修正型降雨強度式とその定数について

(1)

修正型降雨強度式とその定数について

松田誠祐゛・上森千秋゛゛“・近森邦英゛゛゛

（゛農学部防災水工学研究室芦゛同利水工学研究室）

Normalized

Rainfall Intensity Equation and Constants in it

Seisuke

Matsuda*

, Chiaki Ａｇｅｍｏｒi＊＊ａｎｄ

Kunihide

Ｃｈｉｋａｍｏｒi＊＊.

＊ＬｏｂｏｒａtｏｒｙｏｆＷａtｅｒ DiｓJiｓtｅｒＰｒｅｕｅｎtｉｏｎＥｊｉｇｉｎｅｅｒｉｎｇ；＊＊Ｌａｂｏｒａtｏｒｙ０/ Ｗａtｅｒ− Ｕtiliｚａtｉｏｎ.ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＦａｃｕlり０/ Ａｇｒicｕltｕｒｅ

Abstract

This paper presents ａ new normalized rainfall intensity equation. It enhances the

usefulness and accuracy by it being applied to the divided durations.･Charactaristics of

constants which are included are examined and discussed based on the rainfall intensity datas

at Shikoku district in japan. The range for being of the constant b of the new revising

function is followingly expressd.

−Tぷijﾝ=ＴyKb・miﾉｼ==iry and 一log(v T)・TJJﾗﾆc

in which T is the upper limit time number and ｃ is one of constants.

はじめに降雨強度式，すなわちＤＤ式は降雨の時間分布特性を表現し，空間分布特性を表わすＤＡ式および洪水到達時開式とともに降雨一流出系における基礎式と考えられる。ところでＤＤ式としてこれまで提案されてきたSherman式, Talbot式，久野式，３定数式などは，いずれも次元を待った式形で表現されている。また，式中の定数の定め方は，田中・角屋1)の示した３定数一般式の場合を除き，近似的な最小２乗法による方法が一般的であった。最近，松田・角屋aは修正型３定数降雨強度式を提案し，これまでと違った定数の定め方を示したが，ここではSherman式の基準化と区間分割によってさらに実用性の高い修正関数を提案するとともに，定数の分布を調べ計画降雨作成のための定数の定め方を提案した。 Sherman式の基準化一般に，物理現象を説明するための経験式は，「現象に関係する変量を基準化して無次元変数に対する経験式とする場合」と「有次元変数に対する経験式を組み立てる場合」の２通りが考えられる。前者が普通であると考えられるが後者も結構多い。ここで扱う降雨強度式もこれまでのものはいずれも後者の例であり，著者らは基準化して扱う方がよいと考えている。゛松田・角屋ａはこれまでに

(2)

56 高知大゛゛学術研究報告第32巻自然科学提案された降雨強度式の式形を生かすため，時間ｔを「単位時間△7‘で基準化された無次元数」と考えるべきであるとしたが, Sherman式についてはすこし違った取り扱いができる。降雨強度式に限らず，次元を有するいくつかの変豆t間に成立する経験式を基準化する場合，元の式とそれに基準変量を代入した式との比で表現できれば好都合である。すなわち, Sherman式の基準化ではこれが可能であり，次のように示される。ア ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● “ ゛石￣ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ① ②

十一肩戸……ｏ

ここに，ｊ：任意時間ｔの降雨強度（ｍｍ/h）:it，:基準となる時間t,の降雨強度(mm/h) ; a, c：定数。（３）式でt/t.→t,H,→ａの変数変換をすれば基準化されたSherman式が得られるが，もはやａを未知定数と考えるのは適当ではなく，（４）式のように未知定数はｃのみの１ｲ固と考えるべきであろう。･一十‥‥‥‥‥④ ここに. '1:単位時間の降雨強度,ｔ：無次元時間数。区間分割による修正関数 (１)式で示されるSherman式の実際データに対する適合性はあまりょくないが，これを改善する修正関数として(５)式が松田・角屋3にょって提案されている。 Φ−(･F)1･･logit)・・・・・・・(5-1) −(1)6°logiT/t) . . . .｡｡(5-2) ここに，Φ：修正関数.t；無次元時間数でtlくｔ＜Ｔ； tl,Ｔ：修正関数の適用下上限時間数; ｂ：定数。上式はまったく同じ性質を示し，いずれか都合のよい方を用いればよく，結局降雨強度式は次式で与えられる。ﾐI l '■^tablogll)￡Ｌ・・・ ‥･･・・･(6-1) ご Jl <6-2) ic-b-hfUT/l) I （６）式の実際データに対する適合性は，これまでに提案されている他のいずれの降雨強度式よりもすぐれているが，一つの欠点は指数項に時間数ｔの対数を持っていることであろう。（６）式を洪水比流量曲線式に利用する場合などには大きな欠点となる。そこで. (5)式の指数項のｔに√rを代入してみよう。｡これは修正関数の適用範囲を２つに区間分割し. ( 5-1 )式と（5-2）式をそれぞれｔ≧∼／ｙおよびｔ≦，／Ｔの区間の修正関数として分離

