PL多様体の定義には、可微分多様体の定義と同じように、座標変換がPL同相写像であるような座標近傍 の族を与える方法もあり、これを採用する文献も多い。ここでは、このように座標変換を用いて定義された PL多様体と、いままで述べてきたPL多様体との間の関係を明らかにする。
説明の便宜上、座標変換で定義されたPL多様体をいままでのものと区別してPL′ 多様体と呼ぶことにし て、次のように定義する。
定義 3.30. X を第二可算公理を満たすHausdorff空間とする。SがX上のn次元PL座標近傍系であると は、次を満たすことをいう。
(1) S は次のような組(U, φ)からなる集合である：UはX の開集合であり、φはUからRn+のある開集 合への同相写像である。（以下、記法を分かりやすくするため、S ={(Uλ, φλ)|λ∈Λ} と添え字を付 ける。）
(2) ∪
λ∈ΛUλ=X である。
(3) 任意のλ, µ∈Λに対して、φµ|Uλ∩Uµ◦φ−λ1|φλ(Uλ∩Uµ):φλ(Uλ∩Uµ)→φµ(Uλ∩Uµ)はPL同相写像 である。
SがX 上のn次元PL座標近傍系であるとき、(X,S)をn次元PL′多様体という。
X上にn次元PL座標近傍系が存在すれば、X は第二可算な局所コンパクトHausdorff空間だから、とく にパラコンパクトとなることに注意する。
X 上のn次元PL座標近傍系 S, S′ が同値であるとは、任意の(U, φ) ∈ S, (U′, φ′) ∈ S′ に対して φ′|U∩U′◦φ−1|φ(U∩U′):φ(U∩U′)→φ′(U ∩U′)がPL同相写像であることをいう。これは、和集合S ∪ S′ が再びn次元PL座標近傍系になるということにほかならない。同値なPL座標近傍系は実質的に同じPL′ 多様体を定めているものと考えることは、可微分多様体のときと同様である*12。S,S′が同値であることを、
S ∼ S′ と書く。関係∼はX上のn次元PL座標近傍系全体の集合の上の同値関係となる。
SがX 上のn次元PL座標近傍系でh: X →Y が同相写像のとき、Sをhによって写して得られるY 上 のn次元PL座標近傍系をh∗Sと書く。すなわち、
h∗S ={(h(U), φ◦h−1)|(U, φ)∈ S}
とする。
PL多様体が与えられると、以下のようにしてPL′多様体を自然に構成することができる。M を（いまま での意味での）n次元PL多様体とする。このとき、SM を、M の開集合U とRn+のある開集合V へのPL 同相写像φ:U →V の組(U, φ)の全体と定義すると、(M,SM)はn次元PL′多様体となる。このとき、M はn次元PL座標近傍系SM は極大性をもつ。すなわち、SM ∼ Sとなる任意のn次元PL座標近傍系S に 対して、S ⊂ SM である。
さて、PL′多様体は、次の定理のような意味で、いままでのPL多様体と同値な概念である。
定理 3.31. (X,S)をn次元PL′多様体とする。このとき、n次元PL多様体M と同相写像h:M →X が存在して、h∗SM とS はX 上の同値なn次元PL座標近傍系となる。さらに、M, hは次のような意味 で一意的である。n次元PL多様体M′と同相写像h′: M′ →X も上の条件を満たすならば、PL同相写像 Φ :M →M′ が一意的に存在して、h′◦Φ =hである。
この定理を示すためには何を示せばよいかを、まず考察しよう。ひとまず、前半のM, hの存在は後回し にして、一意性の部分を考える。定理の条件を満たすΦ :M → M′ はh′−1◦hの他にはあり得ないから、
問題はh′−1◦hがPL同相写像であるかということである。ところで、h∗SM ∼ S ∼h′∗SM′ であるから、
(h′−1◦h)∗SM = (h′−1)∗h∗SM ∼ SM′ である。よって、前に述べたSM, SM′ の極大性を用いることで、
