Maxima マニュアル改訂版

(1)

Maxima

^{マニュアル改訂版}

(2)

せん．

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第 1 ^{章順序}

1.1

順序について

変数の間に入れる順序というものがあります.この変数の順序は, AよりもBの方が大きい(先に置かれる)といった順番の事です. 多変数多項式の処理では,この順序が非常に重要な位置を占めます.

例えば,x+yとy+xは同じ式でしょうか？人間にとっては,当然の事でも,計算機にとっては違います.この式が,この順番の配列として入力されていれば,全く違うデータになりますね.しかし,演算子+の両端にある被演算子を入れ換えてやればy+xはx+yになりますね.そこで,計算機に,演算子+に対し,被演算子の入れ換え操作で同じデータになれば同じ式と判断すると教えてやる方法があります.

しかし,x+yの例では2項でしかなかったので問題は簡単ですが,比較する式a1とb1の項が100 個になるとこの検証は大変な事になります.a1の順序を固定して, b1の項の入れ換えでa1の並びに到達する迄に最悪の場合,100!個の処理が必要になります.ところが,変数の間に順番を入れてしまえば,両方の式を与えられた順番に沿って置換してしまえば良いので,計算量も少なくて済みますし,他の函数で順序の入れ換えを一々行う必要も特殊な場合を除くと必要が無くなります. 更に重要な事に,式が項の入力の順番に関係無く一意に決まる事です. ではどの様に順番を入れるかと言えば,一番参考になるのは辞書の並びです. aとzだと,aの方がzよりも先に,abuseとabnormal

でばabuseの方が先にありますね. 先にあるという事を,大きいと言い換えたものが辞書式順序で

す.他にも様々な順序がありますが,Maximaでは辞書を後から見る逆辞書式順序がデフォルトで採用されています.

この順序関係を上手く利用しているのが,Maximaで用いられている多項式のCRE表現です.Max- imaの命令で頭にratの付いた函数が幾つかありますが, それらは内部でCRE表現を用いています.その為,一般的表現よりも迅速な処理が可能となっています.

(9)

2 第1章順序

1.2

色々な順序

ここでは多項式の項に入れる順序(項順序)について解説します. Maximaでは逆辞書式順序を用いているだけで,他は実装されていませんが,必要があればMaximaを改造して入れるのも楽しいのではないでしょうか.

先ず,多項式が一変数の場合,x^kと多項式の次数kは一対一で対応します. 即ち,一変数多項式だけを考えていれば,項に順序を入れたければ,次数の大小関係だけを見れば良い事になります.

n変数の多項式の場合は,最初の節で述べた様に,同じ一次の項でも,x₁,· · ·, x_nとn個存在する為に,これらの一次の項に対しても順序を入れる必要があり,それからより一般のxⁱ₁¹· · ·xⁱ_nⁿ についても考察する必要があります.

そこで,変数にある順序(例えばアルファベット順)を入れて項の変数順序を並び替えた項X₁ⁱ¹· · ·X_nⁱⁿ を考えると,この項とその次数リスト(i1,· · ·, in)は一対一に対応します.

例えば,x,y,zの3変数多項式の世界(K[x, y, z])では,変数間の順番をアルファベット順で並べ,yz の様に変数が抜けている場合,抜けている変数の次数を0とすると,項はxⁱ¹yⁱ²zⁱ³の形になります.

これから長さ3の次数のリスト(i₁, i₂, i₃)が得られ,このリストと項は一対一に対応します.

では,x²y²z(= (2,2,1))とxy²z³(= (1,2,3))の間の順序はどの様に入れれば良いでしょうか.単純にxの多項式と見れば,x²y²z の方が大きいとも言えますが,x=y=zとすると,xy²z³の方が次数が大きくなります.この様に多変数多項式の場合,項の順序には色々な考え方があります.

項順序として代表的なものに,辞書式順序,斉次辞書式順序,逆辞書式順序,逆斉次辞書式順序,これらの順序に,変数の重みを加味したもの等があります. ここでは,基本的な辞書式順序,斉次辞書式順序,逆辞書式順序と斉次逆辞書式順序について簡単に説明しましょう.尚,変数の並びはx1,· · ·xn

とし,x^a₁¹,· · ·x^a_nⁿの次数リストをa= (a₁,· · ·, a_n)x^b₁¹,· · ·x^b_nⁿの次数リストをb= (b₁,· · ·, b_n)とします.更に,|a|=a1+· · ·+anで次数リストaの次数の総和を表記します.

