1
テンソル積
テンソルは座標変換により一定の変換をする幾何学量,物理学量を扱うた めにRicci
によって導入されたものです. テンソルはベクトル空間の多重線型写像という性質とベクトルの基底を定 めたとき,決まる数の組で,基底を変換したとき一定の規則で変換するとい う性質を持っています.これらの内容を説明するのが目的です 第1節ではまずテンソルをベクトルの基底を用いない抽象的な取り扱いを します.この方法は内容がすっきりしており理論を学ぶには向いています が,定義より読みとるべき内容を理解するにはある程度の慣れが必要です. 第2節ではテンソルの伝統的な方法に従った,ベクトルの基底を用いて, テンソルの成分の変換公式を中心に説明します.テンソルの成分表示の上 付き,下付きの方法と和のアインシュタインの表示法を理解すれば,テンソ ルの基底の取り替えの変換公式が思いのほか簡単に処理できるのが分かり ます. 第3節ではベクトル空間の計量テンソルを用いてテンソルの説明をしま す.テンソルの理解が深まると思います. 第4節ではテンソルの縮約を説明します.第1節 テンソル積
V, Vi, W
がベクトル空間でf : V
−→ W
が線型写像のとき,f
の像f (V ) = Imf
はW
の部分ベクトル空間ですが 多重線型写像(
双線型写像も含む)
f : V
1× · · · × V
k−→ W
の像すなわち{f(v
1, . . . , v
k)
|vi
∈ Vi}
はW
の部分空間とは限らない.このときは生成したベクトル空間を考 え,< Imf >
のように< >
で多重線型写像f
の像の生成したW
の部分 ベクトル空間を表す. また,V, Vi, W
がベクトル空間のとき 線型変換f : U
−→ V
全体の作るベクトル空間をL(U ; V )
と表し 多重線型写像f : V
1× · · · × V
r−→ W
全体の作るベクトル空間をL(V
1, . . . , V
r; W )
と表す.なお,ベクトル空 間L(V
1, . . . , Vr
; W )
における和,定数倍は(f + g)(v
1, . . . , v
r) = f (v
1, . . . , v
r) + g(v
1, . . . , v
r)
(kf )(v
1, . . . , v
r) = kf (v
1, . . . , v
r)
で定義する. テンソルの定義から入る. 定義U, V
をそれぞれベクトル空間とする. 下の条件(1),(2)を満たすベクトル空間W
と双線型写像⊗ : U × V −→ W
が存在する. (1)W =< Im
⊗ >=< ⊗(U × V ) >
(2)任意のベクトル空間X
と双線型写像f : U
× V −→ X
に対して,必ず線型写像g : W
−→ X
が存在して
f = g
◦ ⊗
が成り立つ. ベクトル空間W
をベクトル空間U
とベクトル空間V
の各ベクトルのテ ンソル積が生成するテンソル空間または簡単にべクトル空間U
とベクトル 空間V
のテンソル積といいW = U
⊗ V
と表す.U
× V
-
W (= U
⊗ V )
@
@
@
@
@
R X
?