(h′−1◦h)∗SM =SM′ を得る。これから、h′−1◦hがPL同相写像であることが分かる。
これで一意性の部分は解決したので、次に、M, hが満たすべき条件h∗SM ∼ S について考える。SM は極 大であるから、この条件は実際にはS ⊂h∗SM と同じことである。これは、定義から、任意の(U, φ)∈ Sに 対してφ◦h|h−1(U):h−1(U)→φ(U)がPL同相写像であるということにほかならない。
最後に、S ∼ S′であるとき、定理3.31の主張が(X,S)について成り立つことは(X,S′)について成り立つ ことと同値である。よって、定理3.31の証明でSを都合の良い同値な座標近傍系に取り換えて問題ない。
以上から、定理3.31の証明は、次を示すことに帰着されると分かった。
定理3.32. (X,S)をn次元PL′多様体とする。このとき、Sと同値なn次元PL座標近傍系S′とn次元PL 多様体Mおよび同相写像h:M →Xが存在して、任意の(U, φ)∈ S′に対してφ◦h|h−1(U):h−1(U)→φ(U)
*12もちろん、同値な座標近傍系の取り換えの自由度をなくすために、はじめから座標近傍系が極大であると仮定する方法もある。た だし、ここでは証明の簡明さのためにその仮定を置かないことにする。
はPL同相写像となる。
証明. (X,S)をn次元PL′多様体とする。S ={(Uα, φα)|α∈A} とすると、(Uα)α∈AはXの開被覆であ る。この開被覆を細分する局所有限なX の可算開被覆(Vi)∞i=1 で、各iに対してClXViがコンパクトであ るようなものを取る。さらに、各iに対してα(i)∈AをVi ⊂Uα(i)であるように選んでおく。X の開被覆 (Wi)∞i=1をClXWi⊂Viであるように選び、ψ˜i=φα(i)|Vi,ψi=φα(i)|Wiとおくと、
S′={(Wi, ψi)|i= 1,2, . . .} はSと同値なn次元PL座標近傍系である。
各i≧1に対して、コンパクト多面体Pi⊂Rn+をψi(ClXWi)⊂Pi ⊂ψi(Vi)となるように取る。i, j≧1 に対して
Qij=ψi(ψ−i1(Pi)∩ψ−j1(Pj)) =Pi∩(ψi◦ψj−1(Pj))
とおき、hij =ψi◦ψj−1|Qji:Qji→Qijと定義すると、Qij はPiのコンパクト部分多面体で、hijはPL同 相写像である。
さて、自然数の増大列1 =ν1 < ν2 < · · · を適切に取れば、Ik ={i∈ N|νk ≦i < νk+1}とおくとき、
Ck=∪
i∈Ikψi−1(Pi)に対して次が成り立つようにできる。
(i) |k−k′|≧2ならばCk∩Ck′ =∅である。
各kに対して有限個の多面体Pi(i ∈ Ik)を貼り合わせることで、多面体C˜k を構成しよう。位相的な 直和⨿
i∈IkPi上の同値関係∼をx∼hij(x) (x∈ Qji) で定める。このとき、系2.69により、あるnk に 対して、閉部分多面体C˜k ⊂ Rnk と同相写像 (⨿
i∈IkPi)/∼ → C˜k が存在して、各i ∈ Ik に対して合成 ιki:Pi→(⨿
i∈IkPi)/∼ →C˜k はPL埋め込みとなる。さらに、これにψiを合成したもの ψi−1(Pi)→ψi Pi
ιki
→C˜k
をi∈Ik について貼り合わせれば、Ck =∪
i∈Ikψ−i 1(Pi)からC˜kへの同相写像αk:Ck→C˜kが得られる。
さらに、定理2.70により、次のように仮定してよい。
(ii) すべてのk≧1に対してnk= 2n+ 1であり、よってC˜k ⊂R2n+1である。
(iii) k̸=k′のときC˜k∩C˜k′ =∅である。
(iv) ( ˜Ck)∞k=1は局所有限である。
(v) ∪∞
k=1C˜k はR2n+1の閉部分多面体である。
次に、M1=∪∞
l=1C˜2l−1,M2=∪∞
