エンタングルメントを使わない量子テレポーテーション

(1)

エンタングルメントを使わない量子テレポーテーション

福井大学工学部物理工学科

03380340

出口智美

2007

年

2

月

(2)

第 1 _{章量子情報}

1.1

量子情報

私たちが普段接する物理的な現象

(物体の落下など)

は古典力学で説明される。

20

世紀に入り、とても小さいスケールのもの

(分子、原子、素粒子など)

を扱うことができるようになった。そのようなミクロの世界は、私たちが普段経験する古典力学的現象からは想像できないような性質を持ち、古典力学とは違った物理法則で成立することが分かった。それが量子力学である。

量子力学において対象は波動関数で書け、数々の不思議な性質を示すようになるが、今日では、量子力学で説明できる古典力学的直感とは異なった性質を、単にミクロな世界の理論とするのではなく、人間が行う情報処理に積極的に利用しようとする試みがなされている。それが量子情報と呼ばれる分野である

[1][2][3]。

現在の古典的情報は”bit”と呼ばれる０か１かいずれかの状態をとるのが基本概念である。量子情報の場合、最も簡単な量子系の状態を”qubit(量子ビット)”と呼び，０と１を同時に含むような「重ね合わせ状態」をとる。また，複数の

qubit

の量子系では「量子エンタングルメント」と呼ぶ状態が存在する。特に量子エンタングルメントは量子力学の重要な資源であり、エネルギー、情報、エントロピーなどの基礎資源と比肩する重要性を持つ。すなわち、自然界の基本資源であると考えられる。

これら量子的理論を応用することで、量子情報技術には、例えば、超並列計算を可能にする量子コンピュータや、絶対の盗聴不可能な量子暗号などがある。

従来の計算機は

1bit

につき、0か

1

の値しか持たない。しかし、量子コンピュータでは

qubit

により、1bitにつき０か１の値だけでなく、０と１の重ね合わせた状態を持つことが可能である。この

qubit

を複数利用することで、量子コンピュータは従来の計算機では実現し得ない並列性を実現して

いる。また、量子暗号は送信者と受信者の２人の観測者が秘密鍵を前もって共有するために用いるものである。この分野では送信者を

Alice、受信者を Bob、盗聴者を Eve

と呼ぶのが一般的である。

古典力学では対象を観測しても状態を変化させることなく観測できるが、量子力学では観測により、

その状態を壊してしまう。つまり、Eve(盗聴者)の介入が明瞭である。そのときはこの秘密鍵を放棄して、再度秘密鍵配送を試みればよいのである。また、遠隔地にいる２人の観測者に古典的な情報を転送することで、qubitの状態を転送することができる量子テレポーテーションなどがある。テレポーテーションとは

qubit

が別の場所に瞬間移動するという意味ではなく、エンタングルメントの状

態にある

2

つの

qubit

のうち一方の状態を観測すると瞬時にもう一方の状態が確定することが由来

である。量子テレポーテーションは、受信者と送信者が、エンタングルしている

qubit

対を共有し、

古典的通信

(電話等)

が可能な環境であれば、受信者は送信者が持っていた

qubit

の状態を忠実に再生できる。量子テレポーテーションは、最近注目され始めた技術であり、１０年程まえに初めて実験の成功が発表された。ゆえに、量子テレポーテーションにおける興味深い未解決問題や学ばなければならない要素はたくさんあり、これから解明して行かなくてはならない。

そこで、エンタングルメントを使わない状況では量子テレポーテーションは成り立たないのか、と考えた。qubitの状態とは非常に壊れやすいものであり、さらに、エンタングルメント状態にある

qubit

対を２人の観測者が共有することは容易ではない。今回はエンタングルメントを使わない場合、

送信者が送りたい

qubit

を、受信者がいかに忠実に再生できるかを、忠実度を用いて議論する。

(4)

1.2

量子ビット

−qubit−

qubit

とは、量子状態の最も簡単な系であり、qubitはスピンを使って説明できる。qubitの２つの

状態を

| 0 i、| 1 i

と表そう。上向きのスピンを

| 0 i、下向きのスピンを | 1 i

と表すと、斜め向きのスピンが存在するように、qubitは

| 0 i、| 1 i

の状態だけでなく、次の「重ね合わせの状態」が存在する。

| ψ i = α| 0 i + β | 1 i (1.1)

ここで

α

と

β

は複素数であるが、多くの場合、実数の考えることができる。この重ね合わせの状態を測定すると、結果１は

|α|

²の確率で、結果０は

|β|

²の確率で得ることがでる。全確率の和は１なので、

|α|

²

+ |β |

²

= 1 (1.2)

