自然変換・関手圏

(1)

自然変換・関手圏

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2021 年 7 月 12 日

1 ^{自然変換の計算}

圏論で一番(かどうかは分からないけど)重要なのは自然変換である．圏論を学ぶには，

自然変換の様々な「計算」を行う必要がある．ここではまず，その「計算」について説明する．

C, Dを圏，F, G: C →Dを関手，θ: F ⇒Gを自然変換とする．このとき，図式では次のように表す．

C _θ ⇐= D

F

G

さて，更にH: C → Dを関手としてσ: G ⇒ H も自然変換とする．図式で書くと次のような状況となる．

C ^σ^θ ⇐⇐ D

F G

(2)

このとき，この自然変換θ, σ を合成して新しい自然変換σ◦θ: F ⇒ H を得ることができる．

C _σ_◦_θ ⇐= D

F

H

その為にはa∈C に対して(σ◦θ)_a :=σ_a◦θ_aと定義すればよい．この定義によりσ◦θ が自然変換となることを示そう．その為にはC の射f: a→bに対して

F a Ha

F b Hb

(σ◦θ)_a

Hf F f

(σ◦θ)b

が可換となることを示せばよい．定義より，この図式は次のように書き換えられる．

F a Ga Ha

F b Gb Hb

θ_a σ_a

F f Gf Hf

θb σb

θ, σは自然変換だから，この小さい四角は可換となる．故に全体も可換となり，σ◦θ が自然変換であることが分かった．

このσ◦θをθ とσの垂直合成と呼ぶ．

さて次にA, B, Cを圏，F, G: A→BとH: B →Cを関手，θ: F ⇒Gを自然変換とする．即ち次の図式のような状況である．

A ⇐ ^θ B C

F

G

H

このときHとθを使って新しい自然変換Hθ: HF ⇒HGを定義することができる．

A

B

⇐^Hθ C

F H

G H

(3)

その為にはa∈Aに対して(Hθ)a :=H(θa)と定義すればよい．ここでθa: F a →Gaだから(Hθ)_a: HF a→HGaである．絵で描けば次のようになる．

A B C

a

b

F a Ga

F b Gb

HF a HGa

HF b HGb

f

θa

Gf F f

θ_b

H(θ_a)

HGf HF f

H(θb)

F

G H

この定義によりHθが自然変換となることを示すためには，f: a →b^に対して

HF a HGa

HF b HGb

(Hθ)a

HGf HF f

(Hθ)_b

が可換であることを示せばよいが，それは上の絵から明らかであろう．

今度はA, B, C を圏，F: A →BとG, H: B →C を関手，θ: G ⇒H を自然変換とする．即ち次の図式の状況である．

A ^F B ⇐ ^θ C

G

H

このときF とθ を使って新しい自然変換θF: GF ⇒HF を定義することができる．

A

B

⇐ ^θ^F C

F G

F H

その為には a ∈ A に対して (θF)a := θF a と定義すればよい．絵で描けば次のように

(4)

なる．

A B C

a

b

F a

F b

GF a HF a

GF b HF b

f F f

θ_{F a}

HF f GF f

θF b

F

G

H

この定義によりθ_F が自然変換になることを示すためには，f: a →bに対して

GF a HF a

GF b HF b

(θF)a

HF f GF f

(θF)_b

が可換であることを示せばよいが，それは上の絵から明らかであろう．

これらを使うと，様々な自然変換を合成することができるようになる．

例 1. 次のθ: F₁F₀ ⇒F₂ とσ: F₃ ⇒F₄F₁ を合成する．

C₁ C₃

C₀ C₂

F₀

F1

F2

F3

F4

⇐=

θ ⇐=_σ

まずθ とF₄ から自然変換F₄θを得る．

C3

C0

F4F1F0

F4F2

⇐

F4θ

次にσ とF0 から自然変換σF0 を得る．

C₃

C₀

F3F0

F4F1F0

⇐^σ^F⁰

(5)