辞書式順序

a > b⇔a₁=b₁,· · ·, a_i=b_i, a_i+1> b_i+1

この関係で定められる順序を辞書式順序と呼びます.この順序を示す記号として,>_lexが使われます.

辞書式順序では二つの項を比較した時に,左側の変数の次数が大きなものが大きな項となります.

例えば,x²y²zとxy²z³を各々表現する整数の列(2,2,1)と(1,2,3)に対しては,先頭の2と1を比較した段階で,2>1より, (2,2,1)>_lex(1,2,3),即ち,x²y²z >_lexxy²z³となります.

斉次辞書式順序

a > b⇔

(|a|>|b|または

a₁=b₁,· · ·, a_i=b_i, a_i+1> b_i+1

この関係で定められる順序を斉次辞書式順序と呼びます.この順序を示す記号として,>_glexが使われます.

この斉次辞書式順序の場合,総次数で最初に項を比較し,総次数が一致すれば,今度は項を辞書式順序で比較する二段方式となっています.

(10)

例えば,x²y²z とxy²z³を各々表現する整数の列 (2,2,1)と(1,2,3)に対しては,|x²y²z| = 5と

|xy²z³|= 6となるので, (1,2,3)>glex(2,2,1),即ち,xy²z³>glex x²y²zとなり,辞書式順序とは逆の結果になります.

逆辞書式順序

a > b⇔an =bn,· · ·, ai=bi, ai−1< bi−1

この関係で定められる順序を逆辞書式順序と呼びます.この順序を示す記号として,>_revlexが使われます.

この逆辞書式順序では辞書を逆から見た順序と言えます. x²y²zとxy²z³の場合、各々の項を表現する整数の列(2,2,1)と(1,2,3)に対しては,後の1と3を比較した段階で,1>3から(2,2,1)>_revlex (1,2,3),即ち,x²y²z >revlexxy²z³ が得られます.

斉次逆辞書式順序

a > b⇔

(|a|>|b|または

an=bn,· · ·, an =bn, ai−1< bi−1

この関係で定められる順序を斉次逆辞書式順序と呼びます.この順序を示す記号として,>_grevlex が使われます.

この順序は項の総次数で最初に項を比較し,総次数が等しければ,逆辞書式順序で項の順序を決める二段方式のものです.

x²y²zとxy²z³の場合、総次数が各々,5と6になるので,5>6からxy²z³ >_grevlex x²y²zとなり,逆辞書式順序とは逆の結果になります.

(11)

4 第1章順序

1.3 Maxima

での順序

先程の節では簡単に項順序について解説しました.では,肝心のMaximaの変数や項順序はどの様に入っているのでしょうか？

Maximaでの変数順序を>m とすると,この順序は以下の様なものになっています.

Maximaの変数順序

¶ ³

宣言された主変数 >m ordergreatの第一引数 >m · · · >m

ordergreatの最後の引数 >_m 頭文字がZの変数 >_m · · · >_m

頭文字がAの変数 >m 頭文字がzの変数 >m · · · >m

頭文字がaの変数 >m orderlessの最後の引数 >m · · · >m

orderlessの第一引数 >_m 宣言されたスカラー >_m 宣言された定数 >_m

Maximaの定数

µ ´

アルファベットで開始する変数に関しては,デフォルトの状態で逆辞書順で並んでいます.アルファベットで開始する変数は頭文字が小文字よりも大文字のものが大で,名前の長いものの方が大になります.

又,定数,スカラーや主変数の宣言は,declare函数を用いて,変数に対して, constant,scalar,mainvar を各々宣言する事で行います.

ordergreatやorderlessで入れた変数順序はunorderで無効にしない限り,これらの函数を用いて新しい変数順序を入れる事は出来ません.

(%i13) ordergreat(c,b);

(%o13) done

(%i14) ordergreat(b,z);

Reordering is not allowed.

