1．はじめに
日本では，算数への興味が低く，算数を苦手と考える 子 ど も が 多 い と い わ れ て い る ． ま た ， 文 部 科 学 省 （2017a）は，経済開発機構のOECDが進めている国際 的 な 学 習 到 達 度 に 関 す る 調 査 で あ る P I S A （ P r o g r a m m e f o r I n t e r n a t i o n a l S t u d e n t Assessment）調査や，国際教育到達度評価学会のIEA が進めている算数・数学及び理科の到達度に関する調査論 文
ゲーム型教材「マスピード」における攻略要素と数の性質との関係
村 川 弘 城
日本福祉大学 全学教育センターThe Relationship Between the Game-Based Material Math-Speed and
Properties of Numbers
Hiroki MURAKAWA
Inter-departmental Education Center, Nihon Fukushi University
Keywords：算数，数学的な考え方，教材開発，ゲーム型教材
Arithmetic, Mathematical Thinking, Develop Materials, Game-Based Material
要旨 本研究では，村川（2012）が開発したゲーム型教材「マスピード」における効果的な攻略要素が数の性質と関係することを明ら かにすることを目的に設定した．これまでの研究の中で，マスピードで「勝つ可能性を高めるためにとるべき方略や獲得するべき 知識や能力，技能」といったゲーム攻略に関する要素の中に，数学的な考え方が表れることが分かっていた．そのため本研究では， 子ども達に考えさせたマスピードの攻略要素を分析し，数の性質と関係があることを示すことをねらいとした．結果，マスピード の攻略要素の中で特に有効だと考えられているものの多くは，数の性質につながることが明らかになった．そしてそれらの攻略要 素は，マスピードのルールの特徴に依るものであることが示された． Abstract
The purpose of this study is to clarify that effective elements of the strategy in game-based materials “Math-speed” is related to properties of number. Previous research has revealed that the numerical way of thinking was represented as a way to win Math-speed. Therefore, this study analyzed the way to win Math-speed and tried to show that it is related to the mathematical thinking. As a result, it is clear that effective elements of the strategy in “Math-speed” is related to properties of number. And those results were shown to be obtained by the features of the Math-speed rules.
学びを行うための取り組みは多くなされている．たとえ ば，金山・田村（2018）は，学習の動機と指導者の役 割とを，数学的な見方・考え方が育つ活動でつなぐこと を意識した指導方法を示し，「子どもが解決に向けた活 動に取り組みたくて仕方がない状況をいかに作るか （p.56）」が重要であることを示している．他にも，田 中・神谷（2019）は，事象の変化を数理的に捉えるこ とを通して数学的な考え方を働かせることを目指した研 究授業を行い，子ども達から引き出した「数学的な考え 方」を片桐（2004）に当てはめて分析し，「児童に発 表させる際，考えに至った理由を述べさせる」などの工 夫が効果的であったことを示している． 筆者が開発したカードゲーム型の教材である「マス ピード（村川，2012）」もその一つであり，この教材 を基にこれまで様々な研究を行ってきた．村川・黒上 （2012a）では，マスピードの利用の前後で，数に対す るイメージを問い，素数と合成数のイメージの変化か ら，素数概念の獲得を示している．