(3)

，正型ぶとそのについて｀公田・上，｀することに相当する。すなわち，修正関数は次式で与えられる。 Φ−(子)い゜が√７) μJ￣Ｔ‥・(7-1) 57 −(1)b･ｌｏＭ／T) tｙ/￣７･‥(7-2) したがって，降雨強度式はそれぞれ次式で与えられる。丿一tc+b-iogirr.か- t２√ア‥・(8-1) ＼一戸謡・7=町ぼ√了‥・(8-2) (8)式は指数項にｔを含まない修正型降雨強度式であり，区間分割という適用条件がつくことを許せば，応用範囲はきわめて広いと考えられる。なお, (1)式の定数ａとｃの間には(9)式の関係が成立し｡(4)式の定数ｃは旧式，修正関数の定数ｂは闘式で与えられる。ａ=ＲＴ･Ｔ’･j ・・・・・・ ◆ ・・・・ツ⑨ かがＲ１･7J17う‥‥‥‥ 。,万ｃ￢ logiT) ‥‥‥‥‥⑩ 首戸毎務しＯ一首(T/t)-lo,ｼﾞﾀﾞ= y Ｆ t>fT ■■(11-2) 一勺ぶ^･t'-'/fiドーt痢￣７・・(11-3) ここに. ≪,./?t, Rt：それぞれｔ。ｔ=４=へ凡．Ｔ時間の雨量； tlくｔ＜Ｔ．ここで示した基準化の手法は特殊な例であり, Sherman式以外の降雨強度式には適用できない。しかし，ＤＡ式として著名なHorton式も同様の基準化が可能であり，両式から基準化されたDAD 式が誘導できるｊ定数ｂの範囲 (5)式で表される修正関数の定数ｂの存在範囲は，ｔ時間の降雨強度をし降雨量を犬とすると， dj/dt￡Oおよびd尺/dt之Ｏの条件から次式で与えられる。

一石。石

一品ぺ

一謡千亀品

一面紬ぺあ

⑩ また. (7)式で表される修正関数の定数ｂの存在範囲も同様の条件式から次式となる。

(4)

58 さ知＾゛゛’研゛゛一第32巻・然ヽ四国の豪雨資料を用いた定数の検討四国の主な雨量観測点(気象官署4):･高松，多度津，戸川，松山，宇和島，久万，大州，高知，足摺岬,‘宿毛，船戸，室戸岬,i徳島,日和佐，穴吹，鬼而野，木頭，剣山；高知県：本山,永瀬ダム? 吉野ダム6)･杉田ダム7)；四国電力：伊尾木川ダム＠)の降雨資料から｡24時間雨量が100∼450ロのものを選び，各資料の1∼24時間最大降雨強度を求めて基礎資料とした。したがって. t,= l. T=24となる。 Fig. 1 は!5)式と(7)式で示される修正関数の１例を示したもので両者の特長が理解される。(7)式は，例えば１時間の降雨強度と２あるいは３時間の降雨強度が等しい場合もあることを認めている。計画降雨の作成などの場合，短時間降雨強度は安全側に見積られるはずである。 Fig. 2は1, 2, 4. 8. 16, 24時間降雨強度 c 1 ０９８１０００。 Fig. 1 （5）式と（7）式の修正関数の一例（b=±0.1） 5 0 0 2 0 0 ０００ｉｎ１ ( Ｈ／ l i r a ︶ｔ 2 0 1 0 データを用い｡24時間降雨量尽2，をパラメータとして近似的最小２乗法により求めた(1)式の定数α とｃの関係を片対数紙にプロットした結果であり，実線は(9)式を表す。いずれの場合にも定数ａとｃの値は実線より上に分布するものが多いが，(9)式の関係をよく表現している。ＤＤ分布は両対数紙上で上に凸の分布を示し。定数ａが八より大きくなる場合が多い･ことを示している。計画降雨の作成あるいは洪水比流量曲線の地域係数などは。単位時間降雨強度の効果が大きいため。定数ａを近似的最小２乗法によって求めると過大に推定されヽることが予想される。Sherman式は(4)式のように表現すべきであり。定数ｃは計画に用いるべき， ■Rii R2,を旧式に代人して求めるべきであろう。 5 0 { Ｈ／ｎｍ } Ｂ 2 0 1 0 ０．５Ｃ】 . 0 Fig. 2-1 Sherman式の定数ａとｃの関係５００５Ｃ０ Fig. 2−2 Sherman式の定数ａとｃの関係 1 . 〔 j

