適応制御系における安定性の改善

山

本

祥

弘

*

(1983年6月17日受理)

Stability lmprovement for the Adaptive Control Systems

by

Yoshihiro YAMAMOTO

(Received June 17, 1983)

This paper presents a new adaptive algorithlla for a class of rnOdel reference controI

systems The algorithm preeented is an extension of the commonly used integral or

proportional plus integral adaptive laws and functions as an adaptive la、 v,giving the

stability,or the asymptotic stability,of the systems under、 vell knOwn assumptiolas

The main feature of this paper is that the proposed algorithm gives the imprOved stability from the Liapunov stabilty viewpoint or, in other 郡′ords, irnproves the transient iesponeses of the state and parameter error vectors Sirnulation results shoMI the effectiveness of the algorithm prOposed

1緒

言 約25年前

,自

己適応制御系の設計ゆが提案 されて以来, 適応制御 に関する研究 は活発 に進 め られているが

,設

計 されたシステムの安定性 に関す る問題

,あ

るいはその他 の不備 によ り、実用 に耐 え得 るだけの ものは求 め られ て きていなかった。一方,Parks)は ,リアプノフ法による 適応制御系の設計法 を示 し,MOnOpoli働 は,拡張誤差信号 の導入 によ り

,出

力信号 の微分値 を必要 としない適応法 則 を導 くことに成功 した。 これ らの研究 をきっかけに, 適応制御理論の数学的側面 は

,近

年

,急

速 な進展 を遂 げ つつあ る。 その代表的な手法 に

,モ

デル規範型適応制御 系の設計法が挙 げ られる。 これ は主 に

,Narend確

ゆらの グループによ り発展 させ られた ものであ り,要約 すれ ば、 次の2点にまとめ られ る。

(1)与

えられたプラ トン及びモ デルか ら

,望

ましい 特性の誤差 システム を導 くこと。

9)得

られた誤差 システムに含 まれ る可調整パ ラメ ータに

,シ

ステム全体 の安定性 を保証 す る適応則 を与 え ること。 (1)の問題 については

,通

常課 されてい るプラン ト及 び モデルに対 する仮定の もとで,Eqardt。が,かな リー般的 な導出法 を求めている。 ところが,(21の適応則 に関 して は

,ほ

とん どの文献 において

,積

分形適応則 のみが用 い られてお り,ただ Landauω 及 び彼 ら一派 は,ナヒ例 十積分 形適応則 を常用 してい るのが

,特

徴 であ る。 いずれ にせ よ,こ の積分形適応則 は,リ アプノフ安定定理 において, 安定性 を保証 するのみで,漸近安定性 を与 えてはいない。 従 って,従来の適応則の見直 しによって安定性 を改善 し, あわよ くば

