問題解決過程における教師の支援に関する
実証的研究：算数の授業観察を通して
影山理奈
vol.9, no.5
Feb. 2007
鳥取大学
数学教育学研究室
鳥 取 大 学 数 学 教 育 研 究
Tottori Journal for Research in Mathematics Education
ISSN 1881−6134
問題解決過程
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B02K1264Z 影山理奈 Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ 論文論文論文の論文ののの構成構成構成構成 １． 本研究の目的と方法 ４．自力解決の場面における教師の支援について 1.1 本研究の動機 4.1 授業観察記録②③ 1.2 本研究の目的と方法 4.2 教師の支援と子どもの数学的活動について 1.3 研究課題の設定 4.3 関連図による教師の支援の分析 ２． 研究課題の検討 ５．練り上げの場面における教師の支援について 2.1 学習が成立する授業とは 5.1 授業観察記録④⑤ 2.2 数学的問題解決過程の分析について 5.2 教師の支援と子どもの数学的活動について 2.3 個人差に応じた指導について 5.3 関連図による教師の支援の分析 2.4 子どもの問題解決活動の類型化と予測について ３．問題提示と把握の場面における教師の支援について 3.1 授業観察記録① 3.2 教師の支援と子どもの数学的活動について 3.2.1 支援と数学的活動の流れ 3.2.2 支援と数学的活動の関連図 3.3 関連図による教師の支援の分析 Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ 本研究 本研究本研究の本研究ののの目的目的と目的目的とと方法と方法方法方法 (1) (1)(1) (1)本研究本研究の本研究本研究ののの動機動機動機動機 (2) (2)(2) (2)本研究本研究の本研究本研究ののの目的目的と目的目的ととと方法方法方法方法 溝口達也氏は、著書「問題解決と評価：算数・数学教育論」の中で、「学習が成立する授業 とは」、「数学的問題解決過程の分析について」、「個人差に応じた指導について」、「子どもの問題 解決活動の類型化と予測について」などを論じている。この著書を読み進めていくうちに、教師 の支援について課題が出てきた。 本研究の目的は、教師の支援についてどのような目的のもとに、どのような支援が施される のかを追求するものである。そのために、まず文献研究により教師の支援の役割、算数的活動と の関わり等について検討を行った。また、問題解決過程と教師の支援についても検討を行ってき た。 次に、実際の授業観察においては、教師の支援を洗い出し、分類整理することを通して、教 師の支援の機能と役割を考察するものである。 (3) (3)(3) (3)研究研究課題研究研究課題課題課題のののの設定設定設定設定 Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ 研究課題研究課題研究課題の研究課題ののの検討検討検討 検討
Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ 問題提示問題提示問題提示と問題提示ととと把握把握把握の把握ののの場面場面における場面場面におけるにおける教師における教師教師教師のの支援のの支援支援について支援についてについてについて この章においては、「授業全般における教師の支援はいかになされるか」の視点を中心に観 察した授業をもとに、問題提示と把握の場面において展開される教師の支援と子どもの数学的活 動との関係について、その流れと関連図を以下に示す。 【教師の支援と子どもの数学的活動の流れ】 T0→T1→C1→T2→T3→C2→T4→T5→考え方①②③→T1’ T2’ T3’ T6→C3(考え方④)→C4(考え方①)→T7→T8→C5→T9→T10→C6→T11→C7 T0：「鳥取市 201740 人 765km2 米子市 149580 人 132km2 鳥取市と米子市について、それぞれ人口と面積がわかっているね。」 T1：「これらの数量から何がわかるかな。」 C1：「人口密度」 T2：「そうだね。」 T3：「それじゃ人口密度ってなんだろう。」 C2：「1km2あたり、何人住んでいるのか。」 T4：「そう。」 T5：「2 つの数量をよりわかりやすくとらえよう。」 T1’：「2 つの都市の面積比が 8:1 になるように概数になおしているね。」 T2’：「2 つの都市の面積比が 5:1 になるように概数になおしているね。」 T3’：「それぞれの都市について人口と面積が対比しやすいように概数になおしているね。」 T6：「じゃ人口密度を求めてみよう。」 C3：「201740÷765＝263.7124 149580÷132＝1133.1818」 C4：「 人口 面積 人口密度 鳥取市 200000 800 250 米子市 150000 100 1500」 T7：「鳥取市と米子市で、1km2あたりの人口がどちらが多いかを比べる場合は、与えられた数 量で計算しなくても、C4のように見積もりで計算してもよいね。」 T8：「C3の「201740÷765＝263.7124」で、1 km2に 264 人ってどういうことかな。」 C5：「1 km2に 264 人いて、何 km2でも 264 人いる。」 T9：「そう。縦、横 1km で面積 1 km2の正方形に 264 人いて、何 km2の面積でもその状態が続い ていることだね。」 T10：「鳥取県の面積が 3507km2。鳥取市の人口密度をもとに、鳥取県の人口を推測すると、
