空間図形への応用

名前 ( ）

１

解

空間図形への応用

例題

1 km ^{離れた⼭のふもとの} 2^地点 A ^と B ^{から⼭の頂上} P ^を

⾒ると ∠PAB＝60°, ∠PBA＝75° ^{であった。また，}B ^から P を⾒上げると ∠HBP＝30°であった。このとき，標⾼差 PH はどのくらいか求めなさい。

A

B

H P

60°

75°

30°

1 km

空間図形問題でも、平⾯を切り出して考える！

どこかで正弦定理もしくは余弦定理を使うだろうと予測。

∠APB = 180^∘− (60^∘+ 75^∘) = 45^∘

△

PAB

60^∘

45^∘ 75^∘

sin 45 1000

=

sin 60

PB

= 1000 sin 45

sin 60

= 500 6

△

PBH

P

A B

P

H B

PB

sin 90

=

sin 30

= 500 6

sin 90

sin 30

= 250 6

PH

250 6

練習問題

日付( ⽉ ⽇ 曜⽇ ) 


名前 ( ）

１

＞ 第３章 図形 計量 ＞ 第２節 三⾓形 応⽤ ＞ 第７講：空間図形 応⽤

数

空間図形への応用

地⾯から気球の⾼さを測定する。300 m^の離れた 2 ^地点A, B から気球を⾒ると，∠PAB＝60°, ∠PBA＝75°^{であった。}


また，点 B ^{から⾒上げた⾓度は} 30° ^{であった。このとき，}

気球の⾼さ PH ^{を求めなさい。}

A

B

H P

60°

75°

30°

300 m

∠APB = 180^∘− (60^∘+ 75^∘) = 45^∘

△

PAB

60^∘

45^∘ 75^∘

sin 45 300

=

sin 60

PB

= 300 sin 45

sin 60

= 150 6

△

PBH

P

A B

P

H B

PB

sin 90

=

sin 30

= 150 6

sin 90

sin 30

= 75 6

よって，⼭の標⾼

PH

75 6

解

名前 ( ）

２

解

空間図形への応用

例題１

１辺の⻑さが 4 cm ^{の正四⾯体がある。}

辺 CD ^の中点を M ^とし，2 ^点 A, B ^と 点 M ^{を結ぶ。このとき，}cos∠ABM ^の 値を求めなさい。

B

C A

D

M

4

●

△AMBにおいて，余弦定理より ^２

A

D M

AM = 4²−2² = 2 3 ４

三平⽅の定理より，

AM² = AB²+BM²−2⋅AB⋅BM⋅cos∠ABM ^A

B M

2 3 2 3

(2 3)² = 4² + (2 3)²−2⋅4⋅2 3 ⋅cos∠ABM 4

cos∠ABM = 3 3

例題２

解

１辺の⻑さが 4 cm ^{の正四⾯体がある。}

辺 CD ^の中点を M ^とし，2 ^点 A, B ^と 点 M ^{を結ぶ。このとき，}△ABM ^の⾯

積を求めなさい。

B

C A

D

M

4

●

sin²θ + cos²θ = 1

= 12 ⋅AB⋅BM⋅sin∠ABM

= 4 2 cos∠ABM = 3

3 から

より，

sin∠ABM = 6 よって， 3

△ABM

A

B M

2 3 2 3

4

= 12 ⋅4⋅2 3 ⋅ 6 3

S = 12absinθ a θ b

日付( ⽉ ⽇ 曜⽇ ) 


名前 ( ）

２

＞ 第３章 図形 計量 ＞ 第２節 三⾓形 応⽤ ＞ 第７講：空間図形 応⽤

数

解

空間図形への応用

右の図のような直⽅体のとき，

cos∠AFC ^{の値を求めなさい。}

△AFCにおいて，余弦定理より AC = 43, FA = 6, FC = 5 三平⽅の定理より，

AC² = FA²+FC²−2 ⋅FA⋅FC⋅cos∠AFC

C

F A

43

6

5

( 43)² = 6²+ 5² −2⋅6⋅5⋅cos∠AFC cos∠AFC = 310

練習問題１

A B

D C

H G

E 3 3 F

3 4

解

右の図のような直⽅体のとき，

△AFC^{の値を求めなさい。}

C

F A

43

6

5 練習問題２

A B

D C

H G

E 3 3 F

3 4

sin²θ + cos²θ = 1

= 12 ⋅FA⋅FC⋅sin∠AFC

= 3 91

cos∠AFC = 310 から より，

cos∠AFC = 91 よって， 10

△AFC

= 12 ⋅6⋅5⋅ 91 10

S = 12absinθ a θ b

確認テスト

１ ２

Tー１ 確認テスト

1 km ^{離れた⼭のふもとの} 2^地点 A ^と B ^{から⼭の頂上} P ^を

⾒ると ∠PAB＝60°, ∠PBA＝75° ^{であった。また，}B ^から P を⾒上げると ∠HBP＝30°であった。このとき，標⾼差 PH を求めなさい。

A

B

H P

60°

75° 30°

1 km

250 6 ^m

１辺の⻑さが 4 cm ^{の正四⾯体がある。}

辺 CD ^の中点を M ^とし，2 ^点 A, B ^と 点 M ^{を結ぶ。このとき，}cos∠ABM ^の 値を求めなさい。

B

C A

D

M

4

●

3 3

確認テスト

数

１ ２

確認テスト

Tー２

地⾯から気球の⾼さを測定する。300 m^の離れた 2 ^地点A, B から気球を⾒ると，∠PAB＝60°, ∠PBA＝75°^{であった。}

また，点 B ^{から⾒上げた⾓度は} 30° ^{であった。このとき，}

気球の⾼さ PH ^{を求めなさい。}

A

B

H P

60°

75°

30°

300 m

75 6 ^m

１辺の⻑さが 4 cm ^{の正四⾯体がある。}

辺 CD ^の中点を M ^とし，2 ^点 A, B ^と 点 M ^{を結ぶ。このとき，}△ABM ^の⾯

積を求めなさい。

B

C A

D

M

4

●

4 2

＞ 第３章 図形 計量 ＞ 第２節 三⾓形 応⽤ ＞ 第７講：空間図形 応⽤

確認テスト

１ ２

確認テスト

Tー３

右の図のような直⽅体のとき，

cos∠AFC ^{の値を求めなさい。}

A B

D C

H G

E 3 3 F

3 4

右の図のような直⽅体のとき，

△AFC^{の値を求めなさい。}

A B

D C

H G

E 3 3 F

3 4

3

10 3 91

2