,漸

近安定性 を与 えることが可能 か どうかを さぐるのが

,本

研究 の 目的であ る。

ここで提案 され る適応則 は

,従

来 の積分形

,あ

るいは 比例 十積分形適応則 に

,積

分器の出力 を

,あ

る種の フィ ルター を通 してフィー ドバ ックす る項 を付加 し

,適

応 ル ー プ自身 をフィー ドバ ック系 とした ものである。得 られ た適応則 は

,比

例十積分

+2重

積分形 と見徴す ことがで き

,含

まれ る係数パ ラメー タ｀の値の選 び方によ り

,従

来 の積分形あ るいは比例 十積分形 を

,そ

の特別 な場合 とし て含む

,一

般 的なものである。 さらに

,係

数パ ラメー タ の適切 な値 に よ り

,新

しい適応則 の従来の もの に対 す る 安定性 の改善が保証 され る。 この ことは

,誤

差ベ ク トル とパ ラメータ誤瑳 ベ ク トルに関す る リアプノフ関係 の性 質か ら導かれ

,従

って,これ らのベ ク トルの応答改善 で あるともい うことがで きる。以上 の結果が

,簡

単 なスカ ラー系 に対 す るシミュレー ションによって

;種

々の入力 に対 し検討 され

,プ

ラン トとモデルの出力 と可調整パ ラ メータに対 す る顕者 な応答改善か ら

,提

案 され る適応則 の有効性が確認 され る。

2.誤

差 シ ス テ ム プラン トおよびモデルの出力の差 を誤差 変数 として, あ るいは必要な らば

,拡

張誤差変数の利用 によ り

,強

正 実性 を備 えた誤差 システム を導 くことがで きる。 この誤 差 システムは

,一

般 に状態変数表示 で次 のように支 えら れ る。 ι(ど

)=F虫

サ)十σθ(ナ)Tυ(か………_(la) ιI(チ)=んT?(才),…………・―………・_(lb) ここに, メr)￨ま ″次ラ電誤えヨペヽクトル, υ(ナ)￨ま´立欠元′ミク トルで既知関数,食(チ)はスカラーの出力誤差 ,θ(歩)は´ 次元可調整パ ラメータ誤差で θ(ナ)=Z(r)一z*,z(テ)は可 調整パ ラメーターベク トル,z本は未知 の定数ベ ク トル と する。 さらに

(F,9,ん

)で

定 まるシステムの伝達関数 は強正実であ ると仮定 して も一般性 を失わない。この時, 任意の正定値対称行列

Qに

対 し,

PFtt FTP=―

_c,…

………。(2a)

PT=れ

,…_{………Ⅲ・・………・・} (2b) を満す正定値行列

Pが

存在す る。 この ように与 え られた誤差 システム(1)に対 し

,適

応則 として次式 を考 える。 θ(チ)=θl(チ)一θυ(サ)91(ナ),………(3) θl(チ)=―【υ(チ)a(ナ

),…

………₍₄₎ ここに

,I,θ

は各々

,正

定

,及

び半正定値行列 とす る。 これは

,比

例

+積

分形適応則 として知 られ てお り

,安

定 な適応制御系 を与 えることがす以下 の ように して示 され る。 システム(1】 (3光 (4)に対 す る リアプノフ関数候 補 と して, И(ナ)仝И(9(サ),θl(ナ)) =9(チ)TP9(チ)+θI(チ)TK lθ!(チ)・……(5) を考える。この関数

%の

システム(1】 (3た (4)の解軌道 に 沿 った時間微分 は, И(サ)=?(チ)T(′

TP+PF)9(r)

+2a(ナ)υ (チ)TCX lθl +2θ(ナ)T(υ(チ)θ l(サ)十

Klつ

1(ナ))…… ……(6a) =―?(チ)T09(サ )―(ヮ I(チ))2ヮ(ナ)TCυ(ナ)≦0・ (6b) とな り,適応貝唄働,(4)式は,有界 な?(r),θ:(r)を保証 す る。又 もし,(r)が有界であれば,誤差ベ ク トル ￠(r)は 0 に漸近 し,,(チ)がさらに

_,ガ

♂力ηttsの 条件 (十分 に多い 周波数成分 を含むこと)を満せば,パラメータ誤差 θl(ど) も0に収束,すなわちシステムの漸近安定性 が示 され る。 ここに

,適

応則(41は

(6a)式

右辺第3項を 0と す るよう に選 ばれている。 一方,14)式 の代わ りに θl(ナ)=一つθl(チ)一Kυ(ナ)91(チ)…・…………(7) を用い る と, 玄(ナ)=9(ナ)TQ￠(ナ)-2(￠1(ナ))2υ(サ)θ,(チ) -2θl(チ)TX lDθl(ナ

)<0・

…………・(8) とな り

,無

条件 にシステム(1】 (働,(71の 漸近安定性 が保 証 される。ここに

Dは

,K IDが

正定対称行列 となるよ う に選 ばれなければな らな い。例 えば,【

,Dを

共 に対角正 定行列に並べば,【コDも対角で正定行列 となる。ところ が

,適

応只唄ηを可調整パ ラメー ターZl:Zl(チ)=θl(r)十

Z4,で

表わ す と, 方1(チ)=―D(zl(チ )一z*)一 Fυ(サ)ゼ 1(ナ),……(9) とな り

,未

知定数Z*を消去 す ることがで きない。すなわ ち(7)式は実行不可能 となる。 ここで考 え られ る1つの方 法 は,未知定数Z半を他の推定ベ ク トルZ2(ナ)で置 き換 える こ と で あ る 。 も し Z2(ナ)がZ手 に 漸 近 し,従 っ て Zl(r)が Z* に漸近すれば,これは(9)式に代行する近似式 とな り得 る。 この とき, Z2(サ) Zl(r)が 0に 収束 しなければならない

