PL
トポロジーの基礎
yamyamtopo
PLトポロジーとは、大雑把には、三角形分割できる空間である「多面体」と、多面体の間のしかるべく良い 性質をもった写像である「区分線型写像」の研究である。区分線型写像のことは「PL写像(Piecewise Linear map)」と呼ぶのが通例である。多面体とPL写像のなす圏における同型であるところの「PL同相」により、 多面体（ないし多面体とその部分多面体の組）を分類することが、PLトポロジーの目標であるということが できる。 可微分多様体を可微分同相により分類することを目標とする微分トポロジーの導入部分については、大学数 学科のカリキュラムでも「多様体論」として取り入れられ、比較的、学ぶための環境が整っている。PLトポ ロジーにおいても、PL多様体の概念が定義され、とくに高次元多様体のPL構造の存在問題・分類問題で極 めて実り多い結果が得られた1960年代はトポロジーの黄金期とも呼ばれた。 しかし、そのような重要な位置を占めるPLトポロジーを学ぶためのハードルは決して低くない。PLトポ ロジーにはいくつかの成書があるが、どの本についても、「図を描いてみれば明らかにそうなっている」こと については詳しく書かない傾向がある。たぶんどの筆者にも、「図を描いても決して明らかではない」ような 事実の証明に早く到達したいという気持ちがあったのだろう。 ただ、身近に専門家もおらず、定理の正しいことを納得しながら読みたいという読者にとっては、そのよう な本しかないことは辛いことかもしれない。本稿は、そのような事情を考えて、どの定理にもできるだけ詳細 な証明を与えることにした。そのため、かなりページ数は多くなってしまった。また、本稿は全体として、ま さにPLトポロジーの基礎であり、幾何的により興味深い内容を据えるための土台である。概要を手早く理解 したいという読者や、その先のトピックを知りたい読者は、Rourke-Sanderson [2]の最初の部分を合わせて読 まれることをおすすめする。目次
1 多面体とPL写像 4 1.0 凸集合とアフィン写像 . . . 4 1.1 多面体の定義と基本的な構成 . . . 5 1.2 PL写像 . . . 10 2 単体複体と単体写像 12 2.1 単体 . . . 12 2.2 胞体とその面. . . 15 2.3 錐と放射投影. . . 19 2.4 胞体複体とその細分 . . . 21 2.5 多面体と単体複体 . . . 24 2.6 PL写像と単体写像 . . . 26 2.7 多面体の貼り合わせと埋め込み . . . 28 3 PL多様体 32 3.1 PL多様体の定義. . . 32 3.2 リンクのPL不変性 . . . 33 3.3 単体のリンク. . . 35 3.4 独立な多面体のジョイン . . . 36 3.5 PL多様体の三角形分割 . . . 39 3.6 座標変換を用いた定義 . . . 40 付録A アフィン写像の特徴づけについて 44 付録B PL多様体の境界について 44 基本的には、どの節もそれまでの節を前提に書かれているが、次の2点は例外である。 • §3.1「PL多様体の定義」は、§1.2「PL写像」の直後に読むことができる。 • §2.7「多面体の貼り合わせと埋め込み」の内容は、§3.6「座標変換を用いた定義」のみで使われる。し たがって、§2.7は§3.6を読む直前まで後回しにしてもよい。基本的な記法
実数全体の集合をRで表し、I = [0, 1] ={t ∈ R | 0 ≦ t ≦ 1}とする。n≧ 1に対して、n次元Euclid空間
Rnはn個の直積R × · · · × Rとして定義される。また、In= [0, 1]n⊂ Rnとする。
後々の都合から、Rn上の距離を次のような「ℓ
∞距離」により定義する。まず、x = (x1, . . . , xn)∈ Rnの
ノルム∥x∥を∥x∥ = supi|xi|で定め、距離をd(x, y) =∥x − y∥で定める。a∈ Rnおよびε > 0に対して、 Nε(a) ={x ∈ Rn| d(x, a) ≦ ε} ˙ Nε(a) ={x ∈ Rn| d(x, a) = ε} とする。Nε(a)の定義式には<でなく≦が使われていることに注意する。さらに、P ⊂ Rnとするとき、 Nε(a, P ) ={x ∈ P | d(x, a) ≦ ε} = P ∩ Nε(a) ˙ Nε(a, P ) ={x ∈ P | d(x, a) = ε} = P ∩ ˙Nε(a) と定義する。 位相空間Xの部分集合Aに対して、AのX における閉包(closure)、内部(interior)をそれぞれ ClXA, IntXA で表す。また、AのXにおける境界(frontier) ClXA\ IntXAを FrXA で表す。なお、多様体M の内部の意味でのInt M との混乱を防ぐため、上記の記号をCl A, Int A, Fr Aのよ うに略すことはしない。
1
多面体と
PL
写像
1.0
凸集合とアフィン写像
PLトポロジーでは単体という凸図形の組み合わせとして図形を把握する。そのため凸集合やアフィン写像 の概念が常に使われるので、その基本的性質を整理しておく。 有限個の元x0, . . . , xk ∈ Rn(k ≧ 0)が与えられたとする。 ∑k i=0ti = 1を満たす実数t0, . . . , tk を用い て∑ki=0tixiと表される Rn の元をx0, . . . , xk のアフィン結合(affine combination) という。また、上
の条件「∑k i=0ti = 1」を「 ∑k i=0ti = 1かつti ≧ 0」に置き換えたものを、x0, . . . , xk の凸結合(convex combination)という。次の補題から分かるように、3個以上の元のアフィン結合や凸結合は、2個の元のア フィン結合や凸結合を反復したものになる。 補題 1.1. k ≧ 1 とし、x = ∑ki=0tixi を x0, . . . , xk ∈ Rn のアフィン結合とする。このとき、ある i∈ {0, . . . , k}に対して、x0, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xk のアフィン結合 ∑ j̸=isjxjおよびu∈ Rが存在して、 x = (1− u)xi+ u∑ j̸=i sjxj となる。「アフィン結合」をすべて「凸結合」に置き換えた場合、「u∈ R」を「u∈ I」に置き換えて、さらに 「あるi」を「任意のi」に置き換えても同様のことが成り立つ。 証明. k ≧ 1, ∑ki=0ti = 1であるから、ある iに対して、ti ̸= 1である。このとき、u = 1− ti, sj = tj/(1− ti) (j̸= i)とおけばよい。凸結合の場合もこれと同様であるが、ti= 1であることが許される。実際、 このときはtj = 0 (j̸= i)となるので、u = 0, sj= 1/k (j ̸= i)とおけばよい。 V ⊂ RnがRnのアフィン部分空間(affine subspace)であるとは、任意のx, y∈ V およびt∈ Rに対し て(1− t)x + ty ∈ V が成り立つことをいう。補題1.1によって、アフィン部分空間とはアフィン結合につい て閉じたRnの部分集合のことであると言ってもよい。また、空でないアフィン部分空間V は、線型部分空 間を平行移動したものにほかならない。したがって、その線型部分空間の次元として、V の次元を定義するこ とができ、それをdim V で表す。また、dim∅ = −1とする。 点 v0, . . . , vk ∈ Rn が ア フ ィ ン 独 立 (affinely independent) で あ る と は 、 ∑k i=0ti = 0 を 満 た す t0, . . . , tk ∈ R に対して ∑k i=0tivi = 0 ならばt0 = · · · = tk = 0となることをいう。