ヒトが生成する置換の統計的性質

(1)

ヒトが生成する置換の統計的性質

永田誠

1）

_{, 武井由智}

2）

Statistical properties of human - generated permutations

Makoto NAGATA, Yoshinori TAKEI

1)_{Osaka University of Pharmaceutical Sciences, 4-20-1, Nasahara, Takatsuki-shi, Osaka 569-1094, Japan} 2)_{National Institute of Technology, Akita College, 1-1, Iijimabunkyocho, Akita-shi, Akita 011-8511, Japan}

(2)

– Article –

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Statistical properties of human-generated permutations Makoto NAGATA1), YoshinoriTAKEI2)

ɹ1)_{Osaka University of Pharmaceutical Sciences, 4-20-1, Nasahara, Takatsuki-shi, Osaka 569-1094, Japan}

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(Received October 30, 2018; Accepted December 4, 2018)

Abstract We study statistical properties of human-generated permutations via a questionnaire investigation which was conducted at Osaka University of Pharmaceutical Sciences. There is a natural expectation that it is impossible to look upon human-generated permutations as random samples from the symmetric group. However, we find both evidences for and against this expectation.

Key words — Fourier analysis; human-generated; Kullback-Leibler divergence; permutation; power spectral density; symmetric group; total variation distance; uniform distribution;

1 ͸͡Ίʹ

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(3)

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2 ه๏

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3 Ξϯέʔτͷ֓ཁ

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(4)

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3 Ξϯέʔτͷ֓ཁ

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3.1 Ξϯέʔτͷճ౴ͷղऍ

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(5)

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(6)

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(7)

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(8)

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(9)