となることは明らかである。また、これは

qubit

の状態が長さ１に正規化される条件でもある。したがって、一般に

qubit

の状態は２次元複素ベクトル空間の単位ベクトルを表している。

重ね合わせ状態の

qubit

は測定後その状態は壊れ、|

0 i、と | 1 i

の重ね合わせの状態から測定結果に対応した、特定の状態に収縮する。式

(1.1)

の状態を測定した結果が０であれば測定後の

qubit

の状態は

| 0 i

となり、結果が１であれば測定後の

qubit

の状態は

| 1 i

となる。

このような振る舞いは量子力学の基本公理

(fundamental postulate)

の１つであり、なぜこのような収縮が起こるのかは誰も知らない

[4]。さらに、１回の測定では qubit

の情報は１

bit

しか得られない。つまり無限に多くの同等の

qubit

を測定すると式

(1.1)

で与えられる

α

と

β

を決定することができる。

1.3

量子エンタングルメント

−Quantum entanglement−

qubit

の２つの状態を

| 0 i、| 1 i

と表したとする。エンタングルメント状態である２つの

qubit

がある場合を考えたとき、１つ目の

qubit

の状態が

| 0 i、２つ目の qubit

の状態が

| 1 i

にあるとき、全系の状態は

| 01 i

と表される。したがって、|

0 i

と

| 1 i

の２つの

qubit

の量子系は

| 00 i、| 01 i、| 10 i、

| 11 i

の４つの状態を持ち、さらにこれら４つの状態を重ね合わせた状態、

| φ i = α

00

| 00 i + α

01

| 01 i + α

10

| 10 i + α

11

| 11 i (1.3)

も存在する。この場合の規格化条件は、

|α

00

|

²

+ |α

01

|

²

+ |α

10

|

²

+ |α

11

|

²

= 1 (1.4)

である。

重ね合わせの状態の

qubit

を２つ用いた場合、２つの測定結果が絡み合っているという重要な状態がある。このような状態をエンタングルした状態

(EPR pair)

という

[1]。ここで、EPR

とは、

A.Einstein、B.Podolsky、N.Rosen

の３人の頭文字を取ったものであり、３人の思考実験を

EPR

実験と呼んだことに由来する。

ここで、つぎの重ね合わせの状態を考えてみる。

| φ i = 1

√ 2 (| 00 i + | 11 i) (1.5)

式

(1.5)

の状態は、それぞれ確率 ¹₂で

| 00 i

と

| 11 i

が測定できることを表している。この２つの

qubit

の片方ずつを

Alice

と

Bob

に持たせた場合、Aliceが１つ目の

qubit

を測定し結果が１ならば、

(5)

Bob

が２つ目の

qubit

を測定すると結果は必ず１となる。また、Aliceの１つ目の

qubit

の測定結果が０ならば、Bobが２つ目の

qubit

を測定すると必ず０となる。つまり、２つの

qubit

がエンタングルした状態ならば、片方の

qubit

を測定するともう片方の

qubit

の状態が瞬時に決まる。

エンタングルしている２つの

qubit

の間に相互作用は存在しない。つまり、エンタングルした

qubit

対がはるか離れたところに存在しても測定は成立するのである。

1.4

量子テレポーテーション

−Quantum teleportation−

量子テレポーテーションは

C.H.Bennett、 G.Brassard、 C.Cr´ epeau、 R.Jozsa、 A.Peres、 W.Wooters

らにより発見された

[７]。

Alice(送信者)

と

Bob(受信者)

という２人の観測者が離れて暮らしていたとしよう。

Alice

は１つの重ね合わせの状態の

qubit| ● i

を持っており、いま

| ● i

を遠く離れた

Bob

に送りたかったとする。

２人の間の通信手段は古典的通信手段

(電話等)

だけであり、|

● i

そのものを送ることは物理的に不可能であるとしよう。

Alice

と

Bob

が前もって２つのエンタングルした

| Φ i

の

qubit

対の片方ずつを共有していたとすると、Aliceは自分の持っている

| Φ i

の

qubit

と

| ● i

にある測定をし、その結果を電話で

Bob

に伝える。Bobは電話の内容に応じ自分の持っている

| Φ i

の

qubit

に適当な操作をすることで、|

● i

を

100

％忠実に再生することができる。

Alice

^Bob

Entanglement

図１エンタングルメント状態での量子テレポーテーション

量子テレポーテーションでは、Aliceと

Bob

は前もって、エンタングルした状態

| Φ i

を共有していたとすると、Aliceは２

bit

の古典情報を

Bob

に送るだけで状態

| ● i

を

Bob

に送ることができる。

すなわち、この場合に忠実度は１となる。忠実度は、Aliceの送るべき状態

| ● i

と、Bobの再生した状態

| ◯ i

の内積の絶対値２乗で定義される。いまの場合の忠実度は、

|h ● | ◯ i|

²

= 1 (1.6)