これは、k個のベ クトルv1− v0, . . . , vk− v0が1次独立であることと同値である。したがって、アフィン部分空間V ⊂ Rnの 次元は、V が含むアフィン独立な元の最大個数から1を引いたものに等しい。 集合C⊂ Rnが凸(convex)であるとは、任意のx, y∈ Cとt∈ Iに対して(1− t)x + ty ∈ Cとなること をいう。補題1.1によって、凸集合とは凸結合について閉じたRnの部分集合のことであると言ってもよい。 凸集合C ⊂ Rm, D ⊂ Rn に対して、f : C → D がアフィン写像(affine map)であるとは、任意の x, x′∈ Cおよびt∈ Iに対してf ((1− t)x + tx′) = (1− t)f(x) + tf(x′)となることをいう。 命題1.2. 凸集合C⊂ Rm, D⊂ Rnと写像f : C → Dに対して、次は同値である。 (1) f はアフィン写像である。 (2) Cの元の任意の凸結合∑k i=0tixiに対して、f ( ∑k i=0tixi) = ∑k i=0tif (xi)である。 (3) Cの元のアフィン結合∑k i=0tixi に対して ∑k i=0tixi ∈ Cならば、f ( ∑k i=0tixi) = ∑k
i=0tif (xi)で
ある。
(4) ある線型写像f0:Rm→ Rnとy0∈ Rnが存在して、f (x) = f0(x) + y0(x∈ C)である。
この命題の証明については、付録A「アフィン写像の特徴づけについて」を参照のこと。
アフィン写像f : C→ Dが全単射であるとき、f : C → Dはアフィン同型(affine isomorphism)であ るという。このとき、f−1: D→ Cもアフィン写像である。
1.1
多面体の定義と基本的な構成
多面体はEuclid空間の部分集合で一定の局所構造をもつものとして定義されるが、それを述べるために、 まずジョインの概念を導入する。 定義1.3. A, B ⊂ Rnに対して、AとBのジョイン(join) ABを AB = A∪ B ∪ {(1 − t)a + tb | a ∈ A, b ∈ B, t ∈ I} で定義する。 上の定義で、A =∅のときはAB = Bであり、B =∅のときはAB = Aである。これらの例外を除けば、 AB ={(1 − t)a + tb | t ∈ I, a ∈ A, b ∈ B}である。 なお、A ={a}であるときにはABをaBとも書く。B ={b}のときのAbという表記についても同様で ある。a, b∈ Rnかつa̸= bのとき、abとはaとbを結ぶ線分のことである。ジョインについては、交換法 則AB = BAが成り立ち、和集合について分配的、つまりA(B∪ C) = AB ∪ ACである。また、補題1.1 から確かめられるように結合法則 (AB)C = A(BC)が成り立つから、3個以上の有限個の集合のジョイン A1A2· · · Ak を考えることができる。ジョインの演算について空集合∅は単位元の役割を果たす。 例1.4. 平面R2内でのジョインの例を考えよう。 (1) a = (0, 0)として、L = ({1} × I) ∪ (I × {1})とする。このとき、aL = I2である。 (2) さらに、D ={(x, y) ∈ I2| x + y ≧ 1}とする。このときも、aD = I2である。 上の例1.4(1)において、ジョインI2= aLの点は、aを除いて(1− t)a + tb (t ∈ I, b ∈ L)の形に一意的に 表される。しかし、(2)においてはジョインI2= aDのa以外の点を同様の形に表す方法は一般には一意的 ではない。 この(1)のような一意性をもつジョインは、PLトポロジーで非常に重要な役割をもつ。 定義 1.5. a ∈ Rn, B ⊂ Rn とする。ジョインaB がaを頂点としB を底とする錐(cone) であるとは、 a /∈ Bであって、かつ、任意のx∈ aB \ {a}に対してt∈ (0, 1]とb∈ B の組(t, b)が一意的に存在して、 x = (1− t)a + tb となることをいう。 上の条件が成り立つとき、簡単に「aBは錐である」という場合がある。これはあくまで簡略な表現である。 実際、例1.4から分かるように、aBという集合だけでなく、aとBが与えられないと錐になっているかは判 断できない。「aBは錐である」とは、集合aBの性質ではなく、点aと集合Bとの関係である。線分abに対して、abから端点を除いた集合ab\ {a, b}をその線分の内部(interior)といい、(ab)˚で表す。
(ab)˚の点をabの内点(interior point)という。
次の3つの命題は簡単に証明できる。 命題1.6. a∈ Rn, B⊂ Rn, a /∈ Bであるとき、次は同値である。 (1) aBは錐である。 (2) 任意の異なるb, b′ ∈ Bに対して、ab∩ ab′={a}である。 (3) 任意の異なるb, b′ ∈ Bに対して、(ab)˚∩ (ab′)˚=∅である。 (4) 任意のb∈ Bに対して、(ab)˚∩ B = ∅である。 命題1.7. aBが錐であるとき、次が成り立つ。 (1) 任意のB′⊂ Bに対して、aB′は錐である。
(2) 任意のB′, B′′⊂ Bに対して、a(B′∩ B′′) = aB′∩ aB′′, a(B′∪ B′′) = aB′∪ aB′′である。 命題1.8. a∈ Rn, (B
λ)λ∈ΛをRn の部分集合族とし、各λ∈ Λに対してaBλは錐であるとする。このとき、
任意のλ, µ∈ Λに対してaBλ∩ aBµ⊂ a(Bλ∩ Bµ)が成立するならば、a(∪λ∈ΛBλ)は錐である。 さて、錐の概念を用いて、多面体の定義を与えよう。 定義1.9. P ⊂ Rnが多面体(polyhedron)であるとは、任意のa∈ Aに対して、コンパクト集合L⊂ P が 存在して、N = aLが錐であり、かつaのPにおける近傍をなすことをいう。 上でのN をaのP における錐近傍、あるいはスター(star)という。コンパクト集合LはaのPにおけ るリンク(link)と呼ばれる。錐近傍はコンパクト集合となるので、多面体は局所コンパクトである。多面体 Pの部分集合Qがそれ自身多面体であるとき、QをP の部分多面体(subpolyhedron)であるという。 後に見るように、多面体は三角形分割をもつRnの部分集合と結果的に同じものになる（定理2.52）。しか し、PLトポロジーの研究対象が個別の三角形分割にはよらないものであるという点を強調する意味で、この 定義を採用した。 例 1.10. I = [0, 1] ⊂ Rは多面体である。一般に、Rの連結部分集合は、すべて多面体である。とくに、 R+={x ∈ R | x ≧ 0}は多面体である。 例1.11. Rnは多面体である。実際、a = (a1, . . . , an)∈ Rnとすると、N1(a) = a ˙N1(a) = ∏n i=1[ai−1, ai+1] はaのRnにおける錐近傍である。もちろん、任意のε > 0に対してNε(a) = a ˙Nε(a)は錐近傍である。 例1.12. (1) 円周{(x, y) ∈ R2| x2+ y2= 1}は多面体ではない。 (2) 開円板D ={(x, y) ∈ R2| x2+ y2< 1}は多面体であるが、D∪ {(1, 0)}は局所コンパクトではないか ら、多面体ではない。 多面体P におけるaの錐近傍N = aLにおいて、N \ Lは必ずしもP の開集合ではない。たとえば、 P ={(x, y) ∈ R2| xy = 0}という「十字」は多面体であり、a = (1, 0)∈ P に対してL ={−2, 2} × {0}は 錐近傍N = aLを与えるが、N\ L = (−2, 2) × {0} はP の開集合ではない。