-- an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);

(%i15) unorder();

(%o15) [b, c]

この例で示す様に,c > bという順序を入れましたが,その次に,b > zという変数順序を入れようとするとエラーが出ています.因に,ordergreat(b,z)の代わりにordergreat(z,b)でもエラーが出ます.そこで, unorder()でordergreat(c,b)で入れた変数順序を解除しています.

これはordergreatやorderlessで入れる順序によって,Maxima全体の変数順序の変更を伴なうの

で,ordergreatやorderlessで入れた変数順序を解除しない限り, 更新を認めない方法の方が色々追加を行なって矛盾した順序が出来上る恐れがない分,すっきりしています.

これに対し,Maximaの項順序は,先ず,変数には辞書の逆の順番で順序が入っていますが,この変数順序に対し,項順序自体は辞書式の順序となっています.

そこで今度はMaximaで変数順序や項順序がどの様に入っているか,実際に調べてみましょう.

二つの与えられた式の順序を調べる函数として,Maximaにはordergreatpとorderlesspの二つがあります.ordergreatp(a,b)はaの順序がbよりも上の場合にtrueが返ります.

(12)

(%i33) ordergreatp(abc,a);

(%o33) true

(%i34) ordergreatp(abc,ax);

(%o34) false

(%i35) ordergreatp(x^2,y^2);

(%o35) false

(%i36) ordergreatp(z^2,y^2);

(%o36) true

(%i37) ordergreatp(z,y^2);

(%o37) true

(%i38) ordergreatp(z^3,z^2);

(%o38) true

(%i39) ordergreatp(z^2*x*y^2,z^2*x*t^3);

(%o39) true

先ず,変数順序について関してば,abcの方がaよりも辞書では後の頁に或る事で判る様にabcの方がaよりも大になります.同様にaxの方がabcよりも大になります.

項順序では,zの方がyよりも大きい為,次数とは無関係にzの方がyˆ2よりも大になります.同じ変数の場合は次数の大きな方が大になり,z²∗x∗y²とz²∗x∗t³の場合は,頭から比較して,yの方がtよりも大である為, z²∗x∗y²の方がz²∗x∗t³よりも大になっています.

この様に,Maximaでは変数の順序はordergreatやorderlessで多少の設定が可能ですが,基本的な順序は辞書式順序のみです.SINGULARの様な数式処理では,複数の順序を目的に応じて選択する事が出来ますが,Maximaではそうではありません. その点で,Maximaは古風な数式処理システムと呼べます.

ここでは多項式の項順序について述べましたが,Maximaでは,通常の多項式に加えてexpやsin 等の初等関数にも同様の順序が入ります.基本的に,変数順序では, mainvarよりも初等関数が大となります.

(13)

6 第1章順序利用者定義の函数に関しては,一度Maxima側で値を解釈する為に,ordergreatpやorderlesspの値は,その状況に応じて変化します.

(%i77) neko(x):=if x<0 then x^2 else cos(x)^3;

2 3

(%o77) neko(x) := if x < 0 then x else cos (x) (%i78) assume(p0>0);

(%o78) [p0 > 0]

(%i79) ordergreatp(cos(p0),neko(p0));

(%o79) false

(%i80) assume(p1<0);

(%o80) [p1 < 0]

(%i81) ordergreatp(cos(p1),neko(p1));

(%o81) true

(%i82) ordergreatp(’neko(x),atan(x));

(%o82) true

(%i83) ordergreatp(neko(x),atan(x));

Maxima was unable to evaluate the predicate:

x < 0

#0: neko(x=x)

-- an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);

(%i84)

この例で示す様に,利用者函数に単引用符を付けなければ,Maximaで解釈が実行され,その結果

でordergreatpの結果が決ります.これに対して,単引用符を付けて名詞型で比較すると,単純に函

数名で比較されます.この様に,初等関数や利用者定義函数は名詞型の場合,引数も含めた函数名で, 逆アルファベット順で比較が実行されます.

