(1)r≧ 0の と き ,:(1+r  tt  r2t  r3+r4)≦ ぅ (1+r4)が 成り 立 つこと を 示 せ。(お 茶の 水女大 )

第 1 章

(1),れとoは 定数で,れ≠0,か つメ(")は1次 式 とする。/(ァれ"十a)=労が"の どんな値に対 しても成 り立つならば,/律 )は どんな式か.      脩J価大) 0  任意の実数 o,bに 対 して (o+2b)"十(a一b)ノ十b‑3a=0と なるよ うに",ノ の値 を定めよ.

(法政大)

の 開0

2つ の等式打+ノーz=0,2"一 ノ+1=0を 同時に満たす任意の労,ノ,2に 対 して,等 式

。"2+り2+α2=1が 成 り立つならば,α =￨        ￨,b=1        1,c=￨        ￨である。

号十 号 十 号 = 論 のとき

ど:十 ど事十 ま と

を戸下ゼ:下再丁

の大小関係 を調べ よ. ( 龍谷大)

ぺ 的 )

この とき,次 の等

(早稲 田大)

の

駿 爪つ =   化 だし 打> 刊 備 小値を求め二

また, ノ = / ( 打)のグラフ上にあって, 両 座標が整数となる点は何個あるか ( 岡山商大) の 開0 )

２

回

＜

(1)r≧ 0の と き ,:(1+r  tt  r2t  r3+r4)≦ ぅ (1+r4)が 成り 立 つこと を 示 せ。(お 茶の 水女大 )

)す べての実数 "に 対 して 打4+打3+打2+労+1>0が 成 り立つ ことを示せ . ( 甲南大)

の 西0 )

◆◆◆◆◆◆

総合問題演習

◆◆◆◆◆◆  S T E P   A

◆  

る ︒

  け

や  第

数

  Ｂ 鍵   Ｐ 款

  Ｔ Ｅ

か

Ｓ     超 を

◆   腕

の 明 土 思 証 任

を 式

(慶応大)

４ ２

さくらの個別指導

さくら教育研究所

H25.03.31

総含問題演習

◆◆◆◆◆◆  S T E P   A   ◆◆◆◆◆◆

回   (1)多 項式P● ),Q律 )が実数α,〃,■,Sに 対して,

第 2 章

P ( " ) = ( 打 一 α ) ( 労 一

β 〉 9 ( " ) + 妃 " 十 S

を満たす とき,R,Sを それぞれ α,〃 を用いて表せ.た だ し,α ≠〃とする。

(福岡教育大) 0  "に ついての恒等式 ('‑1)("‑2)P(")="3+,れ打+7しが成 り立つ とき,"に ついての整式

p( 打) を 求 め よ. ( 福山大)

◎ 咆

(1)o,bは 実数で,方 程式労3+労2+a打+b=0の 解の 1つ が1‑うである。

(1)o,bの 値を求めよ.    GD  他の 2つ の解を求めよ.      (福岡工大) 0  複素数 1+サが4次 方程式"4̲2"3+2"2+a打+b=0の 解 となるように,実 数 o,bを 定めよ.

(熊本工大)

の

Z

かけ。ただ し,"と ノは実数で,劇 ま虚数単位 である。 ( 関西大)

ぺ 即 )

( 神戸学院大)

理毛拓によつて,他の2角 年

(東北歯大)

べ D E S e O D

回   (1)方 程式 ● +1)律 +3)律 ‑5)律 ‑7)+63=0を 解 け.

回   o,bは 実数の定数 とす る。打の 2次 方程式 ("‑1)律‑2)=れ ("一。2̲b2)がすべての実数 ァれに 対 して実数解 をもつ よ うなo,bを 座標 とす る点 (a,b)の 存在す る範囲を図示せ よ.

(一橋大)

ぺ D r 5 8 0 D

◆◆◆◆◆◆  S T E P   B   ◆◆◆◆◆◆

(1)曲 線 ノ="2+p"+1と 直線 ノ=2"と が交わるようにpの 範囲を定めよ。

(2)2次 方程式"2+(p̲2)打+1=0の 2根 (解)をα,β とするとき

(1+ゴ防 +α2)(1+P〃+β2)の値はPに 関係なく定まることを示 し,そ の値を求めよ。

(福井工大)

◎ 叩 )

3 8

0   4 次 方程純 労4 + 3 1 " 3 + 5 1 打2 + 。打十b=06り 2術ヨの角年二豊 t デ左1 , とa , あ の値 を求めよ.

□   整 式 / ( 打 ) を 打 ―

α , 労 一

b , 労 一c で 割 っ た と き の 余 り が そ れ ぞ れ a t t   b + c , α   t t  b 2 + C ,

。キb+c2で ぁる。/(寛)を ●一a)("―b)("一C)で害1つたときの余 りを求めよ.た だし。,b,cは

相異なる 3数 とす る。 ( 学習院大)

◎ D r c o

7みを正の整数 とし,Pを 正の素数 とす る。 3次 方程式 "3+r班2̲(5‑7し)"十P=0の 1つ の解が 正の整数であることを知って,こ の方程式を解 け,      (滋賀大)

の D ‐6 0 )

方程式 打2+打+1=0の 2根 (解)をα,〃 とする.次 の問いに答えよ,た だ し,れ は自然数とす る.

(1)れ が3の 倍数の とき,α れ+βれの値を求めよ.

(2)れ が3の 倍数でない とき,α れ十だ の値を求めよ.

(3)れ が3の 倍数でない とき,α ",〃れもこの方程式の 2根 (解)であることを証明せよ.

7ルを1よ り大きい 自然数 とするとき,方 程式ノ十打‑1=0に ついて,次 のことを証明せよ.