これらを垂直合成して

C3

C0

F3F0

F4F2

⇐

F4θ

⇐^σ^F⁰

自然変換F₄θ◦σ_F₀: F₃F₀ ⇒F₄F₂ が得られた．

例 2. 次の自然変換θ とσを合成する．

A ⇐^θ B ⇐^σ C

F₀

F₁

G₀

G₁

まずθ とG₀ から自然変換G₀θを得る．

A ^G⁰^θ ⇐ C

G0F1

G0F0

次にσ ^とF1 から自然変換σF1 を得る．

A C

⇐^σ^F¹

G1F1

G0F1

これにより垂直合成σF1 ◦G0θ: G0F0 ⇒G1F1 を考えることができる．

A ^G⁰^θ ⇐⇐^σ^F¹ C

G0F0

G₁F₁

この合成をθ とσの水平合成と呼ぶ．

(6)

この水平合成について，今はσF1◦G0θを考えたが，G1θ◦σF0 を考えることもできる．

A ^G¹^θ ⇐⇐^σ^F⁰ C

G0F0

G1F1

実はこの二つの合成は一致する．即ちa ∈Aに対して(σF₁◦G0θ)a = (G1θ◦σF₀)aが成り立つ．その為にはσF1a◦G0θa =G1θa◦σF0aを示せばよいが，それは射θa: F0a→F1a についてσ:G₀ ⇒G₁の自然性から

F₀a G₀F₀a G₁F₀a

F1a G0F1a G1F1a

σF0a

G₁θ_a G₀θ_a

σ_F₁_a θ_a

が可換となることにより従う．

2 ^関手圏

上で自然変換が合成できることを見た．合成できるという事は，関手を対象，自然変換を射とすれば圏になるということである．実際，C, Dを圏とするときD^C を

• Ob(D^C)をC からDへの関手全体とする．

• F, G∈Ob(D^C)に対して，自然変換F ⇒GをF からGへの射とする．

• 射の合成は垂直合成とする．

• F ∈Ob(D^C)に対して，自然変換id_F: F ⇒F を(id_F)_a := id_{F a}で定める．この idF を恒等変換と呼ぶ．

で定義すれば，D^C は圏となる^*1．

それを示すため，まずは結合律を示す．E, F, G, H: C →D^{を関手として，}θ: E ⇒F^， σ: F ⇒G，τ: G⇒Hを自然変換とする．(τ◦σ)◦θ =τ◦(σ◦θ)を示す．即ち，a ∈Cに対して((τ◦σ)◦θ)a= (τ◦(σ◦θ))aを示せばよい．定義から(τa◦σa)◦θa =τa◦(σa◦θa) を示せばよいが，これはD^{が圏だから成り立つ．}

*1D^C^を[C, D]^{と書くこともある．}

(7)

後はθ◦idE =θとidF◦θ =θを示せばよい．それにはθa◦idEa =θa，idF a◦θa =θa

を示せばよいが，これはDが圏だから成り立つ．

以上によりD^C は圏となる．これを関手圏(functor category)と呼ぶ．

例 3. 圏C に対してC⁰=∼1，C¹ ∼=Cである．

例 4. モノイド M を圏とみなしたとき，関手 F: M → Setは左 M-集合と同一視できた．また関手F, G:M →Setに対して，自然変換θ: F ⇒Gは準同型写像と同一視できた．故に関手圏Set^M ^は左M-集合と準同型がなす圏となる．

例 5. C ^を圏，X^を離散圏{a, b}^とすればC^X ∼=C×C ^{が成り立つ．}

例6. C^{を圏とするとき，関手}Côp →Set^をC上の前層というのであった(^「例: ^位相空間上の層」のPDFを参照)．P, Q: Côp →Setを前層とするとき，自然変換θ: P ⇒ Q を前層P から前層Qへの射という．よってSet^Côp がC上の前層がなす圏となる．

D^C は圏だから，この圏において同型を考えることができる．

命題 7. 自然変換θが圏D^C における同型射⇐⇒θが自然同型

証明. (=⇒) 自然変換θ: F ⇒Gが同型射であるとすると同型射の定義より，ある自然変換σ: G⇒F が存在してσ◦θ = idF，θ◦σ = idG となる．従って，任意のa ∈C に対してσa◦θa = idF a，θa◦σa = idGa が成り立つ．即ち，各θa が同型射となるからθ ^は自然同型である．

(⇐=) θ: F ⇒Gが自然同型であるとする．自然同型の定義より，各対象a∈Cに対してθa: F a →Ga^は圏Dにおける同型射である．故にD^のある射σa: Ga→F a^が存在してσ_a◦θ_a = id_{F a}，θ_a◦σ_a = id_Ga となる．このときσ ={σ_a}a∈C は自然変換である．

...

