- 1 - 第 １ 学 年 数 学 科 学 習 指 導 案 日 時 平成２８年◯月◯日（◯）第◯校時 対 象 第１学年◯組 習熟度別展開 標準クラス◯名 学校名 東京都立◯◯高等学校 会 場 教室 １ 単元名 第３章 図形と計量 第２節 三角形への応用 「数学Ⅰ」 教科書 新編数学Ⅰ(数研出版) 副教材 Study-Up、チャート式 基礎と演習 数学Ⅰ＋Ａ(数研出版) ２ 単元の指導目標 (1) 角の大きさなどを用いた計量に関心をもつとともに、それらの有用性を認識し、事象の考察 に活用しようとしている。 (2) 事象を三角比を用いて考察し表現したり、思考の過程を振り返ったりすることなどを通して、 角の大きさなどを用いて計量を行うための数学的な見方や考え方を身に付けている。 (3) 事象を三角比を用いて表現・処理する仕方や推論の方法などの技能を身に付けている。 (4) 直角三角形における三角比の意味、三角比を鈍角まで拡張する意義及び図形の計量の基本的 な性質を理解し、知識を身に付けている。 ３ 単元の評価規準 ア 関心・意欲・態度 イ 数学的な見方や考え方 ウ 数学的な技能 エ 知識・理解 ○ 三 角 形 の 辺 と 角 の 関 係 に つ い て 関 心 を も つ とともに、意欲的に取り 組もうとしている。 ○三角形の 辺と角 の関 係に ついて考察 するこ とが でき る。 ○ 正 弦 定 理 や 余 弦 定 理 を 用 い て 三 角 形 の 辺 の 長 さ や 角 の 大 き さ を 求 め る ことができる。 ○正弦定理や余 弦定理を用いる と三角形の辺や 角が求められる ことを理解して いる。
- 2 - ４ 指導観 (1) 単元観 高等学校学習指導要領解説 数学編 理数編 には、本単元に関する内容として、以下のよ うに記されている。 これまで、正弦定理や余弦定理を理解させ、基礎計算ができるよう指導してきた。本校の生 徒は、いつどのような定理や考え方を利用すると解答が得られるかを判断することが難しいと 感じている者が多い。特にこの単元では、正弦定理と余弦定理の使い分けがポイントとなる。 教え込みにせず、解く方針を生徒から引き出しながら授業を進める必要があると考える。 (２) 教材観 本時の内容は、前時までに学習した正弦定理と余弦定理を活用する。二つの定理をいつどの ように活用するかがポイントとなっている。また、別解があれば生徒から引き出しながら指導 をする必要がある。また、問題によっては、正弦定理・余弦定理を用いても求めることができ ない角の大きさや辺の長さもあることを必ず確認する。 そして、正弦定理や余弦定理などの活用場面として、平面図形や簡単な空間図形の計量を扱 う。その際、取り上げる場面などを工夫することによって、三角比や正弦定理、余弦定理など が、図形の計量の考察や処理に有用であることを認識させるようにする。 図形と計量については，中学校では，第３学年で「相似な図形の性質を具体的な場面で活 用すること。」，「三平方の定理を具体的な場面で活用すること。」などと示されており，直接 測定することが困難な木の高さ，地図上に表された標高差のある２地点間の距離などを求め ることを扱っている。 ここでは，まず，鋭角の場合について，正弦，余弦及び正接の意味を理解させる。また， 三角比の相互関係や三角比を鈍角まで拡張する意義を理解させる。さらに，三角形の辺と角 との間の基本的な関係として，正弦定理や余弦定理を理解させ，平面図形や空間図形の計量 などに活用できるようにする。生徒の実態等により，鋭角の場合について正弦定理や余弦定 理までを理解させ，その後，鈍角の三角比への拡張を扱うことも考えられる。 なお，今回の改訂で，相似な図形の面積比・体積比及び球の表面積・体積は中学校で扱わ れることになった。