⊗
g
f
以後,⊗(u, v) = u ⊗ v, (u ∈ U, v ∈ V )
と表す. この定義を読んで内容が読みとれる人は相当のものです.定義から読みと るべき内容は後で説明するとしてまず定義が意味を持つことを証明する必要 があります.(2)
において,このようなg
が存在するなら唯一つに限ることから示し ます.g
1, g
2: W
−→ X
が共に条件を満たすと,すなわちg
1◦ ⊗ = g
2◦ ⊗
とする.u
∈ U, v ∈ V
に対してg
1(u
⊗ v) = f(u, v), g
2(u
⊗ v) = f(u, v)
および,W
はu
⊗ v
で生成されたベクトル空間で,g
1, g
2が線型変換,u, v
が任意であるからg
1= g
2 が成り立つ.したがって,g
がただ一つに限るこ とが示された.U
× V
からW
への双線型写像全体よりなるベクトル空間をL(U, V ; W )
であらわす. 以下W
及び⊗
を実際に構成する.U, V
の双対空間をそれぞれU
∗, V
∗ と する.U
3 u, V 3 v
に対してu
⊗ v ∈ L(U
∗, V
∗;
R)
を次のように定義する. 任意のα
∈ U
∗, β
∈ V
∗ に対してu
⊗ v(α, β) = u(α)v(β)
ここで,u(α), v(β)
はベクトル空間とその双対空間の自然な演算である.⊗ : U × V −→ L(U
∗, V
∗;
R)
⊗
は双線型写像である.実際(u
1+ u
2)
⊗ v(α, β) = (u
1+ u
2)(α)v(β) = u
1(α)v(β) + u
2(α)v(β) =
u
1⊗ v(α, β) + u
2⊗ v(α, β)
等.⊗
によって定義されたu
⊗ v (u ∈ U, v ∈ V )
の生成するL(U
∗, V
∗;
R)
の 部分空間をW
とする.このときW
⊂ L(U
∗, V
∗;
R)
W
と⊗
が定義の条件を満たすことを証明する.{e
i}, {f
i}
をそれぞれU, V
の基底とし,U
∗, V
∗ の{e
i}, {f
i}
に対応する 双対基底をそれぞれ{e
i}, {f
i}
とする.⊗
は双線型写像であるから,u
⊗ v = u(e
i)e
i⊗ v(f
j)f
j= u(e
i)v(f
j)e
i⊗ f
j したがって,e
i⊗ fj
がW
の基底となる. 一方,g
∈ L(U
∗, V
∗;
R)
とする.g(e
i, f
j) = g
ij とおけばすでに定義したei
⊗ e
j を用いてg = g
ije
i⊗ e
j と表せる.実際g(α, β) = g(α
ie
i, β
je
j) = α
iβ
jg
ij= g
ije
i(α)e
j(β) = g
ije
i⊗ e
j(α, β)
したがって,
L(U
∗, V
∗;
R) ⊂ W
ゆえにW = L(U
∗, V
∗;
R)
が成り立つことが分かる. 以上でW
が構成された.後は条件(2)を満たすことを証明することだ けである.f : U
× V −→ X
の任意の双線型写像f
について,任意のu
∈ U, v ∈ V
に対して線型写像g : W
−→ X
をg(u
⊗ v) = f(u, v)
で定義すればf = g
◦ ⊗
を満たす.g
の一意性はすでに示されているから以上で,定義を満たすベクトル空間W = U
⊗ V
が存在することが証明された. 以上が2つのベクトル空間のテンソル積の定義およびその定義が意味があ ることの説明です. テンソル積とは,2つのベクトル空間U, V
のu
∈ U, v ∈ V
に対してu, v
に関して双線型である積u
⊗ v
すなわち(u
1+ u
2)
⊗ v = u
1⊗ v + u
2⊗ v
u
⊗ (v
1+ v
2) = u
⊗ v
1+ u
⊗ v
2(ku)
⊗ v = u ⊗ (kv) = k(u ⊗ v)
を満たす演算u
⊗ v
のことです.当然上の定義からこの演算が定義される ことを読みとる必要があります. まず,定義からU
⊗V
は同型を除きただ一つに決まることが分かる.実際⊗ : U × V −→ W
¯
⊗ : U × V −→ W
が共に定義の2条件を満たすとする.このとき線型写像f : W
−→ W
g : W
−→ W
が存在しf
◦ ⊗ = ¯⊗, g ◦ ¯⊗ = ⊗
U
× V
-
W
@
@
@
@
@
R W
?
6
⊗
f
g
¯
⊗
W, W
はそれぞれ⊗, ¯⊗
の像の生成したベクトル空間であるからf
◦ g, g ◦ f
はそれぞれ恒等写像,したがって,(W,
⊗), (W , ¯⊗)
は同型で ある. したがって,U
⊗ V (= W )
は条件を満たすベクトル空間を一つ見つけれ ばよく,証明の中でU
⊗ V
構成されており,それはL(U
∗, V
∗;
R)
である. 具体的にいえばu
⊗ v(α, β) = α(u)β(v), α ∈ U
∗, β
∈ V
∗ で定義される.u, v
に関して線型であることは証明の中で述べてある. このように,U
⊗ V
はテンソル積の定義のなかの(1), (2)
の条件だけで一 意的(
普遍的)
に決まる.それで,この2条件(1), (2)
をテンソル積の普遍 性という,ここで述べた定義をテンソルの普遍性による定義と呼ぶことも ある. テンソルの普遍性のダイアグラムU
× V
-
W (= U
⊗ V )
@
@
@
@
@
R X
?