となる。

さらに量子テレポーテーションでは、Aliceは状態

| ● i

について全く知らなくてもよいのである。

また、重ね合わせの状態の

qubit

は測定するとその状態が壊れてしまう。つまり

Alice

が測定した時点で状態

| ● i

は壊れる。

(6)

1.5

本研究の目的

量子テレポーテーションは、送りたい状態そのものを送るのではないので実体が盗まれることはなく、また測定すると状態は壊れてしまうので、安全な通信手段だといえる。

エンタングルメントしている量子テレポーテーションでは、観測者が離れたところにいてもエンタングルしている

qubit

対を共有していると、送りたい状態を２

bit

の情報を送るだけで、100％忠実に得ることができる。しかし、qubitは状態が壊れやすく、さらにエンタングルしている

qubit

対を共有することは容易ではない。また、qubitを測定すると、結果には測定誤差が生じてしまう。

そこでエンタングルメントの状態を共有していない場合、いかに忠実に状態

| ● i

をつくることができるか議論することが本研究の目的である。

•

２人がエンタングルしている

qubit

を共有していない環境で、

送りたい

qubit| ● i

の状態はどれくらい忠実に送ることができるのか。

•

送りたい

qubit| ● i

が、１つ、２つ、３つ

· · ·

と複数与えられたときの、

忠実度

< F >

はどのように変化するのか。

ただし、Aliceと

Bob

の間では、電話等の古典的な通信手段が使えるものとする。

Alice

^Bob

?

図２エンタングルメント状態でない場合の量子テレポーテーション

(7)

第 2 _章 qubit

2.1

正規直交基底

qubit

状態は２次元複素ベクトル空間のベクトルであり、状態

| 0 i

と状態

| 1 i

のような特定の状態は、このベクトル空間の正規直交基底を構成する。いま、下式のような２つの

qubit

の状態があったとしよう。２つの状態をそれぞれ次のように内積を定義する。

| φ

n

i = α

n

| 0 i + β

n

| 1 i (2.1)

| φ

m

i = α

m

| 0 i + β

m

| 1 i (2.2)

( h φ

n

| φ

m

i = 0

h φ

m

| φ

n

i = 0 (2.3)

( h φ

n

| φ

n

i = 1

h φ

m

| φ

m

i = 1 (2.4)

式

(2.3)

が成立するとき

| φ

n

i

と

| φ

m

i

は直交しているといい、式

(2.4)

が成立するとき

| φ

n

i

と

| φ

m

i

は規格化されているという。つまり

| φ

n

i

は常に次式が成立する。

h φ

n

| φ

m

i = δ

nm

(2.5)

また、式

(2.5)

を満たす

| φ

n

i

の集合

{| φ

n

i}

は正規直交系と呼ばれる

[4][5]。

2.2

射影測定

ここでは、量子力学での射影測定について議論する。次のような

d

次元空間の量子系の状態があるとする。

| φ i = α

₁

| φ

₁

i + α

₂

| φ

₂

i + · · · + α

_d

| φ

_d

i (2.6) {| φ

k

i}

が正規直交基底の場合、測定結果が

| φ

k

i

である確率

|α

k

|

²は、

|α

k

|

²

= |h φ

k

| φ i|

²

(2.7)

となり、測定後の量子系の状態は

| φ

k

i

となる。

(8)

2.3 Bloch

球

式

(1.1)

で与えられる規格化された

qubit

の状態は次のように書き換えることができる。

| ψ i = cos θ

2 | 0 i + e

^iφ

sin θ

2 | 1 i (2.8)

(0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2π) (2.9)

θ

と

φ

は図のような３次元単位球上の点を定義する。この球を

Bloch

球と呼び、Bloch球を利用することで、単一

qubit

の状態を視覚化できるようになる。さらに、単一

qubit

の多くの操作は

Bloch

球上で定義される。

Bloch

球上を指すベクトルを

Bloch

ベクトル

− → n

という。Blochベクトル

− → n

に対応する

qubit

の状態が

| − → n i

と表されるので、すなわち、

| ψ i = | − → n i (2.10)

と表すことができる。

|0>

|1> Bloch sphere

y z

x

|n>

|-n>

図３

Bloch

球

図３で分かるように

| 0 i

と

| 1 i

は直交しているので、|

0 i

と

| 1 i

の内積

h 0 | 1 i

は

h 0 | 1 i = 0 (2.11)