また村川（2014） では，子ども達に1年間を通してマスピードを行わせ， ①マスピードの得意不得意と知識・技能の活用に関する 問題得点の関係，②マスピード利用の事前事後比較によ る知識・技能の活用に関する問題得点分布の変化，③マ スピード利用者と非利用者の比較による知識・技能の活 用に関する問題得点分布の変化をそれぞれ分析し，マス ピードの利用が知識・技能の活用に関する問題得点に影 響を与えることから，数学的な考え方を育むためにマス ピードが有効であることを示している．しかし村川 （2014）では，「数学的な考え方は他にもあり，ま た，テストの得点だけで正しく測れるものではないとい う考えもある」（p.395）としており，マスピードを 行った上で培われる数学的な考え方の具体化がまだなさ れていないと言える．そこで本研究では，子ども達がマ スピードを通してどのようなことを考えたのか，数学的 な考え方の具体化を行いたい．
2．ゲーム型教材「マスピード」
マスピードは，数字の書かれたカードを使って行う ゲーム型の学習教材であり，手元にある2枚以上の数と 四則演算を駆使して場に置かれた数を作るものである． マ ス ピ ー ド の ル ー ル に つ い て は ， 村 川 ・ 黒 上 （2012b）を参考に説明する． マスピードは，1から9までの数字が書かれたカード2枚 であるTIMSS（Trends in International Mathematicsand Science Study）調査の結果から，「（前略）児童 が算数は楽しい，算数は面白いと感じ，算数が得意にな るような授業をつくりだしていくことが大切である」と 述べられている．これについて金本（2010）は，学習 指導要領の中に「活動の楽しさ」という文言が含まれて いる理由について，IEAなどの国際比較調査で算数が好 きと答える割合が低かったことが要因になっていると示 している．このような「活動の楽しさ」から来る算数へ の興味関心は，現在初等教育の中で特に求められている 「深い学び」へとつながるため，現在様々な研究が行わ れている．「深い学び」に関して特に注目されているも のが，「見方・考え方」である． 「見方・考え方」は，現行の学習指導要領から出てき た言葉であり，「どのような視点で物事を捉え，どのよ うな考え方で思考していくのか（文部科学省2017b， p.25）」を示したものである．算数科における数学的な 見方・考え方は，「事象を数量や図形及びそれらの関係 などに着目して捉え，根拠を基に筋道を立てて考え，統 合 的 ・ 発 展 的 に 考 え る こ と （ 文 部 科 学 省 2 0 1 7 a ， p.7）」とされている．数学的な見方・考え方は，これ まで示されてきた数学的な考え方を発展させたものであ ると言える．数学的な考え方に関して片桐（2004） は，数学的な態度と数学の方法に関係した数学的な考え 方，数学の内容に関係した数学的な考え方の3つのカテ ゴリーを提示している（p.37）．数学的な態度は，「自 ら進んで自己の問題や目的・内容を明確に把握しようと する」，「筋道の立った行動をしようとする」といっ た，「問題に遭遇したとき，その解決に当たって，どう いう構えをするか，どういう心的な構えをするかという こと（p.36）」である．数学の方法に関係した数学的な 考え方は，帰納的な考え方や類推的な考え方，抽象化の 考え方，数量化の考え方といった，算数や数学的な活動 をしていくときに使われる方法のことである．最後の数 学の内容に関係した数学的な考え方は，考察の対象の集 まりや，それに入らないものを明確にしたり，その集ま りに入るかどうかの条件を明確にする」といった集合の 考えや，操作の仕方を形式化しようとする」といったア ルゴリズムの考えや，「基本法則や性質に着目する」と いった基本的性質の考えといった，算数や数学的な活動 をしていくときに使われる内容のことである． このような，数学的な（見方・）考え方を基に，深い
⑤③と④の操作を繰り返し，台札と手札のカードを先に 無くした方が勝ちとなる．ただし，手札が出せない場合 は，台札（無ければ手札）から1枚場札に出す．
3．研究の目的