⊗
g
f
から分かる内容を調べよう.f
∈ L(U, V : X)
に対してg
∈ L(U ⊗ V ; X)
がただ一つ決まるからこの 対応による写像Φ : L(U, V ; X)
−→ L(u ⊗ V ; X)
は1対1である.Φ
が線型写像であり,2つのベクトル空間の次元が等し いからL(U, V ; X) ∼
= L(U
⊗ V ; X)
がわかる. さらにX
をR
に替えればL(U, V ;
R) ∼
= L(U
⊗ V ; R) = (U ⊗ V )
∗ また,(U
⊗ V )
∗∼
= U
∗⊗ V
∗ が成り立つ.それはU
⊗ V = L(U
∗, V
∗;
R)
よりU
∗⊗ V
∗= L(U, V ;
R) = (U ⊗ V )
∗ となる. これらをまとめるとL(U, V ; W ) ∼
= L(U
⊗ V ; W ) ∼
= (U
⊗ V )
∗⊗ W ∼
= U
∗⊗ V
∗⊗ W
3つ以上のベクトル空間のテンソル積V
1⊗ V
2⊗ · · · ⊗ V
k も同様に定義で きる.すなわちV
1, . . . , V
k をそれぞれベクトル空間とする. 下の条件(1),(2)を満たすベクトル空間W
と多重線型写像⊗ : V
1× · · · × Vk
−→ W
が存在する. (1)W =< Im
⊗ >=< ⊗(V
1× · · · × V
k) >
(2)任意のベクトル空間X
と多重線型写像f : V
1× · · · × V
k−→ X
に対して,必ず線型写像g : W
−→ X
が存在してf = g
◦ ⊗
が成り立つ. このベクトル空間W
をW = V
1⊗ · · · ⊗ V
k と表す.なお,W = L(V
1∗, . . . , V
k∗;
R)
である.第2節 反変ベクトルと共変ベクトル
第1節では,普遍性に基づいてテンソルを述べたが,これからは伝統的な ベクトルの基底を用いた取り扱いをする. まず,ベクトル空間V
の定義を確認しよう. 実数R
上のベクトル空間V
とは,集合V
に次の2つの演算が定義され,
(1)
任意のx, y
∈ V
に対してV
の要素x + y
がただ一つきまる.(2)
任意のx
∈ V, a ∈ R
に対してV
の要素ax
がただ一つきまる. さらに,これらの演算が任意のx, y, z
∈ V, a, b ∈ R
に対して次の条件を 満足するものである.• a(x + y) = ax + ay, (a + b)x = ax + bx
• (ab)x = a(bx)
ベクトル空間とはこのような抽象的な集合である.基底はベクトル空間
V
の要素を表現するためのものである.さらに,基底の選び方は幾らでもあ り,基底を変えたときの変換則があり規則に従う(32
ページ参照)
.ですか ら,ベクトル空間V
上で何かを定義するとき,基底を用いるならば,他の 基底のとき規則に従った変形をするかどうかを調べる必要があり,これは案 外煩雑です.したがって,できるだけ基底を用いない方法をとる,これが数 学の特にリーマン幾何の基本的な立場です.このベクトルの基底によらない 扱い方を,ベクトルがもともと(生まれながら)持っている(稟性)の意味 のIntrinsic
を用いて,Intrinsic
な方法といいます.第1節で述べたテンソ ルの定義をもう一度見てみましょう.基底を用いていないIntrinsic
な定義 であることが分かります. このIntrinsic
な方法は取り扱いやすいのですが,実際に何かを計算しよ うとすると,ベクトル空間の基底を用いた成分計算が必要になり,成分計算 は避けては通れません.以下テンソルの伝統的な方法に従って解説します. ベクトル空間V
を扱うのに基底{e
1, e
2,
· · · , e
n}
を用いV
の要素x
をx = x
1e
1+ x
2e
2+
· · · + x
nen
と 表 し 調 べ る の で あ る .こ こ で 大 事 な の は ,ベ ク ト ル 空 間 の 基 底{e
1, e
2,
· · · , e
n}