l=1C˜2lとおく。M1, M2の定義の右辺は、(iii)によりそれぞれ交わり のない和集合である。また、(iv)(v)により、M1, M2はともにR2n+1の閉部分多面体である。M1とM2を 貼り合わせることで、目的のM を構成しよう。
Dk =Ck∩Ck+1(k≧1)と定義し、D˜k,ε⊂Mε(k≧1, ε∈ {1,2})を D˜2l−1,1=α2l−1(D2l−1), D˜2l,1=α2l+1(D2l), D˜2l−1,2=α2l(D2l−1), D˜2l,2=α2l(D2l)
により定義する。このとき、D˜k,εはMεのコンパクト部分多面体である。実際、たとえば D˜2l−1,1=α2l−1(C2l−1∩C2l) = ∪
i∈I2l−1
ι2li−1◦ψi(ψ−i 1(Pi)∩C2l)
= ∪
i∈I2l−1
∪
j∈I2l
ι2li −1(Qij)
によりD˜2l−1,1はC˜2l−1の（したがってM1の）コンパクト部分多面体であることが分かる。D˜2l,1, ˜D2l−1,2, D˜2l,2の場合も同様である。また、k̸=k′のときD˜k,ε∩D˜k′,ε =∅ であることも(i)(iii)から容易に分かる。
さらに、(iv)により、交わりのない和集合Nε=∪∞
k=1D˜k,ε はMεの閉部分多面体となる。
同相写像βk: ˜Dk,1→D˜k,2を
β2l−1=α2l◦α−2l1−1|D˜2l−1,1, β2l=α2l◦α−2l+11 |D˜2l,1
で定める。β2l−1|ι2l−1
i (Qij)=ι2lj ◦hji◦(ι2li −1)−1(i∈I2l−1, j ∈I2l)となるから、β2l−1はPL同相写像であ る。β2lについても同様にPL同相写像となる。したがって、β: N1→N2 をβ|D˜k,1 =βkで定義すれば、β はPL同相写像である。
定理2.68により、あるn′に対して、閉部分多面体M ⊂Rn′と同相写像M1∪βM2→M が存在して、合 成Mε→M1∪βM2→M をιεと書くときιε:Mε→M(ε= 1,2)はPL埋め込みとなる。
連続写像h:M →Xを
h◦ι1|C˜2l−1 =α−2l1−1, h◦ι2|C˜2l=α−2l1
で定義しよう。このとき、hの連続な逆写像h−1:X →M がh−1|C2l−1 =ι1◦α2l−1,h−1|C2l =ι2◦α2l で 与えられることから、h:M →Xは同相写像となる。
さて、任意に(Wi, ψi)∈ S′を与える。h−1◦ψi−1|ψi(Wi):ψi(Wi)→h−1(Wi)がPL同相写像となること を示そう。i∈Ikとなるk≧1を選ぶと、Wi⊂ψi−1(Pi)⊂Ck である。たとえば、kが奇数でk= 2l−1の 場合、α2l−1|ψ−1
i (Pi)=ι2li −1◦ψiにより
h−1◦ψ−i 1|ψi(Wi)=ι1◦α2l−1◦ψi−1|ψi(Wi)=ι1◦ι2li −1|ψi(Wi)
となる。また、同様にk= 2lの場合はh−1◦ψi−1|ψi(Wi)=ι2◦ι2li |ψi(Wi)である。ιε, ιki はPL埋め込みで あったから、h−1◦ψi−1|ψi(Wi): ψi(Wi)→h−1(Wi)はPL同相写像である。
以上で、定理3.32が証明され、したがって定理3.31が証明された。
付録 A アフィン写像の特徴づけについて
この付録では、アフィン写像のいくつかの特徴づけを述べた次の命題を証明する。凸集合C⊂Rm,D⊂Rn に対して、f:C →Dがアフィン写像(affine map)であるとは、任意のx, x′ ∈Cおよびt ∈Iに対して f((1−t)x+tx′) = (1−t)f(x) +tf(x′)となることをいうのであった。
命題1.2 (再掲). 凸集合C⊂Rm,D⊂Rnと写像f:C→Dに対して、次は同値である。
(1) f はアフィン写像である。
(2) Cの元の任意の凸結合∑k