となる。同様に、| −

→ n i

と

| − − → n i

も直交していることがわかる。

先に

qubit

は重ね合わせの状態をとることができると述べたように、多くの単一

qubit

の状態はこ

の

Bloch

球上のどの状態もとることができるので、これから扱う

qubit

も

Bloch

球を用いることと

し、Aliceが送りたい

qubit| ● i

の状態を、

| ● i = | − → n i (2.12)

と表して、議論する。

(9)

第 3 章エンタングル状態を使わない量子テレポーテーション

本研究ではエンタングルメント状態を使わない場合の量子テレポーテーションについて議論する。

まず、ここでは送りたい

qubit | − → n i

の状態が１つ与えられた場合について考察する。

| − → n i = cos θ

2 | 0 i + e

^iφ

sin θ

2 | 1 i (3.1)

3.1 1 qubit

の場合

Alice

の測定

Alice

は与えられた

| − → n i

に対し、正規直交基底

{| − → m i, | − − → m i}

で測定するとしよう。

すなわち

| − → m i

と

| −− → m i

を区別する測定をする。

|m>

|-m>

z

x y

|n>

図４１qubitの測定

測定結果が

| − → m i

である確率を

P

+とし、

| − − → m i

である確率と

P

−とすると、P+と

P

−は次のように与えられる。

P

+

= |h − → m | − → n i|

²

= 1

2 (1 + − → m · − → n ) (3.2)

P

−

= |h −− → m | − → n i|

²

= 1

2 (1 − − → m · − → n ) (3.3)

ここで、qubit状態の内積に関する公式

(A.8)

を用いた。

次に、Aliceは

Bob

に測定結果を古典的情報

(電話など)

として伝える。この場合、結果が

| − → m i

なら’+’、| − −

→ m i

なら’ー’と伝えると前もって約束しておく必要がある。

Bob

の操作

Bob

は、Aliceから伝えられた古典的情報

(＋またはー)

に応じて状態

| − → m i

または状態

| − − → m i

にある

qubit

を準備するとする。すると、Aliceの測定結果が’＋’であるときの忠実度

F

+、’ー’であるときの忠実度

F

−は以下のようになる。

(10)

F

+

= |h − → n | − → m i|

²

= 1

2 (1 + − → n · − → m) (3.4)

F

−

= |h − → n | −−→ −m i|

²

= 1

2 (1 − − → n · − → m) (3.5)

したがって、平均の忠実度

F

は式

(3.2),(3.3),(3.4),(3.5)

を使って、

F = P

m

F

m

+ P

−m

F

−m

= |h − → n | − → m i|

⁴

+ |h − → n | − − → m i|

⁴

= 1

2 {1 + ( − → m · − → n )

²

} (3.6)

のようになることが分かる。

上の忠実度

F

はある与えられた状態

| − → n i

に関するものである。

しかし、| −

→ n i

は

Bloch

球上のどの点もとることができるので、ここでは、

| − → n i

が

Bloch

球上で一様に分布していると仮定して

Bloch

球上で平均した忠実度＜

F

＞を求める。式

(3.6)

に式

(B.6)

を利用すれば、< F >は次のように求められる。

< F > = R

₀

2π

R

₀

π

F(θ, φ) sin θdθdφ R

₀

2π

R

₀

π

sin θdθdφ

= < 1

2 {1 + ( − → m · − → n )

²

} >

= 1

2 (1 + m

²_x

< n

²_x

> +m

²_y

< n

²_y

> +m

²_z

< n

²_z

>

+2m

x

m

y

< n

x

n

y

> +2m

x

m

z

< n

x

n

z

> +2m

y

m

z

< n

y

n

z

>)

= 1 2 {1 + 1

3 (m

²_x

+ m

²_y

+ m

²_z

)}

= 2

3 (3.7)

このように、Bloch球上に一様に分布する

qubit | − → n i

が１つ与えられた場合は、Aliceが送りたい状態

| − → n i

を、Bobが状態

| − → n i

を再現する忠実度は ²₃となることが分かる。

また忠実度は

Alice

の用いる測定のための基底

{| − → m i, | − − → m i}

によらない。

(11)