はベクトルの要素を表すためのものである.ベクトル空間 の基底のとり方は幾らでもあるので,基底を変えたときベクトルの成分x = (x
1, x
2,
· · · , x
n)
がどうなるかを調べる必要がある. それを調べよう.まずルールをはっきりさせます. ベクトル空間V
の基底はei
のように添字は下に置き,ベクトルを基底を 用いて表すときの成分の添字は上に置く.たとえばV
3 v = v
1e
1+
· · · v
ne
n= v
ie
iとなる.一番右側はアインシュタイン規約に従った表示です.なおアイン シュタイン規約とは1つの項の中の上下に同じ添字があるとき,ここでは
i
, その添字が動く範囲全体の和をとることです. さらにV
の要素は列ベクトルとして扱う. 次にV
の双対空間V
∗ の基底はe
i のように添字は上に置き,ベクトルを 基底を用いて表すときの成分の添字は下に置く.たとえばV
∗3 w = w
1e
1+
· · · w
ne
n= w
ie
i となる.なお,V
の基底{e
1, . . . , e
n}の双対基底はここでは同じ文字を用 いて,{e
1,
· · · , e
n}
とし,V
∗ の要素は行ベクトルとして扱う.V
∗ の要素とV
の要素の自然な演算は行列の積として行う. このルールに従って計算すれば,ベクトル,双対ベクトル,テンソルの座 標変換による成分の変換公式がすっきり理解できる. ベクトル空間V
の基底を1つとりそれを{e
1, . . . , e
n}
とする.このとき,v
∈ V
はv = x
ie
i より,n
個の実数{x
i}
によりv = (x
1, . . . , x
n)
と表せる. 次に,V
の別の基底{f
1, . . . , f
n}
をとる.基底{e
i}
と基底{f
i}
の関係がf
i= a
j ie
j のとき,すなわち³
f
1· · · fn
´
=
³
e
1· · · en
´
a
11· · · a
1n..
.
..
.
..
.
a
n1· · · a
nn
· · · (])
のとき. ここでA =
a
11· · · a
1n..
.
..
.
..
.
a
n1· · · a
nn
とおく. 基底変換でベクトルの成分がどのように変換するか調べよう.v = x
ie
i= y
if
i のとき,行列で表示すると³
f
1· · · f
n´
y
1..
.
y
n
=
³
e
1· · · e
n´
x
1..
.
x
n
上の(])
を代入して³
e
1· · · en
´
A
y
1..
.
y
n
=
³
e
1· · · en
´
x
1..
.
x
n
³
e
1· · · e
n´
は逆行列を持つから,A
y
1..
.
y
n
=
x
1..
.
x
n
をえる. ここで行ったことをまとめると次のようになる. 命題 ベクトル空間V
の基底{e
1, . . . , e
n}, {f1, . . . , f
n} に³
f
1· · · f
n´
=
³
e
1· · · e
n´
A
の関係があるとき,v
∈ V
に対してv = x
ie
i= y
if
i ならA
y
1..
.
y
n
=
x
1..
.
x
n
である.すなわちa
jiy
i= x
j 注意1.
命題から分かるようにベクトルの基底には行列を右からかけ(右から作 用するという),ベクトルの成分には行列を左側からかける.これは,行列 が空間に作用するとき区別しなければならない重要なことです.2.
命題をよく見ると,基底の変換と成分の変換の行列は変わりませんが, 基底では{e
i}
側にかけ,成分は反対の{f
i}
にかけます.これは後で説明す ることですがV
を反転ベクトルというゆえんです.3.
添字を上下に置くことで,変形が驚くほどうまくいきます.4.
ここでは{e
i}
と{f
i}
の関係を基底は列ベクトルとし³
f
1· · · f
n´
=
³
e
1· · · e
n´
A
とした.これを,両辺の転置をとった,
すなわち基底を行ベクトルとみた
f
1..
