図-1斜面と河道の概念図 

有効降雨r（ｔ）

河道

X

不浸透層 中間流

表層土

図-1斜面と河道の概念図 

合成合理式の理論的導出と降雨の時間解像度が降雨流出に与える影響に関する研究  Theoretical derivation of synthesized rational formula and

Runoff analysis with high resolution rainfall data

土木工学専攻  18号  笹田  拓也  SASADA Takuya  

1．はじめに 

  降雨から雨水流出および浸水発生までの時間が極 めて短い都市域では短時間に局所的に発生する集中 豪雨が大きな被害をもたらす．都市流出解析につい て木村ら

¹⁾

は都市浸水のリアルタイム予測を行う上 で流出・浸水機構の再現に関わる構成因子が再現結 果に与える影響について評価し，精度確保に必要な メッシュ解像度等の情報に加えて入力雨量情報とし て極力短時間での配信が必要であることを報告して いる．この点について， 2010 年に試験運用が開始さ れた X バンド MP レーダ網

²⁾

の整備により空間・時間 的に高分解能の降雨データを得ることが可能になろ うとしており，これを活用することで分布物理モデ ルを用いたより精度の高い予測が実現されることが 期待される．

  一方で実務レベルにおける中小河川や下水道の計 画における流出解析では従来からの概念モデルが用 いられているのが現状である．概念モデルのうち，

中小河川流域の計画においては合理式が多く用いら れてきた．またハイドログラフを算出するために合 理式による計算結果を重ねあわせる合成合理式の手 法

²⁾

が用いられることもある

⁾

．

  本研究は実務で用いられているものの従来から明 示的な解で示されることのなかった合成合理式につ いて，物理的に導出した合理式の解析解を用いて合 成合理式を実務で有用と考えられる基本式の形で示 す．具体的には降雨データの形状が矩形であること に着目し，高分解能のデータを容易に適用できるよ う矩形の降雨そのものに対する解析解を求める．こ の合成合理式の解を用いて合成合理式の適用が想定 される都市流域の流出計算を行い，降雨データの時 間分解能が与える影響について考察を行う．

2．合理式の解析解と合成合理式の物理的導出    降雨流出過程のうち，単一斜面スケールに着目し，

単一斜面における降雨流出の基本式を用いて合理式 の解析解の導出を行う．

(1) 単一斜面における降雨流出 

  勾配 i の流れ場に上から長さ方向一様に時間的に 変化する降雨 r (t ) が与えられたときの斜面下端で の流量時系列を考える

⁴⁾

．勾配 i の流れ場に上から長 さ方向一様に時間的に変化する降雨が与えられたと きの斜面下端での流量時系列を考える．

 a）連続式および一般化した運動則 

  単一斜面における降雨流出について， Kinematic Wave法に基づいて表現し，斜面流下方向流れは 様々な流出形態をとるとして， (1) 式に示す一般化 された運動則をとる．これにより様々な流れの抵抗 則について低水時から高水時までの全ての流出形態

を一般化し表現する． α ^， m は流域特性を表すパラ メータであり土壌地形特性から決定される．流れの 連続式としては(2)式が成立する．

m

, h

v = α   q = vh = α h

^m+1

    (1) )

(t x r q t

h =

∂ + ∂

∂

∂ (2)

ここに v : 断面平均流速 [ m / h ] ， h : 湛水深 [m ] ， q : 単位幅流量 [ m

²

/ h ] ， r (t ) : 降雨強度 [ m / h ] である．

 b）単一斜面における降雨流出の基本式 

  (1) 式， (2) 式より単位幅流量 q に関する単一斜面に おける降雨流出の基礎式である (3) 式が得られる．

) 3 ( )

(

1

1

aq r t

x aq q t

q

_m^m_{+ m}^m₊

∂ = + ∂

∂

∂

ただし

¹

1

) 1

( +

⁺

= m

^m

a α (4) (2) 合理式の解析解 

 a）合理式が表す流れと抵抗則 

  既往の概念的流出モデルは(3)式にそれぞれのモ デルに相応しい物理条件を導入することで導出され る

²⁾

．合理式は以下の式(5)で示される条件が成立す る流れを対象とすることで導出される

⁵⁾

．

(5)