(1)こ の方程式は0と 1と の間にただ 1つ の実根をもつ。

(り  ,み=4,れ =5の 場合,上 の実根をそれぞれo,う とするとき,α <bで ある。

(鳥取大)

(お茶 の水女大)

払   を す   解 た     の 満   式 を   程 方

約 約 ２

︐ 連 立

浮 み

れ か 篠

勤

労≦y≦ zと して求めよ.

次の 3 つ の条件 を同時 に満 たす 自然数 打,ノ,zの 値 を求 めよ.

" 重≧ノ≦z , " + ノ + Z = 1 6 , a 伊 ″= 1 2 8

９ ３

(慶応大)

(慶応大)

第 3 章

◆◆◆◆◆◆   S T E P   A   ◆◆◆◆◆◆

三角形 A B C の 頂点 A の 座標 は ( 3 , 4 ) , 頂 点 B は 第 2 象 限 にあ り, 重 心 の座標 は (1,1)とす る。

(1)頂 点Bの 座標を(a,b)とするとき,頂 ′点Cの 座標をo,bで 表せ.

(2)垂 心の座標が(0,0)であるとき,c,bの 値を求めよ. (北海道教育大)

ぺ 叩 )

放物線 ノ=4"2̲8"+4と 直線 ノ=打十うが,共 有点P,Qを もう とする。

が2 と なるb を 定めよ.

□   3直 線 3打+2り +18=0,3打 +2ノ +6=0,3a"+2ノ +12=0が ただ 1点 で交わ るとき,定 数 aの 値 を求めよ。また,そ の ときの交点の座標 を求めよ。 _{( 大阪電通大)}

◎ 叩 )

このとき,距離PQ

( 岡山理大)

◎ 的 )

□   直線 ノ=,れ打十れ2は ,れが どんな値でもノ軸を軸 とするある放物線 に常に接するとい う。

(1)こ の放物線 の方程 式 を求 め よ.

(つ  腕 ≠0の とき,直 線 ノ=一持十

わ と上の直線 との交″点は常 に一 定 直線 上 にあ る こ とを示せ . (横浜市大)

べ D E G 0

円 打2 + ノ2 ̲ 4 折‑ 2 ノー4 = 0 と 直線 " ‑ 3 ノー2 = 0 の 交点 をA ,   B と す

る。この円周上に,  A P = B P ,   A Q = B Q と なるように2 点P ,  Q を

定める。P,Qの 座標を求めよ. (青山学院大)

の 的 )

□   (1)直 線 (a+2)打 十(a+1)ノ =―(oキ3)は αの値 にかかわ らず定フ点Pを 通 ることを示 し,P′点の 座標 を求めよ.

(2)P点 を通 る直線で,円 "2+(ノー1)2=1と交わるものの傾 きの範囲を求めよ,

(3)(1)の直線 と(2)の円 とが交わ るよ うなoの 値の範囲を求めよ。      (早稲 田大)

ヽ         効

５

□   (1)半 径 1の 円Zの 中心が直線 ノ=‑2打 上にあるとす る。円の中心の 打座標 をoと して,Zの 方程式を求めよ.

121(1)で求めた円Zが 直線 y=一 打と接す るとい う。その ときの円の方程式 と接点の座標 とを求 めよ。      (武蔵大)

の 》7 0 )

回   円打2+ノ2=1と

放物線 y=ar2+b(a>0)が ,相 異なる 2点 を共有す るための条件 を求めよ.

( 香川大)

◎ い7 0 )

ある製品を生産す るためには,数 種類の原料 の投入 を必要 とす る。そ して,あ る特定の原料 の投入量 "と 製品の生産量 ノとの間には,y=α 打+bと い う関係がある。ただ し,o,bは 他 の 原料 の投入量,設 備 ,労 働者の資質な どによつて変化す る値である。 この特定の原料 1ト ンの 投入量に対 し生産量は 2ト ンか ら 4ト ンの範囲にあ り,3ト ンの投入量に対 し生産量は 4ト ン か ら 6ト ンの範囲にあることがわかってい る。 この とき,6ト ンの投入量によつて生ず る生産 量は最小何 トンか。最大何 トンか。

◆◆◆◆◆◆   STEP  B  ◆◆◆◆◆◆

回   ",プ についての 2次 方程式 2"2+アれリ ーノ2+労+5ノ ー6=0が 2直 線を表す ような,れの値を求

め,そ の ときの 2直 線 の方程式 を求めよ. _{( 関西 大)}

◎ , 7 0

の角客打, ノを座標 とす る点 (折,ノ)が

点 (P,q)の 範囲を図示せ よ。    (同志社大)

の D E 7 0 )

連 立 方 程 式

  1 孝 i 雰 宣: ° ( 。≠0 ,   p ≠ q )

( " ‑ 2 o ) 2 + ( ノ̲ 。) 2 ≦。2 ,  ノ≧。を満たす とき,

□   角を定数 とす るとき,直 線 (た生 1)ノ+2ん打十(た‑1)2=0に ついて,次 の各問いに答えよ.

(1)こ の直線が点 (1,預 )を 通 るよ うにんの値 を定めよ.

(つ  たがいかなる実数値 をとって も,こ の直線が通 らない点の領域 を求め,そ れ を図示せ よ。

(北海道教育大)

べ ' 7 0 )

",ノ ,zは 正数で打十ノ十Z=0(定 数)の とき (1)",プ の存在する範囲を(",ノ)平面上で図示せよ.

(つ  りzが 最大 となるような打,ノ ,zの 値を求めよ。

(3)り zが 最小 となる値は存在 しない理由を述べよ. _{(明治薬大)}

の , 7 r O D

( 慶応 大)

８

総合問題演習

◆◆◆◆◆◆  S T E P   A   ◆◆◆◆◆◆

第 4葦

s i n θ―c o s θ= 誓

( 0 ≦θ≦

看) のとき, 次 の式の値を求めよ.

