<論説>縮小写像の不動点定理(1)
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(2) 横浜経営研究. 12 ( 86 ). 不動点定理の 構成的方法に. よ. 第Ⅳ 巻. る証明を発見する. 第 2 号 (1983). 再 証明できないかというのが 直接の動機であ っ. のは一つの研究方向であ る。. た」。. 構成的方法の 代表的なものは ，不動点を点列 {T" 目の極限，として求めようとするものであ な Zorn の補題「順序集合において ，その任意. 定理の言いかえの 価値はともかくとして ，ま ったく自動的に 再証明が組み 立てられたという ものでほなく ，それなりの工夫を必要とした。 もっとも困難な 点は， Banach 空間の線型構造. の全順序部分集合が 上界 ( 下界 ) をもっならば ，. に関連して定義される 山部分集合の 扱い方であ. 極大元 ( 極小 元 ) が存在する。」が. る。 すなわち，線型空間における 血性の概念に. る。 超越的方法では ，選択公理 - と 論理的に同等. よ. く用いられ. る。. 相当するものを 距離空間の中に 再現しなければ. 本稿で論ずる 不動点定理は ，. Lefschetz の不. 動点定理と Edelstein の不動点定理との 中間に 位置するものであ る。. 距離空間において ，Ⅹの距離をぱとすると き，Ⅹの任意の二点 ぁソ に対して，つねに不 等式 は (、 T. ェ，. TV,) 圭は ㏄ ，力 がなりたつような. 写像 T を縮小写像とよぶ。 いいかえれば ，縮 小写像 は Lefschetz の不動点定理の 仮定で c=l. とした場合に 相当する。 縮小写像 T についての不動点定理を 得るた. ならないという 点であ る。 この困難さほつぎの 例がよく示している。 座標平面上の 点全体を通常の 諸定義で Banach 空間と見なすと. 述べる結果から 推察するに，完備性とコンバク ト. 性 との中間. 帝こ. あ るような距離的または 位相的. 性質を仮定しなければならないようであ. る。. ，平面上の任意の閉円板と平. 面上の任意の 円周とを比較するに ， 閉 円板， 円 周 はともにコンパクトであ るが， 閉 円板が凸で. るのに反して 円周はそうではない。 事実， 閉 円板における 任意の縮小写像 は 不動点をもつ が，円周においては不動点をもたない 縮小写像 あ. があ る。 この ょう な現象を考慮した 上で，距離以外の. めには， 距離空間Ⅹについてどのような 仮定 をしな。すればならないかが 問題であ る。 本稿で. ぎ. 概念をなるべく 議論の中に持ち 込むことなし に， 灯 rk の不動点定理と Browder の不動点定 理をその本質的な 点においてどこまで 論じ得る かを示すのが 本稿の目的であ る。. 本稿の内容を Lefs 。hetz の不動点定理， と Edel-. stein の不動点定理とに 関連 づ げたが，本稿の 11. 距離空間と縮小写像. 直接の動機となったのは ，つぎの二つの不動点、. 定理であ る。 Kirk" の結果の特別な 場合として，Ⅰ I rk の不 動点定理「Ⅹが Banach. 集合Ⅹの任意の 二点. は正の実数値. 空間の弱コン " クト か. ㈲. つ正規構造をもっ 山部分集合で ， T が縮小写像. ㈲. 定理「Ⅹが一様. 凸な. Banach 空間の有界かっ 閉. な 山部分集合で ， T が縮小写像ならば 不動点が. が定められて い て，. ヱニノを， 翔 ㏄，力 =0 ，. がなりたっと ぎ， Ⅹ ほ んを距離とする 距離空. 間であ るといい，. ぱ (ム. のを二点 ぁノ の距離. という。. 存在する。」であ る。. X からそれ自身への 写像 T について，任意. 定義からわかる よう に，縮小写像は 距離空間. の 二点 らノ に対し ， つねに不等式. に関する概念だけで 論ずることができる。 距離 空間の特別なタイプであ る Banach. ノに 対し， 0 また. d( ヱ ，の= あ (弘め， (3) ぱ ㎏，力持は ㏄，2) 十拐 ㏄，力 ( 三角不等式 ). ならば不動点が 存在する。」，および Browder" の 結果の特別な 場合として， Browder の不動点. は は，力. ヱ，. 空間におけ. る不動点定理を 距離空間だけの 言葉に翻訳して. イ :T. ヱ ， Ty)) く % ひ，の. がなりたつならば ， T を縮小写像という。 この と. ぎ， T ヱニヱ をみたす 点てな T の不動点と.