ことは明 らかであ り,これ らを総合 して,Z2(サ)をZl(ナ)を 入力 とするあるフ ィルターの出力 と見傲 して

,次

式の よ うに仮定す る ことは妥当であ る。 彦1(サ)=一D(Zl(チ )一z2(サ)) κυ(′)91(サ),… 。(10a) 方2(チ)=A(z2(チ) Zl(チ )),………・・(10b) これ を

,パ

ラメータ誤差ベ ク トル θど:θど=z:一zネ, デ

=

1, 2,で

表わせば, Dl(サ)=― D(θl(ナ)一θ2(ナ

)) Fυ

(チ)21(サ),… (1la) ∂2(ナ)=五(θ2(チ) θI(チ)).………(1lb) ここで係数 五 は,システム(D,10式全体が安定 となるよ うに定め られね ばな らず, さらに得 られ るアルゴ リズム の性 質等 とともに

,次

節 で検 討す る。

3.新

しい適 応 ア ル ゴ リズ ム 未知係数 ス を含 むシステム(1】 (3),1〕とこ対 し,実数値 関数 72を次の ように定義す る。 覧(チ)会 72(9(チ ),θl(ナ),θ2(サ)) =?(ナ)TP9(チ )十 θl(サ)T【 lθl(サ) 十θ2(サ)T■ l θ2(サ)………(12) ここに,■ は未知の文↓称行列 である。関数72(ナ)のシステ ム(1光 13),10の 解に沿 っての時間微分 は, 比(チ)=-9(ナ)TO￠(チ) -2(91(サ))2υ(チ)Tθυ(か) -2θl(サ)T【 lD(θ二(チ)一θ2(ナ)) +2θ2(サ)T■ 14(θ2(サ) θl(サ)),……・(13) ここで

,4=― D,R=【

,と

選ぶ と, 力(サ)=一θ(チ)T09(チ)-2(91(ナ))2υ(サ)TCυ(チ) -2(θl(ナ)一θ2(チ))【 lD(θ I(チ) θ_2(チ))≦0・………・・(14) ここで等号 は

,9=0,θ

I=θ2の時成立するが

,91=θ

2で あれ ば側式 よ りθI=θ

2= 定

とな り

,結

局,【υ食

=0で

なければならない。 これ よ り

,関

数 υ(ナ)に依存 して[定 理

1]が

導かれ る ことは

,文

献

3)と

全 く同 じである。 まず

,本

論で提案 され る

,シ

ステム(1)に対 する適応アル ゴ リズムは

,次

の ようであ る。

修

￨ご

壌

ず

;箋

ね

11'11:;

ここに,係数行列 θ

,D,Kは

正定値対称行列 であ り,か つ

_,11つ

も正定値対称行列 とす る。 [定理

1]10式

の適応アルゴ リズム は

,誤

差 システム (1)に対 し,安定な適応則 となってい る。すなわ ち?,θlは ともに有界であ る。入力 υ(チ)が有界 であれば,9(チ)￨ま 0 に収束 し,さらに υ(サ)が Chnessの 条件 を満せば θl(ナ), 従 って θ(ナ)も 0に収東す る。 この定理の証明 は文献 3)と 同様 であ るので省 略す る。 安定 な適応則 を与 えるアルゴ リズム19は

,D=0の

とき, (3),(4)式となることは明 らかである。

D>0の

時 にはアル ゴ リズムの次数が1つ上 が り

,若

干複雑 とな るが

,そ

れ に対 して,10式の(働,傲)式に対 す る利 点 として,次の[定 理

2]が

得 られ る。 [定理

2]ア

ルゴ リズム10は

,適

切 な

Xi Dの

値 に対 して

,シ

ステム(D,偲),但)の安定性 を改善す る。 (証明

)い

ま

,記

述の簡単のため

,式

(1),13光 伽)をシ ステムSl,式(1光 10をシステム れと吸ぶ こ とにす る。シ ステム れは,システムSの一部 に,あるフィー ドバ ック を施 した ものであ る。従 って

,こ

の フ ィー ドバ ックルー プのある

,な

しによって

,同

じリアプノフ関数 の時間微 分 に対す る影響 を調べてみる。関数71(チ)のシステムStの 解 に沿 っての時間微分 yt(r)は ,すでに(6)式で与 えられて い る。次 に同 じ/1(チ_)のシステムS2の解 に沿 っての時間 微分 71,2(ナ)を求 めてみ ると, 浣,っ(チ)=-9(ナ)T09(ナ)-2(θl(チ))2υ(チ)TCυ(ナ ) -2θl(チ

