ円注を含

P芦＝ ；： ㌘謂卵、』  纏㌔㌫鷲纂霊旙欝ll蕊憲

    ＋刷測脇｝…ωr  ㈱ ：麗㌶：：；き蕊翌三認：㌶膿

 さらに、円柱群が流体中で工方向に調和振動ξ＝cos   本論U ）とあるのは本理論を用いて選点異を2』仁16と ω∫をする場合，各円柱の工方向及び」方向の単位深さ当    し，すべての選点をβd＝0から始めて等間隔にヒった りの水の付加質世を目ノr口，W芦とすれば，これらは    場合である。本理論の解は中心点法によろ解と比ぺて・

    1幣＝ヨ藍読   ㈲ 蕊㌫鴎鴬蓮《置1驚）≧：

         P・・    、 16蹴とれば、〃ゴが・1・さいところでも1締解とよく一     11 巨一読面    ㈱ 致して，、るといえ補って図一5より」／・rが小さ吐・

によ。て求められる。また，臆の円柱に対する水鮒  ろで近似の悪い中・L・点法の欠鯨い閤論にわて改良

6

i

L4

      LO

      図・−5目） 5本柱

図一5倒 2本柱

L2

1．0

        ．．一．・一一一一 一 二ψrゴ、   L2        7

0．8

 ／イ 皇鵠：去  ①②一        一一一一一一・一一一一…一…＿．

       ご

  図一5（・｝・本創d抽一2・4514）  。．E

卜

Lo

IL↓

L2

・i@   H      図一5｛h） 5本柱

  図一5〔d 4本柱

三『

1．o       ，

  1．5     三．0     2．5     3』     エコ      L2

      一一τ」ゴ       図一5（d） 5本柱

      1』

．1

、。1

  2．5     ユ』     ］．5     4』     4．5

       −一゜τ〆ゴ1       図一5 本論の解及び中心点法による解と   図一5（e） 5本柱（d2／ば1＝2・4514）      厳密解との比較

7

され，著者らの解は，〃ゴが比較的小さいところでも選点    フィルター・増幅器を接続して・その出力を電磁オッシ 数を16程度とれば，厳密解によく近似するといえよう。   ロに記隷した・

      多柱基礎模型に対する水の付加質量II㌔は次式によっ

4・水の伽質量醐する模型実験    て求めた。

よ讃ξ㌶劃慧霊讐㌫貿≧；芸㌢    II㌔譜＝：i8≡；iil   （35｝

円柱としては直径がそれぞれ2．13cm、3．7cm，52cm，

長さ20、m，単位繍醐．419ノ…3の中実塩化ピニー ここ【こ，1｛τ・腔気中｛・おける襯認τ・・τ」まそ ル製チューブを用いた．すべて乳い1至をもつほ4，5・ れぞ煙気中・水中における減紬蠕鯛期」 ・・∬』

6，9本柱の場合と，異なる径をもつ円柱を含んだ2・    は空気中・水中における減衰定数である。

5，9本柱の齢と｛こついて洛円柱の・P心点問距闇を 実験は鋼期0．43〜0・85秒・醐02〜0・3mnユ・樋 いろいろ変えて実験を行った。モデルは，各円柱の両端   18〜23℃の範囲で行った・滅衰定数は・空気中において を20cm×20 cm×0．3cmのアルミ板で固定し，図一7に   は∫〜、≒0であり，水中においては∫」〜0・016〜0・028で 示すように，魍全体を2本の針金（2．］3mmφ）樋し あった．実1祭の多麟礎に対しては・その1剛質量にお てコイルばね（ばね定数占二130〜1809／cm，摸型の重量    よぽすホの粘性の影響はこれをほとんど無視してよい によってバネ踏えて用いた）で蜘中につるLこれ が，本識おけるように小さ繊型が水中でtヒ較的ゆっ に上下方向自由振動を与えて、それぞれ水中及び空気中   くり振動する場合に対しては・水の粘性がかなり大きく における固有周期と減衰定数とを測定した。測定は次の   影響してくる。従って，式（35）によって求めた1陥には・