- 3 - ５ 年間指導計画における位置付け 章 節 学習内容 時数 第１章 数と式 １節 式の計算 ２節 実数 ３節 １次不等式 ４節 集合と命題 数を実数まで拡張する意義や集合 と命題に関する基本的な概念を理解 できるようにする。また、式を多面 的 に 見 た り 処 理 し た り す る と と も に、１次不等式を事象の考察に活用 できるようにする。 ２５ 第２章 ２次関数 １節 ２次関数とグラフ ２節 ２次関数の値の変化 ３節 ２次方程式と２次不等式 ２次関数とそのグラフについて理 解し、２次関数を用いて数量の関係 や変化を表現することの有用性を認 識するとともに、それらを事象の考 察に活用できるようにする。 ３０ 第３章 図形と計量 １節 三角比 ２節 三角形への応用 三角比の意味やその基本的な性質 ついて理解し、三角比を用いた計量 の考えの有用性を認識するとともに それらを事象の考察に活用できるよ うにする。 ３５ 第４章 データの分析 データの分析 統計の基本的な考えを理解すると ともに、それらを用いてデータを整 理・分析し傾向を把握できるように する。 １５ ６ 単元の指導計画と評価計画 時数 ねらい 学習内容・学習活動 評価規準(評価方法) 1 正 弦 定 理 を 理 解 し、それを用いて 問 題 を 解 く こ と ができる。 正弦定理を利用して三 角形の辺の長さや角の 大きさや外接円の半径 の長さを求める。 ・ウ－① 正弦定理を用いて問題を解くこ とができる。（机間指導時の観察） ・エ－① 正弦定理を用いると三角形の辺 の長さと角の大きさや外接円の半径の長さ が求められることを理解している。（机間指 導時の観察） 2 余 弦 定 理 を 理 解 し、それを用いる 問 題 に 意 欲 的 に 取 り 組 も う と し ている。 余弦定理を利用して三 角形の辺の長さや角の 大きさを求める。 ・ア－① 三角形の３辺の長さと一つの角 の大きさの関係について理解しようと意欲 的に取り組もうとしている。（机間指導時の 観察） ・エ－② 余弦定理を用いると三角形の辺 の長さと角の大きさが求められることを理 解している。（机間指導時の観察） 3 余弦定理を用いて 問 題 を 解 く こ と 余弦定理を利用して三 角形の辺の長さや角の ・ウ－② 余弦定理を用いて問題を解くこ とができる。（机間指導時の観察・小テスト）
- 4 - ができる。 大きさを求める。 4 (本時) 正弦定理と余弦定 理を活用すること ができる。 三角形の辺の長さと角 の大きさを求める。 ・ウ－③ 正弦定理と余弦定理を使い分け て問題を解くことができる。（机間指導時の 観察・ﾜｰｸｼｰﾄ） 5 正弦定理と余弦定 理を活用しようと し、応用問題を解 くことができる、 正弦定理と余弦定理を 活用した応用問題を解 く。 ・ウ－④ 正弦定理と余弦定理を使い分け て応用問題を解くことができる。（机間指導 時の観察・小テスト） 6 三角形の面積を三 角比の値を用いて 解 く こ と が で き る。 三角比の値を用いて三 角形の面積を求める。 ・ア－② 三角形の面積と３辺の長さと一 つの角の大きさの関係について理解しよう と意欲的に取り組もうとしている。（机間指 導時の観察） ・ウ－⑤ 三角形の面積に関する問題を解 くことができる。（机間指導時の観察・小テ スト） 7 空間図形に関する 問題へ三角比を活 用することができ る。 空間図形に関する問題 に三角比を活用する。 ・イ－① 空間における三角形の辺と角の 関係について考察することができる。 ・ウ－⑥ 空間図形に含まれる三角形に着 目して、２点間の距離などを求めることが できる。（机間指導時の観察・小テスト） 8･9･10 本単元のまとめを 行い、学習内容の 理解を深める。 教科書の補充・章末問 題に取り組む。 ・ウ－⑦ これまで学んだことを活用して 更に発展的な問題を解くことができる。（机 間指導時の観察・ﾜｰｸｼｰﾄ） ７ 指導に当たって (1) 授業形態の工夫 ・前後左右の人同士で学び合いが行われるよう、座席の配置を工夫する。 (2) 指導方法の工夫 ・練習問題は、スモールステップできるように工夫し、提示する。 ・ワークシートを回収することで、授業後に、数学的に正しく記述しているかを確認し、評 価する。 (3) 学び合いの工夫 学び合いは「他者の解答における数学的な表現から自身の解答の再構築」を目的とすること を、１月のはじめの授業でガイダンスとして実施する。 以下は、ルールである。 ・決められた時間内で行う。 ・前後左右の人同士で考え方を共有する。 ・他の話はしない。 ・タイマーが鳴ったらすぐに学び合いをやめる。