i=0tixiに対して、f(∑k
i=0tixi) =∑k
i=0tif(xi)である。
(3) Cの元のアフィン結合∑k
i=0tixi に対して∑k
i=0tixi ∈Cならば、f(∑k
i=0tixi) =∑k
i=0tif(xi)で ある。
(4) ある線型写像f0:Rm→Rnとy0∈Rnが存在して、f(x) =f0(x) +y0(x∈C)である。
証明. (1) =⇒(2): 補題1.1からすぐに分かる。
(2) =⇒ (3): (2) を仮定する。C の元の任意のアフィン結合 x = ∑k
i=0tixi ∈ C に対して f(x) =
∑k
i=0tif(xi)となることをkについての帰納法で示そう。k = 0のとき、これは明らかである。k ≧ 1 としよう。もし、すべてのiに対してti ≧ 0なら、(2)によりf(x) = ∑k
i=0tif(xi)である。そこで、あ るi に対してti < 0 であるとしよう。たとえば、t0 < 0 であるとしてよい。このとき、u = 1−t0, x′ =∑k
i=1sixi,si=u−1ti とおけば、x′はx1, . . . , xk のアフィン結合であって、x= (1−u)x0+ux′であ る。よって、x′ =u−1x+ (1−u−1)x0である。u= 1−t0>1によりu−1∈I であるから、Cの凸性により x′ ∈Cであり、(2)によりf(x′) =u−1f(x) + (1−u−1)f(x0)となる。よって、(2)と帰納法の仮定により、
f(x) = (1−u)f(x0) +uf(x′) =t0f(x0) +uf(∑k
i=1sixi) =t0f(x0) +u∑k
i=1sif(xi) =∑k
i=0tif(xi)で ある。
(3) =⇒ (4): (3)を仮定する。C ̸= ∅としてよい。C のアフィン独立な元を最大個数取り、それらを x0, . . . , xkとする。必要ならCを平行移動することで、x0= 0であるとしてよい。V をx0, . . . , xkで張られ るRmのアフィン部分空間とすると、V はx1, . . . , xkを基底とするRmの線型部分空間である。このとき、k の最大性からC ⊂V である。さて、xk+1, . . . , xm∈Rmを追加してRmの基底x1, . . . , xmをつくり、線型 写像f0:Rm→Rnを
f0
(m
∑
i=1
tixi
)
=
∑k
i=1
ti(f(xi)−f(x0)) で定め、y0=f(x0)とする。このとき、x∈Cに対して、C⊂V によりx=∑k
i=1tixi と表すことができる。
t0 = 1−∑k
i=1ti とおけば、xはx0, . . . , xkのアフィン結合としてx=∑k
i=0tixi,∑k
i=0ti = 1と表される ので、(3)により、f(x) =∑k
i=0tif(xi) =f(x0) +∑k
i=0ti(f(xi)−f(x0)) =y0+f0(x)である。
(4) =⇒(1)は明らかである。
付録 B PL 多様体の境界について
この付録の目的は、PL多様体の境界の定義において重要な役割を果たす次の命題を、PLトポロジーの手 法のみを用いて証明することである。
命題3.2 (再掲). n≧1のとき、n次元PL多様体M の点xに対して次は同値である。
(1) xのある座標近傍h: U→V に対して、h(x)∈Rn−1× {0}となる。
(2) xの任意の座標近傍h:U →V に対して、h(x)∈Rn−1× {0}となる。
ここで使われる主な道具は、リンクのPL不変性（定理3.10）である。ただし、ここではPL多様体の境
界の概念はまだ使うことができないので、単体σの境界σ˙ や内部˚σ=σ\σ˙ だけを使って議論することにし よう。
補題B.1. σをn単体(n≧1)とするとき、任意のx∈σ˙ に対して、σのある(n−1)次元の面τとPL同相 写像h: ˙σ→σ˙ が存在して、h(x) = ˆτが成り立つ。