( 1 ) s i n θ + c O s θ

( 2 1   s i n 4 θ̲ c o s 4 θ t t t a n θ ( 神戸学院大)

弱

(松本歯大) (防衛大)

の

(学習院大)

の , 7 0 )

次の値 を求 (東京水産大)

の , 7 E O )

(同志社大)

の い7 0

□   (1)不 等式 sin打+2sin2"<0を 解け,た だ し,一 ″<打 ≦π

(a  o≦ "≦

号″ の と き ,方 程 式 cos(″COS I)=0の 解 は ￨      1個 あ る 。

連立方程式 sin打+sinノ=1,cOs打 十cosノ=福 を解 け.

ただ し, 0≦ 打≦2π, 0≦ ノ≦2″とす る。

t a n A = 2 ,   t a n B = 4 ,   t a n C = 1 3 と す るとき,

( 2 ) A 十 』十C

□   A,B,Cは 正の鋭角で, めよ.

(1)tan(A十 五め

労の関数 ノ=―"2̲2"sin θ+3cos θ‑5の グラフの頂点を(レ,υ)とす る。

一看≦θ≦

なの とき,υ ‑2レ2の最大値,最 小値を求めよ.

ノ= s i n 竹+ o  c o s  I + 岳 。一

号 ( 0 ≦" ≦

を; ) の最大値が 1 と なるよ うにo の 値 を定8 うよ。

(北海道工大)

の 的 )

□   打の関数ノ=1‑2o‑2a  cos打‑2sin物 の最小値をメ(o)とするとき,次 の各問いに答えよ。た だ し,oは 実数の定数 とする。

(1)/(a)を αの式で表せ.

(の  /(a)=う となるようにoの 値を定め,こ のときのプの最大値を求めよ。 (北海道教育大)

７

"の 2次 方程式 ノー2(sinθ‑2)労+3 cos 2θ=0(0≦ θ≦2″)が ある。

(1)こ の方程式は実根 (実数解)を もつ ことを示せ.

(2)こ の方程式の 2根 (2つ の解)をα,β とす るとき,α2+〃2の最小値 を求めよ。

0<θ <多 の とき,"の 2次 方程式 打2̲2打tanθttVttanθ‑1=0に ついて,次 の問いに答え よ.

(1)こ の方程式は,異 なる 2つ の実数解 をもち,そ の うち少な くとも 1つ は正であることを証 明せ よ.

(つ  2つ の解 が,と もに0<"<1+、 海 の範囲に存在す るための θの条件 を求めよ.

◆◆◆◆◆◆

STEP  B

回   打の方程式 ("2+1)(1+COS α)+2"(1+sinα )=0が 実根 (実数解)を もつのは αが どんな範囲に

あるときか。ただし,0≦ α≦2πとする。 (学習院大)

◎ D E 8 0 )

θが変化す ( 創価 大) 回   (1)点 P●,ノ)の座標が打=sinθ+2 cos θ,ノ =2sin θ一cosθで与えられている。

るとき,点 P●,ノ)の描 く図形の方程式を求めよ.

(つ  打=cosθ ,  ノ=sinθ , 0≦ θ<2″ と￨卜るとき ( 1 ) り を労十ノの式で表せ。

O う  響 一律 十ノ) ≧1 を満たす点●, ノ) のえがく図形をかけ.

□   a,b,cは すべて0で ない定数とし,"の 関数/(打)が

/ ( 労) = { ( a 2 + b ) C O S 労 ‑ 2 o b } 2 + ( α 2 ̲ b ) 2  s i n 2 " 十 C { 2 a  c o s 打 ― ( a 2 + 1 ) } 2

で定義 されてい る.こ のメ●)が定数関数 となるようにbの 値を定めよ.

回   次の命題が正 しいな らば￨        1欄に○印を,正 しくないな らば ×印 を記入せ よ。また,そ の理 由を述べ よ。

(1)sinθ が有理数な らば,  どんな 自然数 7みに対 して もsinれθは有理数である。￨        ￨ (分  sin θ, cosθが ともに有理数な らば, どんな 自然数 れに対 して も立n7うθ,COs7しθは有理数

である!￨      ￨ (3)θ は

多の有理数倍でな く,tanθが有理数であるな らば,どんな 自然数 れに対 して もtanれθ (早稲 田大)

の

(東京歯大)

(早稲 田大)

(関西大)

(奈良女大) は有理数である。￨        ￨

２

□   (1)loglo(a‑2b)‑loglo(。一b)=1の とき,比 o:bの 値を求めよ.

(2)10gloⅢ毎―ムだ)̲1。gl。ぃ毎̲M研)=1の とき,比 c:bの 値を求めよ. (日本文理大)

の 印 )

回 ω a , b , c が正の数で, かつo , c のどちらも1 に等しくないときb g a b = 戦 を証明

せ よ。

(2)10g2"=21og8 27を 満足す る労を求めよ。      (専修大)

◎ D ‐8 g O )

□ ●

10g4"章 logr2  4‑と を 解け .

第 5章   総合問題演習

□ ＜

◆◆◆◆◆◆  S T E P   A   ◆◆◆◆◆◆

l o g 1 0  2 = a ,   l o g 1 0  3 = b と するとき, 次 の式をo ,   b で表せ。

晩 mt鴫 五華)

(2)方 程式 log2打+log.16=4の 根 佃客)は￨        ￨である。

(1)方 程式 2r+2 F 1=1.5を解け.

り  連立方程式3・‑3ブ=18,  3・十ブ=35を 満足する打,ノ の値を求めよ.

( 1 )

( 2 1 不等式 log。(2打2̲4打‑6)>log。 ●2+折

)を解 け.

2つ の不等式

(歩)=>8,log3("+4)<2を 同時に満たす "の 値 の範囲を定めよ.