しかし、次の命題から、常に N\ Lが開集合となるように錐近傍aLを取り直すことができる。さらに、その錐近傍は距離についてのε閉 近傍の形に取れる。正確には、次のことが成り立つ。 命題1.13. P ⊂ Rnを多面体とし、a∈ P とする。このとき、N = N ε(a, P ), L = ˙Nε(a, P )とおけば、十分 小さいε > 0に対して次が成り立つ。 (1) N = aLとなり、これは錐であってaの錐近傍を与える。 (2) N\ LはPの開集合である。 証明. 平行移動により、a = 0であるとしてよい。P は多面体なので、0はP において錐近傍N0 = 0L0 をもち、L0 はコンパクトである。N0 は0 のP における近傍であるから、ε > 0を十分小さく取ると、 N = Nε(0, P )⊂ N0\ L0となる。L = ˙Nε(0, P )に対して、0Lは錐である（例1.11と命題1.7(1)を参照）。 また、N\ Lは明らかにPの開集合である。あとは、N = 0Lを証明すればよい。 x∈ Nとする。N ⊂ N0 = 0L0であるから、あるt∈ I, b ∈ L0に対してx = tbである。ε > 0の取り方 から、∥b∥ > εである。そこで、y = ε∥b∥−1bとおけば、y∈ 0b ⊂ 0L0= N0⊂ P かつ∥y∥ = εであるから、 y ∈ ˙Nε(0, P ) = Lである。さらに、xはy の定数倍であり、∥x∥ ≦ ε = ∥y∥ であるから、x∈ 0y ⊂ 0Lで ある。 逆に、x∈ 0Lとすると、あるy∈ Lとt∈ I に対してx = tyである。すると、y∈ L ⊂ N ⊂ N0であるか ら、あるb∈ L0, s∈ Iに対してy = sbである。よって、x = tsb∈ 0L0 = N0⊂ P である。一方、x∈ 0L により∥x∥ ≦ εも成り立つから、x∈ Nε(0, P ) = N である。 上の命題1.13は、錐近傍をいくらでも小さく取れることを含んでいる。また、条件(2)を満たすようにa
の錐近傍Nを取っておけば、U = N\ LはaのPにおける開近傍であり、P\ Lは互いに交わりのない開集 合U, P \ Nの和集合に表される。いわば、PはLによってaを含む側U とそうでない側P\ Nに「切り分 けられる」。 多面体の例を体系的に構成するには、次の命題が有効である。 命題 1.14. 錐の直積は錐となる。すなわち、Ci = aiBi ⊂ Rni(i = 1, 2) がそれぞれ錐であるとき、 a = (a1, a2)∈ Rn1+n2, B = (B1× C2)∪ (C1× B2)⊂ Rn1+n2 とおけばaBは錐であって、aB = C1× C2 が成り立つ。 この命題の証明のために記法を導入する。aBが錐でB̸= ∅のとき、 aB→={(1 − t)a + tb | t ≧ 0, b ∈ B} とする。命題1.6(4)から分かるように、aB→\ {a}の元は(1− t)a + tb, t > 0, b ∈ Bの形に一意的に表すこ とができる。 命題1.14の証明. 平行移動により、a = 0であるとしてよい。B1=∅またはB2=∅であるときは易しいの で、B1, B2̸= ∅ であるとする。写像 f : 0B1→× 0B2→→ R+
をf (t1b1, t2b2) = max{t1, t2} (ti ≧ 0, bi ∈ Bi)により定義すると、f−1(0) ={0}, f−1(1) = B, f−1(I) = C1× C2である。また、任意のx∈ 0B1→× 0B2→とα≧ 0に対して、αx∈ 0B1→× 0B2→であって、 f (αx) = αf (x) が成り立つ。 f の以上の性質を用いて、0B = C1 × C2 であることを示そう。まず、Ci = 0Bi ⊂ 0Bi→ により、 0B⊂ 0(C1× C2) = C1× C2 である。次に、C1× C2⊂ 0Bをみるため、x∈ C1× C2(⊂ 0B1→× 0B2→)と する。x = 0ならば、もちろんx∈ 0Bである。x̸= 0のときは、0 < f (x)≦ 1だから、α = f (x)−1とおく とf (αx) = αf (x) = 1であり、よってαx∈ Bであるから、α−1= f (x)∈ Iによりx = α−1(αx)∈ 0B で ある。以上により、0B = C1× C2である。 最後に、0Bが錐であることをみるため、命題1.6(4)の条件が確かめよう。この条件がもし成り立たなけれ ば、あるb∈ Bに対して(0b)◦∩ B ̸= ∅であるから、ある0 < t < 1に対してtb∈ Bである。しかし、この ときf (tb) = tf (b) = t· 1 = t < 1となるから、tb /∈ f−1(1) = Bとなり矛盾する。 Rnの部分集合族(A λ)λ∈Λが局所有限であるとは、任意のx∈ ∪ λ∈ΛAλに対して、xのR n における開近 傍U が存在してU∩ Aλ̸= ∅となるλが有限個に限ることをいう*1。 命題1.15. 多面体について、次のことが成り立つ。 (1) P が多面体であるとき、Pの任意の開集合は多面体である。 (2) P1, P2⊂ Rnが多面体であるとき、P1∩ P2は多面体である。 (3) P ⊂ Rn, Q⊂ Rmが多面体であるとき、P× Q ⊂ Rn+mは多面体である。 (4) (Pλ)λ∈ΛがRn内の多面体の局所有限な族であり、各λに対してPλはRnの閉集合であるとする。こ のとき、和集合P =∪λ∈ΛPλは多面体である。 (5) f :Rm→ Rnがアフィン写像、P ⊂ Rn が多面体であるとき、f−1(P )は多面体である。とくに、Rm のアフィン部分空間は多面体である。 命題1.15の証明. (1)命題1.13により、多面体の各点において、いくらでも小さい錐近傍を取れることから 分かる。 *1本稿での局所有限性の定義では、x∈ Rn\∪ λ∈ΛAλの場合に U∩ Aλ̸= ∅ となる λ が有限個となるような x の近傍 U の存在 は仮定していないので注意する。
(2) a∈ P1∩ P2とする。ε > 0を十分小さく取り、i = 1, 2に対してNε(a, Pi) = aLiがaのPiにおける錐
近傍をなすようにする。ただし、Li= ˙Nε(a, Pi)とする。さて、Nε(a) = a ˙Nε(a)は錐であり、L1, L2⊂ ˙Nε(a)
であるから、命題1.7により、a(L1∩ L2)は錐であってa(L1∩ L2) = aL1∩ aL2= Nε(a, P1)∩ Nε(a, P2) =
Nε(a, P1∩ P2)である。よって、aはP1∩ P2において錐近傍a(L1∩ L2)をもつ。 (3)これは命題1.14から分かる。 (4) a ∈ P =∪λ∈ΛPλとする。局所有限性により、a ∈ Pλ となるλは有限個しかないので、それらを λ1, . . . , λmとする。さらに、Pλがそれぞれ閉集合であることも考慮すると、Pλi(i = 1, . . . , m)に関して同 時に命題1.13の条件を満たすε > 0を十分小さく取り、λ /∈ {λ1, . . . , λm}ならばNε(a)∩ Pλ=∅となるよ うにできる。