(14)

1.4

順序に関連する函数

ordergreat

ordergreat (hv1i,· · ·,hvni)

指定した変数hv1i,· · ·,hvniに順序を入れます. この順序は左から順に,v₁> v2>· · ·> vnとし, 変数vnの下に, ordergreatの引数に含めていない変数が来る様に全体に順序を入れます.

ordergreatp

ordergreatp (h式₁i,h式₂i)

ordergreat函数で設定された順序で,h式₂iがh式₁iよりも順序が小さければtrueを返し,そうでなければfalseを返します.

orderless

orderless (hv1i,· · ·,hvni)

ordergreatの逆で順序を入れます. 即ち,変数hv₁i,· · ·,hv_niに対し,v₁< v₂< ... < v_nで順序を入れ,引数に含めていない変数よりもhvniが下となる様に全体に順序を入れます.

orderlessp

orderlessp (h式₁i,h式₂i)

orderless命令によって設定された順序でh式₁iがh式₂iよりも小さければtrueを返します.

unorder unorder()

ordergreatやorderless函数で定めた順序を無効にします.

(15)

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第 2 ^{章規則}

2.1

規則と式の並びについて

MAXIMAでは数式を扱う際に様々な規則に従って処理を進めます.例えば, tanxと _cos^sin^x_x が同値であるという事も規則のひとつです.MAXIMAにはデフォルトで幾つかの規則が設定されています. これらは主に三角函数に関するものです.規則名だけを知りたい場合には,大域変数のrules に規則名のリストが設定されています.より詳しく知りたい場合はdisprule(h規則名i)で規則を表示させます. ここで引数にallを指定するとrulesに含まれる規則全てが表示されます.

(%i10) disprule(all);

sin(a) (%t10) trigrule0 : tan(a) -> --- cos(a)

1 (%t12) trigrule2 : sec(a) -> ---

cos(a)

1 (%t13) trigrule3 : csc(a) -> ---

sin(a)

cos(a) (%t14) trigrule4 : cot(a) -> --- sin(a)

sinh(a) (%t15) htrigrule1 : tanh(a) -> --- cosh(a)

(17)

10 第2章規則 1

(%t16) htrigrule2 : sech(a) -> --- cosh(a)

1 (%t17) htrigrule3 : csch(a) -> ---

sinh(a)

cosh(a) (%t18) htrigrule4 : coth(a) -> --- sinh(a)

disprule函数を使って表示される規則の詳細では,先ず,左端が規則名で,->の左側が適用される

函数,右側が適用される函数が置換される函数となります.例えば,trigrule0はtanxを _cos^sinx_xで置換える規則です.

ここで,MAXIMAにtan(x);と入力しても,直ちに変換される訳ではありません.更に,実際の利用では函数tanは式の中にあって,引数もxの様な単純なものではありません.その為,与えられた式の並び方(パターンとも呼びます)を指定し,その並び方に対して規則を当て嵌める処理を行います.この処理を並び照合(パターンマッチング)と呼びます.この様な処理を行う函数としてapply1

やapply2等の函数があります.

例えば,函数tan(x)の規則trigrule0は引数xはそのままで,単純にsin(x)/cos(x)で置換える事を意味します.その為,apply1で函数tanを含む式にtrigrule0を適用すると,式の中のtanを見付けると,trigrule0を適用してsin(x)/cos(x)で置換えてしまいます.

(%i19) tan(x);

(%o19) tan(x)

(%i20) apply1(tan(x),trigrule0);

sin(x)

(%o20) ---

(%i21) apply1(tan(a1*x+y+b1),trigrule0);

sin(y + a1 x + b1)

(%o21) ---

cos(y + a1 x + b1) cos(x)

この規則は利用者が定義する事も可能です.規則の設定はdefrule等で行えます. この時,変数の条件に応じて規則の適用を制限したい事があります. 例えば,x²の平方根は,xが実数で,負の数でなければ xで置換える規則がこれに当ります.この場合,並び変数に対する述語函数があれば,let函数を用いて規則を導入する事が出来ます.このlet函数の構文は, let(h項i,h式i,h述語i,h引数₁i,· · ·,h引数_ni)

(18)

で与えられます. ここで,h述語iの後のh引数₁i,· · ·,h引数_niは述語函数の引数で,この中に,並び変数も含まれます.

この節ではユーザ定義のパターン照合と簡易化の規則 (tellsimp,tellsimpafter, defmatch又は

defruleで設定したもの)について述べます.

この設定によって,MAXIMA本体の簡易化に影響を与えたり,apply1やapply2を使う際に,この規則が表で適用される事があります.

