である。 のとき直線 が 軸と交わる点を とすると， の座 標は エ

１ [11センター本試(旧課程) センター本試]

座標平面上で，放物線 を とする。

曲線 上の点 の 座標を とする。点 における の接線 の方程式は

アイ

である。 のとき直線 が 軸と交わる点を とすると， の座 標は エ

オ ， カ である。

のとき，曲線 と直線 および 軸で囲まれた図形の面積を とすると，

キ

クケ である。

のとき，曲線 と直線 および直線 で囲まれた図形の面積を とすると，

コ サ シ ス

セ である。

のときは ， のときは であるとして， に対して とおく。 がこの範囲を動くとき， は ソ で最大値 タ

チ をとり，

ツ

テ で最小値 ト

ナニ をとる。

数学共通テスト対策講座⑦（微分 積分）

-1-

２ [16センター本試 センター本試]

座標平面上で，放物線 を とし，放物線 を とする。

　実数 に対して， 直線 ， と ， で囲まれた図形 の面積 は

　 ア イ ウ エ

オ

カキ である。

　 は クケ

コ で最小値 サシ

スセ をとる。

　 点 ， ， ， ， ， ， ， を頂点とする正方形を で表す。

　 が の範囲を動くとき，正方形 と の図形 の共通部分の面積を とおく。

　 が最大となる の値を求めよう。

　直線 は， と ソ ， で， と タ ， で交わる。

　したがって，正方形 と図形 の共通部分が空集合にならないのは， チ 　のときである。

　 ソ チ のとき，正方形 は放物線 と 軸の間にあり，この範囲で 　 が増加するとき， は ツ 。 ツ に当てはまるものを，次の ～ のうち 　から一つ選べ。

　 　増加する　　　　 　減少する　　　　 　変化しない

　したがって， が最大になる の値は， ソ の範囲にある。

　 ソ のとき， の図形 のうち，正方形 の外側にある部分の面積 は 　 テ ト である。

　よって， ソ において

　 ナ ニ ヌ

オ

カキ …… ① である。

　① の右辺の増減を調べることにより， は ネノ ハ

ヒ で最大値をとる 　ことがわかる。

数学共通テスト対策講座⑦（微分 積分）

-2-

３ [14センター本試(旧課程) センター本試]

を実数とし， とする。

　関数 が極値をもつための の条件を求めよう。 の導関数は，

　 ア

である。したがって， が で極値をとるならば，

　 ア

ウ が成り立つ。さらに， の前後での の符号の変化を 　考えることにより， が条件 エ を満たす場合は， は必ず極値をもつことがわ 　かる。 エ に当てはまるものを，次の ～ のうちから一つ選べ。

　関数 が で極値をとるとする。また，曲線 を とし， 上の 　点 ， を とする。 が で極値をとることから， オ であ 　り， は カキ で極大値をとり， ク で極小値をとる。曲線 の接線 　で，点 を通り傾きが でないものを とする。 の方程式を求めよう。 と の接 　点の 座標を とすると， は点 ， における の接線であるから， の方程 　式は を用いて ケ コ と表すことができる。また，

　 は点 を通るから，方程式 サ シ を得る。この方程式を解 　くと， ス ， セソ

タ であるが， の傾きが でないことから， の方程式は 　 チツ

テ

ト

ナ である。

　点 を頂点とし，原点を通る放物線を とする。 と で囲まれた図形のうち，不 　等式 の表す領域に含まれる部分の面積 を求めよう。 の方程式は

　 ニ ヌ であるから，定積分を計算することにより， ネノ

とな 　る。

数学共通テスト対策講座⑦（微分 積分）

-3-

４ [09センター本試(旧課程) センター本試]

放物線 を ，点 ， を とする。点 ， に関して，点 と対称な点 を ， とすると， ア

イ ， ウ

エ が成り立つ。 が 上を動く ときの点 の軌跡を とすると， は放物線 オ カ である。

二つの放物線 と の交点を と とする。ただし， 座標の小さい方を とする。

点 ， の 座標はそれぞれ キク ， ケ で，点 ， における放物線 の接線の 方程式はそれぞれ コ ， サ シ である。

を放物線 上の点とし， の 座標を とおく。 から 軸に引いた垂線と放物線 との交点を とする。 キク ケ のとき，三角形 の面積 は

ス セ ソ タ と表される。 は チ

ツ のとき，最大値をとる。

チ

ツ のとき，直線 と放物線 の交点のうち， と異なる点の 座標は テ

ト である。このとき， テ ト

チ

ツ の範囲で，放物線 と直線 およ び直線 で囲まれた図形の面積は ナニヌ

ネノ である。

数学共通テスト対策講座⑦（微分 積分）

-4-