( 関西大)

◎ い8 0 )

( 日本大) ( 愛知工大)

◎ 斑わ)

(実践女大) (大阪学院大)

の い的 )

(大阪電通大) (東京農大)

の D ‐9 r O D

９８

◆◆◆◆◆◆  S T E P   B   ◆◆◆◆◆◆

< b < o < 1 で あるとき, L t t   h " b 勤

号, l o g b を, 歩 を大小の順に並べよ.

(早稲田大)

の 斑0 )

□    。2

o,  bは ob=100を 満たす正数 とす る。関数 /(")=(10g10昔)(10g的吉)の最小値が 一

去である とき,o,bを 求めよ。      (関西学院大)

の D 的)

座標平面上でlog的"+10gl̲ダ打=2oogl+ブ")(10gl̲ブ")を満たす点 (",ノ)の存在す る範囲を図 示せ よ.      (関西学院大)

べ D 的)

０９

第 6章 総含問題演習

◆◆◆◆◆◆  S T E P   A   ◆◆◆◆◆◆

とがT 告打2 + 5 であるとき, 拍 理 型

等 理 型 2 を 求めよ.

圧□  /(打 )=

ぺ い的 )

□   (1)直 線 "=1お よび 打=2と 曲線 ノ=メ(打)=α打3+b労2+1の 交″点にお ける接線 が平行 であ る とき, o と b の 関係式 を求めよ.

( 2 ) 更 に, 点 ( 1 , メ( 1 ) ) と打軸の距離 と, 点 (2, の値 を求 めよ.

回   曲線 ノ="3+a労2+bの接線で原″点を通るものが 3本 あるとする。o,bの 満たす条件を求め, 点 (a,っ)の存在する範囲を図示せ よ.      (東北大)

の D 的)

□   関数/(労)=α労3+b打2+(a2̲16ル 十Cは 打=‑1で 極大値をとり,"=2で 極小値をとる。また, 極小値の絶対値は極大値の2倍 であるという。a,b,  cの値を求めよ。 ( 広島大)

ぺ 的 )

(1)関 数 ノ=16"3̲20o労2+8a2打̲α3(a≠ 0)の 極大値 を求めよ.

(2)こ の 関数 が極 大 とな る点 を P(",ノ)と す る。 aが 変化 す る とき,点 Pは どの よ うな 曲線 上 を動 くか 。      (東京水 産 大)

◎ D ‐9 t O D

底面の半径が a,高 さが んの直円錐に底面を共有 して内接す る直円柱の体積 の最大値 を求め

よ. (千葉大)

◎ い9 E O D

◆◆◆◆◆◆  S T E P   B   ◆◆◆◆◆◆

身長 165cmの 人が地上 3mの 高さにある街灯の真下か ら,一 直線上を毎分 90mの 速 さで遠 ざかつて行 く。その人の影の先端は,地 上をどんな速 さで動いているか。また,影 の長 さはど (日本 文理 大)

◎い1 0

/(2))と"軸 との距離の比が 1:2の とき,。 とb (長崎総合科学大)

の

んな速 さで伸びて行 くか。

109

放物線ノ=労2と,そ の上にない1点 A(a,1)がある.放 物線の上に異なる3点 P,  Q,  Rを とり,直 線AP,AQ,ARが P,  Q,Rに おける放物線の接線とそれぞれ直交するようにし たい。実数oが どんな範囲にあれば, このような3点 P,Q,  Rが 存在するか。

□ ω 4 次 関数 ノ= α" 4 + b " 3 + c . 2 + 冴労+ C の グラフが プ軸 に関 して対称 な 2 点 において極小 と なるな らば, こ のグラフは ノ軸 に関 して対称であることを証明せ よ.

打= ‑ 1 お よび " = 1 の とき極小値 ‑ 1 を と り, 極 大値が 4 で あるよ うな 労の 4 次 関数 を求め ( 神戸商大)

のい1 0

‑8≦ 打≦ 3に お け る 労 の 関 数 メ(労)=き 打3̲考ダら 2+α打+b(a<0)に お い て ,/(")の 最 大 値

は/(3)であるが,最 小値はメ(‑3)ではないという。αの範囲を求めよ。      (帯広畜産大)

内側 が半径 5の 半球の容器 に水 を満た している。その中に半径 r,高 さ5以 上の直円柱の棒 を, 底面 を水平に して入れ,で きるだけ多 くの水 をり卜除 しよ うとす る。

(1)り卜除 され る水の体積 をrで 表せ ,

(2)(1)の排除 され る水の体積 を最大 にす るrの 値 を求めよ.      (大分大)

□   関数/(")=打4+慨 2+b"十Cについて

(1)打 =‑3,労 =2で /(")が極小値をとるようにa,あ の値を定めよ.

(り  /(")=0が 4つ の異なる実数角牢をもつ とき,cの 値の範囲を求めよ。ただ し,c,bの 値

は(1)で求めた値である. (第一薬大)

力 (")=1+舌 +ぢ キ… …+耕と する と き ,次 のこ と を 証 明 せよ .

(1)万 す(")=ぁ̲1(")

(分  ん(")=0は 重解 をもたない。 ( 滋賀 医大)

◎い1 0

b)の範囲を求め,こ れ を すべ て の実数 打に対 して 打4 ̲ 4 o 3 打+ 3 b 2 > 0 が 成 り立つ よ うな点 (a,

図示せ よ.

２

よ

( 長岡技大)

(城西大)

110

第 7章 総含問題演習

◆◆◆◆◆◆  s T E P   A   ◆◆◆◆◆◆

□   関数 /(労)の 導関数 は 3打2+6"+2で

,曲 線 ノ=/(打)は 直線 打+y=1に 接 してい る とい う。関 数/●)の極大値と極小値を求めよ.

□   関数 メ(け)=彦2̲2oサ+oの 区間‑1≦ け≦1に おける最小値をaの 関数 と考えて。(a)と お く.