(3) 縮小写像の不動点定理. (木島洋づ. (. Ⅹの任意の点. よぶ。. と佳音 の. ご. ア. 87. ). 13. ン 0 に対して，. ェ. 本稿において ，任意の縮小写像が不動点をも. との距離がⅠ以下であ るような 点 全体を ，ヱを. つという結論を 得るために，距離空間にどのよ. 中心とする半径Ⅰの 開城 と、ハ、， B 俺 ， パ で女. うな性質を仮定したらよいかを 考察する，以下. す，すなわち，. B ㏄ ，パ=ty¥d ㎏ ，が玉， ，. で，議論に関連する基本的事項のいくつかを 述 へ。. であ る，. る。. X の点 列巨目が Ⅹの点 ずは 収束するとは ， れづ. ・. ののとき ぱ (的 ， めづ 0 がなりたつことであ. る。 また， 点 列し目が Cauchy 列であ るとほ ， 穏，れづののとき ぱ ( ェ，，、 ，ェ")->0. っと は ，. ィ ， テ ，クス集合Ⅰの 任意の有限部分. 集 ， ソに 対して，つねに. がなりたっこ. とであ る。 収束する 点列 はっ ね に Cauchy 列で あ る。 逆に， Cauchy. 閉珠 の 疾 (B( 乙 ，Ⅰ。 )¥i f} が 有限交叉性をも. 列なら ぱ 収束する虎刺で. あ るという性質を 右する距離空間は 完備であ. る. と よ ばれる，また，任意の点列 が収束する部分. つ ， -- Ⅰ. であ ることをい. う. B(. ぁ， ㌃ ， ). チめ. ，まだ， 閉 球の族の共通、分. として表されるようなⅩの 部分集合 は 認容部 分集合とよばれる。 有限交叉仁 - をもつ 閉球 の 族は 空でない共通部. 列 をもつという 性質を右する 距離空間はコン ". 分 をもっい、、. クト であ ると よ ばれる，. 本稿で問題となるので ，便宜上， この ょう な性. X の部分集合 A に対して， A に含まカーる任 意の二点の距離の 上- 限を At. diamA. の両行といい. ，. コ. / ハ クトな距離空間は ，. タイプ B の距離生. 間であ り， タイブ B の距離空間は 有界かっ完備. ，Ⅳ <-A. であ る。 diaInA く ののとき， A は 有界・であ る という。 Ⅹ白身が右 界 であ ると. 性質を有する 有界な距離空間が. 質を右する距離空間をタイプ B の距離空間と よ ふことにする。. で 衷す 。 すなわち，. diam 八二 sup d ㏄， 3.り. ぅ. な 距離空間であ る。. ぎ ，有界な距離. 空間と よ ばれる， Ⅰ. 11.. 不動点定理. コンパクトな 距離空間ほ有界かつ 完備な距離 空間であ る。 本稿で対象とする 距離空間ほ， コ ン " クト ℡と有界かつ 完備性の中間の 性娯を右. するものてあ る， つぎのことは 注目に価する。 Ⅹの任意、の二心、. 月ニ. 一、ノ @@@ ソ自，. で、定まるんC 血切-(ヱ，ッ) を 文寸. ︶. Ⅱ l工. ︵ ，乙︵ ヱ ノ 已上. Ⅰ@. ヱ，. み(. ヱ，ソに対して，. さ. -. 距離空間において ， Kirk の不黍点定理に 甜坐. するものの定式化として ，定理工とその証明を 行. う. ，つきに， Browder の不動 " 定理に相当す. るものの定式化として ，定理2 とその正明を 行 う ， 定理工は KiJ ㎞ a-Takahashi,, の結果の 一 、として公 夫 したものであ るが，定理 2 は未発 夫のものであ る。. Ⅱ十 憶 Ⅰ. ば。 ぱも -. 論理的に見ると ，. Browder. の不動点定理は. X の - つの距離となり ，しかも，Ⅹはぱに 関. Nrk. して有界であ る。 ざらに，Ⅹからそ八口身への. れ ば ， 阿 瓜の不動点定理 は Browdcr. 写像 T につ L.、 て， T が距離あ に関しで縮小写. 定理の一般化であ る。 しかし， K 丘k の不動点、. 像 であ るという 性芭は， T. 定理に含まれる 正視構造という 仮定は，証明の. ぱに関して. 縮小写像であ ると。 ぅ 性質と同値であ る，これ. の不動点定理から 尊 びかれる， いいかえ の不動点、. ために作為的に 持ち込んだ感が 強い，一方，. 縮小写像の不動点の 問. B,owner の不動点定理では ，其体的にどんなも. 題 は ，距離空間が右 界 であ ると仮定しでも 一般. のが正規構造を 有しているかの 一つの解答を 提. 性を失わない。. 出，一 ている点で価値があ る。 これは，数学にお. より， 距 " 空間におげる.