ようにして行った。すなわち，模型をつるしたコイルぱ   水の粘性に基づく円柱への水の付加質量及び円柱の両端 ねをさらに剛性の大きな板ばねに固定して，この板ばね   を支持しているアルミ板への水の付加質量などが含まれ に差動トランス型変位計を取り付け，これにローパス   ている。いま、水の粘性を考慮しない現合の円柱N本当       りの振動方向の断面形状に基づく付加質量をIFI（W1は       またN本の円柱が排除する水の質量と同値である｝，水       の粘性を考慮した場合のそれをH㌔アルミ板の板表面       への水の粘性に基づく付加質載をIF3，アルミ板の振動方       向の断面形状及びその他付属の針金等の断面形状に基づ        自    く付加質量を1iノ、，円柱の直径及び各円柱の配列に基づ       く付加質量を1輻とすれば，N本柱摸型については，

 竿一『  『「一一図      IIF・＝賄一II㌦＋II㌔＋H㌦＋貼      ｛3El

アルミ板

十

＼堪ピチューブ 〜

o

一  一       一      一  

o

一  一  一  一    ÷

一」』三       1←

酵助・ラ・・ n   ・十1馴：−1讐ユ  ｛］r〕

  板ばね

 二】イノレ1輌￡」ヨ      ．

針圭

：

｝

によって求めることができる。なお，付加質量11 ：、1γ3，

ll・」こ対する補正理論につし・ては，文齪に詳論したの で，本諭では述べない。

      5，理論値と実験値との比較

乍一前一一『トー而一→｛  蜘、よって補正を行っ嫉鞘と選点数を16とした

      図一一7 実験装置（単位㎜）        ときに本論で導いた理誼値とを比較して図一8回㌣ωに示

8

       一理鵠値㈹

o．5       0英駐値       図一8｛n｝ 2本柱       2．5   3．0   3．5   」．0   4．5       −一・r／㎡，

 一      図一8㈹ 5本柱｛ゴ2／d1＝2．4514｝

1．」

㌣

．，［       1τ塁皇禮佃         一抽

1      図一8ω5本柱

L。l

 l

     L5     コ』      2．5     3．0

      1．4

 ・      一→〃 ∫

］  ・・一  ↑・°◎｛

      ・ 麗一

  i      G母・−

       08  圧6

    図一8（h）2本柱（d2／ぱ＝2．4514）

       o．6

       図一8倒 4本柱      一理謝直冊        O党験｛『1

、工        M 1° 2 °  一当∫・

図一8川9本柱

       図一8揃 5本柱              ．．．．

       一∫〃、

図一8｛目 5本柱（出／㎡1三2．4514）

9

した。いつれの場合についても，実験値と理請値はよく   水圧を求めるのに用いて・簡明でその上精度もよく・実 一致しているといえる。特に比較的1アdが小さい場合に   用性があろといえる。

っいても両者はよく一致しているといえよう。

また，酬の結果次のようなことがわかった・       謝  辞

｛i）同径の2本柱について，大小2瓠類の直径（2．13cm     本論文は九州大学工学部小坪清真教授の適切な御指導 と3．7Cm）に対して実験を行った。その結果，径の大き   がなければ到底仕上げることは困難でした。長年にわ い場合の実験値の方がより理論値に近かった。それは径   たっていつも変らぬ懇切な御指導をいただいております が大きいほど水の粘性による影響が小さくなるため、実   小坪教授に心から感謝致します。