P′ =∪mi=1Pλi とおく。このとき、Nε(a) = a ˙Nε(a)が錐であることと命題1.7により、a ˙Nε(a, P′)も錐で あって、さらに、 a ˙Nε(a, P′) = m ∪ i=1 a ˙Nε(a, Pλi) = m ∪ i=1 Nε(a, Pλi) = Nε(a, P ′) = N ε(a, P ) となる。よって、aはPにおいて錐近傍をもつ。 (5)RmやRnの自己アフィン同型を合成することで、fは f (x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xr, 0, . . . , 0)∈ Rn という形であるとしてよい。このとき、Rr=Rr× {0} ⊂ Rn とみなせばf−1(P ) = (P ∩ Rr)× Rm−rとな るので、(2), (3)と例1.11によりf−1(P )は多面体である。 上の命題を踏まえて、さらに多面体の基本的な例を挙げる。 例1.16. (1)例1.10と命題1.15(3)により、上半空間Rn +={(x1, . . . , xn)∈ Rn| xn≧ 0}は多面体である。 (2)同様に、直方体∏ni=1[ai, bi]⊂ Rnは多面体である。とくに、a = (a1, . . . , an)を中心とする立方体 Nr(a) = n ∏ i=1 [ai− r, ai+ r] は多面体である。上の式の右辺において、直積因子[ai−r, ai+ r]のうちのいくつかを{ai−r}または{ai+ r} に置き換えて得られる集合、および空集合を立方体Nr(a)の面(face)という。立方体の面は3n+ 1個あり、 それぞれ多面体である。また、2n個の点(a1± r, . . . , an± r)をそれぞれNr(a)の頂点(vertex)という。
(3) ˙Nr(a) ={x ∈ Rn| d(x, a) = r}は多面体である。実際、Nr˙ (a)はNr(a)の面の有限和として表すこと
ができるので、命題1.15(4)により多面体となる。 (4)命題1.13では、多面体Pの点aに対してε > 0を十分小さく取ると、L = ˙Nε(a, P )をリンクとする錐 近傍N = Nε(a, P ) = aLが得られることを示した。上の(2), (3)と命題1.15(2)により、ここでのL, Nは ともに多面体である。 注意 1.17. 命題1.13と例1.16(4)により、多面体P における点aにおける錐近傍N = aLは、いつでも次 のような条件を満たすように取れる。 • N \ LはPの開集合である。 • N, Lは多面体である。 さらに、そのような錐近傍をいくらでも小さく取ることができる。以下では、多面体の点の錐近傍は断りがな くても上の条件を満たすように取ることにする。 ここで錐の概念の一般化を述べておこう。
定義1.18. A, B⊂ Rnが独立(independent)*2であるとは、A∩ B = ∅であって、条件 a, a′∈ A, b, b′∈ B, (ab)˚∩ (a′b′)˚̸= ∅ =⇒ a = a′, b = b′ を満たすことをいう。 命題1.6(3)によれば、Aが1点aからなるとき、{a}, Bが独立であるとはaBが錐であることにほかなら ない。なお、定義により、A, Bの少なくとも一方が空集合であるとき、A, Bは独立である。 例1.19. (1)R3の部分集合 A = [−1, 1] × {0} × {0}, B = {0} × [−1, 1] × {1} は独立である。 (2)より一般的に、任意のS⊂ Rm, T ⊂ Rnに対して、Rm× Rn× Rの部分集合 A = S× {0} × {0}, B = {0} × T × {1} は独立である。 注意1.20. (1) A, B⊂ Rn（A∩ B = ∅とは仮定しない）が独立であることは、次の条件と同値であることが 簡単に確かめられる：任意のx∈ ABは、x = (1− t)a + tb, a ∈ A, b ∈ B, t ∈ Iの形に、次の意味で一意的 に表される。 x = (1−ti)ai+ tibi, ai∈ A, bi∈ B, ti∈ I (i = 1, 2)ならば、t1= t2が成り立つ。さらに、0 < t1< 1 であるときは、a1= a2, b1= b2である。 (2) A, Bが独立であり、A′ ⊂ A, B′⊂ Bであるならば、A′, B′も独立である。 (3) A, Bが独立であるとき、任意のA1, A2⊂ A, B1, B2⊂ Bに対して (A1B1)∩ (A2B2) = (A1∩ A2)(B1∩ B2) である。 (4) 錐についての命題1.8の自然な一般化として、次が成り立つ。Rn の部分集合族(A λ)λ∈Λ, (Bµ)µ∈M が与えられ、各λ, µに対して Aλ, Bµ は独立であると仮定する。もし、さらに、各λ1, λ2, µ1, µ2 に対して (Aλ1Bµ1)(Aλ2Bµ2) = (Aλ1∩ Aλ2)(Bµ1∩ Bµ2)であるならば、 ∪ λ∈ΛAλ, ∪ µ∈MBµは独立である。 さて、独立性について次のことが成り立つ。 補題1.21. A, B, C⊂ Rnに対して、A, Bが独立であり、AB, Cが独立であるならば、A, BCは独立である。 証明. A, B, Cのどれも空集合でないとしてよい。A∩ BC = ∅であることをまず確認しよう。仮定より、 A, B, Cはどの2つも交わらないから、もしA∩ BC ̸= ∅であったとすれば、a∈ A, b ∈ B, c ∈ C が存在し てaは線分bcの内点となる。すると、(ac)˚∩ (bc)˚= (ac)˚̸= ∅となり、AB, Cの独立性に反する。
次に、ai∈ A, zi∈ BC (i = 1, 2)に対して(a1z1)˚∩ (a2z2)˚̸= ∅であるとすると、ある0 < ti< 1 (i = 1, 2) に対して(1− t1)a1+ t1z1= (1− t2)a2+ t2z2である。このとき、a1= a2, z1= z2を示せばよい。 zi ∈ BC だから、si ∈ I とbi ∈ B, ci ∈ C が存在してzi = (1− si)bi+ sici(i = 1, 2)である。以上と tisi≦ ti< 1により、 (1− t1s1) ( 1− t1 1− t1s1 a1+ t1− t1s1 1− t1s1 b1 ) + t1s1c1 =(1− t2s2) ( 1− t2 1− t2s2 a2+ t2− t2s2 1− t2s2 b2 ) + t2s2c2 *2joinable という用語を使う文献も多い。
である。AB, Cは独立だから、注意1.20(1)より、t1s1= t2s2である。 もし、t1s1= t2s2= u > 0であれば、0 < u < 1であるから、ABとCの独立性から、c1= c2および 1− t1 1− ua1+ t1− u 1− ub1= 1− t2 1− ua2+ t2− u 1− ub2 が成り立つ。よって、今度はA, Bの独立性を使えば、1−t1 1−u = 1−t2
1−u からt1= t2を得て、s1= u/t1= u/t2= s2
が分かる。s1= s2< 1のときは、0 < 11−t−u1 < 1であるから、a1 = a2, b1 = b2であり、したがってz1= z2 である。また、s1= s2= 1のときは、上の式でb1, b2の係数が0となるので、t1= t2を考慮するとa1= a2 であり、z1= c1= c2= z2である。 次に、t1s1= t2s2 = 0であるとする。このときは、ti > 0 (i = 1, 2)によりs1= s2 = 0であり、よって zi= bi(i = 1, 2)および(1− t1)a1+ t1b1= (1− t2)a2+ t2b2が成り立つ。0 < ti< 1だから、A, Bの独立 性によりa1= a2, b1= b2である。したがって、z1= z2である。 命題1.22. P がコンパクト多面体であるとき、錐Q = aP は多面体である。 証明. P はコンパクトであるから、aのQにおける錐近傍としてはQ自身が取れる。そこで、x0∈ Q \ {a} とする。このとき、x0 = (1− t0)a + t0b0となるt0 ∈ (0, 1], b0 ∈ P が一意的に存在する。b0のP におけ る錐近傍N0 = b0L0を一つ取り固定し、N = aN0 ⊂ Qとする。U0= N0\ L0はP の開集合であるから、 U = aU0\ {a}はQの開集合である。さらに、x0∈ U ⊂ N であるから、Nはx0の近傍である。あとは、あ るコンパクト集合Lに対してNがx0Lの形の錐構造をもつことを示せばよい。 いま、L0,{b0}は独立であり、L0b0= N0,{a}は独立である。よって、補題1.21により、L0, b0aは独立であ る。ところで、b0aはx0を頂点とする錐の構造b0a = x0L1をもつ。実際、t0= 1のときは、L1={a}とおけ ばよく、0 < t0< 1のときは、L1={a, b0}とおけばよい。このとき、{x0}, L1は独立であり、x0L1= b0a, L0 は独立であるから、再び補題1.21により、L = L1L0とおくとき{x0}, Lは独立である。すなわち、x0Lは 錐である。しかも、x0L = x0L1L0= b0aL0= ab0L0= aN0= Nである。
