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平成１７年度　茨城大学

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Academic year: 2021

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(1)

平成１７年度 茨城大学

1.

 行列

A =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

1 − 2 0 0 2 − 4 0 0 3 − 7 3 − 2 4 − 11 9 − 6

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

の固有値をすべて求めよ．

2.

 関数

y = tan x

の定義域を

− π

2 ≤ x ≤ π

2

に制限すると，その逆関数

y = Arctan x

を考えることができる．次の各問いに答えよ．

(1)

 

y = Arctan x

の導関数

dy

dx

は

1

1 + x 2

となることを示せ．

(2)

 定積分

Z

√1

3

0

Arctan x dx

を求めよ．

3.

 

(1)

 

x = e t

とおくとき，

x

の関数

y

に対して，

x dy dx = dy

dt , x 2 d 2 y dx 2 = d 2 y

dt 2 − dy dt

を満たすことを示せ．

(2)

 微分方程式

x 2 d 2 y dx 2 − x dy

dx − 8y = 0

の一般解を求めよ．

4.

 複素数

z

の共役複素数を

z

とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)

 実数

h

を

0

に近づけるときの極限

h lim → 0

(z + hi) 3 − (z) 3 hi

を計算せよ．

(2)

 

0

から

i

までにいたる線分を積分路とする複素積分

Z i

0

(z) 2 dz

を求めよ．

参照

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