͍෼෍͸, IIIͰͷ3൪໨ͷ਺σ(3)ʹ1͚͕ͩಛʹ গ ͳ ͍, ͱ, IIͰ ͷ5൪ ໨ ͷ ਺σ(5)ʹ6ͩ ͚ ͕ ଟ ͍, Ͱ͋Ζ͏͔. ৑௕ʹͳΔͷͰྨࣅੑʹؔ͢ ΔԾઆݕఆ͸লུ͢Δ. 4.2.6 ࠷ॳͷ਺ͱ2൪໨ͷ਺ͷ૊ ஔ ׵σ _{∈ S}6ͷ ࠷ ॳ ͷ ਺ ͱ2൪ ໨ ͷ ਺ ͷ ૊ (σ(1), σ(2))ͷ෼෍Λߟ࡯͢Δ. ͜Ε͸[2]Ͱใࠂ ͞Εͨ΋ͷͱؔ܎͕͋ΔࣄฑͰ΋͋Γڵຯਂ ͍. ૊(σ(1), σ(2))͸(i, j), i, j = 1, . . . , 6, i_{̸= j}Λ ͱΔͷͰ,͜ΕΒΛࣙॻࣜͰॻ͚͹(1, 2), (1, 3), . . ., (1, 6), (2, 1), (2, 3), . . ., (2, 6), (3, 1), . . ., (6, 5) ͷ30௨Γ͋Δ. ʮ∅Λআ֎ʯͨ͠σʔλͷώε τάϥϜΛI, II, III, IVͷॱʹ෇࿥Dͷਤ4-55͔ Βਤ4-58ʹࣔ͢. ֤άϥϑͷԣ࣠͸ࠨ͔Βॱʹ (i, j)ͷࣙॻࣜʹฒ΂ͨ΋ͷͰ͋Δ(Ұ൪ࠨͷॎ ๮͕(1, 2), Ұ൪ӈͷॎ๮͕(6, 5)). ʮid΋আ֎ʯ ͷ σ ʔ λ ͷ ώ ε τ ά ϥ Ϝ ͸ Ұ ൪ ࠨ ͔ Βidͷ ݸ ਺ΛҾ͍ͨ΋ͷͳͷͰলུ͢Δ. S6ͷ෼෍͸Ͳ ͷ(i, j)΋24ݸͰ͋Δ. ࢀߟʹʮ1͔Β30·Ͱͷ ஋ΛͱΔҰ༷෼෍͔Β1040ݸͷαϯϓϦϯά ͨ͠ώετάϥϜʯͷҰྫΛ෇࿥Dͷਤ4-59ʹ ࣔ͢. ͜ͷਤ͔ΒΘ͔ΔΑ͏ʹҰ༷෼෍͔Βͷ ग़ྗ(ਤ4-59)Ͱ΋͋Δఔ౓ͷ͹Β͖͕ͭݟΒΕ Δ. ͔ͦ͠͠ͷ͹Β͖ͭ͸ਤ4-55͔Βਤ4-58· ͰͷΑ͏ͳେ͖ͳ΋ͷͰ͸ͳ͍. ͹Β͖ͭํʹنଇੑ͕ΈΒΕͳ͍ͷͰ,ͦΕ ͧΕਤ4-55͔Βਤ4-58ٴͼਤ4-59ͷ౓਺ͷখ͞ ͍ॱʹฒͼସ͑ͯΈͨͷ͕෇࿥Dͷਤ4-60͔Β ਤ4-64Ͱ͋Δ. ਤ4-60͔Βਤ4-63͸ॱʹI, II, III, IVͰ͋Γ,ਤ4-64͕Ұ༷෼෍͔Βͷग़ྗͰ͋Δ. ਤ4-64ͷߴ௿͕ࠩগͳ͍͜ͱ͕Θ͔Δ. ࣍ʹߴ ௿͕ࠩগͳ͍ͷ͸ਤ4-63(III)ͩΖ͏͔. ຊߘͰͷର৅͸ώτͷूஂ͕ੜ੒͢Δ6࣍ͷ ஔ׵Ͱ͋Γ, [2]͕ର৅ͱ͍ͯ͠Δݸਓ͕ଟ਺ੜ ੒͢Δ5࣍ͷஔ׵ͱ͸ҟͳΔͷͰ͋Δ͕, [2]ͷ Table 1ʹΈΒΕΔΑ͏ͳಛ௃13_͸_,_ࠓճͷΞϯ έʔτͷͲͷઃ໰Ͱ΋؍࡯Ͱ͖ͳ͔ͬͨ. ͜͜Ͱड़΂ͨ,࠷ॳͷ਺(અ4.2.3)͔Β࠷ॳͷ ਺ͱ2൪໨ͷ਺ͷ૊(અ4.2.6)౳ͷ࿩୊͸,ޙ൒ͷ અ4.4(ϑʔϦΤղੳ)Ͱ͞Βʹৄࡉʹݕ౼͢Δ. ͜͜Ͱճ౴ͷ෼෍͕ࣅ͍ͯΔͱࢥΘΕΔ(S6 ΋ؚΊͯ)ઃ໰൪߸Λ·ͱΊ͓ͯ͘. ۮஔ׵ͱحஔ׵Ͱ͸ʮ_∅Λআ֎ʯ͕S6ͱͦΕ ͧΕI, II, III͕,ʮid΋আ֎ʯ͕S6ͱͦΕͧΕI, II, III, IV͕ࣅ͍ͯΔ14_ͱࢥΘΕΔ_. ൓స਺Ͱ͸,ʮ∅Λআ֎ʯͱʮid΋আ֎ʯͰ, I ͱII͕ࣅ͍ͯΔͱࢥΘΕΔ. ࠷ॳͷ਺Ͱ͸,ʮ_∅Λআ֎ʯͱʮid΋আ֎ʯͰ, S6ͱIII͕ࣅ͍ͯΔͱࢥΘΕΔ. ͜ ͷ Α ͏ ʹ ൓ స ਺ ΍ Β ࠷ ॳ ͷ ਺ ͳ Ͳ ͷʮ ಛ ఆͷࢹ ఺ʯͰ ͸ࣅͯ ͍Δ ͱࢥ ΘΕ Δઃ໰ ͷ૊ ͕͋Δ͕,͔͠͠ଞͷࢹ఺Ͱ͸ࣅ͍ͯͳ͍. ૯ ߹ త ͳ ࢹ ఺ Ͱ ߟ ͑ Δ ͳ Β ͹, S6(͢ ͳ Θ ͪ Ұ ༷ ෼ ෍)ͱ ͷ ൺ ֱ ΋ ؚ Ί ͯ, Ͳ ͷ ઃ ໰ ͷ ෼ ෍ ΋ ࣅ ͍ͯͳ͍ͱ͍͏݁࿦ʹͳΖ͏.