.
f
n
= A
t
e
1..
.
e
n
としても問題はないが,転置行列がでてきて混乱しおすすめできない.本 稿の内容は全く転置行列は出てこない.次に
V
の双対空間V
∗ を考える.V
の基底{e
i}
の双対基底を{e
i}
と文字をかえず添字を上にかく.さら に,v
∈ V
∗ はv = xie
i より,n
個の実数{xi}
によりv = (x
1, . . . , x
n)
と表せる.このように,V
∗ の基底の添字は上に置き,成分の添字は下に 置く. ベクトル空間V
の基底を{e
i}
から{f
i}
に変換したとき双対空間V
∗ の ベクトルの成分はどのように変換するかを調べよう.³
f
1· · · f
n´
=
³
e
1· · · e
n´
A
とする.まず,双対基底の変換式を調べよう. まず,
e
1..
.
e
n
³
e
1· · · e
n´
=
f
1..
.
f
n
³
f
1· · · f
n´
= E
である.ただしE
は単位行列.
e
1..
.
e
n
³
f
1· · · fn
´
=
e
1..
.
e
n
³
e
1· · · en
´
A = A
= A
f
1..
.
f
n
³
f
1· · · f
n´
であり,行列³
f
1· · · f
n´
は逆行列を持つからA
f
1..
.
f
n
=
e
1..
.
e
n
次にv
∈ V
∗ がv = xie
i= y
ifi のとき³
x
1· · · x
n´
e
1..
.
e
n
=
³
y
1· · · y
n´
f
1..
.
f
n
より³
x
1· · · x
n´
A
f
1..
.
f
n
=
³
y
1· · · y
n´
f
1..
.
f
n
∴
³
x
1· · · xn
´
A =
³
y
1· · · yn
´
∴ x
ia
ij= y
j 以上の内容をまとめると次の命題になる. 命題 ベクトル空間V
の基底{e
1, . . . , e
n}, {f
1, . . . , f
n}
に³
f
1· · · f
n´
=
³
e
1· · · e
n´
A
の関係があるとき,基底{e
1, . . . , e
n}, {f1, . . . , f
n} の双対基底をそれぞれ{e
1, . . . , e
n}, {f
1, . . . , f
n}
このときA
f
1..
.
f
n
=
e
1..
.
e
n
が成り立ち,さらにv
∈ V
∗ に対してv = x
ie
i= y
if
i なら³
y
1· · · y
n´
=
³
x
1· · · x
n´
A
である.すなわちyj
= a
ijxi
ここで,V
を反変ベクトル,V
∗ を共変ベクトルというわけが理解できる. すなわち ベクトル空間V
の基底{e
1, . . . , en
}, {f
1, . . . , fn
}
に³
f
1· · · f
n´
=
³
e
1· · · e
n´
A
の関係があるとき.
行列A
の逆行列をB = (b
ij)
とおくとv
∈ V
に対してv = x
ie
i= y
if
i のときA
y
1..
.
y
n
=
x
1..
.
x
n
すなわち
y
1..
.
y
n
= B
x
1..
.