第 4 _{章複数の} qubit

ここでは、送りたい

qubit | − → n i

の状態が複数与えられた場合について、忠実度＜

F

＞の変化を議論する。この場合も１つの

qubit | − → n i

が与えられときと同様に、Aliceは正規直交基底において測定すると考える。

4.1

２つ

Alice

の測定

１つ目の

| − → n i

に対し、| −→

m

1

i

または

| − −→ m

1

i

２つ目の

| − → n i

に対し、| −→

m

2

i

または

| − −→ m

2

i

つまり、測定結果は、| −→

m

₁

i| −→ m

₂

i、| − −→ m

₁

i| −→ m

₂

i、| −→ m

₁

i| − −→ m

₂

i、

| − −→ m

1

i| − −→ m

2

i

の４通りあると分かる。

z

x y

|m >

|-m >

|m >

|n>

図５２qubitでの測定測定結果が

| −→ m

1

i| −→ m

2

i

である確率を

P

++とし、

| − −→ m

1

i| −→ m

2

i

である確率を

P

−+とし、

| −→ m

1

i| − −→ m

2

i

である確率を

P

+−、| − −→

m

1

i| − −→ m

2

i

である確率を

P

−−とする。確率

P

++、P−+、

P

+−、P−−をまとめて、’＋’または’ー’を文字

st

と書き換え確率

P

stとした場合、確率

P

stは、

P

st

= |h − → n | s −→ m

1

i|

²

|h − → n | t −→ m

2

i|

²

= 1

4 (1 + s −→ m

1

· − → n )(1 + t −→ m

2

· − → n ) (4.1)

となる。送りたい

qubit| − → n i

の状態を２つ与えられたとき、測定結果は４通りあることから、送る古典的情報は２

bit

である。

Bob

の測定

Bob

は、Aliceから伝えられた古典的情報に応じて、ある

qubit

を準備するとする。いま、

− → n

st

( − → n

++

or − → n

+−

or − → n

−+

or − → n

−−

)

を準備すると仮定して、

− → n

stの場合の忠実度

F

stを求めると、以下のようになる。

F

st

= |h − → n | − → n

st

i|

²

= 1

2 (1 + − → n · − → n

st

) (4.2)

平均の忠実度

F

は、式

(4.1)、(4.2)

を使って、

F = P

++

F

++

+ P

−+

F

−+

+ P

+−

F

+−

+ P

−−

F

−−

= X

±

st

P

st

F

st

(4.3)

となることが分かる。

(12)

| − → n i

が

Bloch

球上で一様に分布していると仮定して、Bloch球上で平均した忠実度

< F >

を求める。式

(4.3)

に式

(B.7)、式 (B.9)

を利用すると、< F >は、

< F > = 1 8

X

±

st

< (1 + s −→ m

1

· − → n )(1 + t −→ m

2

· − → n )(1 + − → n

st

· − → n ) >

= 1 2 + 1

24 X

±

st

{−→ n

st

· (s −→ m

1

+ t −→ m

2

)} (4.4)

となり、| −

→ n i

は

Bloch

球上で一様に分布していると仮定しているので、

− → n

stは単位ベクトルであることが分かる。よって、式

(4.4)

に次の不等式

−

→ n · − → a ≤ |− → a | (4.5)

( − → n :単位ベクトル)

を利用すると

< F >

は、

< F > ≤ 1 2 + 1

24 X

±

st

|s −→ m

₁

+ t −→ m

₂

| (4.6)

= 1 2 +

√ 2 24

X

±

st

p 1 + st −→ m

1

· −→ m

2

(4.7)

となり、さらに、式

(4.6)

に次の不等式を利用すると、

√ 1 + x ≤ 1

2 x + 1 (4.8)

となる。よって、< F >は、

< F > ≤ 1 2 +

√ 2 24

X

±

st

(1 + 1

2 st −→ m

1

· −→ m

2

) (4.9)

= 1 2 +

√ 2

6 (4.10)

と求められる。

いま、忠実度

< F >

が最大値をとる場合は、式

(4.6)、(4.9)

が最大になる場合を求めればよいので、不等式

(4.6)

が等号で成立する場合は、

−→ n

st

= s −→ m

1

+ t −→ m

2

|s −→ m

1

+ t −→ m

2

| (4.11)

となり、不等式

(4.9)

が最大になる場合は、

−→ m

1

· −→ m

2

= 0 (4.12)

qubit | − → n i

を

2

つ与えられた場合

式

(4.10)

より、Aliceが

−→ m

1と

−→ m

2を直交するように測定し、

Bob

が、Aliceから伝えられた古典的情報に応じ、

−→ n

stを式

(4.9)

のように準備すると最大になる。

このときの忠実度

< F >

は最大で¹₂

+

^√₆²をとる。

z

y x

|m >

図６ < F >が最大になる場合の測定

(13)

