関数データに基づく
統計的解析手法とその応用
繰り返し測定データとは
繰り返し測定データ解析のアプローチ
関数データ解析
データの関数化
関数データ解析の応用例
分析化学（ケモメトリックス）
文字認識
気象データ
生命科学（バイオインフォマティクス）
目次
2各個体に対して時間・位置等の経過と共に
繰り返して計測された形式のデータ
1歳から18歳までの子供の身長の推移
患者に対する病状の経時変化
古典的な多変量解析の直接適用が困難な場合も
データによって個体ごとに観測時点や時点数が異なる
しばしば「データ数＜推定パラメータ数」となり
モデル推定が不安定・困難
繰り返し測定データ
3子供の身長の推移
数人の子供の身長を
1歳から18歳まで
毎年計測したもの
2～8歳までは年1回，
それ以外は年2回計測
⇒計測時間が不均一
計測時間の情報を
取り入れた解析をするには？
繰り返し測定データの例1
年齢
子
供
データ出典：Ramsay & Silverman (2005)
子供の身長の推移
数人の子供の身長を
1歳から18歳まで
毎年計測したもの
2～8歳までは年1回，
それ以外は年2回計測
⇒計測時間が不均一
計測時間の情報を
取り入れた解析をするには？
繰り返し測定データの例1
年齢
子
供
データ出典：Ramsay & Silverman (2005)
病状の経時変化
ある細胞が破壊される
病気の患者数名に対して
数回に渡り通院してもらい
細胞の血中濃度を測定
患者ごとに通院時点や
通院回数が異なる
喫煙や性別などの情報
と濃度との関係性を
表すモデルは？
繰り返し測定データの例2
個体 時点 喫煙 性別 濃度 1 0 無 0 45 1 1 無 0 37 : : : : : 1 10 無 0 20 2 0 有 1 38 : : : : : 2 9 有 1 12 : : : : : n 13 無 0 12繰り返し測定データの例2
個体 時点 喫煙 性別 濃度 1 0 無 0 45 1 1 無 0 37 : : : : : 1 10 無 0 20 2 0 有 1 38 : : : : : 2 9 有 1 12 : : : : : n 13 無 0 12 0 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5 6データ出典：DiCiccio & Efron (1996)
病状の経時変化
ある細胞が破壊される
病気の患者数名に対して
数回に渡り通院してもらい
細胞の血中濃度を測定
患者ごとに通院時点や
通院回数が異なる
喫煙や性別などの情報
と濃度との関係性を
表すモデルは？
7繰り返し測定データに対するアプローチ
データの形式や分析目的に応じて
これらの手法は使い分けられる
混合効果モデル
(Mixed effect Model, Laird & Ware, 1982)
変化係数モデル
(Varying-Coefficient Model, Hastie & Tibshirani, 1993)
関数データ解析
(Functional Data Analysis, Ramsay & Silverman, 2005)
３地点それぞれで
12時点のデータが計測
気温の変化は本来
連続的に推移しているもの
各地点のデータを関数化処理し
得られた関数集合を
改めてデータとして扱う
関数データ解析
データを関数として扱う
例：３地点における月別平均気温
離散時点 観測データ 9 関数データ関数データ解析
利点：
経時データの観測誤差を
除去して解析できる
観測時点数が多い場合
データの次元を削減できる
観測時点・観測時点数が
個体ごとに異なっていても
解析が容易
関数データの微分から
さらなる解析が可能
10例：３地点における月別平均気温
離散時点 観測データ 関数データ関数データ解析
主成分分析
判別分析
クラスタリング
回帰分析
古典的な統計手法を
関数データ解析の枠組みに拡張
11例：３地点における月別平均気温
離散時点 観測データ 関数データ基底関数とよばれる
既知の関数群の線形和で曲線を表す
（係数は最尤法等で推定）
基底関数の個数は
情報量規準AICなどで選択
データの関数化－基底関数展開
基底関数の例 基底関数の個数による推定曲線の変化 基底：少 基底：中 基底：多 12Data：
肉標本の近赤外スペクトルデータ
関数回帰モデルの適用例1
(Matsui, Araki & Konishi, 2008)
水分 脂質 蛋白質
肉標本が吸収する近赤外線の 100チャンネル毎の吸収率波長毎の吸収率を
波長の関数データとみなし
成分含有量との関連を見る
成分含有量
近赤外線吸収率の
波長毎の変動は
肉標本の成分含有量に依存
13Data：手書き文字データ
指先の時間経過に伴う軌跡を時間の関数データとして扱い
何の文字が書かれたかを判別
関数回帰モデルの適用例2
指の軌跡を計測 Time Y coo rd inat e X coo rd inate Time(Matsui, Araki & Konishi, 2011)
関数
ロジスティック
回帰モデル
Data：日本の気象データ
繰り返し測定された説明変数（月別平均気温，気圧など）のうち
どれが目的変数（年間総降水量）に影響を与えているかを調査
説明変数を関数データとして扱い
スパース正則化
(Hastie et al., 2015)
を用いて変数選択
関数回帰モデルの適用例3
(Matsui & Konishi, 2011)
目的変数
多発性硬化症(MS)患者の遺伝子発現データ
• MS患者に対する治療の結果
予後良好/不良のグループ間で
発現パターンに差がある遺伝子を
スパース正則化を用いて探索
• 生物学的にもMS治療に重要であるとされる
遺伝子を統計的にも検出
• 推定された係数曲線を見ることで
どの時点で特徴的な差異があるかを
示すことができた
関数回帰モデルの適用例4
0 5 10 15 20 3 .2 3 .6 4 .0 4 .4 time IR F 8 0 5 10 15 20 3 .2 3 .6 4 .0 4 .4 time IR F 8 p= 0.0059 係数関数の推定量 遺伝子発現データ （データ出典：Baranzini et al., 2004） 予後良好 予後不良(Kayano, Matsui et al., 2016)
まとめ
繰り返し測定データとは
繰り返し測定データ解析のアプローチ
関数データ解析
データの関数化
関数データ解析の応用例
分析化学（ケモメトリックス）
文字認識
気象データ
生命科学（バイオインフォマティクス）
17 Hastie, T. and Tibshirani, R. (1993). Varying-coefficient models. J. Roy. Statist. Soc. Ser. B 55, 757— 796.
Hastie, T., Tibshirani, R. and Wainwright, M. (2015). Statistical Learning with Sparsity: The lasso
and Generalization. Chapman & Hall/CRS, Boca Raton.
Kayano, M.*, Matsui, H.*, Yamaguchi, R., Imoto, S. and Miyano, S. (2016).
Gene set differential analysis of time course expression profiles via sparse estimation in functional logistic model with application to time-dependent biomarker detection. Biostatistics 17, 235-248. (*: Equally contributed)
Laird, N. and Ware, J. (1982). Random-effects models for longitudinal data. Biometrics 38, 963-974. Matsui, H. (2011). Variable selection for functional regression models via the L1 regularization.
Comput. Statist. Data Anal. 55, 3304-3310.
Matsui, H., Araki, Y. and Konishi, S. (2008). Multivariate regression modeling for functional data. J.
Data Sci. 6, 313-331.
Matsui, H., Araki, T. and Konishi, S. (2011). Multiclass functional discriminant analysis and its application to gesture recognition. J. Classification 28, 227-243.
Ramsay, J. O. and Silverman, B. W. (2005). Functional data analysis (2nd ed.). Springer, New York.