(4) 14@ (@88@ ). 横浜経営研究. 第W 巻. 第 2 号 (1983). げる定理は，ただ一般的であ ればよいというも. について， 各 BC てプ ",rj,) はあ る A. のでもないことを 示す一つの例であ る。. 含むので，. Browder の不動点定理に 関連して， Hilbert空 間が一様 凸 な Banach. 臼A. 空間であ ることに注意す. 二点. 以上を含む任意の 認容部分集合 A に対して，. ん. の族田 (巧 ， 巧 )@ソ任 刀は有限交叉性を 有するこ とが示されたので ，定理の仮定 よ り A 二の B(. が存在することをい. う. 。 線. 型空間の山部分集合に 相当するものとして ， 認. を有するならば ， X からそれ自身への 任意の縮. 小写像 T は不動点をもっ。. Zorn の補題 いま，. Ⅰ で、. ダ. @ セ. 1. く一. ・ ， 古ぃ 十 る. ︶. ソ. ヱ，. n, Ⅰ "). れより， 且。 ほ 認容部分集合であ る。 F 。 が空で. み. ヱソ. キ リ め ㊤。巴れ =1,. の 閉球 すべての共通部分に 等しい。 こ. p Ⅰ Ue Sz. . ‥， B(. r. 何り. から選んだ任. ‥). ︵ X よ ︵. Ⅰ. 2,3,.. く. ブ. eⅠ. B( ヱ。 ， 毛 )( 元のと B 伍 ，. ゆ 戸一. ),B( ヱわ，㌃，),. ん. ma定義. ie. 意有限 個の ア九. F== 臼 R (ヱi@ n). れの. 田，二ゆ であ るようにできるので ， A 二円 B(. ヱj, 「 j), ノ == U エ. B( ヱヵ ，. ". 集合であ る 。 ゐ，ゐe7 で i,チ i2 の とぎ， ノⅠ 円. む )I/eJ}. 一 一. のように表すことができる。 ムは インデ，クス. と考えてよい。 {B( 篆 ，. ︶. ,BC ヱ，， 7,わ. 。 Ⅰ。. ]CJ. ヱ，. Ai は認容部分集合であ るので， n. ぱ. 題は A が空でないことを 示すことにあ る。 各. ソ. ︵. ること と. T- 不変な認容部分集合であ る。 問. ん二. 客部分集合であ るから，. 二 めよ い分 か ・ ，十 ，一 をてと な と. も. F 。 。 笏を示すのが 以下の目的であ る。 ダは認. と表されているとする。 ぜ。 の定義 よ り， F 。 は. 。 が T- 不変な認容部分集合であ. より， A. p ue ダ. A. 」. s つ 、. 各. イ ( ノ， 2) ze 尹. 正ア. で 定め ，ガ 。 を. んほ つい. て ， Ae 鋭であ ることを示す。. e. 肌ル. eⅠ. lnf. E. 可. 二二 二. ヱ. =.n. 双は極小なものを 含. を Ⅴ. で、. 鋭を通常の集合間の 包含関係で，順序集合と 考える。(Ai@i 。 乃を洸の全順序な 部分 族 と仮定. よって ，. 定. 劾で ， 鋭は空でない。. r. Ⅰ. 集合でしかも T- 不変であ るようなものすべて からなる族を 考える。 これを鎖で表す。 Ⅹの. 帝こ. ヱ. T- 不変であ るという。 Ⅹの空でない 認容部分. ぎ ，それらの共通部分 且. ie Ⅰ. む。 それを F とする。. x の部分集合 A は TA ロ A のとき，. モ. eⅠ. の 一つの下界であ ることが示された。. 定理 1. タイプ B の距離空間 x が正規構造. 有界性から X. Ⅰ. 以上より，薮の任意の全順序な 部分 族 f,Ⅲ ie 月に対し， 臼 Aie 薮 @てテ， は (Ali。 z6 71 旺. 客部分集合を 考えるわ。 ナ であ る。. 証明. てんⅠ ブ. は 空でない。. zeA. がなりたっ 点 tUeA. eク. ゴ. sup み (W,z) く diamA. 血む カ. ヱ. 撰 。 ぱ e 月は集合の包含関係について. 不等式. したと. -Ⅰ. en) を. 。球 い閉 な でい 空な はで. 距離空間Ⅹが 正規構造を有するとは ，. 三円 B(. あ" 臼た で 族て. Ki,k の不動点定理における 正規構造の概念 に相当するものを 距離空間で定義する。. 全し. であ る。. るのは重要であ る。. れ. お =l. ㍍ (九.