マスピードは，幾つかの数と四則演算を駆使して特定 の数を作るものである．文部科学省（2017a）は，図3 のような1つの数を合成や分解させる学習内容によっ て，数感覚を豊かにすることを示している．また，片桐 （2004）は，「1つの数を，2数の和や差や積の形でと らえるということは，それぞれの数の特徴をとらえ （片桐2004，p.78）」ることになると示している．数 感覚に関して銀島・清水（2003）は，数感覚を豊かに することを目的とした研究をレビューし，「数を多面的 にみること，数の大きさを捉えること，大きな数や数の 構成の理解に偏って」おり，「見積りや暗算，計算の工 夫，計算結果の吟味など，数と演算との関連が扱われて いるものは僅か」であることが示されている．この原因 として，「計算の学習と数感覚の育成とは相容れないも のであるとの見方がされがちである（p.154）」ことを 示している．これに対しマスピードは，計算の学習の中 で数感覚を養う可能性が示唆されている．たとえば村 川・黒上（2012a）は，前述したように，マスピードの 利用によって素数概念が獲得されたことを示している． また，村川ら（2013）は，マスピードの攻略要素を振 り返らせることで，その中に数学的な考え方が活かされ ていることに子ども達が気づくことを示した．つまり， マスピードの攻略要素には数学的な考え方が含まれてお り，それらの考え方は，先の推測から，数の性質である 可能性が高い．他に，マスピードは，対戦型のゲームと いう特性もある．「競争を行うことで，協調学習よりも バリエーションが多く，個別の場面に注目した戦略を立 案する傾向が見られた（福山，2011）」ことがわかっ ており，「考える」ことへの期待ももてる． そこで本研究では，「マスピードで効果的な攻略要素 が数の性質と関係することを明らかにする」ことを目的 とする． ずつ計18枚を用意し，次の手順でプレイする． ①互いに数字の書かれたカードをよく切り，裏返しに して机の上の左側に置く（以後，台札）．台札から5枚 引き，表にして並べる（以後，手札）（図1）． ②台札からカードを1枚引き，手札の右斜め前に出す （以後，場札）．場札は自分のチームと相手のチームと でそれぞれ1枚ずつ出すため，全部で2枚置かれること に な る ． 図 2 で は ， 自 分 の チ ー ム が 出 し た 場 札 は 「5」，相手のチームは「4」を出している． ③手札の数字2枚以上と四則演算を使い，場札のいず れかの数字を作り，使った手札を場札の上に置く．例え ば図2では，自分のチームは，手札の「2」と「3」を足 して場札の「5」を作ることができる．また，「6」か ら「2」を割り「1」を足して，相手のチームが出した 「4」の場札に出すこともできる． ④使った枚数分のカードを台札から引いてくる． 図 1 初期状態 図 2 マスピードの開始 図 3 8 の分解（p.81）は学習者が発表するための用紙に書かれていた原文のま ま，（）内の数字は，その個数を表している）． A：1に関する攻略要素 （5） A-1「1を有効的なものとして残しておく」（2） 『つまった時に1を使う』など A-2「同じ数同士で割る」（1）（Bとも関連あり） 『だぶっている数字を÷にして1にする』 A-3「一度に使う数を増やすために1を使う」（2） 『×1』など B：大きい数に関する攻略要素（3） B-1「大きな偶数は2でわる」（1） 『2で大きい数をわる』 B-2「大きな数は小さな数で小さくする」（1） 『大きい数がある時は，1の位の数を有こう的 に使う』 B-3「大きな数は早めに使う」（1） 『二桁の数字から使う』 C：四則に関する攻略要素（2） C-1「たし算やひき算にこだわらない」（2） 『かけ算やわり算をつかう』など D：その他攻略要素 D-1「手札をすぐに補充して選択肢を増やす」（1） 『ばふだ「手札（筆者）」がへったらすぐに手 ふだをだす』
6．結果の考察
第1節 「1」に関して まず，マスピードの攻略要素で最も多く書かれていた 数字の「1」を利用した攻略要素について説明する． A-1「1を有効的なものとして残しておく」という攻略 要素には，特に2つの考え方が含まれている．1つ目 は，同時に出す手札の数を増やすことができるという考 え方，2つ目は，数字を計算することが簡単であるとい う考え方である． 1つ目の，同時に出す手札の数を容易に増やすことが できるという考え方は，A-3『×1』で表された，「一 度に使う数を増やすために1を使う」という攻略要素に も表れている．これは，任意の数字にかけてももとの数 と同じになるという乗法単位元の考え方が子どもたちの 中に生まれていることを示している．今回，攻略要素に4．研究の方法