1.2
PL
写像
多面体は後でみるように三角形分割をもち、単体複体の構造を与えることができる。この立場で見れば、PL 写像とは大雑把には、定義域の単体複体を適当に細分したとき各単体上アフィンとなるような写像である。た とえば、写像f : I→ I がPL写像であることは、f のグラフが折れ線であることにほかならない。 しかし、ここでも三角形分割によらない多面体の構造を重視し、PL写像を、局所的錐構造を保つ写像とし て定義する。 定義1.23. 多面体の間の写像f : P → Qが点a∈ P において区分線型(piecewise linear)である、あるい は略してPLであるとは、aの錐近傍N = aLが存在して、 f ((1− t)a + tx) = (1 − t)f(a) + tf(x) が任意のx∈ L, t ∈ Iに対して成立することをいう*3。任意のa∈ P に対してf がaにおいてPL写像であるとき、f : P → QはPL写像(piecewise linear map)であるという。
上の定義における錐近傍N 上でf は連続となるから、PL写像は連続である。
注意1.24. PL写像の基本的な例と性質を挙げよう。
(1) V ⊂ Rnをアフィン部分空間とするとき、アフィン写像f : V → RmはPL写像である。
*3「区分線型」の「線型 (linear)」という語は、アフィン写像の意味で用いられている。しかし、区分線型という語やその略である
(2) f : P → QがPL写像であり、P′⊂ P がPの部分多面体であるならば、f|P′: P′ → QもPL写像で ある。 (3) f : P1→ P2, g : P2→ P3がPL写像であるならば、g◦ f : P1→ P3はPL写像である。 PL写像のさらなる性質を示すためには、次の定理によるPL写像の特徴づけを使うのが便利である。 定理1.25. P ⊂ Rn, Q⊂ Rmを多面体とする。連続写像f : P → QがPL写像であるためには、グラフ Γf ={(x, y) ∈ Rn+m| x ∈ P, y = f(x)} が多面体であることが必要十分である。 証明.【必要性】f : P → QがPL写像であるとして、a = (a, f (a))¯ ∈ Γfとする。¯aのΓf における錐近傍を 構成しよう。aのPにおける錐近傍NP = aLPを、f ((1− t)a + tx) = (1 − t)f(a) + tf(x) (x ∈ LP, t∈ I) となるように取る。このとき、 NΓ= Γf∩ (NP× Rm) とおくと、NΓはa¯のΓfにおける近傍である。さらに、LΓ= Γf∩ (LP× Rm)とおくと、NΓ= ¯aLΓである こと、および、これが錐であることが容易に確かめられる。
【十分性】連続写像f : P → QのグラフΓf が多面体であるとし、a∈ P , ¯a = (a, f(a)) ∈ Γf とする。Γf
は多面体でありf は連続だから、ε > δ > 0が存在して、NP = Nδ(a, P ) = a ˙Nδ(a, P ), NQ = Nε(f (a), Q), NΓ= Nε(¯a, Γf)はそれぞれP, Q, Γf におけるa, f (a), ¯aの錐近傍を与え、f (NP)⊂ NQが成り立つ。よって、
Γf∩ (NP× Rm)⊂ NΓ (⋆)
である。さて、任意にx∈ ˙Nδ(a, P )とt∈ I を与える。f ((1− t)a + tx) = (1 − t)f(a) + tf(x)を示せばよ
い。(⋆)よりx = (x, f (x))¯ ∈ NΓであり、NΓは¯aを頂点とする錐だから、(1− t)¯a + t¯x ∈ NΓ⊂ Γfである が、これはまさに示すべきことを意味している。 注意1.26. 定理1.25において、fの連続性は本質的である。たとえば、Pを正方形の周N (0, 1)˙ ⊂ R2とし、 Q =R+ = [0,∞)とする。v0 = (−1, −1), v1 = (1,−1), v2 = (1, 1), v3 = (−1, 1)とし、n > 3 に対して vn= (−1, −1 + 2−(n−4))とおき、f (vn) = n∈ Q (n = 0, 1, 2, . . .)とする。各nに対して、f が線分vnvn+1 上でアフィンとなるようにf を拡張すると、v0において連続でない写像f : P → Qが得られる。このとき、 グラフΓf は多面体であるが、f は連続でないからPL写像でない。 次に挙げるPL写像の性質は、定理1.25と命題1.15を使えば簡単に証明できる。 命題1.27. PL写像に関して、次が成り立つ。 (1) f : P → Qが多面体の間の写像で、(Uλ)λ∈ΛがP の開被覆であるとき、各λ∈ Λに対してf|UλがPL 写像であるならば、fはPL写像である。 (2) f : P → Qが多面体の間の写像で、(Pλ)λ∈ΛがP の閉部分多面体の局所有限な族でP = ∪ λ∈ΛPλを 満たすものとする。このとき、各λ∈ Λに対してf|Pλ がPL写像であるならば、fはPL写像である。 (3) fi: Pi→ Qi(i = 1, 2)がPL写像であるならば、f1× f2: P1× P2→ Q1× Q2もPL写像である。 定義 1.28. f : P → Qを多面体の間の写像とする。f がPL写像かつ同相写像であるとき、fはPL同相写 像 (PL homeomorphism)であるという。PL同相写像f : P → Q が存在するとき、PとQはPL同相 (PL homeomorphic)であるという。 PL同相写像の定義に、逆がPL写像であることが含まれていないが、これは自動的に成り立つ。 命題1.29. f : P → QがPL同相写像であるとき、逆写像f−1: Q→ P はPL同相写像である。 証明. Γfが多面体ならばΓf−1も多面体となるから、この主張は定理1.25から従う。
つまり、PL同相写像は、多面体とPL写像のなす圏における同型射である。こうして、PLトポロジーは多 面体をPL同相で分類する分野であると、一応定義づけることができる。 注意1.30. (1)全単射PL写像は、必ずしもPL同相写像ではないので注意が必要である。例えば、注意1.26 の写像f : P → Qは全単射であり、g = f−1: Q→ P は全単射PL写像である。しかし、fは連続でなかっ たから、gはPL同相写像でない。 (2) さらに、多面体の単射PL写像による像が多面体であるとも限らない。簡単な例としては、P = {0, 1, 2, . . .}, Q = R, f(0) = 0, f(n) = 1/n (n ≧ 1)で定義されるf : P → Qを挙げることができる。 上の注意を踏まえて、PL埋め込みの概念を次のように定義する。 定義1.31. 多面体の間の単射PL写像f : P → QがPL埋め込み(PL embedding)であるとは、f (P )が Qの部分多面体であって、f : P → f(P )がPL同相写像となることをいう。 最後に、PL写像の錐の概念について述べる。f : P → Qをコンパクト多面体の間の写像とする。aP, bQが それぞれ錐であるとき、f 上の錐f : aPˆ → bQをf ((1ˆ − t)a + tx) = (1 − t)b + tf(x) (x ∈ P, t ∈ I)により 定義する。 命題 1.32. f : P → Qがコンパクト多面体の間のPL写像であるとき、錐f : aPˆ → bQもPL写像である。 さらに、f がPL同相写像であるならば、fˆはPL同相写像となる。 証明. f : P → Qをコンパクト多面体の間のPL写像とする。命題1.22により、aP, bQはコンパクト多面体 である。aP ⊂ Rn, bQ⊂ Rmであるとすると、グラフΓf ⊂ Rn+mは定理1.25によりコンパクト多面体で