0

.

const h

v = α = α =

  (5)式が成立するのは斜面流下方向流れにおける

断面平均流速 v が水深によらず一定，つまり流れの 抵抗則 m = 0 の場合である．これは移流速度が一 定となる場合，つまり中間流で言えば飽和ダルシー 則を取る場合，表面流で言えば水深による速度の変 化の影響が無視できる場合の流れにおいて成立する．

) 6 ( )

1 0

(

^{0 1}

0

v a = + α

⁺

= α =

  このとき(5)式は(6)式となり，前節の(3)式を整理 することにより (7) 式の偏微分方程式が得られる．

(7)式の右辺は降雨強度rに断面平均流速vを乗じたも

のであり，数学的には発生項にあたる．

(7) )

(t x vr v q t

q =

∂ + ∂

∂

∂  

 b)矩形の降雨に対する合理式の解析解 

  一般に観測により得られる降雨データは全て時間 方向に離散化されており矩形形状で表される． (7) 式を解くにあたり，降雨として (8) 式に示す単位ス テップ関数の組み合わせで表した降雨開始時間

t

n

， 降雨強度 _r

_ave

，降雨継続時間trの任意の矩形の降雨 r(t)を与える．これは図-2の示すように任意の降雨 データからある時刻間の平均降雨を取り出したもの に等しい．単位幅流量の初期条件は零とする．

)}

( ( ) ( { )

( )

( t r

_n

t r

_n^ave

U t t

_n

U t t

_n

t

_r

r = =   − − − +   (8)

  上記の条件のもとLaplace変換法で求めた解が(9) 式であり，重ねあわせ可能な線形解である．

[ ] [ ]

) 9 (

) ( ) ) ( (

) (

) ( )) ( (

) (

) (

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡− + −

− +

−

⎥⎦−

⎢⎣ ⎤

⎡− −

−

−

⎪⎭ −

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

− +

−

−

−

−

=

v t x t t v H t x t t

v t x t v H t x t

t t t H t t t

t t H t t

v r t q

r n r

n

n n

r n r

n n n

ave n

n  

ただし

⎩⎨

⎧

<

= >

− 0( )

) ( ) 1

( x a

a a x

x

H  

 

ここにL:斜面長[m]，Lr:河道長[m]，H:ヘヴィサイド のステップ関数である．

  (9)式が表すハイドログラフを描いた図-3，図-4

に示すようにこの解は洪水到達時間 t

_L

= L / v と降 雨継続時間 t

_r

の大小関係で二つのケースに分類さ れる．この解が示すピーク流量は (10) 式に示すよう に流域面積 L

_r

L ^{に到達時間内平均降雨} r

^ave

^を乗じ

た合理式と全く同形であり，(9)式の解析解は合理 式そのものを表していることがわかる．

ave r ave n r

r

L v t t r L L r

L q

Q = ⋅ = ⋅ ( − ) ⋅ = ⋅ (10)

  一般に合理式というと洪水到達時間内に降雨が降 り続くと仮定しその間の平均降雨を用いる（図-3の 場合）が，(9)式に示す解析解は降雨が到達時間前 に止む場合（図-4の場合）も含まれていることから，

より一般的な形の合理式の解であると言える．

(3)合理式の解析解を用いた合成合理式の明示的な 解 

  合成合理式は，合理式を時々刻々の平均降雨に対 して適用しハイドログラフを作成する，もしくは小 流域毎に合理式を適用し流下時間を考慮して重ねあ わせる手法を言う

³⁾

．いずれの場合も合理式による 解を線形的に足し合わせるものである．降雨時間

rtime の任意の降雨 r (t ) は各時刻 t

_n

^{の矩形の降雨}

) (t

r

_n

の足し合わせ ( n = 1 , 2 ,... rtime ) ^{で表されるた}

め， (11) 式に示すように各時刻の矩形の降雨を表す (8)式を時刻を考慮して重ね合わせたもので表現可

能である．

) ( )

( ) ( )

( t r

₁

t r

₂

t r t

r = + + " +

_rtime

(11)

(11) 式で表される任意の降雨データに対するハイド ログラフを合成合理式で計算することは，各時刻の 降雨に合理式を適用してその解を重ねあわせること と同義であることから，(9)式の合理式の解析解を 用いて (12) 式のように表現できる．

) 12 ( )

( )

( ...