本研究では，2013年に得たデータをもとに分析を行 う．評価を行う際の対象としては，公立の小学校当時6 年生26名（1クラス）を選んだ．学習者は，5年生の時 からマスピードを行っており，直近の約2ヶ月間ではマ スピードを使った算数の授業を6回行っていた．それ以 外にも，希望者には休み時間にマスピードを貸し出して 行わせていた．基本的には1～3人で一組みとなり，話 し合いを行いながら対戦方式で行っており，1年間を通 して，手札の枚数を5枚から6枚に変えたり，手札を4枚 以上使う，使う数字を20までに増やすなどの制約を与 えたりして難易度を変えて実施していた． 本研究の計画は以下のとおりである． 1．個人でマスピードの攻略要素を考える まずは個々人で好きにマスピードを利用させ，攻略要 素を考えさせる．攻略要素を考えることに意識させるた め，吉崎・渡辺（1992）の再生刺激法を参考に，自分 たちのマスピード利用時の映像を観ながら，攻略要素を 考えることができる環境も用意する． 2．班で攻略要素を考える 学習者を4～5人ずつの班（全6班）に分け，それぞれ の班から特に有効だと思う攻略要素を話し合わせる．特 に有効だと思う攻略要素が幾つかあったとしても，最大 2つまでとする．考えたものは紙にメモをさせる．この とき，黒板に書かせることを踏まえて簡潔に書くことを 指示する． 3．班で考えた特に有効な攻略要素を発表する 班で考えた攻略要素の中で，特に有効な攻略要素を， 自分たちが黒板に書き留めた文章の前に立ち，クラス全 体で発表させる． 紙にメモした攻略要素を，数の考え方や性質をもとに 分析する．簡潔にまとめられた結果，意味が不足してい るものなどに関しては，メモや子ども達の発表した内容 を基に補足して検討する．攻略要素のまとめに関して は，筆者がよく似た意味のものをまとめ，今回協力して いただいた2名の教員に確認する．5．分析の結果
6班のうち，5班が2個，1班が1個の攻略要素を発表し たため，全部で11個の攻略要素となった．攻略要素を まとめると，以下のようになった（「」は発表と発表に 対する指導者の質問をもとに筆者がまとめたもの，『』言える． 次に，「大きい数」に関する攻略要素について説明す る．「大きい数」については，A-2の「同じ数同士で割 る」という攻略要素にも少し示したが，基本的にマス ピードは暗算で行うため，大きい数は計算が難しく，子 どもたちが苦手とする傾向にある．しかしマスピードは そのルール上，最後に手札を出し切らなければならな い．もし，使いづらい数字を残しておけば，先に相手よ り手札が少なくなったとしても，逆転されてしまう．こ れは，A-1の「1を有効的なものとして残しておく」 や，B-3「大きな数は早めに使う」という攻略要素にも 表れている．このようにマスピードは，二桁の数字はで きるだけ早く消費することが望ましいため，B-1「大き な偶数は2でわる」や，B-2「大きな数は小さな数で小 さくする」という攻略要素が出てきたといえる．そして これらの攻略要素は，C-1「たし算やひき算にこだわら ない」という攻略要素とも関係している． 第3節 四則演算に関して Cは四則に関する攻略要素である．子どもたちは，マ スピードを始めて触った頃は，たし算やひき算を多用し ており，かけ算やわり算，特にわり算はほとんど使われ ることはなかった．しかし，C-1「たし算やひき算にこ だわらない」という攻略要素が出てきているように， 徐々にわり算が使われるようになる．具体的に，A-2 「同じ数同士で割る」，B-1「大きな偶数は2でわ る」，B-2「大きな数は小さな数で小さくする」といっ た攻略要素は，わり算を上手く利用した攻略要素とも換 言できる． わり算を利用するようになってくると，子どもたちの 中で，除数として利用できる，できない数，被除数とし て利用できる，できない数などの分類が行われ，素数や 合成数，因数，約数といった考え方につながっている．
7．おわりに
今回マスピードを利用することで，子どもたちには数 についての様々な考え方が得られた．このため，「マス ピードで効果的な攻略要素が数の性質と関係することを 明らかにする」という本研究の目的を達成できたと言え る． また，「1」の有効性や大きな素数の対処法など，得 られた考え方の多くは，1つの数を2数の四則でとらえ ついて話し合ってもらった子どもたちは，6枚の手札の 内で5枚を同時に使わなければならないなど，難易度を 色々変えて行ってきた．このため1をかけることで，同 時に出す手札の数を増やすという考えが多かったと言え る． 第2節 大きい数に関して 2つ目の数字を計算することが簡単であるという考え 方は，1という数字は0を除く最小の自然数であり，た し算やひき算が容易であるという考え方につながってい る．1はたし算やひき算が容易であり，かけ算のもとに なる数を容易に変えることができるため，2数で計算を する場合と同じように計算することができる．例えば， 場札が「16」で手札に「4，5，1」がある場合，16とい う数字を因数分解し4×4と考えることができれば，5–1 の計算は容易にできるため，4×（5–1）を生み出すこ とができる．