(19)

12 第2章規則

2.2

2.3

規則に関連する函数

apply1

apply1(h式i,h規則₁i,· · ·,h規則_ni)

apply1は与えられたh式iに対し,最初のh規則₁iを作用させます.この時,h式iに含まれる全ての部分式に対して,h規則₁iを適用させます.これによって得られたh式₂iに対し,次のh規則₂iを同様に適用させます.以降,帰納的に各部分式に作用させ,h規則_niを全ての部分式に作用させて終了します.

sec (c) + tan(b)

(%i118) apply1(tan(a)/(sec(c)+tan(b)),trigrule1,trigrule2);

sin(a)

(%o118) ---

1 sin(b)

cos(a) (--- + ---) cos(c) cos(b)

apply2

apply2(h式i,h規則₁i,· · ·,h規則_ni)

h規則₁iがh式iの部分式で失敗すると, h規則₂iが適用させられる事でapply1と異なります.

全ての部分式で失敗した時に限って,全ての規則の集合が次の部分式に繰返し適用されます.もし, 規則の一つが成功すると,その同じ部分式がh規則₁iで再実行されます.ここで,maxapplydepthは

apply1とapply2が実行される最高度となります.

applyb1

applyb1(h式i,h規則₁i,· · ·,h規則_ni)

apply1と似ていいますが,apply1がh式iの階層構造の上から下(全体→部分式→ · · ·)であるのに対し, applyb1はh式iの最下層にある部分式から作用させ,規則の適合に失敗すると,もう一つ上の階層の部分式に帰納的に作用させます.

letsimp

letsimp(h式i)

letsimp(h式i,h規則パッケージ名i)

letsimp(h式i,h規則パッケージ名₁i,· · ·,h規則パッケージ名_ni)

h式iが規則パッケージに含まれる規則の適用により,式の変化が無くなるまで,規則の適用を続けます.尚,規則パッケージの指定が無い場合,デフォルトでrule pkg nameが用いられます.

defmatch

defmatch(hプログラムi,h並びi,h助変数₁i,· · ·,h助変数_ni)

(21)

14 第2章規則 n+1個の引数を持ち,特定の並びに適合するかどうか式を検査する函数で,名前がhプログラムi のものを生成します.h並びiは変数と助変数を含む式になります.変数が以前のmatchdeclare函数の中で暗示的に与えられていたとしても,h助変数_iiは引数としてはっきりとdefmatchに与えられます.

函数の最初の引数は並びに対して照合する式で,他のn個の引数は式中の実際の値, 並びの中で変数として置かれるものです.defmatch内の助変数はFORTRANのSUBROUTINEでのダミー変数に似ています.

defmatchで構成された函数は照合に成功すると, h助変数_ii=適合する変数のリストを返しま

す. 又,照合に失敗すればfalseを返します.

次の例では,与えられた函数の線形性を調べる函数linearを定義し,実際に実行する例です.

(%i2) defmatch(linear,a*x+b,x)$

(%i3) linear(3*z+(y+1)*z+y^2,z);

(%o3) false

(%i4) linear(a*z+b,z);

(%o4) [x = z]

(%i5) nonzeroandfreeof(x,e):=if e#0 and freeof(x,e) then true else false$

(%i6) matchdeclare(a,nonzeroandfreeof(x),b,freeof(x))$

(%i7) linear(3*z+(y+1)*z+y^2,z);

(%o7) false

(%i8) defmatch(linear,a*x+b,x)$

(%i9) linear(3*z+(y+1)*z+y^2,z);

2

(%o9) [b = y , a = y + 4, x = z]

最初にdefmatchでlinearを定義していますが,次で,式3∗z+ (y+ 1)∗z+y²が変数zの一次式であるか検証していますが,falseが返却されています. これは最初のaとbに関して何等の情報も無い為,単純にaとbを持たない一次式と判断されてfalseとなっています.次のa∗z+bの場合, 並び変数xに対応するものがzである判断した為に[x = z]が返却されています.

そこで,aとbの情報を追加します.この例では,最初にis(e#0 and freeof(x,e)) と同値な函数 nonzeroandfreeofを定義し,それから変数aとbに対して,共に0ではなく,変数xも含まない式で

あるとmatchdeclareを用いて宣言しています. この宣言の後にdefmatchで函数linearを再定義

します.この再定義を行わないと, a,bに関する情報は更新されません.これによって,変数aとbが xと独立したもので, xに対して線形であれば対応するもののリストを返す函数linearが定義されます.