ある。さらに、¯a = (a, b)∈ Rn+mとすると、¯aΓf は錐であり、¯aΓf = Γfˆであることが容易に確かめられる。
よって、命題1.22によりΓfˆは多面体である。fˆは連続写像だから、定理1.25によりfˆはPL写像である。 もし、fがPL同相写像であれば、PL写像f−1: Q→ Pにも同じ議論が使え、その錐はPL写像となるので、 ˆ f はPL同相写像である。
2
単体複体と単体写像
いままで多面体を錐構造をもとに内在的に扱ってきたが、実際には多面体を単体分割して、単体複体として 扱うのが便利である（定理2.52参照）。また、PL写像も、少なくとも定義域がコンパクトであるときは、単 体複体を適当に細分することで単体写像と見ることができる（系2.62参照）。以下で、その詳細を見ていくこ とにする。2.1
単体
m≧ 0とする。点v0, . . . , vm∈ Rnがアフィン独立であるとは、 ∑m i=0ti= 0を満たすt0, . . . , tm∈ Rに 対して∑m i=0tivi = 0ならばt0 =· · · = tm = 0となることをいうのであった。これは、m個のベクトル v1− v0, . . . , vm− v0が1次独立であることと同値である。 補題2.1. v0, . . . , vm∈ Rnに対して、次は同値である。 (1) v0, . . . , vmはアフィン独立である。 (2) ジョインv0v1· · · vm の任意の点 xは、v0, . . . , vm の凸結合として一意的に表される。すなわち、 x =∑mi=0tivi,∑mi=0ti= 1, ti≧ 0を満たす(t0, . . . , tk)が一意的に存在する。証明. (1) =⇒ (2): (1)が成り立つとする。xがv0, . . . , vk の凸結合で表されることは、mに関する帰納法で
示される。もし、x =∑mi=0tivi=∑mi=0t′ivi, と凸結合で2通りに表されたとすると、∑i=0(ti− t′i)vi= 0, ∑m
(2) =⇒ (1): (2)が成り立つとして、∑k i=0tivi = 0, t0, . . . , tk≧ 0, ∑k i=0ti= 0とする。ε > 0を十分小さ く取り、ε· maxi|ti| < (k + 1)−1となるようにする。このとき、 m ∑ i=0 (m + 1)−1vi= m ∑ i=0 ((m + 1)−1+ εti)vi∈ v0v1· · · vm となるので、(2)により(m + 1)−1= (m + 1)−1+ εti(i = 0, . . . , m)となる。よって、t0=· · · = tk = 0で ある。 v0, . . . , vm∈ Rnがアフィン独立であるとき、ジョインσ = v0v1· · · vmをm単体(m-simplex)といい、 点v0, . . . , vmは単体σの頂点(vertex)であるという。このとき、v0, . . . , vm（あるいは集合{v0, . . . , vm}）
はσを張る(span)という。m単体σに対してdim σ = mと定義し、mを単体σの次元(dimension)と いう。補題2.1で見たように、単体σの任意の点xはv0, . . . , vmの凸結合として一意的に表される。このと きのt0, . . . , tmを点xの重心座標(barycentric coordinates)という。 空集合∅は−1単体であると定義する。このとき、各m≧ 0に対してm単体は(m− 1)単体を底とする錐 であるから、命題1.22から帰納法により、すべての単体は多面体であることが分かる。さらに、次のことも 補題2.1から直ちに確かめられる。 命題 2.2. (1) σ がv0, . . . , vk を頂点とするk単体、f : σ → Rn が単射アフィン写像のとき、像f (σ)は f (v0), . . . , f (vk)を頂点とするk単体である。 (2) σがv0, . . . , vmを頂点とするm単体のとき、錐vσはv, v0, . . . , vmを頂点とする(m + 1)単体であ る。 単体σの頂点全体の集合をV (σ)で表す。すなわち、m単体σ = v0· · · vmに対して、 V (σ) ={v0, . . . , vm} と定義する。容易に証明される次の命題から、集合V (σ)や次元dim σがσのみから定まっていることが分 かる。 命題2.3. v0, . . . , vmを頂点とするm単体σの点x∈ σに対して、x∈ {v0, . . . , vm}であるためにはσ\ {x} が凸であることが必要十分である*4。 σが単体であるとき、各部分集合T ⊂ V (σ)に対してTはある単体τを張るが、このようにして得られる 単体τをσの面(face) といい、τ ≦ σと書く。ここで、T =∅のときにはτ =∅であるとする。したがっ て、−1単体∅は任意の単体の面である。τ ≦ σかつτ̸= σであるとき、τはσの真の面(proper face)で あるといい、τ < σと書く。各v∈ V (σ)に対して、{v}はσの0次元の面である。 m単体σ = v0· · · vm⊂ Rnの真の面すべての和集合をσの境界(boundary)といい、˙σで表す。また、 ˚σ = σ\ ˙σと定義し、˚σをσの内部(interior)という。m≧ 0のとき、σの点σ = (m + 1)ˆ −1∑mi=0viをσ の重心(barycenter)という。重心σˆは内部˚σの点であるから、m≧ 0のとき˚σ̸= ∅である。 σ を 含 む Rn の 最 小 の ア フ ィ ン 部 分 空 間 を ⟨σ⟩ で 表 す 。⟨σ⟩ は v 0, . . . , vm の ア フ ィ ン 結 合 ∑m i=0tivi( ∑m i=0ti = 1) の 全 体 で あ り 、⟨σ⟩ の 点 を こ の よ う な ア フ ィ ン 結 合 に 表 す 方 法 は 一 意 的 で ある。 命題2.4. 単体σに対して、˙σ, ˚σはそれぞれ⟨σ⟩におけるσの境界Fr⟨σ⟩σ, 内部Int⟨σ⟩σに等しい。 証明. σがm + 1個の点e0= (0, . . . , 0), e1= (1, 0, . . . , 0), . . . , em= (0, . . . , 0, 1)で張られるRm内のm単 体である場合に示せば十分であり、その場合は直接の計算で証明される。 *4この命題から、v0, . . . , vmを頂点とする m 単体 σ に対して、σ = w0. . . wmと表されたならば{w0, . . . , wm} = {v0, . . . , vm} でなければならない。（実際、vi∈ {w/ 0, . . . , wm} とすると σ \ {vi} の凸性から vi∈ w/ 0· · · wm= σ となり矛盾する。）このこ とを根拠に、「v0, . . . , vmを頂点とする m 単体 σ」と書く代わりに「m 単体 σ = v0· · · vm」と書くことがある。
命題2.5. コンパクト多面体は、有限個の単体の和集合として表される。
証明. P をRm 内のコンパクト多面体とする。P を含むRm の最小のアフィン部分空間⟨P ⟩の次元n = dim⟨P ⟩についての帰納法で証明する。n≦ 0のときは自明である。n≧ 1とする。m = nかつ⟨P ⟩ = Rn