4.2

３つ

ここでは、qubit| −

→ n i

が３つ与えられた場合について先ほどと同様な計算方法を用いて議論する。

Alice

は３つの与えられた

| − → n i

に対して、１つ目の

| − → n i

に対し、| −→

m

1

i

または

| − −→ m

1

i

を区別する測定をする。２つ目の

| − → n i

に対し、| −→

m

2

i

または

| − −→ m

2

i

を区別する測定をし、３つ目の

| − → n i

に対し、| −→

m

3

i

または

| − −→ m

3

i

つまり、測定結果は８通り存在し、それぞれの場合の確率を

P

stuと総称したとすると、確率

P

stu

は、

P

stu

= |h − → n | s −→ m

1

i|

²

|h − → n | t −→ m

1

i|

²

|h − → n | u −→ m

1

i|

²

= 1

8 (1 + s −→ m

1

· − → n )(1 + t −→ m

2

· − → n )(1 + u −→ m

3

· − → n ) (4.13)

この場合、測定結果が８通り存在するので送る古典的情報は３

bit

である。

Bob

は、

Alice

から伝えられた古典的情報に応じて、ある

qubit

を準備するとする。いま、

− → n

stuを準備すると仮定して、その場合の忠実度

F

stuを求めると以下のようになる。

F

stu

= |h − → n | − → n

stu

i|

²

= 1

2 (1 + − → n · − → n

stu

) (4.14)

式

(4.13)、(4.14)

を利用し平均の忠実度

F

を求めると、

F =

X

±

stu

P

stu

F

stu

(4.15)

となる。

式

(4.15)

に、先と同様に、不等式

(4.5)、不等式 (4.8)

を用いて

Bloch

球上で平均した忠実度

< F >

を求める。

< F > = <

X

±

stu

P

stu

F

stu

>

= 1

16 X

±

stu

< (1 + s −→ m

1

· − → n )(1 + t −→ m

2

· − → n )

(1 + u −→ m

3

· − → n )(1 + − → n · − → n

stu

) >

= 1 2 + 1

48 X

±

stu

{− → n

stu

· (s −→ m

1

+ t −→ m

2

+ u −→ m

3

)}

+ 1

5 stu{−→ m

1

· ( −→ m

2

· −→ m

3

) + −→ m

2

· ( −→ m

1

· −→ m

3

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

2

))}

(4.16)

≤ 1 2 + 1

48 X

±

stu

|(s −→ m

1

+ t −→ m

2

+ u −→ m

3

)

+ 1

5 stu{−→ m

1

· ( −→ m

2

· −→ m

3

) + −→ m

2

· ( −→ m

1

· −→ m

3

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

2

)}|

(4.17)

ここで、式

(B.8)、式 (B.10)

を利用した。

(14)

さらに、

−→ m

1

· −→ m

2

= X

3

, −→ m

1

· −→ m

3

= X

2

, −→ m

2

· −→ m

3

= X

1とおくと、式

(4.17)

から忠実度

< F >

は、

< F > ≤ 1 2 +

√ 3

24 · {4 + 2

5 (X

1

+ X

2

+ X

3

) + 2

5 (−X

1

+ X

2

− X

3

) + 2

5 (−X

1

− X

2

+ X

3

) + 2

5 (X

1

− X

2

− X

3

)} (4.18)

= 1 2 +

√ 3

6 (4.19)

ここで、忠実度

< F >

を最大値を得るために、不等式

(4.17)、(4.18)

で等号が成立する場合を求める。不等式

(4.17)

−

→ n

stu

= (s −→ m

1

+ t −→ m

2

+ u −→ m

3

) +

¹₅

stu{−→ m

1

· ( −→ m

2

· −→ m

3

) + −→ m

2

· ( −→ m

1

· −→ m

3

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

2

)}

|(s −→ m

1

+ t −→ m

2

+ u −→ m

3

) +

¹₅

stu{−→ m

1

· ( −→ m

2

· −→ m

3

) + −→ m

2

· ( −→ m

1

· −→ m

3

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

2

)}| (4.20)

となり、不等式

(4.18)

X

1

= X

2

= X

3

= 0

すなわち、

−→ m

1

· −→ m

2

= −→ m

1

· −→ m

3

= −→ m

2

· −→ m

3

= 0 (4.21)

qubit | − → n i

を３つ与えられた場合

式

(4.18)

より、Aliceが

−→ m

1、

−→ m

2、

−→ m

3を、それぞれ直交するように測定し、Aliceから伝えられた古典的情報に応じて、式

(4.19)

をみたす

− → n

stuを

Bob

がつくるとき、

忠実度

< F >

は最大で¹₂

+

^√₆³をとる。

z

y x

|m >

図７ < F >が最大になる場合の測定

4.3

４つ

ここでは、qubit

| − → n i

が４つ与えられた場合について議論する。

Alice

は４つの与えられた

| − → n i

に対して、それぞれに正規直交基底を構成する状態

{| −→ m

1

i, | − −→ m

1

i}、

{| −→ m

2

i, | − −→ m

2

i}、{| −→ m

3

i, | − −→ m

3

i}、{| −→ m

4

i, | − −→ m

4

i}

を用いて測定したとする。つまり、測定結果は

16

通り存在することが分かる。それぞれの場合の確率を

P

rstuと総称したとすると、確率

P

rstu

は、

(15)