) ( ) ( ) (

1 2

1

∑

=

= +

+ +

=

^rtime

n n

rtime

t q t

q t

q t q t q

  (12) 式は物理的に導出した合理式の解析解を用い て表した合成合理式の明示的な解である． (8) ， (11) 式のように単位ステップ関数を組み合わせた実際の 降雨データと同様の形状の降雨に対する式であるこ とから．任意の降雨データに対する合成合理式の解 を表している．よって，任意の降雨データを加工す ること無くそのまま用いて計算することができる．

r(t )

r

_n

(t )

t_n t_n+1

t

図2  条件として与える矩形の降雨の概念図 

t

t

L

L r

_n

0 t

r

n

t

r

)

(

_n

n

t t

r

v −

) (t r

) (t q

t

n

t

_n

+ t

_r

図-3 t

_r

>t

_L

の場合の解析解が表すハイドログラフ

t

t

L

0 t

r

n

t

r

)

( _n

n t t r

v −

) (t r

) (t q

t

n

r n

vt r

図-4 t

_r

<t

_L

の場合の解析解が表すハイドログラフ

3．降雨の時間分解能が流出解析に与える影響    都市域の流出は降雨の時間変動に敏感に反応する ことは広く知られている．降雨データの時間分解能 の違いが流出計算結果に及ぼす影響について，乱数 的に発生させた仮想降雨および高頻度降雨データで ある国土交通省から配信されている合成雨量データ

（時間解像度： 1 分間）を用いることで検討した．

(1)異なる時間スケールの降雨量間に存在する関係    図-5は，降雨の時間特性

⁶⁾

について，2011年8月 から9月に観測された降雨のうち，全国27箇所（平 野部）の周辺地点におけるのべ237降雨のXバンドMP レーダ合成雨量データとそれを移動平均したデータ を用いて，降雨毎の最大１分間降雨強度と最大5分 間,10分間を図示したものである.最大1分間降雨強 度は最大5分間，10分間に比べてそれぞれ約1〜3倍，

約1〜5倍．図-5より10分間の平均降雨強度に比べて 最大1分間降雨強度は非常に大きくなることがあり，

降雨強度は1分もしくはより高頻度のスケールで変 動しているといえる．

  (2) 入力降雨の時間分解能が流出計算に与える影響    導出した合成合理式の解析解を用いて降雨データ の時間分解能の違いが流出計算結果に及ぼす影響に ついて，同一の降雨で時間分解能の異なる降雨デー タを用いて検討した．計算条件として既往の研究で

14)

妥当性が認められた平均的なスケールとして斜面 長 30m ，合成合理式の適用が想定される都市流出を 想定して洪水到達時間が5分から180分の間をとるよ う流速を変化させてそれぞれ計算を行った．また時 間分解能１分のデータを用いて異なる時間解像度の 降雨を作成し,それぞれ与えた．

 

a)X バンド MP レーダ合成雨量を用いた計算

  XバンドMPレーダ合成雨量データのうち全国のア メダス観測所6地点付近における降雨イベントを複 数選び，それぞれ5分間，10分間，30分間，60分間 毎に平均して時間解像度の異なる降雨を作成し，計 算を行った．その一例を図-6に示す．1分間降雨量 を用いた場合に比べて，より粗い時間解像度を用い た計算結果はどれも流量が小さく計算されている．