4.3 ஔ׵ͷੵ

ʮਓؒʹ͸บ͕͋Γ,ώτͷूஂͱ͍͏૷ஔ ͸ϥϯμϜͳஔ׵Λग़ྗ͠ͳ͍ͩΖ͏ʯ15_ͱظ ଴͢Δͷ͸ࣗવͩΖ͏. ࣮ࡍ,લઅ·Ͱʹड़΂ ͨղੳͰ͸,ಛఆͷࢹ఺Ͱ͸S6্ͷҰ༷෼෍ͱ ࣅ ͯ ͍ Δ ΋ ͷ(ۮ ஔ ׵ ͱ ح ஔ ׵, ࠷ ॳ ͷ ਺ Ͱ ͷ ઃ໰III౳)΋͋Δ͕,ͦΕΒΛ૯߹త,ٴͼҎԼ ͷઅ4.3.3͔Β, ֤I, II, III, IVͦΕͧΕ͸, S6্ ͷҰ༷෼෍,ٴͼͦΕ͔Βͷग़ྗͱ͸ࢥ͑ͳ͍. ͜ͷҙຯͰ͸͜ͷظ଴͸ਖ਼͍͠ͱ͍͏͜ͱʹ ͳΔ. ͔͠͠ ͳ͕Β,ஔ׵ͷ ੵ, ۩ମత ʹ͸ ճ౴ऀ ൪߸i (i = 1, . . . .1040) ͷIͷճ౴σ_iIͱIIIͷճ౴ σ_iIIIͷੵ16ͷσ_iI◦ σIII i ͨͪ,͸S6্ͷҰ༷෼෍͔ Βͷग़ྗʹ͍ۙ. ಛʹʮid΋আ͘ʯͷέʔεͰ ͸ Ұ ༷ ෼ ෍ ͷ ग़ ྗ ͱ ࢥ ͑ Δ ఔ Ͱ ͋ Δ. ৄ ࡉ ͸ ҎԼͰड़΂Δ͕,͜ͷࣄ࣮͸ʮώτͷूஂͱ͍ ͏૷ஔ͸ϥϯμϜͳஔ׵Λग़ྗ͠ͳ͍ͩΖ͏ʯ 13_{σ(1) + 1 = σ(2)}_ͱͳΔ૊_{(σ(1), σ(2))}_{ͷग़ݱ͸গͳ͍}_,_ͱ͍͏ಛ௃_. _{զʑͷέʔεͰ͸}_{(1, 2)(}_෇࿥_D_ͷਤ_4-55_͔Βਤ_4-58 ͷ ͦ Ε ͧ Ε1൪ ࠨ), (2, 3)(ࠨ ͔ Β7൪ ໨), (3, 4)(ಉ13൪ ໨), (4, 5)(ಉ19൪ ໨), (5, 6)(ಉ25൪ ໨)ͷ ग़ ݱ ͸ গ ͳ ͍ ͱ ͍ ͏ ͜ ͱ ʹ ͳ Δ. ໪ ࿦ গ ͳ ͍ ૊ ΋ ͋ Δ ͷ ͩ ͕,Ұ ํ Ͱ ଟ ͍ ૊ ΋ ͋ Γ,͜ ͷ Α ͏ ͳ ಛ ௃ ͸ ͳ ͍ Α ͏ Ͱ ͋ Δ. 14_{༗ ҙ ਫ ४}_0.01_{Ͱ ͷ Ծ આ ݕ ఆ Λ ΋ ͱ ʹ ͠ ͨ}_{. p}_{஋ ͕ খ ͞ ͍ ͷ ΋ ͋ Δ ͜ ͱ ʹ ஫ ҙ ͠ ͨ ͍}_. 15_{͜͜Ͱ͸ʮϥϯμϜͳग़ྗʯͱ͸ʮ฼ूஂ෼෍͕Ұ༷෼෍Ͱ͋Δ฼ूஂ͔Βͷ෮ݩແ࡞ҝඪຊʯͷ͜ͱͱղऍ͢Δ}_. 16_ʮ_σI

(10)

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4.3 ஔ׵ͷੵ

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ઃ໰aͱઃ໰b (a, b =I, II, III, IV, a_{̸= b)}ͷੵ