次に,linear(3*z+(y+1)*z+y^2,z)を実行すると,linearで与式と並びの式a*x+bを比較し,今度は[b=y^2, a=y+4, x=z]を返します.

(22)

defrule

defrule (h規則名i,h並びi,h置換i)

与えられたh並びiに対し,h置換iを行う規則の定義とその名付けを行います.この場合,h規則名iで指定された規則がapply函数の一つによって式に適用されると,h並びiに適合する全ての部分式がh置換iで指定した値で置換えられます.

h並びiで値が割当てられたh置換i中の全ての変数は,簡易化されたh置換iの中の値が割当てられます.規則自体は並びの照合と置換操作による式の変換函数として扱う事が可能です.この函数は並びの照合に失敗すると元の式を返却します.

(%i9) defrule(hiyo,tama(x+y),tama(x)+tama(y)*x);

(%o9) hiyo : tama(y + x) -> x tama(y) + tama(x) (%i10) tama(x+y);

(%o10) tama(y + x)

(%i11) apply1(tama(x+y),hiyo);

(%o11) x tama(y) + tama(x)

disprule

disprule (h規則₁i,h規則₂i,· · ·) disprule(all)

defrule,tellsimp,tellsimpafterによって与えられた規則,規則名や, defmatchによって定義された並びを名前込みで表示します.

disprule(all)は全ての規則を表示します.

(%i12) disprule(hiyo);

(%o12) hiyo : tama(y + x) -> x tama(y) + tama(x) (%i13) disprule(all);

1 (%t15) trigrule2 : sec(a) -> ---

cos(a)

1 (%t16) trigrule3 : csc(a) -> ---

(23)

16 第2章規則 sin(a)

cos(a) (%t17) trigrule4 : cot(a) -> --- sin(a)

sinh(a) (%t18) htrigrule1 : tanh(a) -> --- cosh(a)

1 (%t19) htrigrule2 : sech(a) -> ---

cosh(a)

1 (%t20) htrigrule3 : csch(a) -> ---

sinh(a)

cosh(a) (%t21) htrigrule4 : coth(a) -> --- sinh(a)

(%t22) hiyo : tama(y + x) -> x tama(y) + tama(x)

(%o22) done

let

let (h項i,h式i)

let (h項i,h式i,h述語i,h変数₁i,· · ·,h変数_ni)

let (h項i,h式i,h述語i,h変数₁i,· · ·,h変数_ni,hパッケージ名i)

letsimpでh述語iがtrueの場合にh項iをh式iで置換する置換規則を定義します. 尚,h述語i とh変数iを省く事も可能ですが,この場合,h項iに含まれる変数がmatchdeclareによってtrueと宣言されている必要があります.

letの引数の末尾にhパッケージ名iを追加する事で,この置換規則をパッケージに追加します.

1. letsimpが文字として検索するアトムで,以前,letsimpを呼んだ事がなければ, matchdeclare 函数をアトムと述語を繋げる為に用います.この場合,letsimpはアトムで表現された述語を満す,任意の積の項に対して適合します.

2. sin(x),n!,f(x,y)等の様な核.matchdeclareが核の引数と述語を繋げる為に用いられる迄,上述

(24)

の様にletsimpは綴でアトムと一致するものを探します. 正の羃乗に対する項は,少なくとも,letsimpされた式中に羃乗を持つ項のみに適合します.一方で,負の羃乗に対する項は少なくとも,負の羃乗を持つ項にのみ適合します.積中の負の羃乗の場合,大域変数letratはtrue に設定されていなければなりません.何故なら,述語が引数のリストが続くlet函数の中の含まれていれば, 従属的な適合(つまり,述語が省略されていたとしても受容されるもの)は,argi’

をargiに適合する値とした場合,predname(arg1’,...,argn’)がtrueに評価される時に限って受容されます.argiはh積iの中に現われる任意のアトム名か任意の核の引数で構いません.h積i からの任意のアトムや引数はh有理式i中に現われると妥当な置換が行われます.