験の鞘度が上ったものと思われる。なお，実際の多柱基

礎に対する水の枯性の影響はこれを無視してよい。      附録：本文式㈹の周積分について

（iD表一1に実験によって得られた減衰定数と補正理論    いま，

二：；二翼蕊欝藍三翼《ll麟鷲  占＝声1C°S謬C°S乱L・・1鵬

によ禰を考えているのぽ験値1・よるそれより多 炉Pアー1c°；書sinθ∫L町4θ・

r：蒜ll㌶1思われるカ㍉両者幽的よ五＝∫劃岸曇…乱Lノθ、

表一1瀬定数に関す蹴値蹴値  占・∫摺n、禦乱記乱

減衰定殻 多柱基礎の種類

理論値 実験値

2本柱

^{0．0147 0．0209}

2本ヰ主（ゴコ／ば1＝2．45） 0．0139 0．0183

4本柱 0』187

^0．0238

5本柱

^{0．田81 0．0252}

5オ：香主｛∂2／ば1＝2．45） 0．0122 0．⑪183

6本柱

^0．018

9本柱

0．0172

9オ詩主（吐／41＝2．45） ⑪．Ol37 ⑪．0202

〔附一1｝

との比較       とおけば，例えば式側の∫f亡｛f，」，｝｝r｝は式（8｝の関係を用

      実験値        ／cc（ ，∫，771）

・』2・9 @＝∫炉1c°s…1のsinθ∫L∴。，脚一附一2〕

・』18

・』23・ @ニ〔」丁一lc°s 砿三i1『」（川ノ・・一∫・・）

       1」

0．0238     と｛1Fける。上式の右辺第1項は部分積分によって

0．0252      ．

      う       〔川一1），ブ   rド向 川一1

       と表わせるが，上式の右辺第1項は0となるから，結局        三…t｛Fflj『−2）1ま，

       ∫・・（∫・ノ，川＝言≒（∫・・一ノ・・）   （附一3）

 6・結請       ^{となる。同様にして}

肚の結果から次のようなことがいえる・   ∫、、ulノ、川）＝∫山」，，・ド≠1〔ノ・・＋∫・ハ

慧欝鷺：≧：質巽1計算値ぱ イが 伝（迦＝一疏，川）  （li−4〕

②小型の多鍵礎鯉が・水「｝ で比較的ゆっく1］酬す さて、式（附一3），（附一4）の右辺1斌（附一1）を用い る場合には・水の粘性の影響が無視できない。補正理請   て整理すれば次のように書くことがでさる。

二㌶㌶籠ぎ㌶lu寸獅に関するぽ＝犀c・；1μレ・一附田

1欝㌶繊1灘誼：：1ま その大 ぷ＝∫亙一聖1＋］｝島．当（附一6）

（4｝著者等の理論解は地震時における多柱基礎の2次元動     ここで，附図一1を参照すれば，式（附一一5）の右辺の

10

匿ほ苔分はヨ主侶｝を丹」いて

ノ庁左＝ピエ呼 」 °° ．   θ竺c°：亘i圭り㌫・一一一。．、。4θ、

・ ．、．ヨ 」一θ。 ｛−」 」COS（θr一θ」）寸一、陥∫−」r」5m（0「−Or」｝｝   η一ロr

∫：1：，：1：1°｛一，調日一禮i三麗撒：□、）P−1η．。1ゴθ・

ぽ縦る・ここに・胎、iI1一已である。

       」 lj

／

＼

      A〃」        いま

      ∫r｛η、（；≒）｝柏

      ‡     ∬°C・・〔，叶ユ）0〔｛…θ一・工rl

   乱

臼乱     一｛…θ＋・信一・i百｝ ／溜 〔附一7）

Ol」   ノ      ε＝α∫／τr」

   ・、       とおけば，

      ノfC−一ノ5占＝ −2｛−1）m∫co5（刀1→一］）θ輌∫      （6伺i−8）

lr柱

      と表わすことができる。従って式（附一3）より        付図一1

      ∫cc〔∫，ノ、川］

いま        ＝一芸（−1｝・∫…（，・＋1）θ・・（［付一9）

       乱＝一π十θ〆」十θ

       を得る。同様にして

とおけば，上式は       ．．     ．．

      1c5（r，1，｝月） ＝∫5c〔r．ノ，川）

竺；li：｛一＿lc。，｛｛，，，＋1＿｝ 一一f｛−1｝η・i・一砺（附一10）

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      参考文献

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