( 1 ) ノ = g ( 打) の グラフの概 形 をか け。た だ し, ‑ 2 ≦ 労≦ 2 と す る。

(2)だ 卜 (")冴 "の 値 を 求 め よ .

め よ を 求

打

胡

・ 靭  

＜ 一  斑

獄 刊 卜

十 一

駈

  最 の   の

／  

／ ●

□ ω

分

( 山形 大)

(日本女大)

区ョ  l l●

2+ P" 十

q )】労≦

r ● 2 + P打十q)2冴打が,Pの どんな値 に対 して も成 り立つ よ うなqの 値 の

範 囲 を求 め よ. r 宝 系 宮 十 ヽ

ただし ,o≦a≦歩とする。

3次 式 /●)=a拓3+肱2+C打キ】が条件 /(0)=0,メ (1)=1,/′(1)=0,/′●)≧0(0≦ 打≦1)を 満たす とする。

(1)b,c,】 をαで表せ.      (の  αの範囲を求めよ.

(3)積 分

r/(打河"の 最小値を求めよ. _{( 名古屋 市大)}

回   2曲 線 ノ="3̲。2",ノ =̲労2+。2(a>0)で 囲まれている部分全体の面積 を,aを 用いて表せ.

方程式 ノ="2で 表 され る曲線 C上 に 2点 P,Qを とる。その労座標がそれぞれ o,α +1で あ るとき,次 の問いに答 えよ.

(1)P,Qを 通る直線の方程式を求めよ.

(2)線分PQと 曲線Cと によって囲まれる部分の面積を求めよ.

(3)2点 P,Qに おいて曲線Cに それぞれ接線を引くとき,2つ の接線の交″点Rの 打座標はPQ の中点の 打座標 と等 しくなることを証明せ よ。

(大阪大)

128

(神奈川工大)

曲線 C:ノ =労3̲2ぱ 十"と 直線 ノ=7れ打の交点の うち, 0,A,Bは この順 に等間隔に並んでい るもの とす る。

(1),れ の値 を求めよ.

(2)曲 線 Cと 線分 ABで 囲まれ る部分の面積 を求めよ.

原点 0と 異なる点 をA,Bと し,  3点

曲線 C:ノ =打3+3"2+2"+1上 の点 P(1,7)を通 り,Pと 異なる点で曲線 Cと 接す る直線 をJと す る。 Cと Jと で囲まれ る図形の面積 を求めよ。      (北海道大)

2つ の関数/(打), があるとき

(1)メ(打)およびo(")を求めよ.

(2)2つ の曲線 ノ〓/(")とノ=g(労)とで囲まれる部分の面積を求めよ.

0加,Xり ま 執ら ノ ピ Д 競明係

ぱ

Ｊ ｏ

労

８ 一 ８ ．

十

打

打／

問 こ

寛 の

ｇ

( 一橋 大)

のD ■1 0

( ただ しo < p < 1 ) な る点で この曲線 C に 接線 を 打= 0 , " = 1 で 囲まれた部分の面積 をS ( p ) とす る。

曲線 ノ=労3+打+4上 の点P(け,け3tけ+4)に おける接線がこの曲線 と再び交わる点をQと する。

点 Qの 座標をけを用いて表せ。

( 1 )

( 2 1 接線PQと 与えられた曲線 とで囲まれた部分の面積が

きのとき, けの値 を求めよ.

(北海道工大) (東北 大)

( 神戸 大)

回   曲線 ノ=打3+0打2+b打は点 (2c,0)に おいて労軸に接 している。ただ し,c>oと する。

(1)a,bを cで 表せ。

(2)こ の曲線 と"軸 とによつて囲まれた部分の面積 は,直 線 ノ=c2"に よって どんな比に分け ら れ るか。

曲線 C:y="3が ぁ る。 曲線 0上 の 打=p 引 き,こ の接線 と曲線 Cお よび 2つ の直線 (1)S(P)を Pの 式 で表せ .

(2)S(P)の 最小値 を求 め よ。

曲線 ノ=一打2+a"+bは 点 (1,2)を通るとする.こ の曲線 と曲線 2ノ="2 面積 Sが 最小 となるよ うに係数 o,bの 値 を定めよ.

( 福岡工大)

の

とで囲まれた部分 の ( お茶の水女大)

129

◆◆◆◆◆◆  STEP  B  ◆◆◆◆◆◆

□   /(")は 7次 式であって,5/(")‑3は ("‑1)4で 割 り切れ,ま た7/(")‑5は ("+1)4で 割 り切 れるとする.

(1)/′(打)はどのような形の関数か.

(り  /(I)を求めよ, ( 九州 大)

べい1 1 8 0 D

折の甑 Дつ 職 して駅 つ = だ ・ ザ 0 統 とお← ただL 例 ま敵 であな ( 1 ) / ( " ) = 打2 の とき,  P 律 )の極値を求めよ.

O   F ( " ) = 2 " 3 ̲ 3 打2 ̲ 1 2 打+20と なるような/(打)を定め,ま た,こ のときのαの値を求めよ.

( 静岡大)

◎い1 つ

望 ≦打≦1 の範囲■ 関数 穴つ = r h ・ → ・+ 幼 脇 備 大値 と最小値 を求め員

(東北大)

◎い1 2 t O p

曲線 y = 打4 + 。打3 + b 労2は , 労 座標 がそれぞれ 1 , ‑ 2 で ある点 P , Q に おいて直線 P Q に 接 して い る。

( 1 ) o , b の 値 を求 め よ.

の  この曲線と直線PQと で囲まれる部分の面積を求めよ. (東京農工大)

のい1 0

回

回   放物線 y=一 打2+2"+4  …①,  ノ="2  …②  がぁるとき,次 の問いに答えよ.