この計算では 60 分降雨データを用いた場合のピーク 流量は1分間降雨量を用いた場合のものの7割程度で ある．一方， 10 分間および 5 分間降雨量を用いた場 合のピーク流量は1分間降雨量を用いた場合のもの と比べて数％の差である．

b)乱数的に発生させた仮想降雨を用いた計算 1 分毎に乱数的に降雨強度を発生させて作成した降 雨継続時間5時間の降雨をそれぞれの時間間隔で平 均することで 1 分間降雨， 5 分間降雨， 10 分間降雨，

20 分間降雨，60分間降雨の計 5つの時間分解能の データを作成し計算に用いた．乱数は一様確率分布 で発生させ，降雨強度の母集団平均が現在の東京都 の下水道の設計基準値 50mm/h となるように一様確 率分布の下限と上限を{0，100}，{20，80}，{40，

60}( いずれも mm/h) の 3 つのパターン定め，それぞれ

降雨データを作成した．それぞれのケースで複数回 計 50 ケースの計算を行った．それらの計算の一例を 図-7，各ケースの結果を降雨の時間解像度の観点か らまとめたものを図 -8 に示す．図-8は各計算結果を ピーク流出量に着目し洪水到達時間毎にまとめたも のである．降雨イベント毎にマーカーを変え図示し ている．洪水到達時間が短いほど時間解像度の粗さ がピーク流出量に与える影響が大きいが，今回の計 算においては洪水到達時間が30分以上の場合は5分 間降雨および 10 分間降雨を用いた場合でも 1 分間降 雨を用いた場合と同程度のピーク流出量を捉えられ ていた．一方既往の研究

⁷⁾

により行った現地観測結 果では完全に都市化した流域においては洪水到達時 間が 20 分以内であったことから，都市化した流域に おいて正確にピーク流出量を予測するためには1分 間の時間解像度のデータが必要であるといえる．

0 10 20

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

140 120 100 80 60 40 20

時間[h]

降雨強度[mm/h]

流出高[mm/h]

降雨の時間解像度 1分 降雨の時間解像度60分

図-6  各時間分解能の降雨に対して計算された  ハイドログラフの一例（洪水到達時間10分） 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1降雨中の最大5分間降雨量（降雨強度換算）[mm/h]

1降雨中の最大1分間降雨量（降雨強度換算）[mm/h]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1降雨中の最大１0分間降雨量（降雨強度換算）[mm/h]

1降雨中の最大1分間降雨量（降雨強度換算）[mm/h]

図-5   １降雨の最大1分間降雨強度と最大5分間・10分間

をそれぞれ降雨強度換算したものとの関係

4.線形計算･非線形計算の計算結果の比較    線形計算と非線形計算による計算結果について, 特にそのハイドログラフの立ち上がり部の流量につ いて比較する.

  導出した合成合理式により計算した流出高を用い て流れの平均流速を変化させることで,線形計算で ある合成合理式を用いて非線形性を表現できる   図-9はi)線形計算である合成合理式による計算、

ii) 合成合理式における断面平均流速を一度計算した 流 出 高を 用い て 変化 させ 非 線形 性を 表 現し た計

算 ,iii) 非線形計算である山田モデル

³⁾

による計算結果

を比べたものである.この図より,流出の立ち上がり 部において , 非線形性を表現した ii),iii) の計算結果は 線形モデルによるものと比べて流出高が小さく,下 に凸の曲線を描いて緩やかに立ち上がっている . こ れは,線形モデルが断面平均流速一定に対して非線 形モデルでは流量立ち上がり部において断面平均流 速が小さかったためである.このことは非線形モデ ルと線形モデルどちらを用いるかにより流出結果を 高く見積るか低く見積るか左右する可能性を示して いる . 計画において , 立ち上がりを議論する場合 , どち らのモデルが適切であるか,両者の特徴を理解した 上での判断しなければならない .