- 5 - ８ 本時の展開（全１０時間中の第４時間目） (1) 本時の目標 正弦定理と余弦定理を活用して、三角形の辺の長さと角の大きさを求めることができる。 (2) 本時の展開 ＜予想される生徒の反応＞A「十分満足」、Ｂ「おおむね満足」、Ｃ「満足でない」 時 間 学習内容・学習活動 ○教員 ●生徒 指導上の留意点 評価規準（評価方法） 導 入 10 分 展 開 ① 25 分 ・挨拶、出欠確認 ○小テストを配布する。（３分間で実施） 終了後すぐに解答を示す。 ●赤ペンで採点・解き直しをする。 ○小テストを回収する。 ○生徒にプリントを配布する。 ○本時の目標を提示する。 ●例題に一人で取り組む。（４分間） ＜予想される生徒の反応＞ A：一人で解くことができる。 B：ホワイトボード（小テストの解答） を見ながら解くことができる。 C：解くことができない。 ○質問しながら解説を進める。 「 𝑏、𝐴、𝐶のどこから、どのように求めま したか？」 ＜予想される生徒の解答手順＞ ① 𝑏（余弦定理）→𝐴（余弦定理）→𝐶 ② 𝑏（余弦定理）→𝐴（正弦定理）→𝐶 ・あらかじめホワイトボードに解答 を板書し、小テスト終了後生徒に示 し、本時中掲示する。（この後の展 開でも確認するため。） ・タイマーを利用し、実施する。机 間指導をし、学習状況を確認する。 ＜生徒の反応に応じた手だて＞ A：C の生徒に教えるよう指示す る。 B：周りの人と答えを確認するよ う指示する。 C：A の生徒に教えてもらいなが ら解決する、または、ホワイ トボード（小テストの解答） を見るよう指示する。 ・机間指導の際に、指名する生徒を 選定する。（別の方法で解答してい る生徒を確認しておく。） ・生徒が発表するときは、数学的な 用語を正しく使 えてい るかまで確 認をする。（論理的な表現力を育む 活動の充実） 三角形の辺の長さと角の大きさを求めることができる。
- 6 - 展 開 ② ８ 分 ま と め ７ 分 ○ 𝐶 は、 𝐴を求めてからでないと求められ ないことを確認する。 ●学び合いをする。（２分間） ●練習問題(1)(2)に取り組む。（６分間） ＜予想される生徒の反応＞ A：一人で解くことができる。 B：例題およびホワイトボード（小テス トの解答）を見ながら解くことがで きる。 C：解くことができない。 ○解説をする。 ●問題(1)に取り組む。（４分間） ＜予想される生徒の反応＞ A：一人で解くことができる。 B：Ａの人に聞くことで解くことができ る。 C：解くことができない。 ○解説をする。 ○問題(2)(3)は、次回の授業でプリントを 返却し、その後の宿題とすることを伝え る。 ●ワークシートの本時の振り返りに取り 組む。（５分間） ○ワークシートを回収する。 ・挨拶 ・学び合いでは、解説を聞いて、周 囲の人と改めて 内容を 確認するよ う指示する。また、他者の数学的な 表現から自身の 解答を 再構築する よう指示する。 ・練習問題(3)は(1)(2)が解けた人へ のﾁｬﾚﾝｼﾞ問題であることを伝える。 ＜生徒の反応に応じた手だて＞ A：(3)を解くよう指示する。 B：周りの人と答えを確認するよ う指示する。 C：例題を見るよう指示する。 ・(1)のみ解答を板書し解説する。(2) は答えのみ口頭で伝える。(2)(3)に ついては、ﾜｰｸｼｰﾄ回収後に途中式等 まで確認する。 ・２分を過ぎてからは、周りの人と 相談してよいことを伝える。 ＜生徒の反応に応じた手だて＞ A：周りの生徒に教えるよう指示 する。 B：C の生徒に教えるよう指示す る。 C：周りの生徒に教えてもらいな がら解決するよう指示する。 ・これは発展問題であるため、生徒 が解答できていない場合は、ある程 度誘導しながら解説を行う。 ・時間があれば、授業のまとめとし て、再度、問題に取り組ませる。そ の場合の答え合 わせは 解答のみ板 書する。また、プリントの下にある 感想等も書くよう指示する。 ウ － ③ 正 弦 定 理 と 余 弦 定 理 を 使 い 分 け て 問 題 を 解 く こ と が で きる。（机 間 指 導 時 の 観 察 ・ ﾜｰｸｼｰﾄ）
- 7 - (3) 板書計画 ホワイトボード（小テストの解答） 板書１ 板書２ 板書３ ☆三角形の辺の長さと角の大きさを 求めることができる。 解答 𝑎 cos 𝐵 = 𝑏 cos 𝐶 例 ☆三角形の辺の長さと角の大きさを 求めることができる。 A B C 2 3 + 1 60° 解答 練(1) ☆三角形の辺の長さと角の大きさを 求めることができる。 A B C 6 45° 解答 問(1) ポイント：余弦定理 ３辺の長さと一つの角の大きさ (1) (2) 解答 3 − 1 解答