(1)放 物線①の上の点P(a,一。2+2α+4)に おける接線の方程式を求めよ。

(2)(1)で求めた接線 と放物線①および放物線②で囲まれた図形の面積の最大値および最小値を

求 め よ。た だ し, ‑ 1 ≦ 。≦ 2 と す る。 (鳥取大)

のい1 0

A,B両 駅間の距離は 24kmで ある。電車がA駅 を発車 して最初の 2分 間は,発 車サ分後の 速 さ (km/分 )が ,メ′

(0)=/′(2)=0と なるサの 3次 関数 /(サ)で表 され るように加速 し,次 の 10分 間はB駅 の手前 2kmま で等速で進行 し,そ の後減速 してB駅 に着いた。

(1)発 車後 2分 間の電車の速 さを表す 3次 関数 /(サ)を求めよ.

(2)A,B両 駅間の電車の最高の速 さを求めよ. ( 佐賀大)

のい1 0

□   直線運動 を してい る動点 Pの 速度 υと時刻 けとの関係 が右のグラフ で与 え られている。

(1)点 Pの 位置 打をけの関数 として表せ.

ただ し, 0≦ け≦5と し,か つ け=oの とき打=1と す る.

(2)サ =oか ら運動の折 り返 し時亥Jまでに,Pが 動いた距離 を求めよ。

(星薬大)

◎, 1 0

130

第 8章   総合問題演習

◆◆◆◆◆◆  S T E P   A   ◆◆◆◆◆◆

数列 5 ,   2 , ‑ 1 ,   ‑ 4 , ‑ 7 , ・ ……の初項か ら第 ,ぁ項までの和を求めよ.

(り  初項から第 7し項までの和が,ぁ2+7あ+1で 表 され る数列の第 7あ項を求めよ.

(3)初 項が3,末 項が96,初 項か ら末項までの和が189であるような等比数列の公比 と項数を

求 め よ. ( 九州 工大)

のい1 0

□ 0

回   自然数れに対して次のように数列la,ぉが定義されている。

い一 歩,いう,晩=粋

( 1 ) o れ+ 4 a れ+ 1 の値 を求めよ。

( 2 ) こ の数列の項 を係数 とす る放物線 ノ=労2+aれ" + 2 αれ+ 1 はすべての れに対 して一定点 を通 る ことを示せ。      r 抽六 ! i l + ヽ

回   次の関係 が成 り立つ ことを証明せ よ.

1‑歩 十 … …窮当i― 詠√丁 井百 十 芋揚十 … …+嘉(れ は自 然数)

べい1 2 ‐O S

匝 ] o = 2 1 °, b = 3 1 0 , c 二5 1 0 とする。

(1)cの 約数の和 をcで 表せ.

(2)。 bcの 約数 の うち, 6と 15の 公倍数の和をα,b,cで 表せ.

□   自然数 れが れ個ずつ続 く数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,… …に対 して ( 1 ) 第 1 0 0 0 0 項を求めよ.

( つ  初項から第 1 0 0 0 0 項までの和を求めよ.

(1)  ol=2,  oル.1=2aれ+1(7し =1, め よ.

(21  bl=1,  あレ+1=2あけ+7し(,あ二1,  2,

( 愛媛大) べ い1 2 0

2,3,… … )によって定義される数列{αぉの一般項を求 3,… …)によって定義される数列ゎけ}の一般項を求めよ.

( 岡山大 )

の

( 大分大)

的

(神奈川大)

180

数 直線上 に点 A 。(0),Al(1)を とる。 7あ≧2 に 対 し,線 分 Aれ̲2A,サ̲ 1 を4 : 1 の 比 に外分す る点 をA れ(aル) とす るとき, a れ をれの式で表せ.       (千葉大)

のい1 3 a O D

等比数列 o l , a 2 , ・…・・, a れについて, 次 の等式を証明せ よ。ただ し, 初 項 o l と公比は1 よ り大 とする。

N 垣石g 2 0 1 下I K ァ正粟裏戸覇扉十

1      1

N 4 0 g 2 0 , 1 + 砺w 4 0 g 2 αl + V l o g 2  αれ

( 香) ￨ 1 大)

◎い1 0

◆◆◆◆◆◆ STEP  B ◆◆◆◆◆◆

回   平面上に 1つ の円を固定 し,こ の平面上に次のよ うに,ぁ本の直線 を引 くったが偶数の とき,た 番 目の直線 はすでに引いた (ん‑1)本 の直線 のすべて と円の内部で交わる。また,た が 3以 上の 奇数 の とき,た 番 目の直線 はすでに引いた (ん‑1)本 の直線の うちのただ 1本 と円の内部で交わ

る。ただ し,  3本 以上の直線 は円の内部では決 して 1点 では交わ らない もの とす る。

この よ うに して引いた 7し本の直線が円の内部 をaれ個の領域に分 けるとき (1)れ ≧ 2に 対 して,α れとaれ‑1の間の関係 式 を求 め よ.

(2)7み≧ 4で ,7しが偶数 の とき,a,けとo"2の 間 の関係 式 を求 め よ.

(3)α れを ,ぁを用 いて表せ . (関西学院大)

◎い1 3 0

w40g202+

れ ‑ 1

回   奇数か らなる数列 1,3,  5,… ……,27し‑1が 与えられている。

( 1 ) 1 2 + 3 2 + 5 2 + ・……+ ( 2 r し‑ 1 ) 2 を求 めよ.

( 2 ) あ らゆ る 2 数 の積 の和 を求 め よ. ( 九州歯大)

◎い旧◎

(弘前大)

のい1 3 ◎

回   Pは ある素数とする。

(1)1,2,3,… …,pれ の うちpで 割 り切れないものの個数をんけとするとき ん =1,  んと=pれ̲Pれ‑1(7し=1,  2,… …)となることを示せ.