x
n
· · · (1)
v
∈ V
∗ に対してv = x
ie
i= y
if
i のとき³
y
1· · · y
n´
=
³
x
1· · · x
n´
A
· · · (2)
∴ y
i= x
ja
j i すなわちV
の要素の基底の変換による成分の変換は基底の変換を定める行列の逆行列を用いるが,
V
∗ の要素は同じ行列を用いる.これがV
を反転 ベクトル,V
∗ を共変ベクトルというゆえんです. つぎにテンソル積の説明に入ります.まず見慣れた線型変換を考え,その 後一般的な定義をする.なお,線型変換は次の節でも再度説明する. 線型変換f : V
−→ V
はV
の基底{e
1, . . . , e
n}
を用いればf (ei
) = f
ijej
より定まるn
2 個の実数の組{f
ij}
で決まる. もう一つの基底{d
1, . . . , dn
}
をとり³
d
1· · · d
n´
=
³
e
1· · · e
n´
A
すなわちd
i= a
j ie
j を満たすとき,f (di
) = ¯
f
ijdj
で定まる{ ¯
f
ij}
と{f
ij}
の関係を調べよう.f (di
) = f (a
jiej
) = a
jif
jkek
一方f (d
i) = ¯
f
ijd
j= ¯
f
ija
kje
k したがって,¯
f
ija
kj= a
jif
jk(a
ji)
の逆行列(b
ji)
のb
lk を両辺にかけk
につぃての和をとると¯
f
ija
kjb
lk= a
jif
jkb
lk∴ ¯
f
il= f
jka
jib
lk· · · (3)
すなわち,{f
ij}
は座標変換で上つきの添字は反変ベクトルの変換をし,下 つきの添字は共変ベクトルの変換をします.ベクトル空間
V
の線型変換は次のように言うことができます.V
の基底が定まればきまるn
2 個の数字の組{f
ij}
で,基底の変換による 変換は(3)
にしたがう. 次に1次変換f : V
−→ V
に対して,双線型写像F : V
∗× V −→ R
をα
∈ V
∗, v
∈ V
のときF (α, v) = α(f (v))
で定義する.逆に,双線型写像F
が与えられたとき,V
の基底{e
i}
とそ の双対基底{e
i}
を用いてf (v) = f (e
i, v)e
i によって定義すると,この定義は基底を用いた定義であるが,基底の取り 方によらない.したがって,この定義はwell defined
(整合性がある)であ る(30
ページ参照).f
ij の定義はf (ei
) = f
ijej
であった.f (e
i) = F (e
j, e
i)e
j よりf
ij= F (e
j, e
i)
である. このことから,f
ij はF (α, v) = α(f (v))
で定義した双線型写像F : V
∗× V −→ R
で表せば
f
ij= F (e
j, e
i)
となる.これが分かれば,f
ij の基底変換による変換式はもっとわかりや すい.実際 2つの基底{e
i}, {d
i}
の関係がd
i= a
j ie
j のときd
i= b
ije
j であるから¯
f
ij= F (d
j, di
) = F (b
jke
k, a
liel
) = b
jka
lif
lk となる.このように,線型写像で行った基底変換による変換式が双線型写 像と見れば自然に導き出される.これらの内容は第3節で詳しく説明して ある. 以上の準備の元で,改めてテンソルの定義をしよう. 定義1
V
をn
次元ベクトル空間,V
∗ をその双対空間とする.このときr + s
重 線型写像f :
rz
}|
{
V
∗× · · · × V
∗×
sz
}|
{
V
×· · · × V −→ R
をr
階反変,s
階共変テンソルまたは(r,s)
型テンソルという.V
の基底を{e
i}
その双対基底を{e
i}
とするときn
r+s 個の実数f
i1...ir y1...js= f (e
i1, . . . , e
ir, ej
1, . . . , ej
r)
をテンソルf
の基底{ei}
における成分という. 注意 テンソルの成分で添字はf
i1...ir y1...js のように上にあればその真下はあけ ておき,下にあればその真上はあけておくのが一般的な書き方です.後で,ユークリッド空間
(
内積が適されたベクトル空間)
では,添字の上げ下げを 行うからです. もう一つのテンソルの定義をします. 定義2
V
をn
次元ベクトル空間とする.V
上の基底を定めたときn
r+s 個の実 数の組が定まり,その実数の組が基底変換で次の条件を満たすとき,このn
r+s 個の実数の組をr
階反変,s
階共変テンソルという 基底が{ei}
のとき定まるn
r+s 個の実数の組{f
i1...ir y1...js}
,基底が{di}
のとき定まるn
r+s 個の実数の組f
¯
i1...ir j1...js,が基底変換di
= a
jiej
のとき¯
f
k1...kr l1...ls= b
k1 i1. . . b
kr ira
j1 l1. . . a
js lsf
i1...ir j1...js を満たす.ただし,(b
ji)
は(a
ji)
の逆行列. 定義1と定義2が同値であることを確認しよう. 定義1
→
定義2
d
i= a
j ie
j のときd
i= b
ije
j であるから¯
f
k1...kr l1...ls= f (d
ki, . . . , d
kr, d
l1, . . . , d
ls)
= b
k1 i1. . . b
kr ira
j1 l1. . . a
js lsf
i1...ir j1...js 定義2
→
定義1
記号が煩雑になるので,(2, 2)
型のテンソルのとき示す.V
上の基底{e
i}
を定めたときn
2+2 個の実数の組f
i1i2j1j2 が定まり,そ の実数の組が基底変換により¯
f
k1k2 l1l2= b
k1 i1b
k2 i2a
j1 l1a
j2 l2f
i1i2 j1j2 を満たす.