Λߟ͑Δ. σ_ia, σ_ibΛͦΕͧΕճ౴ऀ൪߸iͷઃ໰ aͷճ౴,ઃ໰bͷճ౴ͱ͠,༗ݶྻ Da,b= (σ_ia◦ σib ; σai, σib ∈ S6)i=1,....1040 Λ ߟ ͑ Α ͏. ͜ ͷDa,b_{͸ ແ ޮ ճ ౴}_∅_{Λ আ ͍ ͨ} σʔλʹͳ͍ͬͯΔ. ஫ҙͰ͋Δ͕,͜͜Ͱߟ͍͑ͯΔͷ͸ҟͳΔ ճ౴ऀͷҟͳΔઃ໰ʹ͓͚Δஔ׵ͷੵͰ͸ͳ ͘,ಉ͡ճ౴ऀͷҟͳΔઃ໰ʹ͓͚Δஔ׵ͷੵ Ͱ ͋ Δ. ͢ ͳ Θ ͪDa,b_{͸ ݸ ਓ ݸ ਓ ͕ ੜ ੒ ͠ ͨ} ஔ׵ͷ༗ݶྻ(σʔλ)Ͱ͋Δ. ౷ܭ༻ޠΛ༻͍ Δ ͳ Β ͹, ର Ԡ ͢ Δ σ ʔ λ Ͱ ੵ Λ ͱͬͨ, ͱ ͳ Ζ͏. ͜ ͷ σ ʔ λDa,b_{Ͱ ͷ}_S 6্ ͷ Ұ ༷ ෼ ෍ ͔ Β ͷ શมಈڑ཭dTV(Da,b)͸࣍ͷ௨ΓͰ͋Δ. ∅Λআ͘શมಈڑ཭ b_\a I II III IV I – 0.3830 0.3667 0.3769 II 0.3686 – 0.3785 0.3968 III 0.3594 0.3670 – 0.3908 IV 0.3923 0.4059 0.3807 – S6͸ඇՄ׵܈Ͱ͋ΔͷͰDa,bͱDb,a͸Ұൠʹ ҟͳΔσʔλͰ͋Δ. ࣄ࣮, දͷ஋͸ର֯ઢର শʹͳ͍ͬͯͳ͍. ͦΕͧΕͷ਺஋ΛΈΔͱ,ઌ ͷ֤ ઃ໰ ͝ͱ ͷ ஋(0.4502_{∼ 0.5730)}ΑΓ ΋, ਵ ෼ͱখ͘͞ͳ͍ͬͯΔ. ࠷খͷ஋͸IͱIIIͷੵ DI,IIIͰͷ஋0.3594Ͱ͋Δ. ҎԼͷද͸, Nͷ஋(Da,bͷཁૉͷݸ਺,͢ͳ Θͪ༗ݶྻDa,b_ͷ௕͞₎_ͱ_,_{ͦΕʹରԠ͢Δશม} ಈڑ཭ͷཧ࿦஋Ͱ͋Δ. Nٴͼશมಈڑ཭ͷཧ࿦஋ (a, b) N µTV,N ± SD (I,II),(II,I) 982 0.3485± 0.008465 (I,III),(III,I) 1022 0.3431_{± 0.008257} (I,IV),(IV,I) 927 0.3551_{± 0.008850} (II,III),(III,II) 977 0.3491± 0.008495 (II,IV),(IV,II) 886 0.3593_{± 0.009222} (III,IV),(IV,III) 922 0.3556_{± 0.008892} ࣍ʹKL৘ใྔΛߟ͑Δ. ҎԼͷද͸KL৘ใ ྔdKL(Da,b)ͷ஋Ͱ͋Δ. ∅Λআ͘KL৘ใྔ b_\a I II III IV I – 0.5801 0.4936 0.5586 II 0.5514 – 0.5298 0.5958 III 0.4832 0.5016 – 0.5641 IV 0.5867 0.6084 0.5447 – ͜ Ε ΋DI,IIIͰ ͷ ஋ ͕ ࠷ খ Ͱ ͋ Δ. ର Ԡ ͢ Δ N͸શมಈڑ཭ͷ΋ͷͱಉ͡Ͱ͋Δ. ҎԼͷද ͸, Nͷ ஋ ͱ ͦ Ε ʹ ର Ԡ ͢ ΔKL৘ ใ ྔ ͷ ཧ ࿦ ஋Ͱ͋Δ. NٴͼKL৘ใྔͷཧ࿦஋ (a, b) N µKL,N± SD (I,II),(II,I) 982 0.4249_{± 0.01828} (I,III),(III,I) 1022 0.4081± 0.01783 (I,IV),(IV,I) 927 0.4501± 0.01893 (II,III),(III,II) 977 0.4271_{± 0.01834} (II,IV),(IV,II) 886 0.4706± 0.01944 (III,IV),(IV,III) 922 0.4525_{± 0.01900} ଓ͍ͯʮid΋আ͘ʯͷσʔλΛߟ࡯͢Δ. ͜ ͜Ͱid͸ʮੵΛͱΔલʹʯআ͘. ͭ·Γ༗ݶྻ (σa_i ◦ σbi ; σia, σbi ∈ S6\ {id})i=1,...,1040 Λ σ ʔ λDa,b_{ͱ ͠ ͯ ܭ ࢉ ͢ Δ}_. _{ͦ Ε ͧ Ε ͷ ஋}_, ٴͼNͱͦͷཧ࿦஋͸࣍ͷදͷ௨ΓͰ͋Δ. 20_{ද த ͷ ਺ ஋ ͷ ޙ ͷ}_SD_{͸ʮ ࣮ ࡍ ͷ ஋ ͔ Β ཧ ࿦ ஋}₍_{ฏ ۉ}₎_{Λ Ҿ ͍ ͨ ΋ ͷ Λ ඪ ४ ภ ࠩ Ͱ ׂͬͨ ஋ ʯΛ ҙ ຯ ͢ Δ}_. _{ྫ ͑ ͹}_, 12.16 SDͱ ͸, IIͷ ஋ Λ ༻ ͍ ͨ(0.4502_{− 0.3477)/0.008430}͕12.16Ͱ ͋ Δ ͜ ͱ Λ ࣔ ͢.