(2)あけ=1+p tt p2Ⅲ……+pルとぉくとき此んあけ̲たを求めよ.

ん=0

181

回 o

正 数 の 数 列 静 お を 軌= o , 晩 = ら 律 七十

或 士 ) ( た

= 2 , 3 , 4 o≧ f>0が 成 り立 つ と き ,こ の 数 列 {aけ)が 次 の性 質 を もつ こ

2,3,。 … ・・)

(1)oた≧豆テ(ん=1,

0  01≧02≧C/3≧……°となる減少数列である.

,… … 。)で 定義 す る。不等 式 とを示せ.

( 岡山理 大)

のい1 0

(静岡大)

のい1 つ

(山梨大)

ぺ面①

を満たす整数 打,プ の組(",ノ )の個数 をo.

を求めよ.

を実数 とし,rを 1と 異なる正の数 とす る。

01=0,C,3=陶 ,,̲1(れ=2,3,… …)を満たす数列 la,,)について

S=持 +浄……争 十a,

0 仇 = 札 仇 = o 十 五 排

わ ■= r 作 減 一

1 梅 ) ・ あ= れ 乳 …

→

を満たす数列{あ↓}の一般項あルを求めよ.

正の数 ol,α 2,a3,・ …・・,α れに対 して,次 の不等式が成 り立つ.

〔 1〕 。 1.上 ≧ 1      〔 2〕 Kal+。 2)住 井 十 哉 身≧ 4

01

自然数 ァ減こ対 して, " ≧ 0 , ノ ≧0 , 2 " 十 ノ≦7 み

として,数列{o,おをつくる。この数列の一般項o,

〔 3〕 (ol+の 十 a3)住 茅 十 号十 岩)≧ 9

(1)〔 1〕,〔2〕,〔3〕から類推 して,一 般にル個の正の数al, り立つと思われる不等式を書け.

121 上の 〔2〕を証明せよ.

0  (1)で類推 した不等式を数学的帰納法によつて証明せよ.

□   自然数 れに対 して ,ル=sinルθキcosれθとお く。

(1)Plが 有理数であれば,sinθcosθも有理数であることを証明せ よ.

12j Pl,P2,P3,… …,'レ̲1が有理数であれば,,け も有理数であることを証明せよ。

(群馬 大)

(岐阜大)

182

第 9 華

θが0≦ θ≦2πの範囲を動 くとき,ベ ク トル(2cos θ+3sin θ,cosθ+4 sinのの長 さの最大値 を求めよ。      (東京商船大)

のい1 0

総合問題演習

◆◆◆◆◆◆   S T E P   A ◆◆◆◆◆◆

3 つ のベ ク トル 軌 あ c に 対 し, α = ( 3 , 5 ) , b = ( 4 , 2 ) とす る。 c は 1 石￨ = V 面 でぁる。このとき石を求めよ.

2o‑3bに 玉「イ子汚G ( 創価大)

平面上の 2 つ のベ ク トル α= ( 3 , 4 ) , 線分 ァれ+ 7 し= 5 ( 1 ≦ 7れ≦3)上を動 くと

b=(‑4,3)に 対 して,P=7れ a+7しbと お く,点 (7れ,7あ)が き,lplの 最大値 と最小値 を求めよ。

(芝浦工大)

◎い1 4 ◎

平行四辺形ABCDの 辺BC,CD上 に,そ れぞれ点P,Qを BP:PC=CQ:QD=1:2で ある ようにとるとき,域 AQを 地 ADを 用いて表せ.次にAC=pAPttqAQを 満足する実数P,

? を 求 め よ。 (専修大)

◎' 1 4 ◎

ベク トルo,bに ついて,条 件 :「α,β を実数として,αあ十βB=6な らば,α =β=0で あ る」が満たされるとき,a/2bと は一次独立であるとい う。

(1)扇 と5とが一次独立でないための条件を述べよ.

(2)あ =(1,̲2), B=← 3,1)とするとき,あ とるとは一次独立であることを示せ.

( 3 ) ベ ク トル c は 大 き さが 5 で ,  c = ( 1 , ‑ 2 ) と c と は一次独 立で ない とき, c を 求 め よ.

回   A,B,Cを 一直線上にない 3点 とし,こ れ らを含む平面内の 1点 をXと する.

AX=bABttcAQ  BX=れ BC+α BAと するとき

(1)実 数 7しとCと の関係,お よび実数 a,b,cの 間に成立する関係を求めよ.

0  碩 をo,b,正 ,面 で表せばどうなるか。

(岐阜大)

(京都産大)

205

三角形OABに おいて,辺 AB上 にACiCD:DB=2:3:1と なるよう に点C,Dを とり,辺 OAの 中点をP,線 分ODの 中点をQ,線 分BPの 中点をRと する。ベク トル孤 =あ て頑 =るとするとき

(1)0■ BPを それぞれあ5で表せ。

(2)Q貢 をあらで表せ.

(3)OC〃QRで あることを示せ。 ( 福岡工大)

べい1 4 0

Gと し, ECと 平行 四辺形 A B C D に お い て , 辺 A B , B C , C D の 中点 を, そ れ ぞれ E , F ,

F G の 交点 を H , E C と B D の 交点 を I と し, A B = 軌 B C = b と お く とき,

(1)言召をあらで表せ, (2)間 をあるで表せ。

(3)∠ ABC=60° の とき,平 行四辺形 AECGの 面積 をabで 表せ. (東京農大)

のい1 4 ◎

△ABCの 内部の点 Pに 対 してoPA ttbPB ttcPC=0が 成 り立っているものとする。ここで, b,cは 正の実数である。 2点 A,Pを 結ぶ直線が辺 BCと 交わる点をQと するとき

て:テレ,

( 1 )

( 2 ) ( 3 ) 1 4 )

PQを PBお よびPCを 用いて表せ, PAを PQを 用いて表せ.