どうなるかな。同様に、米子市の人口密度をもとに、鳥取県の人口を推測すると、どう なるかな。」 C6：「（鳥取市の人口密度をもとに計算）264×3507＝925848 （米子市の人口密度をもとに計算）1133×3507＝3973431」 T11：「鳥取市と米子市をそれぞれもとにした、鳥取県の人口には大きく違いがあるね。 どうしてだろう。」 C7：「鳥取市は面積が大きいけれど、湖山池や田んぼや畑などの人が住んでいない面積がある ので、1km2あたりの人口が少ないけれど、それに比べて米子市は 1km2あたりの人口が 多いので、大きく違いが出る。」 【教師の支援と子どもの数学的活動の関連図】 ＜問題の把握の場面＞ ＜未知の数量の把握の場面＞ 教師の支援 子どもの数学的活動の流れ 考え方の説明 同じもの 必要と思われる子どもの数学的活動の流れ 必要と思われる教師の支援 問題の把握の支援 子どもの数学的活動を促す支援 新たな問題の提示の支援 数学的活動に対する意味づけの支援 子どもの数学的見方・考え方を引き出す支援 子どもの反応 図‐1 問題提示と把握の場面における数学的活動と支援の関係 与えられた数量をその まま用いて計算する T6 考え方① 考え方④ 与 え ら れ た 数 量 を 概 数にして計算する T10 新たな問題の解決へ 考え方① 考え方② 考え方③ T0 T1 T5 20 万人 800 km2 15 万人 100 km2 20 万人 800 km2 15 万人 150 km2 20 万人 750 km2 15 万人 150 km2 C1 T1’ T2’ T3’ T5 T T T T T C T
Ⅴ Ⅴ Ⅴ Ⅴ 自力解決自力解決自力解決の自力解決ののの場面場面場面における場面における教師におけるにおける教師教師の教師ののの支援支援支援支援についてについてについて について この章においては、「自力解決の場面における教師の支援はいかになされるか」の視点を中心 に観察した授業をもとに、教師の支援と子どもの数学的活動について考える。自力解決の場面に おいて展開される教師の支援と子どもの数学的活動との関係について、その流れと関連図を以下 に示す。 【教師の支援と子どもの数学的活動の流れ】 T0→T1→C1→T2→C2→T3→C3→T4→C4→T5→C5→T6→C6-1(考え方①)→T7→C6-2→C7-1(考え方②)→T8→ C7-2→T9→C7-3→T10→T7-4→T11→C7-5→T12→C8-1(考え方③)→T13→C8-2→T14 T0：「長さ 60m の電車が 240m のトンネル A を通過するのに 15 秒かかりました。 同じ電車が、別のトンネル B を通過するのに 1,5 分かかりました。 トンネル B の長さは何 m でしょう。」 T1：「同じ電車ってことはどういうことかな。」 C1：「長さが同じ。」 T2：「他にはないかな。」 C2：「速さが同じ。」 T3：「トンネル B はトンネル A と比べて、およそどうかな。」 C3：「長い。」 T4：「それはどうしてかな。」 C4：「同じ電車で、トンネル A は 15 秒かかるけど、トンネル B は 1,5 分で長いから。」 T5：「トンネルを通過するってどういうことかな。」 C5：「電車の先頭がトンネルに入ってから、電車の最後尾がトンネルを出ること。」 T6：「そうだね。」 C6-1：「電車の走る距離 240＋60＝300 300m 秒速 300÷15＝20 秒速 20m」 T7：「電車の秒速が出たんだね。トンネル B と電車の関係を式で表せないかな。」 C6-2：「1,5 分＝1 分 30 秒＝90 秒 1 秒間に 20ｍ→90 倍の 90 秒間 20×90＝1800 1800－60＝1740 1740m」 C7-1：「（トンネル A に関する下図をかく） 」 T8：「同じようにトンネル B の図を考えられないかな。」 C7-2：「（トンネル B に関する下図をかく） 」