(13)

id΋আ͘શมಈڑ཭ b_\a I II III IV I – 0.3756 0.3646 0.3636 II 0.3654 – 0.3725 0.3986 III 0.3542 0.3643 – 0.3775 IV 0.3746 0.4111 0.3681 – Nٴͼશมಈڑ཭ͷཧ࿦஋ (a, b) N µTV,N± SD (I,II),(II,I) 924 0.3554± 0.008875 (I,III),(III,I) 969 0.3501_{± 0.008545} (I,IV),(IV,I) 722 0.3676_{± 0.01158} (II,III),(III,II) 933 0.3544± 0.008802 (II,IV),(IV,II) 693 0.3817_{± 0.01153} (III,IV),(IV,III) 734 0.3676_{± 0.01136} id΋আ͘KL৘ใྔ b_\a I II III IV I – 0.5210 0.4649 0.5698 II 0.5000 – 0.4923 0.6424 III 0.4454 0.4694 – 0.5775 IV 0.5821 0.6465 0.5634 – NٴͼKL৘ใྔͷཧ࿦஋ (a, b) N µKL,N± SD (I,II),(II,I) 924 0.4515± 0.01897 (I,III),(III,I) 969 0.4307_{± 0.01843} (I,IV),(IV,I) 722 0.5714_{± 0.02166} (II,III),(III,II) 933 0.4472± 0.01886 (II,IV),(IV,II) 693 0.5932_{± 0.02209} (III,IV),(IV,III) 734 0.5628_{± 0.02149} ஋͕΋ͬͱ΋খ͍͞ͷ͸ͲΕ΋IͱIIIͷੵͰ ͋ Δ. ࣍ ͷ ද ͸, ͦ ͷ ཧ ࿦ ஋(ฏ ۉ)͔ Β ͷ ִ ͨ Γ͕ඪ४ภࠩSDԿݸ෼͔Λࣔͨ͠஋Ͱ͋Δ. ཧ࿦஋(ฏۉ)͔ΒͷִͨΓ IͱIIIͷੵ શมಈڑ཭ KL৘ใྔ ∅Λআ͘ 1.974 SD 4.212 SD id΋আ͘ 0.4798 SD 0.7976 SD ʮ∅Λআ͘ʯͷσʔλͷKL৘ใྔͷཧ࿦஋ ฏۉ͔ΒͷͣΕ͸খ͍͞ͱ͸ݴ͑ͳ͍͕,ʮid ΋ আ ͘ ʯͷ σ ʔ λ Ͱ ͸ શ ม ಈ ڑ ཭, KL৘ ใ ྔ ڞʹඪ४ภࠩ1ͭ෼΋ͣΕ͓ͯΒͣ,ޡࠩͷൣ ғͱΈͳͤΔͰ͋Ζ͏. Ұൠ࿦Ͱ͋Δ͕,ྫ͑͹ۮஔ׵ͷ෼෍͔Βͷ ஔ׵ͱحஔ׵ͷ෼෍͔Βͷஔ׵ͷੵ͸حஔ׵ ʹͳΔ͜ͱ͔ΒΘ͔ΔΑ͏ʹ,ઃ໰aͷճ౴ͱ ઃ໰bͷճ౴ͷੵΛͱͬͨ΋ͷͷ෼෍͕Ұ༷෼ ෍ʹ͍ۙ,ͱ͍͏ݱ৅͕ى͖ΔͨΊʹ͸Կ͔͠ Βͷ৚͕݅ඞཁͰ͋Δ. ྫ͑͹, S6্ͷҰ༷෼ ෍Uͱ, S6্ͷԿ͔͠Βͷ෼෍Dͱͷ৞ΈࠐΈ ͸Ұ༷෼෍ͱͳΔͷͰ͋Δ͕, ͔͠͠, ֤ઃ໰ ͸ಠཱͰ΋Ұ༷෼෍Ͱ΋ͳ͍ͷͰ͋ͬͨ. ͜Ε ʹؔ͢Δߟ࡯͸ࠓޙͷ՝୊ͱͳΖ͏. Ҏ্͸2ͭͷઃ໰ͷճ౴ͷੵͷߟ࡯Ͱ͋Δ͕, ໪࿦ͦΕҎ֎ͷ΋ͷΛߟ͑Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δ. ྫ ͑͹, 2ͭͷҰํΛٯஔ׵ʹͨ͠ͱ͖ͷੵ΍,͋ Δ͍͸3ͭͷઃ໰ͷճ౴ͷੵ౳͕ߟ͑ΒΕΑ͏. ͜ΕΒʹؔͯ͠͸ผͷػձʹৡΔ͕,ڵຯਂ͍ ྫ͕͋ΔͷͰͻͱͭ঺հ͍ͨ͠. ʮ_∅Λআ͘ʯ σʔλͰ,ઃ໰aͷճ౴ͱઃ໰bͷճ౴ͷؒʹஔ ׵τ _{∈ S}6ΛڬΜͩ༗ݶྻ (σa_i _{◦ τ ◦ σ}_ib ; σ_ia, σ_ib_{∈ S}6)i=1,...,1040