の場合に示せば十分である。さらに、P はコンパクトであることに注意すれば、P の各点のある近傍が、有
限個の単体の和集合となることを示せばよいことが分かる。そこで、a∈ P とする。aの錐近傍を、ε近傍
Nε(a, P ) = a ˙Nε(a, P )の形に取る。Nε˙ (a, P ) = ˙Nε(a)∩P で、Nε˙ (a)は、例1.16(3)で注意したように立方体 Nε(a)の面の有限和である。Fをそのような面の任意の1つとすると、F∩ P は多面体で、dim⟨F ∩ P ⟩ < n であるので、帰納法の仮定から、F∩ P は単体の有限和である。したがって、Nε˙ (a, P ) = ˙Nε(a)∩ P も単体 の有限和であるから、aの錐近傍Nε(a, P ) = a ˙Nε(a, P )もそうである。 この命題をコンパクトとは限らない多面体に対して一般化するため、次の補題を示しておく。 補題2.6. 任意の多面体Pに対して、コンパクト多面体の局所有限な族(Pi)∞i=1で、次の条件を満たすものが 存在する。 • P =∪∞i=1Pi • |i − j| > 1のときPi∩ Pj =∅ 証明. P は第二可算かつ局所コンパクト Hausdorff だから、P のコンパクト部分集合の列 (Ci)∞i=1 を、 Ci ⊂ IntPCi+1かつP =∪∞i=1Ci となるように取れる。さらに、i ≧ 1に対して、Di = Ci\ IntPCi−1, Ui= IntPCi+1\ Ci−2と定義する。ただし、C0= C−1 =∅とする。 Diの各点xに対して、xのPにおける錐近傍Nxが存在し、Nx⊂ Uiとなる。さらに、Nxは多面体に取 ることができる。ところが、Diはコンパクトなので、Di はそのような錐近傍の有限和Piに含まれる。する と、Piはコンパクト多面体であり、Pi⊂ UiかつP =∪∞i=1Piである。(Ui)∞i=1 はPの局所有限な開被覆だ から、(Pi)∞i=1も局所有限である。また、|i − j| > 1のときUi∩ Uj =∅だから、Pi∩ Pj=∅である。 命題2.7. 任意の多面体P は、単体の局所有限な族(σλ)λ∈Λの和集合としてP = ∪ λ∈Λσλと表される。 証明. P に対して補題2.6のような族(Pi)∞i=1を選び、次に命題2.5を用いてPiを単体の有限和として表せ ばよい。 命題2.7を用いて、多面体の次元の概念が定義される。 定義2.8. 多面体P に対して命題2.7のような単体の族(σλ)を選ぶとき、maxλdim σλを多面体Pの次元と いい、dim P で表す。 上の定義において、maxλdim σλ は(σλ)の取り方によらず定まっている。このことは、n単体がn次元未 満の単体の有限個の和集合に含まれることはない、という事実に注目すれば分かる。もちろん、m単体σの 多面体としての次元はmである。 命題2.9. 多面体の次元について、以下のことが成り立つ。 (1) P ⊂ Qならば、dim P ≦ dim Qである。 (2) アフィン部分空間V ⊂ Rnの多面体としての次元は、アフィン部分空間としての次元に等しい。 証明. (1) Pに対して、補題2.6のような族(Pi)∞i=1を選び、Piを有限個の単体の和集合としてPi= ∪n(i) j=1σi,j
と表しておく。すると、dim P = maxi,jσi,j= maxiPiである。次に、Qを単体の局所有限和でQ = ∪
µ∈Mτµ
と表せば、各iに対して、{σi,1, . . . , σi,n(i)} ∪ {τµ| µ ∈ M}も和集合がQとなる局所有限な族なので、
dim Pi= max
j σi,j≦ max{maxj σi,j, maxµ τµ} = dim Q
(2)ここではdimは常に多面体としての次元を表す。V ⊂ Rnをアフィン部分空間とし、アフィン部分空間 としての次元がkであるとする。このとき、V はアフィン独立なk + 1個の点v0, . . . , vkをもち、したがっ て、k単体v0· · · vk を含んでいるから、dim V ≧ k である。もしdim V > kであればV はk + 1単体を含 み、その頂点はアフィン独立なk + 2個の点となり、V のアフィン部分空間としての次元がkであることに反 する。よって、dim V = kである。 系 2.10. f : P → Qが多面体P ⊂ Rn からQ⊂ RmへのPL写像であるとき、P を単体の局所有限な族 (σλ)λ∈Λ の和集合に表し、各λ∈ Λに対してf|σλ: σλ→ Q ⊂ R mがアフィン写像であるようにできる。 証明. グラフΓf は多面体であるから、命題2.7により、Γf を局所有限な単体の族(˜σλ)λ∈Λ の和集合として 表すことができる。π : Γf → P , π′: Γf → Q を射影とすると、各λ∈ Λに対して、π|σ˜λ は単射アフィン写 像なので、命題2.2(1)により、σλ= π(˜σλ)は単体である。すると、∪λ∈Λσλ = Pであり、(σλ)は局所有限 である。f|σλ = π′◦ (π|σ˜λ)−1: σλ → Q ⊂ R m だから、f|σ λ はアフィン写像の合成としてアフィン写像であ る。 命題2.11. 単体のアフィン写像による像は多面体となる。 証明. σ = v0· · · vn⊂ Rmをn単体とし、f : σ→ Rp をアフィン写像とするとき、f (σ)が多面体となること をnに関する帰納法で示そう。n≦ 0のときは明らかである。n≧ 1とする。f が単射であるときは、命題 2.2(1)により、f (σ)はn単体である。fが単射でないとき、 f (σ) = f ( ˙σ) (⋆) が成り立つ。これを示すため、y ∈ f(σ) とする。f をアフィン写像 f :˜ ⟨σ⟩ → Rp に f (˜∑n i=0tivi) = ∑n
i=0tif (vi)（ただし ∑n
i=0ti = 1）により拡張しておけば、f˜が単射でないことからf˜−1(y)は⟨σ⟩の1次元
以上のアフィン部分空間となるので、コンパクトでない連結集合である。他方、σは⟨σ⟩のコンパクト集合で
˜
f−1(y)∩σ ̸= ∅だから、命題2.4により、f˜−1(y)∩ ˙σ = ˜f−1(y)∩Fr
⟨σ⟩σ̸= ∅である。よって、f−1(y)∩ ˙σ ̸= ∅ であるから、y∈ f( ˙σ)である。これで(⋆)が示された。 (⋆)により、σのn− 1次元の面をτ0, . . . , τnとすればf (σ) = ∪n i=0f (τi)である。帰納法の仮定からf (τi) は多面体であるので、その有限和としてf (σ)は多面体となる。 位相空間の間の連続写像f : X → Y が固有(proper)であるとは、Y の任意のコンパクト部分集合Lに対 して、f−1(L)がコンパクトとなることをいう。 系 2.12. コンパクト多面体のPL写像による像は多面体である。より一般に、多面体の固有PL写像による 像は多面体である。 証明. 後半の主張だけを示せば十分である。P, Qを多面体、f : P → Qを固有PL写像とする。系2.10によ り、P =∪λ∈Λσλ となる局所有限な単体の族(σλ)λ∈Λが存在して、f|σλ は各λに対してアフィン写像とな る。命題2.11により、各λに対して、像f (σλ)はコンパクトな多面体である。命題1.15(4)によれば、あと は(f (σλ))λ∈Λの局所有限性を示せばよい。そこで、y ∈ f(P )とする。Qは局所コンパクトなので、yのQ におけるコンパクト近傍Nが存在する。f は固有であるから、f−1(N )⊂ P はコンパクトである。よって、 (σλ)の局所有限性により、f−1(N )∩ σλ̸= ∅となるλは高々有限個である。これは、N∩ f(σ) ̸= ∅となるλ が高々有限個であることを意味している。
2.2
胞体とその面
定義2.13. C⊂ Rnが線型n胞体(linear n-cell)、あるいは単にn胞体(n-cell)であるとは、Cがコンパ