(5)

59 Fig. 3 とFig.4は,Ｕ式とＵ式で示される定数ｂの存在範囲をR24をパラメータにしてRIに対して求めた結果である。計画降雨を作成する場合など，実用的には定数ｂの上限分布をどの程度に見積ればよいかが重要であろう。口式ではやや小さく，回式ではやや過大になることが予想される。０８６４２１００００．Ｓ０．００．２ -0.4 −0.6 -0.8 −1.0 . Q ｜．００． 8 0 . 6 0.4 0.2 0 . 0 - 0 . 2 -0.4 -0.6 −0.8 -1.0 Fig.3 (12)式の修正関数の定数ｂの存在範囲 Fig. 4 (13)式の修正関数の定数ｂの存在範囲 Fig. 5 は, R2≪ = 100∼450nmiの降雨に対する定数ｂの値を旧式からｔ＝５(=へ/24)として求めた結果を示したものである。四国の降雨資料のみでは十分な資料数が得られず. Ri の分布範囲が限られているが，定数ｂの上限分布は，大体(12)式と(13)式の平均値の程度であると考えられ，その計算値を表−１に示す。 1 . ００． 8 0 . 6 ０． 4 0 . 2 ぶ０．０ -(1.2 -I).4 -O.S -II.≪ 1.０１。【】０．８０．６０． 4 0 . 2 Ｊ］０．０ − ０。２ -0.4 ６８０００ −Ｉ一一一 Fig. -5-1一四国の雨量データからみ’た定数ｂの分布 Fig. 5-2'四国の雨量データからみた定数ｂの分布 (Ri. R5. R24から計算） (Ri. R5. R24から計算）

(6)

60 l.0 0.8 0.6 0.4 0.2 - z ｺ０．０ − ０．２ - 0 . 4 - 0 . 6 − ０．８ − 1 . 0 Fig ロ知大 ’研゛告第32巻然科学 0.4 0.2 .Q 0.0 -0.2 −0.4 -0.6 -0.8 ,-1.0 5-3四国の雨量データからみた定数ｂの分布 (Rl, R5，R24から計霧）ｌ．００． 8 0 . 6 ４２０２００００一Ｊ -0.4 -0.6 −0.8 -1.0 Fig. 5-5 四国の雨量データからみた定数ｂの分布 (Ri. R5. R24から計算） 1.0 ８６４２００００ , ａ０．０ − ０．２ − ０．４６８０００１一・一一 Fig. 5-4四国め雨lilデータからみた定数ｂの分布 (Rl. R5，附4から計算） 1 . 0 ０．８０．６０．４０．２ - ａ０．０ − ０．２ − ０．４ - 0 . 6 - 0 . 8 − 】．０ Fig. 5-6 四国の雨量データからみた定数ｂの分布 (R], R5. R24から計算） , ａＯ｡０ − ０．２ - 0 . 4 - 0 . 6 − ０．８

Fig. 5-7四国の雨量データからみた定数ｂめ分布 Fig. 5-!3 四国の雨faデータからみた定数ｂめ分布

(7)