) C の任意の射f: a→bに対して次が可換であることを示せばよい．

Ga F a

Gb F b

σa

F f Gf

σ_b

(8)

そのために次の図式を考える．

Ga F a

Gb F b

σa

id id

θ_a

F f Gf

θb

id id

σb

上の四角と下の四角は，σa，σb の定義より可換である．真ん中の四角は θ ^が自然変換であることから可換である．よって一番外側の大きな四角も可換であり，

F f ◦σa=σb◦Gf が分かった．

垂直合成の定義から明らかにσ◦θ = id_F，θ◦σ = id_Gだからθ は同型射である．

さて，関手圏と関連して定義される関手がいくつか存在するのでそれを説明しよう．

まずF: C → Dを関手とする．このとき圏M ^に対してF: Ob(C^M)→ Ob(D^M)^が F(G) :=F Gで定義できる．

M ^G C M ^G C ^F D

F

実はこれは関手となる．それにはθ: G ⇒H: M →C に対してF(θ) :=F θ で定義すればよい．

M C M

C C

⇐ ^θ D

G

H

⇐^{F θ}

G F

H F

F

このF が関手になることを示そう．

まずθ: G⇒H，σ: H ⇒K を自然変換としてF(σ◦θ) =F(σ)◦F(θ)を示す．その為にはa ∈C に対して(F(σ◦θ))a = (F(σ)◦F(θ))aを示せばよい．定義より

(F(σ◦θ))_a =F((σ◦θ)_a) =F(σ_a◦θ_a) =F(σ_a)◦F(θ_a) (F(σ)◦F(θ))a = (F(σ))a◦(F(θ))a=F(σa)◦F(θa)

(9)

となるから成り立つ．

次に F(id_G) = id_{F G} を示す．その為にはa ∈ C に対して(F(id_G))_a = (id_{F G})_a を示せばよい．定義より

(F(id_G))_a=F((id_G)_a) =F(id_Ga) = id_{F Ga} (id_{F G})_a= id_{F Ga}

となるから成り立つ．以上によりF: C^M →D^M は関手である．

同じようにして，圏M に対してF⁻¹: Ob(M^D)→Ob(M^C)がF⁻¹(G) :=GF で定義できる．これも関手となる．それにはθ: G⇒H: D →M に対してF⁻¹(θ) := θ_F で定義すればよい．

D M C

D D

⇐ ^θ M

G

H

⇐^θ^F

F G

F H

F⁻¹

証明は先ほどと同じような感じなので省略する．

例 8. C, Dを圏とする．一意に定まる関手! : C → 1^{によって関手}!⁻¹: D¹→ D^C ^が定まる．この関手と圏同型D¹∼= Dを組み合わせて得られる関手を∆ : D→ D^C と書き対角関手(diagonal functor)と呼ぶ．定義より

• a∈Dに対して∆aは以下で与えられる関手∆a: C →Dである．

– c∈C に対して∆a(c) =a．

– f ∈Mor(C)に対して∆a(f) = id_a．

• f: a → bに対して ∆f は「c ∈ C に対して (∆f)_c = f」で与えられる自然変換

∆f: ∆a ⇒∆bである．

である．

例 9. C, Dを圏としてa ∈Cを対象とする．関手F: 1→C をF(∗) :=aで定めれば関手F⁻¹: D^C →D¹ が得られる．この関手と圏同型D¹ ∼= Dを組み合わせて得られる関手をev_a: D^C →Dと書く．定義より

• G∈D^C に対してev_a(G) :=Ga．

• θ∈Mor(D^C)に対してev (θ) =θ

(10)