P

rstu

= |h − → n | r −→ m

1

i|

²

|h − → n | s −→ m

1

i|

²

|h − → n | t −→ m

1

i|

²

|h − → n | u −→ m

1

i|

²

= 1

16 (1 + r −→ m

1

· − → n )(1 + s −→ m

1

· − → n )(1 + t −→ m

2

· − → n )(1 + u −→ m

3

· − → n ) (4.22)

となる。

この場合、測定結果が

16

通り存在するので、送る古典的情報は４

bit

である。

Bob

は

Alice

から伝えられれた古典的情報に応じて、いまの場合、

− → n

rstuを準備すると仮定する。

−

→ n

rstuをつくる場合の忠実度

F

rstuを求めると、

F

_rstu

= |h − → n | − → n

_rstu

i|

²

= 1

2 (1 + − → n · − → n

rstu

) (4.23)

となる。

式

(4.22)、(4.23)

を利用し平均の忠実度

F

を求めると、

F =

X

±

rstu

P

rstu

F

rstu

(4.24)

となる。

式

(4.24)

に、不等式

(4.5)、不等式 (4.8)

を用いて

Bloch

球上で平均した忠実度

< F >

を求める。

< F > = <

X

±

rstu

P

rstu

F

rstu

>

= 1

32 X

±

rstu

< (1 + r −→ m

1

· − → n )(1 + s −→ m

2

· − → n )(1 + t −→ m

3

· − → n )

(1 + u −→ m

4

· − → n )(1 + − → n · − → n

rstu

) >

= 1 2 + 1

96 X

±

rstu

−

→ n

rstu

· [r −→ m

1

+ s −→ m

2

+ t −→ m

3

+ u −→ m

4

+ 1

5 stu{−→ m

2

· ( −→ m

3

· −→ m

4

) + −→ m

3

· ( −→ m

2

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

2

· −→ m

3

)}

+ 1

5 rtu{−→ m

1

· ( −→ m

3

· −→ m

4

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

1

· −→ m

3

)}

+ 1

5 rsu{−→ m

1

· ( −→ m

2

· −→ m

4

) + −→ m

2

· ( −→ m

1

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

1

· −→ m

2

)}

+ 1

5 rst{−→ m

1

· ( −→ m

2

· −→ m

3

) + −→ m

2

· ( −→ m

1

· −→ m

3

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

2

)}] (4.25)

≤ 1 2 + 1

96 X

±

rstu

|r −→ m

1

+ s −→ m

2

+ t −→ m

3

+ u −→ m

4

+ 1

5 stu{−→ m

2

· ( −→ m

3

· −→ m

4

) + −→ m

3

· ( −→ m

2

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

2

· −→ m

3

)}

+ 1

5 rtu{−→ m

1

· ( −→ m

3

· −→ m

4

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

1

· −→ m

3

)}

+ 1

5 rsu{−→ m

1

· ( −→ m

2

· −→ m

4

) + −→ m

2

· ( −→ m

1

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

1

· −→ m

2

)}

+ 1

5 rst{−→ m

1

· ( −→ m

2

· −→ m

3

) + −→ m

2

· ( −→ m

1

· −→ m

3

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

2

)}| (4.26)

(16)

式

(4.26)

で等号が成立する場合は以下のようになる。

−

→ n

_rstu

= r −→ m

1

+ s −→ m

2

+ t −→ m

3

+ u −→ m

4

|r −→ m

1

+ s −→ m

2

+ t −→ m

3

+ u −→ m

4

+

¹₅

stu{−→ m

2

· ( −→ m

3

· −→ m

4

) + −→ m

3

· ( −→ m

2

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

2

· −→ m

3

) +

¹₅

stu{−→ m

2

· ( −→ m

3

· −→ m

4

) + −→ m

3

· ( −→ m

2

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

2

· −→ m

3

)}

+

¹₅

rtu{−→ m

1

· ( −→ m

3

· −→ m

4

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

1

· −→ m

3

)}

+

¹₅

rtu{−→ m

1

· ( −→ m

3

· −→ m

4

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

1

· −→ m

3

)}

+

¹₅

rsu{−→ m

₁

· ( −→ m

₂

· −→ m

₄

) + −→ m

₂

· ( −→ m

₁

· −→ m

₄

) + −→ m

₄

· ( −→ m

₁

· −→ m

₂

)}

+

¹₅

rsu{−→ m

₁

· ( −→ m

₂

· −→ m

₄

) + −→ m

₂

· ( −→ m

₁

· −→ m

₄

) + −→ m

₄

· ( −→ m

₁

· −→ m

₂

)}

+

¹₅

rst{−→ m

1

· ( −→ m

2

· −→ m

3

) + −→ m

2

· ( −→ m

1

· −→ m

3

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

2

)}

+

¹₅

rst{−→ m

1

· ( −→ m

2

· −→ m

3

) + −→ m

2

· ( −→ m

1

· −→ m

3

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

2

)}| (4.27)