これらの置換函数は一度に幾つかの規則の組合せを用いて作用させられます. 各々の規則の組合わせは任意数のletで操作された任意の数の規則を含む事が可能で,利用者が与えた名前で参照されます.

letrules letrules()

引数を取らない函数で,現行の規則の組合わせで規則を表示します. letrules(h規則名i)は名前が h規則名iの組合せ規則を表示します.現在の規則の組み合わせはcurrent let rule package の値であり,その規則の初期値はdefault let rule ]packageです.

letsimp

letsimp(h式i)

letsimp(h式i,hパッケージ名₁i,· · ·)

規則を適用してh式iが変化しなくなるまで,規則を適応し続けます. hパッケージ名iを省略した場合は,パッケージとし, current let rule packageが利用されます.

パッケージを複数指定した場合,h式 iには左端のパッケージから順番に適用されます.例えば,letsimp(expr,package_1,package_2)を実行すると,最初にletsimp(expr,package_1)が実行され,それから,letsimp(%,packgae_2)が実行されます. この場合,current let rule package は切替えられません.

matchdeclare

matchdeclare (h並び変数i,h述語i,· · ·)

並びの照合を行う際に,変数の適用に制限を加える為に,並び変数にと述語を結び付けます.即ち,h述語iがfalseでない式にだけ,h並び変数iが適合する様にします.

例えば,matchdeclare(q,freeof(x,%e))が実行された場合,qはxと%eを含まない全ての式に適合します.これはlet等で規則を設定する際に. 式にqを用いると,述語が成立する場合に,letsimp等によって規則が適用される事になります.

remlet

remlet(h項i)

remlet(h項i,hパッケージ名i) remlet(all)

(25)

18 第2章規則 remlet()

let函数で定義された最新の代入規則h項>→<式iを削除します.hパッケージ名iが与えられると,規則パッケージ名から規則が削除されます.

remlet()とremlet(all)は規則パッケージから代入規則の全てを削除します.

規則パッケージの名前が,例えば,relmet(all,hパッケージ名i)で与えられていれば,指定された規則パッケージも削除されます.代入が(最初に)同じ生成物を用いて変更されるものであればremlet が呼出される必要は無く,単にlet函数と新しい代入と述語名を持った同じ生成物を用いる代入の再定義を行います.

remlet(生成物)が呼出されると本来の置換規則が復活します.

remrule

remrule (h函数i,h規則i) remrule (all)

h規則iで指名された規則をdefrule,defmatch,tellsimpやtellsimpafterで設定されたh函数iから削除します.

引数がallの場合,全ての規則が削除されます.

tellsimp

tellsimp(h並びi,h置換i)

tellsimpafterに類似していますが,新しい情報を古い情報の前に置いて,組込の簡易化規則よりも

前に適用される様にします.tellsimpは簡易化が実行される前に式を改変する事が重要な時に用いられます.例えば,簡易化が式について何かを知っているが,それが返すものが期待したものではない場合です.

簡易化が式の主演算子について何かを知っていても,十分な簡易化でなければ,恐らくtellsimpafter を使う事になるでしょう.並びは和,積,単変数や数値であってはなりません.規則は名前のリストで名前は簡易化の規則を持ち,それらはdefrule,defmatch,tellsimpやtellsimpafterで追加されたものです.

tellsimpafter

tellsimpafter (h並びi,h置換i)

h並びiに対するh置換iを定義します.ここで指定するh並びiはMAXIMAの簡易化が組込みの簡易化規則の適用後に用いるものです.h並びiには単変数や数を除く任意の式が設定出来ます.

(26)

第 3 ^{章数値}

3.1 Maxima

で扱える数値について

Maximaで扱える数値には,整数,有理数,浮動小数点と複素数があります. 整数値の入力はC

等と同じ入力になります.Cとの違いはメモリ制約を除けば, 桁数に限界はありません.有理数は

128/8989の様に,演算子/の両辺に整数を置いたもので表現されます.この有理数に関しても,整数

と同様にメモリの制約を除くと分母,分子の桁数に上限はありません.

尚,整数と有理数の演算を行うと,基本的に有理数になります.但し,分母を消去出来る様な計算を整数や有理数で行うと,結果は整数になります. 尚,整数には実際は通常の整数(fixnum)と可変

桁の整数(bignum型)の二種類があります.整数の場合,この二種類の違いを認識する必要は特に

ありません.