これらの考え方が，A-1「1を有効的なも のとして残しておく」という攻略要素にも表れている． このように，「1」がマスピードを行う上で有効であ るため，A-2「同じ数同士で割る」ことが攻略要素とし て示されている． 今回，攻略要素について話し合ってもらった子どもた ちは，既に素数についての知識を持っているため，この 調査では素数の知識がマスピードによって生まれたもの であることを示すものではない．しかし，「同じ数同士 で割る」という攻略要素は，使いづらい数が2つあれ ば，使いやすい「1」を作ることができ，有効な手段と いえる．このため，Bの「大きい数」に関する攻略要素 であるともいえる．また，プレイ中には，わざわざ手札 にある二桁の素数を一桁同士の手札を足して作るといっ た方法が多数見られた．素数は被除数では使いにくいた め，大きな素数の攻略要素を考えなければならない．大 きな素数が出てきた際に，同じ数字のものであれば割る ことができることに気づき，「同じ数同士で割る」とい う攻略要素が考えられたといえる．このように四則演算 が混在する3つの数字の計算から得られる考え方は，お はじきを使った学習では難しい．しかし逆に，繰り上が りなどの数感覚は，深井（2000）が行うように，おは じきを実際に並べてイメージさせることが効果的である ため，マスピードのような計算の学習では難しいと言え る．このように，マスピードがおはじきにとって代わる ものではなく，目的に合わせた取捨選択が必要になるとるだけで得られる事は難しく，3数以上の四則でとらえ る必要がある．つまり，学習指導要領に示されていたよ うな，おはじきを使った指導方法から引き出すことは難 しく，マスピードの効果が改めて示されたと言える． 引用・参考文献 深井文雄（2000）おはじきを使った算数的な活動を支える教 師の支援 第 1 学年「くり上がりのあるたし算」を通して． 岡山大学算数・数学教育学会誌，7 巻：23-27 福山佑樹（2011）ゲームにおける競争要素が戦略形成に与え る影響．日本シミュレーション & ゲーミング学会全国大 会論文報告集 2011 春号，21-24，千葉工業大学，5 月， 2011年 銀島文，清水克彦（2003）数感覚の育成に関する研究動向の 整理と検討 II．日本数学教育学会第 36 回数学教育論文発 表会論文集，36：151-156 金本良通（2010）第 2 章算数教育とその目標の変遷．新訂算 数教育の理論と実際，数学教育研究会編．聖文新社，東 京：35-58 金山憲正，田村真生（2018）主体的・対話的で深い学びをめ ざした算数指導の一考察．奈良学園大学紀要：47-57 片桐重男（2004）数学的な考え方の具体化と指導 —算数・数 学科の真の学力向上を目指して—．明治図書，東京 文部科学省（2017a）小学校学習指導要領解説 ― 算数編 ―．文部 科学省，東京 文部科学省（2017b）新しい学習指導要領の考え方，平成 29 年度小・中学校新教育課程説明会（中央説明会）における 文科省説明資料． （https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/__ icsFiles/afieldfile/2017/09/28/1396716_1.pdf 参 照 日： 2020年 11 月 16 日）） 村川弘城（2012）算数指導用ゲーム型学習教材「マスピード」． 算数・数学情報誌 ROOT，9：8-9 村川弘城（2014）数学的な考え方を育成するカードゲーム型 学習教材「マスピード」の評価．日本教育工学会論文誌， 37（4）：387-396 村川弘城，黒上晴夫（2012a）「マスピードゲーム」による素 数の概念獲得に関する研究．日本教育メディア学会全国大 会：133-136 村川弘城，黒上晴夫（2012b）小学校算数「数と計算」自己学 習のためのカードゲーム型教材「マスピード」の開発と効 果．日本教育工学会研究会，12（3）：199-204 村川弘城，白水始，鈴木航平（2013）ゲームにおける方略の 振り返りが動機づけに及ぼす効果 ―カードゲーム型学習 教材「マスピード」を例に―．日本教育工学会論文誌，37 （suppl.）：109-112 田中伸明，神谷麻美（2019）児童の数学的な考え方を引き出 す算数授業の研究 ―事象の変化を数理的に捉えることを 通して―．三重大学教育学部研究紀要：497-505 吉崎静夫，渡辺和志（1992）授業における子どもの認知過程 ―再生刺激法による子どもの自己報告をもとにして―．日 本教育工学雑誌，16（1）：23-39