(5) 縮小写像の不動点定理 となるようなものが 存在する。 ㌶ e ダ か つ. ，. ん C刀 ヱk}玉 Ⅰ十王. ヱ 。 ノ を定め， つぎの性質がなりたっ よう にで. ㏄ 二 1,2,.‥，笏 ). 玉Ⅰ + れお. であ るので，. ヱ. きることであ る。 すなわち，任意の e ノ 0 に対 して，あるる ノ 0 が存在して， r ノ O,. この B(.ごめⅠ + り れん ) であ る。. FCCが T-- 不変で，あ ㌃ェ る ことを示す。 一. ヱ. 。 皿。. 虜 ( 弘めく r,. e,r. ならば， ぱ (ヱ 。 ノ， 2) 玉 (1 一 8) Ⅰ. 小写像であ ることより，すべての 点 ノ eF に対 " Ⅰ 一 """ 一. ヱ，. pダ Ue. ぱ. くs一. ヱ，. ん. く一. T ノ. イ. T ヱ，. がなりたっ。 これより， TF 匡 B(T ヱ，めであ. イは ， z) 玉 r,. イ ㏄，め二. なら. ば T ヱ eF 。 であ ることを示せばよい。 T が縮. して，. (@89@ )@ 15. (木島洋一 ). がなりたつ。 線型空間の二点 ヱ，ノ の中点 千㌢ に相当するものとして ， あ. ヱ 。 ノを 考えるわけで. る。. る。 ダは T- 不変であ るから， F 臼 B(T ヱ，めも. めほ 空でない認容. 定理 2. タイプ B の距離空間 x が一様 凸 構. 部分集合でもあ るから， F 円 B(T ヱ， め 。 薮であ. 造を有するならば ， X からそれ自身への 任意の. る。 F の極小性より ，. 縮小写像 T は不動点をもっ。. T- 不変であ る。 F の B(T ヱ，. F 二 B(T ヱ，めである。. これは， sup ん (T ヱ ， z) 二 Ⅰを示しているので ，. 以上ょ. り. ， 且。 e 笏が示された。 再び F の極. 小性 よ り， 下。 =F よ. り. ，ガがただ. 証明. まず， ヱチノ なる二点 ヱ， ノと. でなければならない。 正。 =F 1. 定理工にょり ，一様凸 構造から正規構. 造が導びかれることを 示せば十分であ る。. T ヱ色 E 。 であ る。. 点からなる集合であ ることを. ん ㎏， 2) 玉 「，. り，ある 点 WeF で sup あ くひ， z) く diam F. ぱ (ヱ 。 ノ， 2) く Ⅰ. がなりたつことを 示す。. よ. ヱチノ. であ るから，. ze ダ. 凸 構造の仮定より. となるものが 存在する。 このとき， diam F 。 二. く sup ぉ. e ダ。. 玉 sup. に対して，. ならば，. ze Ⅰ。. あ (ヱ 。 ノ， 2) 玉は一めⅠ. sup 拐 {.X,z). であ る。 んは，め上 er がなりたつ よう に e を選. 一 - "Ⅰ. inf. sup. ぉ. ze7. eダ. であ る。 一様. ゼ生ノ 0. あ ㎏， z) く Ⅰ， ん Cy,z) 三 Ⅰ， イし ， ノ) 二 e Ⅰ 援な ， z). sup. xeFc@ zeF. =. ㎏. ん ⑦，めノ 0. ， E=ヱ. あ る 6 ノ 0 が存在して，. 拐 ㏄， z). sup ぁzeFc. に対して，. ならば，. 示す。 もし， F が 2 点以上含むとすると ，正規 構造の仮定. Ⅰノ0. イ ( 凹 2) 玉 Ⅰ. んだので，. ん (x,z). あ (ヱ. 。 ノ，. 2) 三 (1 一のⅠ く Ⅰ. であ る。. く sup イ (側 ， z) く diam ガ 先Ⅲ. より， diamFCC く dlamF する。 ガは. 1. となって， Fc=F. に反. 点集合であ り， この点が T の 不. supd(tv, めく diamA ze Ⅰ. がなりたっような. が存在することを. ょか 己柄 ノで. ヱ，. りら. x点 の ま サ一二 と第 るの. め. 一ノ カヱ，. と仮 ノ丘 手ノ. 示す。. 点辿 。 A. かて ，つ し で 八%. す. 動 点であ る。 Browder の不動点定理における 一様 凸 な Banach 空間に相当するものを 距離空間で定義.