これまでの計算方法で忠実度

< F >

の最大値を求めようとしたが、計算が非常に難しくなってしまったため、これ以上は同様な計算方法で求めることはできなかった。そこで、ここからは式

(4.24)

を具体的に

(r, s, t, u) = (+, +, +, +)

とし、< F >の算出を試みてみた。

< F > = 1 2 + 1

96 |−→ m

1

+ −→ m

2

+ −→ m

3

+ −→ m

4

+ 1

5 {−→ m

2

· ( −→ m

3

· −→ m

4

) + −→ m

3

· ( −→ m

2

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

2

· −→ m

3

)}

+ 1

5 {−→ m

1

· ( −→ m

3

· −→ m

4

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

1

· −→ m

3

)}

+ 1

5 {−→ m

1

· ( −→ m

2

· −→ m

4

) + −→ m

2

· ( −→ m

1

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

1

· −→ m

2

)}

+ 1

5 {−→ m

1

· ( −→ m

2

· −→ m

3

) + −→ m

2

· ( −→ m

1

· −→ m

3

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

2

)}| (4.28)

ここで、



 



 



a

1

= −→ m

2

· ( −→ m

3

· −→ m

4

) + −→ m

3

· ( −→ m

2

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

2

· −→ m

3

) a

2

= −→ m

1

· ( −→ m

3

· −→ m

4

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

1

· −→ m

3

) a

3

= −→ m

1

· ( −→ m

2

· −→ m

4

) + −→ m

2

· ( −→ m

1

· −→ m

4

) + −→ m

4

· ( −→ m

1

· −→ m

2

) a

4

= −→ m

1

· ( −→ m

2

· −→ m

3

) + −→ m

2

· ( −→ m

1

· −→ m

3

) + −→ m

3

· ( −→ m

1

· −→ m

2

)

(4.29)

とおくと、式

(4.26)

は、

< F > = 1 2 + 1

96 | X

4

i=1

m

i

+ 1 5

X

4

i=1

m

i

· a

i

|

²

= 1 2 + 1

96 | X

4

i=1

m

i

· (1 + 1 5 a

i

)|

²

= 1 2 + 1

96 [ X

4

i=1

(1 + 1 5 a

i

)

²

+

X

4

i6=j

(1 + 1

5 a

i

)(1 + 1

5 a

j

)(m

i

· m

j

)]

= 1 2 + 1

96 X

4

i=1

[(1 + 2 5 a

i

+ 1

25 a

²_i

) + X

4

i6=j

{1 + 1

5 (a

i

+ a

j

) + 1

25 a

i

a

j

}(m

i

· m

j

)]

= 1 2 + 1

48 {1 + 7 20

X

4

i6=j

(m

_i

· m

_j

)} + 1 25

X

4

i=1

a

²_i

+ 1 5

X

4

i6=j

(a

i

+ a

j

)(m

i

· m

j

) + 1 25

X

4

i6=j

a

i

a

j

(m

i

· m

j

) (4.30)

(17)

≤ 1 2 + 1

48 {1 + 7 40

X

4

i6=j

(m

i

· m

j

)} (4.31)

しかし、ここから先の計算も、忠実度

< F >

を得るための適切な計算方法をみつけることが非常に難しくなってしまい、qubit

| − → n i

を４つ与えられた場合の忠実度

< F >

を求めることはできなかった。ここで、これまでの忠実度を最大にするための条件を用ることで算出できないか試してみた。| −

→ n i

を

−→ m

1、

−→ m

2、

−→ m

3、

−→ m

4を互いに直交するように測定すると仮定し、今まで行ってきた計算方法で進められると仮定すると、式

(4.24)

は、以下のように求めることができた。

< F > ≤ 1 2 + 1

96 (2 × 16) (4.32)

= 1 2 + 1

3 = 5

6 (4.33)

しかし、これはあくまでも仮定であり、式

(4.32)

が最大になる

−→ m

1、

−→ m

2、

−→ m

3、

−→ m

4が直交するような場合は、三次元単位球である

Bloch

球上で定義することが不可能であることは明らかである。

エンタングルメントを使わない 量子テレポーテーション