証明. σの頂点をv0, . . . , vnとする。x=∑n
i=0tiviとxをv0, . . . , vn の凸結合で表すとき、t0>0であると してよい。τを、v1, . . . , vnで張られるσの面とする。このとき、命題2.24(9)により、τ = ˆττ˙,v0τ˙ はそれ ぞれ錐であり、x∈(v0τ)˙ \τ,˙ τ∪(v0τ) = ˙˙ σ,τ∩(v0τ) = ˙˙ τである。PL同相写像¯h1:τ = ˆττ˙ →v0τ˙ を、恒 等写像id : ˙τ →τ˙ の錐として定義し、PL同相写像h1: ˙σ→σ˙ を
h1|τ = ¯h1, h1|v0τ˙ = ¯h−11
により定義する（τ˙ を球面σ˙ の赤道と考えたとき、h1は赤道は動かさずに北半球v0τ˙ と南半球τを入れ換え るPL同相写像である）。このとき、y=h1(x)とおくとy∈˚τであるから、命題2.24(9)により、τは錐とし てτ =yτ˙ と表される。そこで、PL同相写像¯h2:τ =yτ˙ →τˆτ˙ =τ を、恒等写像の錐として定義すれば、
¯h2(y) = ˆτ である。¯h2 をv0τ˙ 上で恒等写像として拡張すれば、PL同相写像h2: ˙σ→σ˙ が得られる。最後に h=h2◦h1: ˙σ→σ˙ とおけば、hはh(x) = ˆτを満たすPL同相写像である。
補題 B.2. σをn単体(n ≧ 1)とするとき、任意のx, y ∈ σ˙ に対してPL同相写像h: ˙σ → σ˙ であって h(x) =yとなるものが存在する。
証明. 補題B.1により、(n−1)次元の面τ1, τ2およびPL同相写像h1, h2: ˙σ→σ˙ が存在して、h1(x) = ˆτ1, h2(y) = ˆτ2となる。さらに、頂点を入れ換えることで、PL同相写像h3: ˙σ→σ˙ でh3(ˆτ1) = ˆτ2となるものが 得られる。h=h−21◦h3◦h1 が求めるPL同相写像である。
補題B.3. n単体σと(n+ 1)単体τに対して、σとτ˙はPL同相ではない。
証明. nについての帰納法で証明する。n= 0のときは明らかである。n≧1として、PL同相写像h:σ→τ˙ が存在すると仮定する。vをσの頂点の一つとしよう。τ˙に補題B.2を用いることで、τのある頂点wに対し てh(v) =wであるとしてよい。σ′, τ′ を、それぞれ、σ, τ のv, w以外の頂点すべての張るσ, τ の面とする。
σ=vσ′はvのσにおける錐近傍であり、wτ˙′はh(v) =wのτ˙ における錐近傍である。よって、定理3.10 により、σ′とτ˙′はPL同相であるが、これは帰納法の仮定に反する。
命題3.2の証明. 記法を簡単にするため、Rn−1× {0} をRn−1 と同一視する。V, V′ ⊂ Rn+ が開集合で h: V → V′ がPL同相写像であるとき、h(V ∩Rn−1) ⊂ Rn−1 であることを証明すればよい。そこで、
x∈V ∩Rn−1,h(x)∈/ Rn−1であるとして矛盾を導こう。xを内部の点にもつ(n−1)単体σ⊂V∩Rn−1と v∈V \Rn−1を取り、n単体vσがV に含まれるようにする。また、n単体τ ⊂V′\Rn−1を、h(x)∈˚τと なるように取る。
このとき、B =vσ˙ は錐なので、(n−1)単体σ= ˆσσ˙ とPL同相である。しかも、B はvσのxを含まな い面すべての合併に等しいから、命題2.24(9)により、vσは錐としてxBと表され、xのV における錐近傍 を与える。一方、やはり命題2.24(9)により、τ=h(x) ˙τはh(x)のV′における錐近傍となる。よって、定理 3.10により、Bとτ˙はPL同相であるが、Bは(n−1)単体とPL同相であり、τはn単体であったから、こ れは補題B.3に反する。