u, v
∈ V, α, β ∈ V
∗ に対して,u = u
ie
i, v = v
ie
i, α = α
ie
i, β = β
ie
i のとき,
多重線型写像f (α, β, u, v)
をf (α, β, u, v) = α
i1β
i2u
j1v
j2f
i1i2 j1j2 で定義する.この定義が基底変換で矛盾がないためにはV
の別の基底で も同じであることを示せばよい.d
i= a
j ie
i のときv
ie
i= ¯
v
id
i のとき¯
v
i= b
ijv
jα
ie
i= ¯
α
id
i のとき¯
α
i= a
j iα
j から¯
α
i1β
¯
i2u
¯
j1v
¯
j2f
¯
i1i2 j1j2= (a
k1 i1α
k1)(a
k2 i2β
k2)(b
j1 l1u
l1)(b
j 2 l2v
l2) ¯
f
i1i2 j1j2= α
k1β
k2u
l1v
l2f
k1k2 l1l2 したがって証明された. ここまでである程度の慣れが必要ですがテンソルの計算は自由にできると 思います.多重線型写像
f :
rz
}|
{
V
∗× · · · × V
∗×
sz
}|
{
V
× · · · × V −→ R
全体が作るベクトル空間をL(
rz
}|
{
V
∗,
· · · , V
∗,
sz }| {
V,
· · · , V ; R)
またはV
sr と表 し,このベクトル空間をr
階反変,s
階共変テンソル空間という. なお,f, g
∈ V
sr, k
∈ R
に対して(f + g)(v) = f (v) + g(v)
(kf )(v) = kf (v)
でf + g, kf
を定義すればV
sr がベクトル空間になることは容易に分かる. ベクトル空間V
sr= L(
rz
}|
{
V
∗,
· · · , V
∗,
sz }| {
V,
· · · , V ; R)
の基底や次元を調べよう. 一般の場合は文字が煩雑になるので,ここではr = 2, s = 2
すなわちV
22= L(V
∗, V
∗, V, V ;
R)
で考える.V
の基底として{ei}
をとり,さらに双対空間V
∗ の双対基底を{e
i}
と する. このときe
i⊗ e
j⊗ e
k⊗ e
l∈ V
22 である. なお,α = αi
e
i, β = βi
e
i, u = u
iei, v = v
iei,
のとき
e
i⊗ e
j⊗ e
k⊗ e
l(α, β, u, v) = α(e
i)β(e
j)e
k(u)e
l(v)
で定義し
= α
iβ
ju
kv
l次に,任意の
f
∈ V
22 がe
i⊗ ej
⊗ e
k⊗ e
l で表せることを示す.f (α, β, u, v)
= f (α
iei, βj
e
j, u
kek, v
lel
)
= f
klijα
iβ
ju
kv
l ただし,f (e
i, e
j.ek, el
) = f
klij とおいた.= f
klije
i⊗ ej
⊗ e
k⊗ e
l(α, β, u, v)
任意のα, β, u, v
で成り立つからf = f
klije
i⊗ ej
⊗ e
k⊗ e
l と表せる.すなわち,任意のf
∈ V
22 はn
4 個の{e
i⊗ e
j⊗ e
k⊗ e
l}
の1 次結合で表せる. 次にV
22 において,{e
i⊗ e
j⊗ e
k⊗ e
l}
が1次独立であることをしめそう.f
klije
i⊗ e
j⊗ e
k⊗ e
l= 0
とするとf
klij= f (e
i, e
j, e
k, e
l) = 0
であるから1次独立であることが分かる. すなわち{e
i⊗ e
j⊗ e
k⊗ e
l}
がベクトル空間V
22 の基底であり,次元はdim V
22= n
4 である. ここでいいたいことは,テンソルの普遍性よりL(V
∗, V
∗, V, V ) ∼
= V
⊗ V ⊗ V