︵Ｔ９×︶ｍＴｃｏｑｍ＾ｉ-＾ ●，ヽl とそのについて公．● ●｀ 61 ⊂) (⊃ (Nl (⊃ C ￡） C ヽ一 (y) Cy) y−4 y―i (73 l―i l ｀ − C O ( N C ｀ヽ t ヽ − C ＼］ Cyつ r―i Cり C ￡）々 C y つ Q ） C ヽヽ C り C りこ ' 吋゛ (X) C9 々 CM Lr）々々 C ヽヽ々ば l ） 0 2 々々 y−1 ぱ） Cy:） Cy） in Q￡） CVつば;j (⊃_a> I―I (X) f--i 々 a> U:）Lr） ← O5 Ｏ (Ｎ Lr) Lrつ (Ｎ Lr) (乃 (Ｎ f−4 Cf） Cy） C y つ t C ）ぐずつ C y ）㎝ぐ y ） f−4 (N 々ａ）寸々 ⊂） eヽ々 <N1 (7) 々 ( N y − 4 L f ‘ ) (Ｎぐy) ぱ) q） CY） un Oi → Lr） O (X) 1―I U⊃ en (Ny−4 f−4 ぱつ t ｀ヽ f − 4 t ヽヽ C S l ( N Cy) tヽ (N Cy） y−4 Cy） C恥．や Cy） (N (X) Cり CM 1―I 々㎝ Cy）々々ｑ）一寸 (X) (X) 々 ⊂） y−4 Lr） f−4 ぐり Lr）心ぐず）ぱ） (X:) y−4 Lr) こＯぱつ (⊃ lヽ− y一哨 a） Lrつ (Ｎぐり T―( 々 C y ） y 一哨 t ヽヽ々 < N 1 Cy） C71 <N1 CYつ Cyつ CO O) q） Cり C Q ⊂）々 ← CT）々・ (35 Lr）々吋 C ￡）々 (X) ⊂) ぱ) (⊃ Cr) LO q ⊃ ぐ y ）ぱ） t ヽヽ r ― i L r ） CX) (恥寸 1-H CX）寸 O q⊃ 1―(･ q 二） t ヽヽ Cりぱ） → ばつ 1―I CSI (X) Q￡) CM Cり f−4 Qつ々 LO Cf）ご (恥 Cy) くＮ (Ｎ々 C>3 LO 々 C 乃 t ヽ − 々ばつＯぱ） CX） CM ばつ q ）（ Y つば : ）・ a ） y − 4 L r ） a） Cy）々 (X) tヽヽ々 (⊃ q:）々 O Lr） y−4 (⊃ CX）・（乃 L 乃 t ヽ 4 -y − 4 l ヽ − C f ） Q ､ l ご a> (Ｎばつ Cy） CO Q ） t ヽ C y : ） CSl r−4 吻4 寸々々々 l ｀ヽ々 1―I (⊃ Lr) l ｀ヽ ( N ぱつ Q⊃ CY） Lr）々 1―I Lr）々Ｑ々．々 l ｀ヽ々 C〉 Lr）々 (X) CYつ寸 O 々 y−4 々 oo _(NlCO y−4 α ） C y ） f 一州 1 ― I Q ￡） < N I Cy） f−4 Cり (恥 Lrつ Cず) <T> ㎝ CO Lr） Cり々 (X) a) 々 CX） C恥々Ｕ^) (Ｎぱ) U⊃ Cy）ぱ） Cy） f−4 Lr） f−4 cr> 々 ( ⊃ C ｀ヽ々 ○ ば）々 (N CY) 々々 T―I 々 C） Cyつ y一司 C乃々 t∼ 々 f−4 々 (Nl CSl q）（X） C＼］ (yl Cy‘) Cy:) 々 (X) Cy) L乃 (Ｎ々 f−4 a）々 C7つ a 々 CT) (N LO U⊃ Cり Uつ y − 4 y 一州 m t ヽ − a : 〉々 L f ‘ ) q ) 々 Lr）々々 Lrつ (Ｎ々 E｀ヽ ⊂）々 C 7 ） C X : ） C y ）Ｃ) (Ｎ ← q ） l ヽ − LO_eヽ l―i f−i ばつ Q､l CYつ 1―I CVつ a） q⊃ Cyつ (N 1-H 々 C＼a Uつ寸゛ CX) (X) 々ｬｰ哨 CM ぱ）￡￡） Cy） Lr） (7) (⊃ ばつ々 C￡）々 (二) U⊃ 々 CX） CT）々 l｀ヽ 1―I 々 (X⊃ a> Cり <T> Cヽヽ Cり oo q二〉 Cy） O I―I 1―I Q） ⊂） → 寸 ⊂） CJ f−4 (X) CM Cy）々 Cy） Q⊃ ㎝ Cyつ y−4 寸々 C｀Q CX）々 CX:） y−4 ぱ） q） Cy） Lr） tヽヽ O LO Cy） C｀− や々ば‘) 