ΛDa,bτ Ͱ ද ͦ ͏. ͜ ͷ ͱ ͖, (a, b) = (I,III),

τ = (532641)ͰͷS6্ͷҰ༷෼෍͔Βͷશมಈ ڑ཭dTV(D_(532641)I,III )͸0.3307(ཧ࿦஋ฏۉͱͷִ ͨΓ͸−1.502 SD) Ͱ͋Δ. ͭ·Γ,ؒʹద౰ͳ ஔ׵ΛڬΜͩੵΛߟ͑Δͱ, S6্ͷҰ༷෼෍ͷ ग़ྗΑΓ,͞ΒʹҰ༷෼෍ʹ͍ۙΑ͏ʹΈ͑Δ. 4.3.5 ੵͰͷۮஔ׵ͱحஔ׵, ൓స਺ଞ ∅Λআ͍ͨσʔλ, ٴͼid΋আ͍ͨσʔλͰ ͷIͷճ౴ͱIIIͷճ౴ͷੵͰ,શมಈڑ཭, KL ৘ใྔͱ͍͏෺ࠩ͠ͰҰ༷෼෍ͷग़ྗʹ͍ۙ ͜ͱ͸લઅͰड़΂ͨ௨ΓͰ͋Δ͕,͞Βʹͦͷ લͷࢹ఺Ͱ΋ΈͯΈΔ. ઌͣ͸ۮஔ׵ͱحஔ׵ ͷݸ਺ͷදΛࣔ͢. IͱIIIͷੵͰͷۮஔ׵ͱحஔ׵ ∅Λআ͘ id΋আ͘ ۮஔ׵ 527 491 حஔ׵ 495 478 ۮஔ׵ͱحஔ׵ͷݸ਺͕͍ۙ஋ʹͳ͍ͬͯΔ. ࣍ʹ,൓స਺, k൪໨ͷ਺(ॱʹ1൪໨͔Β6൪ ໨),࠷ॳͷ਺ͱ2൪໨ͷ਺ͷ૊ͷώετάϥϜ ٴͼͦΕΛখ͍͞ॱʹฒ΂ସ͑ͨ΋ͷΛ͜ͷ ॱͰʮ∅Λআ͘ʯΛ,࣍ʹಉ͡ॱͰʮid΋আ͘ʯ Λ͓ࣔͯ͘͠. ॱʹʮ_∅Λআ͘ʯ͕෇࿥Dͷਤ 4-65͔ Β ਤ4-73, ʮid΋ আ ͘ ʯ͕ ਤ4-74͔ Β ਤ 4-82Ͱ͋Δ. ͜ΕΒͷਤ͔Β΋, Iͷճ౴ͱIIIͷ ճ౴ͷੵ͸Ұ༷෼෍ͷग़ྗʹ͍ۙͱ͍͏ͷ͕ ૝૾Ͱ͖Δ.