)rF:D(θ

二(チ)一θ2(チ)).…・(16) ここで,71(か)と 1/1,2(ナ)との差 島.2(ナ)は, ど1.2(チ)会浣(′)一玄1を(サ) =2θl(チ)T∠ lD(θl(ナ)一θ,(サ)) =2(θl(チ)一θ2(ナ))T∠ lD(θl(ナ) θ_{2(ナ))+2θ2(ナ)TF ID2(サ} )・ ……・(17) この両辺 を時間に関 して θか ら すまで積分 す る と, d)一 S) θ2(S))ゐ … …… … … …(18)

胸

賄

鉤

硼

磋

_”

け

噌

‘

_乳

θ

_２

く

そ

θ

_２

θ

_２

そ

′ ′ プ_ｏ 一   ＋   一 １ 一 ２

ここで

,シ

ステム れは安定 であ る ことは既 に示 され, 72(チ)≦72(0)・………・・₍₁₉₎ である。すなわ ち

,72(0)は

Kの

関数 として減少関数で あ り

,従

って,θ2(′)は

Iに

関 して一様 に有界 である。 た とえば,

R=(θ

が θFθ2≦C,C=sクっ

%(0),XCC),

¨・(20)

G=(F:θ

2TF lθ 2≧αθ2Tθ,,0<α

<1).

…・・(21) なる領域

Rに

,θ2を_{制限す ることがで きる。これ よ り行} 列

Fを

十分大 きくとる ことによ り,10式右辺第2項を任 意 に小 さ くす ることがで きる。すなわ ち,任意 の ε

>0に

対 し

,あ

る【 が存在 して, lθ ,(チ)Tκ lθ2(チ) θ2(0)Tκ-lθ2(0)￨<e・…・・₍₂₂₎ とす ることがで きる。 一方

,K!Dは

正定値行列であ るので,10式右辺第一項 は正値 である。い ま係数

Dを ,Fコ

D≧

ri単

位行列, (例えば

X=Dと

すれば

,I D=r)に

とることがで き, 従 って,ある ε

>0,T>0,が

存在 して

,任

意 の

r>T

に対 し,

ア

kθ

ズ

。

一

θ

:(。)rF_lD(θ

ズ

0-θ

l(0)ゐ >ε,・・。(23) となる。もし90式 が成立 しない とすれば,θl=θIとな り, これは,rfυοl≡oの場合 を除 き,不可能であ る。これ よ り1231式が成 り立 ち

,結

局,9か ,1231式よ り

,X,Dを

十分大 き くとることによ り, 折笞I,2(d)/6・>0,チ

>T…

… … …… …… …… …(24) となる

Tが

存在する。このことは,追加の項B,2(r)があ る時間区間[ο,ど ],ナ

>T,の

全体 として, 71,2(r)を

%

(r)よ り,さらに負 となるように働いていることを示 して いる。すなわち

,ア

ルゴリズム19式は

,シ

ステム 品の安 定性を改善するものであるといえる

Pさ

らに言い換えれ ば, 71.2(r)と 71(ナ)を積分することにより明 らかなよう に

,変

数 (C(r),θ (す)}の 応答特性の改善 をするもので あるともいえる。

4.例

題 ここでは

,最

も簡単な 1次 系を例に

,提

案 されたアル ゴリズムの有効性 を調べてみる。 まず

,プ

ラントの方程 式は, ,(チ)=―傷(チ)十ク(サ),………(25) で与 え られ

,モ

デルの式 は す(サ)=―うす(チ)+″(サ).… ………(26) とす る。 プラン トに対 し

,次

の ようなフィー ドバ ックを 施 してや る。 ク(サ)三″(ナ)+z(サ)″ (チ )・………・・(27) ここにZ(r)は可調整 フィー ドバ ックゲインであ る。さら に, 々率をmatc ng parameterと して

z(r)=z*+′

(r) を用い ると, ,(サ_)=―(α―が)″(チ)+″(チ)+θ(チ)χ (チ).……(28) ここで '(ど

)=0,す

なわ ちz(ど)=Zホ,であれ ば,仮定 よ り

,こ

の プラ ン トの式 はモ デルのそれ と一致 し, す(チ)=―(,一ガ)y(サ)+7(ナ)・………(29) これよ り, Z・

=, う

°………・(30) であ るが,αが未知であるので,従ってZ*も未知 である。 誤差変数 ♂(′)=χ(r)一ノ(チ

),を

用いると, 彦(ナ)=―(,一・定)σ(チ)十θ(チ)″ (ナ)………・・(31) が得 られ る。 この誤差 システムに対 し

,次

の適応 アルゴ リズム を用 い ることにす る。 オ(サ)=―′(z(サ)一ω(チ))―力Ⅸチ)π(サ)… ………(32) 力(チ)=―プ(″(オ)一z(ナ)), ………・…(33) ここに