々 (⊃ ぐy) 々 (X) ⊂) 々 (X) (X) Cyつ (X) q) Cyて) (⊃ Lr) Cy) <N1 ぐず） CYつ (⊃ (⊃ I―I (二) Cy） Cy） 1-H t ヽヽ C y つ C ＼ a en 1-H CYつ a ) t ｀ヽ C Y ‘ ) (X) C＼a 々 , 々 C ヽヽ々々 t 一哨 L r ） C￡） Cy） lO 々 C） LO 々 t ヽヽ々 C ｀一々々 r i (N 々 CX） Q CY） q） 1｀ヽ Cyつ in ば） CO Ljつ Cず） Cyつ Cヽヽ f−4 Cyつ C乃 C73 (N O C乃 q ⊃ C y ‘ ) L r ） t ｀ヽ y 一叫 C y つ t ヽヽ C J C乃々 Cyつ CSl y−4 々々 Q⊃ 吻4 O f−4 Lr） q:）びつ Lr） (⊃ ⊂) Lr) (X) ぽ) 々 CX） Cyつ々 y−4 y−4 々ば‘) (X) Cyつ (N C￡) Cり (⊃ 々 crs (恥 r―i CY) ＣりＣ） (Nl y−4 (X) (N Cり q） C＼] Ｏ (￡) a ⊃ l ｀ヽ Lr） f−4 CSl Cy) T―i (y) ＯＣり Cり C｀q lO 々 L r ） C ） L f ‘ ）ぱ） CY） Lr） QC） Cy）々・ ⊂ ） t C ）々 (X) (N 々 (X) Q Cり ( ⊃ t ｀ − C y ) ばつ々 Cy） y−4 CSI Cy） 05 (7) C＼j Ｃ ) ｔ｀ヽ ( Ｎ O) Lr） CSI f−4 々 (N Cy) (N C9 (⊃ t｀ヽ C＼] (N y−4 → ｑ) (Ｎ Q ぱつ CO LO Cyつ寸 C ￡） 0 5 々ぱ） Cy）ぱ） ← Q 寸 ⊂ ）Ｕ ^ ）々々 f - 4 々 C｀Q CX） Cり Cり Lr） CO uo CM Cyつ (7) (恥 C｀Q a⊃ tヽ C｀Q 々 Lr） CM Cり Cy) (N C y ） T ― I C ｀､ l ぱ） Cyり y−4 C ヽ一 e − y − 4 ⊂）ｑ⊃・ L r ）かヽ y 一叫 ( T : 〉 ← C Y ) ( Ｎｬｰ - i 寸 (X) CX) 寸 Q） Cy） LO 々 α）々 CX⊃ Cyつ々 (X) (乃 Cy) C M な二〉 C り C乃 (N CYつ C乃 (7) (>0 C S l C ｀ヽ C 9 C ｀ヽ々 ( N C y : ) ゛ ( N c ^ o f 一哨 ( ⊃ C 9 (⊃ (X) 1-H 1 - H t ￡） ← c o 々 1―I L f ‘ ) I N l y 一祠 ⊂）ぱ） t ヽヽ e n ( N q : ） C ヽヽ C y ） ' 吻 4 t ヽヽ々 q） Cりぱつ々 tヽ寸 y−4 c-a 寸 C C ヽヽ C りぱ） Cy） CVつ (y) (y) (N lヽ-Q）･C9 t ヽ − C y ） C M ⊂） f−4 CSl や CX） f−4 ← Q⊃ f−i (7) Cy) y−4 CX） 1―1 f−4 (X) C乃 (⊃CX) CM U⊃ (⊃ 寸 CYつ l―i Cy）Ｃ｀ＱＵ ‘ ) 々 Q ￡） C y ） U ^ ） (⊃ ｑ) 々 CX) (73 ぐy) Ｕ ^ ）や e n O) ㎝ (Ｎ㎝ Lr） C｀Q Cyつ CM (Nl ⊂） Cy） I―I I ― I a ） y 一祠 Cy） Cy）､y-4 CX）ご 1―I 々 CX） Cq）CI々C9 C｀QC｀Q 々 C） Cり ( N f 一哨々 q） CYつ lO CX） Cり吻4 (｀Q q:) Cyつ Cy) C) (N t ｀ヽ々 C ｀ Q y−4 (⊃ CSI y − 4 t ￡） y − 4 LO C<l y−4 CNI C乃 ( ｀ＱＣ Lr） Cy） ○ I―I (⊃ (Ｎ q:） Cyつぱ） (X) (乃 CVつ C乃 en C＼3 Cy) C＼3 (N ヤー M q ） 1 ― I C ￡〉 C ） y 一州 CO q:） ( ｀Ｑ o o (⊃ y−4 en CT> CSl 1 - H q : ） f 一一 4 CJ q:）