注意2.14. (1) n単体やInはn胞体である。0胞体、1胞体はそれぞれ0単体、1単体と同じものである。空 集合は−1胞体である。 (2)胞体のアフィン写像による像は、系2.12により胞体である。 (3) アフィン独立とは限らないa0, . . . , ar ∈ Rn に対して、ジョインC = a0· · · ar は胞体であり、Cは a0, . . . , ar（あるいは集合{a0, . . . , ar}）によって張られるという。実際、Cはr単体のアフィン写像による 像となる。逆に、任意の胞体はある有限個の点によって張られることが示される（命題2.24(5)(7)）。 (4) 2個の胞体の共通部分、および2個の胞体の直積は胞体である。 (5)胞体とアフィン部分空間の共通部分は胞体である。一般に、C⊂ Rnが胞体、P ⊂ Rn が閉かつ凸集合 である多面体であるとき、C∩ Pは胞体となる。 (6)胞体を底とする錐は胞体である。 胞体C⊂ Rnに対して、Fr
⟨C⟩C, Int⟨C⟩CをそれぞれCの境界(boundary)、内部(interior)と呼び、 ˙ C, ˚Cで表す*5。 命題2.15. n≧ 0のとき、n胞体C⊂ Rmに対して次が成り立つ。 (1) Cは少なくとも一つのn単体を含み、Cの多面体としての次元dim C = nである。 (2) 任意のn単体σ⊂ Cに対して、˚σ⊂ ˚Cである。とくに、C˚̸= ∅である。 (3) ˚C は、「どのy ∈ C に対しても線分yxをxを越えてC内の線分に延長できる」という性質をもつ x∈ C全体の集合に等しい。すなわち、 ˚ C ={x ∈ C | ∀y ∈ C ∃ε > 0 (1 + ε)x − εy ∈ C} である。 証明. (1)⟨C⟩のアフィン部分空間としての次元はnだから、Cにはアフィン独立なn + 1点v0, . . . , vnが存 在しなければならない。よって、Cはn単体v0· · · vnを含むから、多面体としての次元dim C≧ nである。 また、命題2.9により、dim C≦ dim⟨C⟩ ≦ nも成り立つ。 (2) σ⊂ Cをn単体とする。⟨C⟩, ⟨σ⟩はともにn次元で⟨σ⟩ ⊂ ⟨C⟩ だから、⟨σ⟩ = ⟨C⟩である。よって、 命題2.4により、˚σ = Int⟨σ⟩σ = Int⟨C⟩σ⊂ Int⟨C⟩C = ˚C である。
(3) 左辺が右辺に含まれることは明らかである。右辺の元xを任意に与える。(1) により存在する n 単体σ = v0· · · vn ⊂ C を一つ固定し、ε > 0を、x′ = (1 + ε)x− εˆσ ∈ C となるように取り、wi = (1 + ε)−1(εvi+ x′) (i = 0, . . . , n)とおく。すると、w0, . . . , wnは容易に確かめられるようにアフィン独立で、 n単体τ = w0· · · wnに対してˆτ = xであるから、(2)により、x∈ ˚τ⊂ ˚Cである。 胞体の面の概念を定義するために（定義2.19）、まず次の定義をする。 定義2.16. 胞体C⊂ Rnとx∈ Rnに対して、 ⟨C|x⟩ = {y ∈ Rn| ∃ε > 0 (|t| < ε =⇒ (1 − t)x + ty ∈ C)} と定義する。 注意 2.17. 上の定義の図形的な意味は易しい。x∈ C のとき、y ∈ ⟨C|x⟩であるとは、y = xであるか、ま たはyとxを通る直線とCとの共通部分がxを内部の点にもつ線分となることである。x /∈ C のときは ⟨C|x⟩ = ∅であることに注意する。 次の補題は、上の注意を念頭に図を描いてみれば証明のヒントが得られるだろう。 補題2.18. ⟨C|x⟩はRnのアフィン部分空間である。 *5場合により、内部を表す記号は (C∩ D)˚のように右上肩に付ける。
証明. x = 0であるとして証明してよい。y, z ∈ ⟨C|0⟩, λ ∈ R とする。w = (1− λ)y + λz とおくとき w∈ ⟨C|x⟩を証明しよう。ε > 0を十分小さく取り、|t| < εならばty, tz∈ Cとなるようにする。 【場合1: 0≦ λ ≦ 1のとき】|t| < εとすると、Cの凸性によりtw = (1− λ)ty + λtz ∈ Cとなる。よって、 w∈ ⟨C|0⟩である。 【場合2: λ≦ 0のとき】|t| < ε/(1−2λ)とすると、y′= (1−2λ)ty, z′ =−(1−2λ)tzとおくときy′, z′∈ C であり、0≦1−λ−2λ < 1/2≦ 1であって tw = ( 1− −λ 1− 2λ ) y′+ −λ 1− 2λz ′ となるから、Cの凸性によりtw∈ Cである。よって、w∈ ⟨C|0⟩である。 【場合3: λ≧ 1のとき】yとzの立場を入れ換えれば、場合2に帰着される。 定義2.19. 胞体C⊂ Rnに対して、 Cx= C∩ ⟨C|x⟩ と定義する。補題2.18と注意2.14(5)により、Cxは胞体となる。あるx∈ Rnに対してCxの形に表される 胞体をCの面(face)といい、DがCの面であることをD ≦ Cで表す。すぐに注意2.20(2)で見るように、 C自身はCの面である。D ≦ CかつD ̸= Cであるとき、DはCの真の面(proper face)であるといい、 D < Cで表す。また、{x} ≦ Cであるとき、xをCの頂点(vertex)という。Cの頂点全体の集合をV (C) で表す。 注意2.20. (1)胞体Cは凸集合であるから、面Cxは次のようにも表すことができる。 Cx={y ∈ C | ∃ε > 0 (1 + ε)x − εy ∈ C} ={y ∈ C | ∃ε0> 0 (0 < ε < ε0 =⇒ (1 + ε)x − εy ∈ C)} x∈ Cのときは、上の図形的な意味は明瞭である。すなわち、Cの点yに対してy∈ Cxであるとは、y = x であるか、または線分yxをxを越えてC内の線分に延長できることである。x /∈ Cのときは、Cx=∅であ る。よって、空集合∅は任意の胞体の面となる。 (2)胞体Cの点v∈ CがCの頂点であることは、C内のいかなる線分xyもvを内点にもたないことと同 値である。 (3)胞体Cが空でないとき、命題2.15(2)により、x∈ ˚Cが存在するが、このとき(1)によりCx= Cであ る。よって、任意の胞体Cに対して、C≦ Cが成り立つ。 (4)胞体Cとx∈ Cに対して、x∈ ˚Cxである。このことは、命題2.15(3)から直ちに導かれる。 (5) A, B⊂ Rnが胞体でx∈ Rnのとき、(A∩ B)x= A x∩ Bxである。また、A⊂ Rn, B⊂ Rmが胞体で x∈ Rn, y∈ Rmのとき、(A× B) (x,y)= Ax× Byである。 (6)いままで立方体や単体に定義された面・頂点の概念は、ここで定義されたものと一致することが簡単に 確かめられる。たとえば、m単体σ = v0· · · vmの場合、x∈ σがx = ∑k j=0tijvij, tij > 0と表されるとす れば、σxはいままでの意味でのσの面vi0· · · vikとなることが確かめられる。 胞体を実際に扱うための諸性質を確立するため、もう少し幾何的考察を行う。次の補題の証明は図を描いて みれば容易に理解できるだろう。 補題2.21. 胞体C⊂ Rnとa, b∈ Rnに対して、a∈ CbならばC a⊂ Cbである。 証明. a /∈ Cまたはb /∈ Cのときは明らかであるから、a, b∈ C であるとしてよい。a∈ Cb, u∈ Caとする と、ε > 0が存在してc = (1 + ε)b− εa ∈ C, a′= (1 + ε)a− εu ∈ C である。このとき、
b′ = ε 1 + 2εa ′+ 1 + ε 1 + 2εc とおけばCの凸性からb′∈ Cであり、簡単な計算により、b′ = (1 + δ)b−δuを得る。ただし、δ = ε2/(1 + 2ε) である。よって、u∈ Cbである。