,C=0,zl=z,22=″

としている。9か,00式は ま た, ガ(チ

)+2カ

(ナ)=力((一￠(ナ)"(ナ )) 十Ж-9(サ)″ (ナ))),………・(34) とも表わされ,こ れ は,一e(t)X(t)を入力,Z(チ)を出力 と す る力学系 として

,そ

の伝達関数G(S)￨ま, C(s)=力

(s+プ

)/s(s+2r/)… ………Ⅲ………₍₃₅₎ と表わ され る。明 らかに,プ

=0は

純積分器 に対応 し,小 さい正数 ″に対 しては,ダイポール と積分器 を表わ して いる。プの適切 な値 は,システム及 びその他 の条件 等 によ って決 って くるが

,極

と零点の この組合せが,変数 ￠(r)

とZ(r)の応答特性 を

,著

しく改善 してい ることが,シ ミ

ュレー ションの結果か らわ か る。Fig。1はゼ ロ入力 に対

し

,Fig.2は

ステ ップ入力 に対 し

,Fig.3は

正弦波入力 に対 し,Fig。4はランプ入力 に対 し,各々,モデル とプラ

Fig。 2-z Parameter responses for step input

Fを,le Output responses for zero input

２       ● Ψ   増   ９

Fを.}C Output responses for sine wave hput

rig,3-z Parameter responses for sine―

wave

input

Ftig。 4e Output rettnses for ramp input

ン トの出力,そして,パラメータZ(r)の応答が示 されて いる。パラメー タ応答 の図の中でのZの値 は

,十

分時間 が経過 した時点(この場 合

,時

間軸上の最後の時刻)′*で の値 を示す。 モデルの出力 に最 もよ く追従 してい る と思 われ るプラン トの出力r(r)に対応す るZ(rホ_{)の値 をもっ} て

,未

知係数 αの推定値 ρを, 彦=う+z(サ・)・…………“…・・………・(36) と求めることができる。

5.結

従来 よ く用 い られ ている積分形 あ るいは比例 十積 分形 適応則 を拡張 した形 で

,新

しい適応 アルゴ リズム を提案 した。この アルゴ リズムは,そ の形か ら明 らかな ように, 従来の適応則 が もってい る特徴 は

,す

べて備 えてお り, さらにアルゴ リズムが含 む係数 を適切 に選ぶことによ り, システムおよびパ ラメータの応答改善 を行 うことがで き ることを示 した。 この こ とはシ ミュレー ションの結果 か らも確認す ることがで きる。 提案 されたアル ゴ リズム は

,本

論 で用い られた誤差 シ ステムに限 らず, その他の タイプの システム

,あ

るいは 適応制御 のみな らず適応観 測にお ける適応則 として も用 いることがで きることは明 らかであろ う。 さらにこの ア ルゴ リズムは

_,そ

れが導かれた方法 を繰 り返 し用 い るこ とによ り,さ らに高次の積分形適応則 に一般化 す るこ と が可能であ るが

,詳

細 は別の機会 に記 す ことにす る。本 研究 は筆者のカナダ・ サ スカチ ワン大学滞在中に行われ た ものであ り

,お

世話 にな りました内外 の諸先生 方に感 謝致 します。

1)P C Gregory, Proceeding of the self― adaptive flight control systems sympostum, ヽVright Air

Deveiopment Centre,U SA,1959

2)P,C Parks,IEEE Tr.AC,11,362/367,1966

3)R V MOnOpoli,IEEE Tr A C,19,474/484,1974

4)K.S Narendra&L S Valava

,IEEE Tr A C,

23, 570/583, 1978

5)B,Egardt,IEEE Tr A.C.,24,588/592,1978, 6)Y.D Landau,Adaptive Control,WIarcel Dekker,

Ne、v York, 1979

7)J P LaSalle,J SIAM Control,1,3/15,1962 献