テンソルの縮約

テンソルの縮約について説明する．これがテンソルを学ぶときの最後の関 門です．

テンソルの縮約は，V の要素 v と V^∗ の要素 α の定義より定まる演算 α(v)をテンソルの中に組み込んだものです．

V の基底を{e_i}^{，その双対基底を} {eⁱ}^とする．

v ∈ V, α ∈ V^∗ に対してα(v) を計算しよう．

v = vⁱe_i, α = α_ieⁱ のとき

α(v) = α_ieⁱ(v^je_j) = α_ivⁱ ちなみに最後の式は

Xn i=1

α_ivⁱ

のことです．

この関係式を見直しましょう．

v ∈ V, α ∈ V^∗ からテンソル積v ⊗αを作ると v ⊗α= vⁱα_je_i ⊗e^j

ここでf_jⁱ = vⁱαj とおく．

v ⊗α= f_jⁱe_i ⊗e^j

この式を用いて α(v) を表すと α(v) = vⁱα_i =

Xn i=1

v ⊗α(eⁱ, e_i)

すなわち，テンソルの中の反変ベクトルと共変ベクトルを定義にしたがっ て計算することは P

v ⊗α(eⁱ, ei)を示し，これが縮約です．

もう一つ例を挙げます．

u, v ∈ V, α, β ∈ V^∗ よりテンソル

u⊗v ⊗α⊗β ∈ V₂²

をつくり，uと αを計算して新しく得られる α(u)v ⊗β ∈ V₁¹

が縮約です．

成分を計算しましょう．

u = uⁱe_i, v =vⁱe_i, α = α_ieⁱ, β = β_ieⁱ のとき

u⊗v ⊗α⊗β =uⁱv^jα_kβ_le_i ⊗e_j ⊗e^k ⊗e^l =f_kl^ije_i ⊗e_j ⊗e^k ⊗e^l 一方

α(u)v ⊗β =uⁱα_iv^jβ_le_j ⊗e^l = f_il^ije_j ⊗e^l

この例は，縮約の２つのことを意味しています．

(2,2) 型のテンソルf_kl^ij ∈ T₂² に対して反変の１番の添字と共変の１番目の 添字を等しいとして和をとり新しい (1,1)型のテンソルf_il^ije_j⊗e^l をつくる．

もう一つの見方は

f ∈ V₂² より新しいg ∈ V₁¹ を g(α, v) = f(eⁱ, α, ei, v)

によって定義する．

この２つのことが同じであることが分かります．したがって，以下に定義 する２つの定義は同じことです

定義

V をベクトル空間，{e_i}^を基底，{eⁱ}をその双対基底とする．

p, q は1 5 p 5r,1 5 q 5 sを満たすとする．

(r,s)型テンソル f に対して(r-1,s-1) テンソルg を次のように定義する．

g(α¹, . . . α^r−1, v1, . . . vs−1)

= f(α¹, . . . , α_p−1, eⁱ.α_p, . . . , α^r−1, v₁, . . . , v_q−1, e_i, e_q, . . . , v_s−1)

この新しいテンソル g をテンソルf の p番目の反変添字と q 番目の共変 添字を縮約したテンソルと呼び新しいテンソルg を

g = contr_(p,q)(f) と表す．

さらに，テンソル f のi 番目の反変成分と p番目の共変成分，j 番目の反 変成分とと q 番目の共変成分を縮約するとき

contr_(ij,pq)(f) と表す.

ただ前後からどこを縮約したことが明らかなことが多く，さらに煩雑にな るので縮約の場所の (i, p) を省略する場合が多い．すなわち

g = contr(f)

と表すことが多い．

縮約をテンソルの成分を用いて定義すると次のようになる．

定義

ベクトル空間V の基底{e_i}^{による成分が} f_j^i1...ir

1...j_s である(r,s)型テンソル f に対して，p番目の反変成分と q番目の共変成分を等しいとして和をとっ て得られる (r-1,s-1) 型テンソル g すなわち

g_j^{i1...ip−1ip+1...ir}

1...j_q−1i_q+1...j_r = f_j^{i1...ip−1kip+1...ir}

1...j_q−1ki_q+1...j_r

で得られるテンソル g をテンソルf の p番目の反変成分と q 番目の共変 成分を縮約したテンソルと呼ぶ．新しいテンソルg を

g = contr_(p,q)(f) と表す．

テンソルの積をとりその後縮約をすることはよく行われる．

たとえばf を (2,2)型のテンソルとする．

u = uⁱei, v =vⁱei, α = αieⁱ, β = βieⁱ のとき

f(α, β, u, v) = f_kl^ijα_iβ_ju^kv^l

であるが，これは積をとって縮約したもの，すなわち, 積をとり (4,4) 型 のテンソル

f ⊗α⊗β ⊗u⊗v を作り

contr(1234,3412)f ⊗α⊗β ⊗u⊗v と縮約したものである．

最後に，ベクトル空間V の線型変換 f を考えよう．

線型変換 f : V −→ V

は(1,1) 型テンソルである．

すでに述べたが，

F : V^∗ ×V −→R を

F(α, v) = α(f(v)) で定義する．

V の基底を{e_i}^としてF の縮約を求めると contr(F) = F(eⁱ, ei) = eⁱf(ei) = f_iⁱ

この値は，行列で表せば対角成分の和になるわけであるが，線型変換f の この値は f の不変量である．すなわちこの値は座標の取り方によらない値