△PABの 面積 と△ABCの 面積の比を求めよ.

△PBC,△ PCAお よび△PABの 面積の比を求めよ. _{( 防衛医大)}

の

0を 原 点 とす る り 平 面 上 に 3点 A(0,2),B(3,1),C(1,‑3)が あ る。 実数 けに対 して OP=20A+OB+け OCに よつて点 Pを 定めるとき,次 の問いに答えよ.

(1)け≧1の ときPの 描 く図形 をかけ.

(2)を=oの ときの Pの 位置 をD,サ =1の ときの Pの 位置をEと す るとき,△ ODEの 面積 を求 めよ.

(3)∠ BOCの 2等 分線 と(1)で得 られた図形 との交点の座標 を求めよ.

(関西大)

卵

0 を 原点 とし,  2 つ のベ ク トル 砿 = ( 2 , 0 ) , 両 = ( 1 , 2 ) を用いてベ ク トル 研 = 支頑 十だ肩 を作 る。 弱 が

う≦S ≦1 , 0 ≦け≦1 の範囲を変化す るとき, 頭 の端点 P が 動 く領域 を求め,そ れ を図示せ よ.      (大阪電通大)

的

206

平面上の 3 つ のベク トル こ= ( 1 , 1 ) , 5 = ( 1 , ̲ 1 ) , 3 = ( 1 , 2 ) が,ある。

( 1 ) " 扇十ノ5で表 されるベク トルがるに垂直であるとき,打 とノとの間に成 り立つ関係式を求め

よ.

( 2 ) 更に, このベクトルの大きさがムだであるとき, 打あ十ノ5 を求めよ. (東京水 産大)

正四面体 OABCの 辺 OA,OB,BC,CAの 中点をそれぞれ P,Q,R,Sと す る。面 =あ , OB=あ OC=cと して,次 に答 えよ.

(1)Pa  QR  RSを それぞれ 己 己 Bを 用いて表せ,

(2)て頑 と雨 のなす角お よび 面 とF貢 のなす角を求 めよ。      (九州工☆)

四面体 OABCに おいて, 面 上亜 ,頭 上BCで あるとす る。

OB  tt CAで あることを証明せ よ.

( 1 )

( 2 ) OA,OB,OC,BC,CA,ABの 中点をそれぞれ,

LP=MQ=NRを 証明せ よ.

L , M , N , P , Q , R とするとき, ( 福井大)

空間に相異なる4 点 0 ( 0 , o , 0 ) , A ( a , 0 , 0 ) , B ( 0 , b , 0 ) , C ( c , c , c ) が ある.た だ し,0,b は正の数 とす る。 4 点 0 , A , B , C へ の距離がいずれ も相等 しい点 P(打,ノ,z)が り 平面に関

して C と 同 じ側 ( り 平面上は除 く)にあるのは,α ,b,cに どのよ うな関係があるときか.

( 大阪大)

のい1 0

◆◆◆◆◆◆

STEP  B

回   平面 上 に 3点 A(3,2),B(1,4)お よび C(cos θ,sinθ)が あ る。

OP=α OA十 (1‑α)OL  OQ=OCtt  OP O≦θ<2π,0≦ α≦1とするとき,点 Qの 存在範囲を図示せよ.

空間 内の 3点 0,A,Bに 対 して,あ =0氏 B =面 と して 2 次 方程 式

"2̲(￨ぁ12+I B 12)打十(あ・5)2=0    …….・…・(*)

を考える。ここで,あ ・Bは あとるの内積を表 し,1扇 ￨はあの大きさを表す。

(1)(*)の 解はいずれ も負でない実数であることを証明せ よ.

0  2点 0,A(0≠ A)を 固定するとき,I=1扇 Pが (*)の解 となるような点Bは どんな図形を

描 くか, (早稲 田大)

(九州 工大 )

(関西 大)

207

回   り 平面上 に 3 点 0 ( 0 , 0 ) , A ( 1 , 0 ) , B ( け, 1 ) を と り, △ O A B の 垂 心 を H と す る。

(1)て頑=あC扇=らとし,o正 を面 =pあ十qあと表すとき,P,?を けの式で表せ.

121 ′点Bが 直線 y=1上 を動 くとき,点 Hの 描 く曲線 の方程式を求めよ.      (広島大)

の

中心が(3,2),半径が1の円周C上 に点Pを とり,Pと 原点0を 結ぶ線分のO方 向への延長 線上に点Qを ,OP・ OQ=6と なるようにとる。Pが C上 を動くとき,Qが えがく図形の方程 式 を求 め,そ の グラフをか け.

回   空間に原″点0を 中心 とす る半径 3の 球面 Sと 2点 N(0,0,3),M( 2拒 , 0,‑ 1 )が ぁ る。球 面 OA・ OM=OA・ ON=OM・ ON,

S 上 に 2 点 A ( o l , o 2 , 0 3 ) , B ( b l , b 2 , b 3 ) をとり, OB・OM=OB・ ON=OM・ ONと す る。

(1)A,Bの 座標 と, 0五 ・oBを 求めよ.

(り  1即旺￨,IAMI,1面 百1を求めよ.

ただ し,OA・ OMは 内積 を表す.

0を 中心とする半径1の球に内接する正四面体をABCDと し,あ =0氏 5三弱 あ=∝

冴=ODと おく.ベ ク トルめ,υの内積を(畝υ)で表す。

(1)(己 B)=(あ ,3)=(己 湧 )=(aB)=(ぁ 湧 )=c湧)を示せ.

0   扇十B t t B 十湧= αフ弱 + β瓦 十ガ両 と表す とき, α, β, / の 値を定めよ.

( 3 ) ( 軌 b ) の値を求めよ.

(宮城教育大)

(新潟大) 卿

( 東海 大)

208