更に，evaのaの部分も変数にすることができる．即ち，evを

• F ∈D^C，a ∈Cに対してev(F, a) :=F aとする．

• θ: F ⇒Gを自然変換，f: a →bをCの射とするときev(θ, f) :=θ_b◦F f とする．

により定めれば，関手ev : D^C ×C →Dとなる．

例 10. 2 = {0 < 1}^{だった．圏} C ^{に対して関手}2 → C ^は，C ^{の射と一対一に対応す} る．つまりOb(C²) = Mor(C)とみなすことが出来る．C²を圏C のarrow categoryと呼ぶ．f: a →b，g: c→dをC の射とするとき，C²におけるf からgへの射とは，射の組hh: a→c, k: b→di^であって

a c

b d

h f g

k

を可換にするものである．

関手 1 = {∗} → 2^は2 ^つあり，F(∗) := 0 ^で定まるF ^とG(∗) := 1^で定まる G ^の 2つである．これらから 2つの関手F⁻¹, G⁻¹: C² → C が定まる．定義より，F⁻¹ は f ∈ Ob(C²) = Mor(C)に対してdom(f)を対応させる関手であり，G⁻¹ はf に対して cod(f)を対応させる関手である．また例8で定義した対角関手∆ : C →C²はc∈C に対してid_c ∈Mor(C) = Ob(C²)を対応させる関手である．

例11. 集合Xを離散圏とみなして関手圏2^Xを考える．この場合，関手X →2^とは写像 X → {0,1}^{のことだから}Ob(2^X) = P(X) (X の冪集合)と見なすことができる．即ち写像F: P(X) 3 A 7→χA ∈Ob(2^X)は全単射である(但しχA はA ⊂ X の特性関数)． P(X)は包含関係で順序集合，即ち圏となるが，このときF は圏同型F: P(X)→2^X ^を与えることが容易に分かる．つまり圏として2^X =P(X)と思ってよい．

X, Y を集合としてf: X → Y を写像とする．X, Y を離散圏とみなしたときf: X → Y は関手である．よって関手f⁻¹: 2^Y →2^X が得られる．上記の圏同型によりf⁻¹^は関手P(Y) → P(X)と見なせるが，この関手はA ⊂Y の逆像f⁻¹(A)⊂ X を対応させる関手である．

T: A×B→C を関手とする．このときa∈Aに対してF を

• 対象b∈Bに対してF(b) :=T(a, b)．

(11)

• 射f ∈Bに対してF(f) :=T(ida, f)．

と定義すれば，明らかにF は関手F: B →Cとなる．この関手をT(a,−)で表す．同様にb∈Bに対して関手T(−, b) : A→C も定義できる．

このとき対応 a 7→ T(a,−)は関手Te: A → C^B を定める．それを示すため，A の射 f:a →a⁰ に対して自然変換Te(f) : Te(a)⇒Te(a⁰)を定義しよう．その為にb∈Bに対してTe(f)b :=T(f,idb)^{と定義する．この}Te(f)bはb∈B^{について自然である．}

...

) Bの射g: b→b⁰ に対して

Te(a)(b) Te(a⁰)(b)

Te(a)(b⁰) Te(a⁰)(b⁰) e

T(f)b

e

T(a⁰)(g)

e

T(a)(g)

e

T(f)b0

が可換であることを示せばよい．定義により，この図式は

T(a, b) T(a⁰, b)

T(a, b⁰) T(a⁰, b⁰)

T(f,idb)

T(id_a0,g) T(ida,g)

T(f,id_b0)

となるが，これはT(id_a0, g)◦T(f,id_b) =T(f, g) =T(f,id_b0)◦T(id_a, g)となり可換である．

このTe(f)は明らかにTe(g◦f) =Te(g)◦Te(f)，Te(id) = idを満たすからTe: A →C^B は関手である．

逆に，関手Te: A →C^B が与えられたときT: A×B→ CをT(a, b) :=Te(a)(b)で定義することができる．こうしてT: A×B→C とTe: A→C^B は一対一に対応する．

自然変換・関手圏