づ

⊂ ） ⊂ ） f - - 4 O Lr） y−4 (⊃ く⊃ (Ｎ (⊃ ぱつ (Ｎ (⊃ ご Cy) O L f ‘ ) C O ( ⊃ ( ⊃ ' 吋゛ (⊃ U^) 匂4 Ｏご L乃 O Lrつばつ (⊃ (⊃ (￡) (⊃ Lj') a) ⊂ ） C ） t ヽ − ( ⊃ ぱ ) t ｀ヽ (⊃ ⊂) CK) ⊂） Lr） CX） (⊃ (⊃ (乃 ⊂）ばつ C恥 ⊂） C） ⊂） 1―I

(8)

62 高知学‘学’研゛報“=こ第32巻然ごむすぴ本研究では，これまで有次元の経験式と考えられていたSherman式を基準化し，２定数式と考えられていたこの式が実は１定数式と考えるべきであることを示した。ここで示した基準化の方法は,ＤＡ式のＨｏｒtｏｎ式の基準化にも有効であり，両式から基準化されたＤＡＤ式が誘導できる。区間分割による修正関数式は洪水比流fa曲線式へ利用することを念頭にお’いて考えたものであるが，この式の応用範囲も広いと考えられる。また，計画降雨作成のための修正型降雨強度式の定数の定め方についていくつかの提案を示したが，確率的な取り扱いをする場合にはRIとR24の確率値を同時に求める必要がある。台風常襲地である高知県ではR24の観測最大値に含まれるRIが,RIの観測最大値となっているが，香川県などではかならずしもそうではなく，地域によって若干の違いが予想される。本研究に対して京都大学防災研究所の角屋睦教授から貴重な助言をいただいた。深謝の意を表する。また，貴重な資料を提供していただいた四国の各地方気象台，高知県および四国電力に心からお礼申し上げる。本研究の一部は，昭和56 ・ 57年度科学研究費（一般研究Ｂ：代表者上森千秋）の補助を受けたことを付記する。・ 1 ） 2 ） 3 ） 4 ） 5） 6） 7） 8）引用文献田中礼次郎・角屋睦：降雨強度式に関する研究，農士論集83号抜刷(1979) 松田誠祐・角屋睦：長時間降雨強度曲線の一表現法，農士論集104号(1983)･松田誠祐・角屋睦：無次元化ＤＡＤ式とその定数について，昭和58年度農士大会講演要旨(1983) 高松地方気象台：四国雨ii1月報（∼1979)および高松，松山，高知，徳島地方気象台：雨量日報（∼1979) 高知県：永瀬ダム管理日誌（∼1979) ” :吉野ダム管理日誌（∼1979) ” :杉田ダム管理日誌（∼1979) 四国電力：伊尾木川ダム管理日誌（∼1979) (昭和58年５月16日受理) (昭和58年11月30日発行)