T9：「この 2 つの図から、何がわかりそうかな。」 C7-3：「電車の走った距離と、かかった時間がわかっているから、電車の速さが出る。」 T10：「電車の速さを求めてみよう。」 C7-4：「240＋60＝300 300÷15＝20 (秒速)」 T11：「電車の秒速がわかったから、トンネル B の長さがでないかな。」 C7-5：「1.5 分＝90 秒 20×90＝1800 トンネルの長さ□m と電車の長さ 60m たしたものが 1800m だから、 □＋60＝1800 □＝1800－60 □＝1740」 T12：「別の方法ないかな。」 C8-1：「90÷15＝6 (240＋60)×6＝1800 1800－60＝1740 1740m」 T13：「90÷15＝6 は何を表しているかな。」 C8-2：「トンネル B を通過するのに 90 秒、トンネル A を通過するのに 15 秒かかっている。 15 秒を 1 と考えると、90 秒は 6 倍だから、トンネル B を通過する距離は、トンネル A を通過する距離の 6 倍になる。」 T14：「そうだね。」 【教師の支援と子どもの数学的活動の関連図】 教師の支援 子どもの数学的活動の流れ 考え方の説明 問題の把握の支援 子どもの数学的活動を促す支援 子どもの数学的見方・考え方を引き出す支援 子どもの反応 図‐2 自力解決過程における数学的活動と支援の関係 考え方① 考え方② 考え方③ トンネル A、B に 関する図をかく 90÷15＝6 トンネル A を通過する時間 (15 秒)の何倍が、トンネル B を通過する時間(90 秒)か出す 240＋60＝300 300÷15＝20 (秒速) 電車の秒速を出す 出てきた倍数関係をもとに、 トンネル B を通過した距離 を出し、トンネル B の長さ を出す T7 T10 T11 T12 電車の秒速とトンネル B を通過するのにかかった 時間(90 秒)をもとに、トン ネル B の長さを求める T T C T
Ⅵ Ⅵ Ⅵ Ⅵ 練練練り練りりり上上上上げのげのげのげの場面場面における場面場面におけるにおけるにおける教師教師教師の教師の支援のの支援支援支援についてについてについて について この章においては、「練り上げの場面における教師の支援はいかになされるか」の視点を中 心に観察した授業をもとに、教師の支援と子どもの数学的見方・考え方について考える。練り上 げの場面において展開される教師の支援と子どもの数学的活動との関係について、その流れと関 連図を以下に示す。 【教師の支援と子どもの数学的活動の流れ】 T0→C1(考え方①)→T1→C2-1(考え方①)→T2→C2-2→T3→T4→C3(考え方②)→C4(考え方②)→T5→T6 →C5(考え方③)→T7 T0：「A さんは 100m を 20 秒、B さんは 144m を 36 秒、C さんは 270m を 45 秒で走ります。これ と同じ調子で 3 分間走ったとすると、だれがどれだけ先を走っているといえるでしょう。」 C1：「A 180÷20＝9 100×9＝900 B 180÷36＝5 144×5＝720 C 180÷45＝4 270×4＝1080」 T1：「1 つの式にまとめられるかな。」 C2-1：「180÷20×100＝900」 T2：「180÷20 って何を表しているの。説明できるようにしましょう。」 C2-2：「3 分間つまり 180 秒間のなかに 20 秒が何個はいっているか。」 T3：「そうだね。時間が 9 倍になっているから、距離も 9 倍になるんだね。」 T4：「他に考えられないかな。」 C3：「A 100÷20＝5 B 144÷36＝4 C 270÷45＝6 これらの数値は、A、B、C それぞれが 1 秒間に走る距離。 3 分間は 180 秒だから、3 分間で走る A、B、C それぞれの距離は、 A 180×5＝900 B 180×4＝720 C 180×6＝1080」 T6：「それぞれが 1 秒間に走る距離の差から、3 人の走った距離の違いを説明できますか。」 C5：「A 100÷20＝5 B 144÷36＝4 C 270÷45＝6 1 秒間に走る A と B の差 1m A と C の差 1m B と C の差 2m 3 分間は 180 秒だから、A と B の距離の違いは、1×180＝180m A と C の距離の違いは、1×180＝180m B と C の距離の違いは、2×180＝360m」 T7：「走った距離を求めるわけではないから、C5のように 1 秒間に走る距離の差から求めるこ とができる。」
【教師の支援と子どもの数学的活動の関連図】 20 秒,36 秒,45 秒のそれぞれ 何倍が 3 分間(180 秒間)か出す 3 分間に走った距 離を出す 秒速を出す 秒速の差を出す 3 分間に走った距 離の差を出す 考え方① 考え方② 考え方③ T3 T4 T6 T7 T0 教師の支援 子どもの数学的活動の流れ 考え方の説明 子どもの数学的活動を促す支援 数学的活動に対する意味づけの支援 子どもの数学的見方・考え方を引き出す支援 図‐3 練り上げ過程における数学的活動と支援の関係 【まとめ】 関連図に表すことによって、問題提示と把握の場面、自力解決の場面、練り上げの場面がどう 展開されているのかが捉えやすくなるといえる。つまり、授業の展開が構造化されやすいので、 一方では、実際に施された教師の支援がその後、子どもの算数的活動を促しているか検討するこ とができ、他方では、よりよい教師の支援を考える上で、この関連図は役立つのではないか。 T T T