∗⊗ V
∗· · · (])
を示すことが一般的である.しかしu
⊗ v ⊗ α ⊗ β(u, v ∈ V, α, β ∈ V
∗)
が生成するベクトル空間がV
⊗ V ⊗ V
∗⊗ V
∗ であるから普遍性を用いずと も(])
が理解できる. 一般の場合で説明したわけではないが,ベクトル空間V
sr においてはe
i1⊗ · · · e
ir⊗ e
j1⊗ . . . e
js が基底で,任意のf
∈ V
sr はf
i1...ir j1...jse
i1⊗ · · · ei
r⊗ e
j1⊗ . . . e
js と一意的に表せることがわかるであろう. またdim V
sr= n
r+s が成り立つ. ここでテンソル計算の公式をまとめておくのでご利用下さい.テンソル計算の公式
V
をベクトル空間,{e
i}, {f
i}
を基底,それぞれの双対基底を{e
i}, {f
i}
とする.fj
= a
ijei
のとき行列A
をA = (a
ij)
A
の逆行列B
をB = (b
ij)
とする.すなわち,行列A
の第i
行第j
成分がa
ij であり,つねに,上付 きの添字が行で下付の添字が列である. ベクトルやテンソルの成分のとき用いる添字は上付きが反変成分で下付が 共変成分で,基底を変えたとき反変成分はb
ij を用い共変成分はa
ij を用いて 変換する. すなわち次のようになる.• V
の要素(
反変ベクトル)
x
iei
= y
ifj
のときy
i= b
ijx
j• V
∗ の要素(
共変ベクトル)
x
ie
i= y
if
iのとき
y
i= a
j ix
j•
テンソル(2,2)
型のテンソルで説明する テンソルT
をV
の基底{e
i}, {f
i}
で表した成分がそれぞれT
klij, ¯
T
rspq の とき¯
T
rspq= b
pib
qja
kra
lsT
klij となる. なお,逆行列(b
ij)
を用いない 反変ベクトルはy
i= b
ijx
j のかわりにa
jiy
i= x
j を用い,テンソルは¯
T
rspq= b
pib
qja
kra
lsT
klij のかわりにa
ipa
jqT
¯
rspq= a
kra
lsT
klij を用いることも多い. これらが分かればテンソルは怖くありません,上付,下付の添字および和 に関するアインシュタインの規約が優れた内容であることが分かります.第3節 計量テンソル
今までの説明でテンソルが分かったでしょうか.まだ漠然としているかも しれません.ここで,計量テンソルやその逆行列で決まるテンソル,ベクト ル空間の線型変換を用いて再度テンソルの説明をします.ちなみに私は計量 テンソルをいじってテンソルの理解が深まりました.皆さんにも役に立つの ではないかと思います.ベクトル空間で定義された内積を
(u, v) = g(u, v) (u, v
∈ V )
と表せば,
g : V
× V −→ R, (u, v) 7→ g(u, v)
について
(1) g
は双線型写像.すなわちg
は2階共変テンソル.(2) g
は対称テンソル,すなわちg(u, v) = g(v, u),
∀u, v ∈ V
(3) g
は正値である.すなわち,g(u, u)
= 0, ∀u ∈ V
等号が成り立つのu = 0
に限る. の3条件を満たす. 言い方を変えれば,ベクトル空間に内積を与えるとは,2階正値共変対称 テンソルg
を1つ与えることであり,g
を(リーマン)計量テンソルという. これから,計量テンソルg
の性質を調べることでテンソルの持つ性質を学 びます. ベクトル空間V
の計量テンソルg
をV
の基底{e
1, . . . e
n}
および,その 双対基底{ω
1, . . . , ω
n}
を用いて表そう.g
は2階共変テンソルであるからg = gij
ω
i⊗ ω
j と表せる.ただしgij
= g(e
i.ej)
である.