1.2. 様々な関数の微分 1.2.1 三角関数と指数・対数関数

数学2・数学演習2 No.4 2004.10.21

1.2. ^{様々な関数の微分} 1.2.1 三角関数と指数・対数関数

問題 13 次の関数を微分して単調増加になる範囲を求めなさい. また,その範囲で逆関 数を求めなさい.

(1) y= 2x−3 2x+ 1

導関数はy⁰ = 8

(2x+ 1)² より,

分母が0にならない{x∈R|x6=−¹₂}の範囲で,y = 2x−3

2x+ 1 は単調増加.

y = 2x−3

2x+ 1 をxについて解くとx= −y−3 2y−1. よって, この範囲において逆関数はy = −x−3

2x−1.

(2) y=√ 1−x²

導関数はy⁰ = −x

√1−x² より, 分母の根号内が正という条件も含めて,

−1< x50の範囲でy=√

1−x²は単調増加. この範囲で,y =√

1−x²をxについて解くとx=−p

1−y². よって, この範囲において逆関数はy =−√

1−x².

(3) y= e^x−e^−x 2

導関数はy⁰ = e^x+e⁻¹

2 より, 全ての実数の範囲でy= e^x−e^−x

2 は単調増加. y = e^x−e^−x

2 をxについて解くとx= log(y+p

y²+ 1).

よって, この範囲において逆関数はy = log(y+p

y²+ 1).

問題 14 次の関数を微分しなさい.

(1) y= arcsin(x+ 5) y⁰ = 1

√−x²−10x−24

(2) y= arccos(3x−2) y⁰ = −3

√−9x²+ 12 + +5

(3) y= arctan(7x+ 3) y⁰ = 7

49x² + 42x+ 10

(4) y=xarctanx y⁰ = arctanx+ x

1 +x²

(5) y= arcsinx² y⁰ = 2x

√1−x⁴

(6) y= (arcsinx)² y⁰ = 2 arcsinx

√1−x²

問題 15 次の各問に答えなさい. (1) arcsinx= arccos1

2となるxを求めなさい. arccos1

2 = π

3より, arcsinx= π

3となるxを求めれば良い. よって,x= sinπ 3 =

√3 2 .

(2) arctan1

2 =α, arctan1

3 =β のときα+β = π

4 となることを示しなさい. tanα= 1

2, tanβ = 1 3 より, tan(α+β) = tanα+ tanβ

1−tanαtanβ = 1 2+ 1

3 1− 1

2× 1 3

= 1

−π

2 < α < π 2, −π

2 < β < π

2 より, α+β = π 4.

(3) arcsinx+ arccosx= π

2 となることを示しなさい. arcsinx=α とおくと sinα =x. 但し,−π

2 ≤α ≤ π

2 である. θ = π

2 −α とおくと, 0≤θ ≤π であり, cosθ = cos(π

2 −α) = sinα =x.

つまり, arccosx=θ が得られる. これより arcsinx+ arccosx=α+θ= π 2