5．得られた結果 

1) 合理式は，斜面流下方向流れのうち，移流項が卓 越し，断面平均流速vが水深によらず一定とみなせ る場合の流れを表現していることを示した．

2)矩形の降雨に対する合理式の解析解を単一斜面に おける降雨流出の基礎式から物理的に導出した．全 ての観測される降雨データは矩形の降雨の重ね合わ せで表されることに着目し，これを用いて実務で有 用な形である任意の降雨データそのものに対する合 成合理式の解析解を示した．

3)XバンドMPレーダ合成雨量データを用いて1分間 降雨強度と各時間分解能の降雨量との比較を行った．

1分間降雨強度は5分間降雨量の約1~3倍，10分間降 雨量の約 1~5 倍， 1 時間降雨量の約 1~9 倍であった．

4)導いた合成合理式の解を用いて仮想的な降雨およ び X バンド MP レーダ合成雨量より作成した時間解 像度の異なる降雨を与えた流出計算を行った．降雨 の時間分解能が粗いほど 1 分間降雨量を用いた場合 と比べて過小に流量が計算された．また，洪水到達 時間が短いほど降雨の時間分解能が流出量に及ぼす 影響が大きくなるが，本稿で示した計算では洪水到 達時間が 30 分程度以上の場合は 5 分間および 10 分間 降雨量を用いた場合も1分間降雨量を用いた場合と 概ね同程度の計算結果となった．一方で洪水到達時 間が20分以内となるような都市化した流域において はピーク流量に最大 1 割前後の差が生じたため X バ ンドMPレーダのような高時間分解能の降雨データ が必要であると言える．  

参考文献 

1) 木村誠，城戸由能，中北英一:都市内水域における局所 集中豪雨に対応したリアルタイム浸水予測手法に関す

る 基 礎 的 検 討 ， 水 工 学 論 文 集 ， Vol.55 ， pp.S_931 – S_936,2011.

2) 国土交通省河川局治水課 : 中小河川浸水想定区域図作成

の手引き,2005.

3) 山田正，中沢均，吉川秀夫 : 浸透流に関する水理学的研

究，Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ，東京工業大学  土木工学科研究報告，

No.25,1979.

4) 呉修一，山田正: 既往概念流出モデルの理論的導出，

水文・水資源学会誌，Vol.22, No5, pp.386-400 2009.

5) 土屋修一，呉修一，佐藤直良，山田正:降雨の時間特性 に関する研究，水工学論文集，第47巻, pp.139-144,2003. 

6) 赤羽裕也，呉修一，山田正: 都市流域における現地流 量観測と都市化が洪水流出特性に与える影響，水工学 論文集， Vol.52, pp.481-486, 2008.  

7) 渡邉暁人 , 笹田拓也 , 渡辺直樹 , 山田正 : 合成合理式の 理論的導出,水工学論文集,Vol.56(登載決定),2012

0 1 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80

100 80 60 40 20 0

時間[h]

降雨強度[mm/h]

流出高[mm/h]

(i)線形 山田モデル (iii)非線形 山田モデル

(ii)線形 非線形 山田モデル

図-9  線形・非線形計算によるハイドログラフ  æ

æ

æ

æ à à

à

à ì ì

ì

ì ò ò

ò

ò ô ô

ô

ô ç ç

ç

ç á á

á á

í í í

í

0 10 20 30 40 50 60

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

計算で用いた降雨データの時間解像度[min]

1分間降雨を用いた流出高との流出高の比 （50ケースの結果の平均値）

:到達時間5分 :到達時間10分 :到達時間15分 :到達時間20分

:到達時間25分 :到達時間30分 :到達時間40分 :到達時間50分

図-8  入力降雨の時間分解能と計算されたピーク流出高 の1分間降雨データを用いた結果のまとめ 

（到達時間5分,10分,15分,20分,25分,30分,40分,50分）

0 5 10

0 10 20 30 40 50 60 70 80

100 80 60 40 20 0

時間[h]

降雨強度[mm/h]

流出高[mm/h]

降雨データの時間解像度 60min 30min 10min 5min 1min

図-7  各時間分解能の降雨に対して計算されたハイドログ

ラフの一例（洪水到達時間10分）