(6) 16 ( 90. 横浜経営研究. ). み (ヱ ， ヱi) 三れ，. 第Ⅳ 巻. げる任意の縮小写像が 不動点をもっための 一つ. ぱ ( ㍉ ヱ。 ) 玉 れ. の十分条件を 与えている。 定理. であ る。 いま示したことから ，. 定理 2. イ (ヱ 。 ノ， 簸 ) くれ すなわち，. ヱ 。 ノ. 6BC. ㌫，「 ),. すべての. ピひ. こつい. て て 。 ツ eBC ㌫， れ ) であ るから， ヱ 。 ノ eA. で. あ る。 砂として て 。 ノを 選べば目的の 不等式がなり たっことを示す。 0 く diamA. くの， かつ 援 (ぁカノ 0 であ るこ. とに注意して ，. ，=. ま魚 ゼ. と選べば，. ノ0. ある. 三 diamA4.,. あ Cヱ ， め二. よ. 1. は論理的にほ. り一般的であ るが，一様凸 構造は正規. 構造 ょ 9 具体的であ る。 これらに関連して ， つ. ぎのような問題が 今後の研究課題になる。. 問題 1. 任意の縮小写像が 不動点をもつよう な距離空間はどのような 性質をもつものでなけ ればならないか。 すなわち，必要条件を見つげ ること。 特に， タイプ B の距離空間にとって ，. 正規構造は必要条件なのであ. ろうか。. 問題 2, 正規構造，一様凸 構造などとは 異な. 6 ノ 0 が存在して， み L「，z). (1983). 第2 号. イ ( ソ，. z) 玉 diamA,. ，diamA. ならば， ぱ鮪 。 弘めく 鰻 一の diarnA. るもので，論理的にほ一般性が失われてもよい として，任意の縮小写像が不動点をもつような 距離空間の簡明で 応用に向く十分条件を 見つけ ること。. がなりたつ。 これより，任意の点 z 。 A につい ては，. 参 考 援 (ェ. 。 ソ，. z) 主れ一め diamA Ⅰ. がなりたつ。 したがって ， w= イ ( 辿 ， z). sup. 二 suu. zf A. は. て. ヱ 。 ッと おけば，. て 。 ソ，老. Ⅰ. ニ (l 一 d) 小 amAl, く d 法nlA. て. 工. Ⅰ・. て. す. び. for noneXpansive. 丘. Xedpointthe0rem. mappings in me jc space, 瓦 6 オ己石且血 ん 9 沖2.R6 ヵ・， 21 (1969),326 一 330 3) w. A. Ki,k, A 且 Xed point the0 ，em for mappings Which do not increase distances, れ んノ ， 72 (1965), 1004 Ⅰ 006. A,,@er. 皿石地・八拍。 ・. 七て. さジ. ・. Ⅰ. 定理. 1. および定理 2 ほ いずれも距離空間にお. ・. Ⅰ. 疋ジ. Ⅰ. む. 献. ) F. E . B 0Wde ， NoneXpansive nonlinearope ato s in a Banach space, タⅠ oc. N 百 f. AC はは Ci., 54 (1965), 041 一丁 044,. 2) Y.KiJima-vV.Takahashi,A. ze ス. IV.. 文. ( 横浜国立大学経営学部助教授. コ.
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