Maximaの浮動小数点にはfloat型とbigfloat型の二種類があります. float型は16桁の倍精度で,1.2や1.3e-4の様に入力が出来ます. bigfloat型は任意精度の実数で,大域変数fpprecで指定した桁数の実数です.float型からbigfloatへの変換は函数bigfloatで行います. 浮動小数点と整数や有理数の演算は,型の変更を実行しない限り,浮動小数点となります.但し,bigfloat型とfloat型を混在して計算する場合はエラーになります.その為に変換函数による処理が必要になります.

複素数は実部と%iをかけた虚部との和で指定されます.例えば,方程式x²−4∗x+ 13 = 0の根は2+3*%iと2-3*%iで表現されます. ここで複素数の実部はrealpart,虚部はimagpartで取り出せます.複素数は整数,有理数,浮動小数点の自然な拡張となっている為,実部と虚部は,これらの数で表現されています.

大域変数domainは函数等の動作に影響を与えます.domainはデフォルトではrealとなっていま

す.これはMaximaが主に実数上で処理を行う事を意味しています. これに対して,complexにする

とMaximaが処理する世界は複素数の世界となる事を意味します.

(27)

20 第3章数値

3.2

数値に関連する大域変数

domain

デフォルト値:[real]

Maximaの多項式や函数で扱う係数や変数の領域を定めます. デフォルトのrealは全てが実数で

処理されます. complexを指定すると,複素数上で全てが処理されます.

domainをcomplex,m1pbranchをtrueにした場合,-1のn乗根は原始n乗根に自動的に変換されます.

float2bf

浮動小数点数をbigfloat型に変換する際に警告を出すかどうかを決定します.

fpprec

デフォルト値:[16]桁.

bigfloat型の精度(桁数)を指定します.

fpprintprec

デフォルト値:[0]桁.

bigfloat型の数値を(実際よりも)小さな桁数で表示する際の表示桁数を指定します.

m1pbranch

大域変数domainと一緒に利用し,-1の原始n乗根への自動変換を制御します.

大域変数domainがrealの場合,mlpbranchの設定に関係無く, (-1)ˆ(1/n)はnが奇数であれば-1 に自動変換されますが,それ以外はそのままです.

大域変数domainがcomplexで,m1pbranchがtrueの場合のみ, (-1)ˆ(1/n)は-1の原始n乗根に自動的に変換されます.

radexpand

デフォルト値:[true]

trueの場合,因子のn 乗根の積でn乗のものを根号の外に出します. 例えば,sqrt(16*xˆ2) は radexpandがtrueの場合に限って4*xとなります.

sqrtdispflag

デフォルト値:[true]

falseならば,sqrtは1/2乗の形式で表示されます.

(%i38) sqrtdispflag;

(%o38) true

(%i39) sqrt(x);

(28)

(%o39) sqrt(x) (%i40) sqrtdispflag:false;

(%o40) false

(%i41) sqrt(x);

1/2

(%o41) x

(29)

22 第3章数値

3.3

数値に関連する函数

bfloat

bfloat(h数値i)

全ての数と数値函数をbigfloat型に変換します.大域変数fpprecをnに設定すると, bigfloat型の数値精度はn桁になります.

尚,大域変数float2bfがfalseの場合,浮動小数点数をbigfloat型の数値に変換する時に計算精度が落るとの警告メッセージが表示されます.

bfloatp

bfloatp(h式i)

h式iがbigfloat型の数値であればtrue,それ以外はfalseを返します.

cabs

cabs(h式i)

複素数の絶対値を返します.

entierとfix fix(h数値i) entier(h数値i)

fixとentirerはこれと同じ物で,h数値iが実数の場合,h数値iを越えない最大の整数nを返します.

(%i42) fix(10);

(%o42) 10

(%i43) fix(-10);

(%o43) - 10

(%i44) fix(10.5);

(%o44) 10

(%i45) fix(-10.5);

(%o45) - 11

(%i46) entier(10);

(%o46) 10

(%i47) entier(-10);

(%o47) - 10

(%i48) entier(10.5);

(%o48) 10

(%i49) entier(-10.5);

(%o49) - 11

この例で示す様に,絶対値で越えない数を返すのではないので注意が必要です.