応用解析学

(1)

応用解析学

2009 年後期 , 西岡

http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/˜nishioka/

2 号館 11 階 38 号室オフィスアワー : 水曜 4 限

1 ( ∗ )

_{本講義では}

,

多次元の関数を扱う

.

多次元の関数は複雑な挙動をとる

.

例題

0.1. f (x, y) = 2x ² − 3y ²

_は

(x, y) = (0, 0)

_{で鞍点と呼ばれる振る} 舞い

.

• x

_{だけの関数}

f (x, 0) = 2x ²

_{としてみると}

, x = 0

_が極小

.

• y

_{だけの関数}

f (0, y) = − 3y ²

_{としてみると}

, y = 0

_で極大

.

5

0

5 2

0 2 20

0 20 40

2

変数関数のグラフ

(3

次元

)

はなかなか判りずらい

.

鞍点を

x

_軸

, y

_軸方向からそれぞれ見ると

,

2 0 2

210 12 10

0 10

2 0

2

2 1 0 1 2

10 0 10

3

例題

0.2.

もっと複雑なグラフもある

. g(x, y) = sin x sin y

4 2

0 2

4 4

2 0

2 4

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

4 2

0 2

4 4 2 0 2 4

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

( ∗ )

_{この講義では}

,

こうした関数を扱う

.

(2)

1 2 変数関数

多変数関数を扱うための準備

.

1.1 距離と領域

まず平面上の

2

点間の距離を定義する

.

2

次元平面

R ²

の

2

点

P = (x, y) , Q = (a, b)

_{の距離}

ρ(P, Q)

_を

ρ(P, Q) ≡

(x − a) ² + (y − b) ²

で定義する

.

点

P = (x, y) ∈ D

_にたいし

,

部分集合

(1.1) B _r (P ) ≡ { Q ∈ R ² : ρ(P, Q) < r } ⊂ R ²

を“

P

_{を中心とした半径}

r

_{の球”と呼ぶ}

.

5

注意

1.1.

一般に

R ⁿ

の点

P = (x ₁ , x ₂ , · · · , x _n )

_と点

Q = (a ₁ , a ₂ , · · · , a _n )

_{の距離としては}

,

ρ(P, Q) ≡

(x ₁ − a ₁ ) ² + (x ₂ − a ₂ ) ² + · · · + (x _n − a _n ) ² , (1.2)

ρ ^∗ (P, Q) ≡ max {| x ₁ − a ₁ | , | x ₂ − a ₂ || , · · · , | x _n − a _n |} , ρ ^† (P, Q) ≡ | x ₁ − a ₁ | + 1

2 | x ₂ − a ₂ || + · · · + 1

2 ⁿ | x _n − a _n |

等があるが

,

どれも同値である

.

ただし

, ρ ^∗

_と

ρ ^†

_{は無限次元空間に拡張} できる

.

D ⊂ R ²

を領域という

.

ある数

K > 0

_にたいし

, D

_{が原点を中心とした} 半径

K

_{の球に含まれる}

, i.e.

D ⊂ B _K (0)

となるとき

,

“

D

_{を有界な領域”という}

.

7 1.2 2 変数関数 R ²

の領域

D

_において

,

f : (x, y) ∈ D → R ¹

という関係を“

D

で定義された実数値関数

f

_”という

.

2

変数関数

f (x, y)

_{の視覚的な意味は}

, 3

次元空間

R ³

の図形である

.

領域

D

_{で定義された}

f (x, y)

_にたいし

G = { (x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ D }

を

f

_{のグラフという}

.

例題

1.2. (i) f (x, y) = − x − y + 1, D = { 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }

のグラフは下図の左側の平面である

.

(ii) g(x, y) = 1

x ² + y ² + 1 , D = {− 2 ≤ x ≤ 2, − 2 ≤ y ≤ 2 }

のグラフは下図の右側の曲面である

.

(3)

0 0.2

0.4 0.6

0.8 0

0.2 0.4

0.6 0.8

-1 -0.5

0 0.5

1

0 0.2

0.4 0.6

0.8 0

0.2 0.4

0.6 0.8

-2 -1

0 1

2 -2 -1

0 1

2

0 25 5 5 1

-2 -1

0 1

問題

1.3.

関数

f (x, y) ≡ x ² + y ²

_{の概形を描け}

.

9 [

解答

]

下の図

,

回転放物面と呼ばれる

.

4 2

0 2

44 2

0 2

4

0 10 20 30

1.3 関数の極限 1. 1

変数関数の極限

( ∗ ) D

_内部の点

x ₀

_にたいし

, lim _x→x

₀

_,x∈D f (x) = a

_{であるとき}

,

“関数

f

_は

x ₀

_で極限

a

_{をもつ”という}^*1

.

( ∗ )

_{極限という言葉は}

,

数列

{ a _n }

に対してよく使われるが

,

実は関数に対する物と同じである

:

命題

1.4.

関数

f

_が

x ₀

_で極限

a

_をもつ

.

⇔ { x _n }

を

D

_{に含まれる数列とする}

.

すべての

n

_で

x _n = x ₀

_かつ

lim _n x _n = x ₀ ∈ D

_なら

, lim _n f (x _n ) = a .

これにより

,

関数の極限は

(

基礎数学で勉強した

)

数列の極限に帰着することが判った

.

*1 ここで

f ( x

₀

)

の値と

a

にはなんの関係も無いことを注意せよ

.

11 2. 2

変数関数の極限

定義域

D

_の関数

f (P )

_にたいし

,

点

P = (x, y)

_が

D

_{内のいかなる路を} 通って点

Q = (a, b)

_{に近づいても}

P lim →Q f (P ) = α

が存在するとき

,

“

f

_は点

Q

_で極限値

α

_{を持つ”という}

.

ここで

,

P = (x, y) → (a, b) = Q

_は

, (1.2)

で与えられた

ρ

_にたいし

ρ(P, Q) → 0

を意味するが

,

点

P

_{が点}

Q

に近づく方法は無数にあることを注意する

.

例題

1.5. (x, y) = (0, 0)

_{で定義された関数}

f (x, y) = x y

x ² + y ⁴

は

Q = (0, 0)

_で極限値

0

_{を持つことを示せ}

.

(4)

[

解答

]

1.0 0.5

0.0 0.5

1.0 1.0 0.5

0.0 0.5

1.0

0.5 0.0 0.5

| x | ≤

x ² + y ⁴

_だから

| x y

x ² + y ⁴ − 0 | = | x |

x ² + y ⁴ · | y | ≤ | y | → 0 as (x, y) → (0, 0). 2 13

例題

1.6. (x, y) = (0, 0)

g(x, y) = x ² + y ²

x ² + y ⁴

は

Q = (0, 0)

で極限値を持たない事を示せ

.

　ヒント

:

下の図

.

1.0 0.5

0.0 0.5

1.0 1.0 0.5

0.0 0.5

1.0

0.0 0.5 1.0

[

解答

] x

_{軸に沿って点}

P

_を

Q = (0, 0)

_{に近づけると}

, y = 0

_だから

g(x, 0) = x ²

√ x ² = | x | → 0 as x → 0.

一方

, y

_{軸に沿って点}

P

_を

Q = (0, 0)

_{に近づけると}

, x = 0

_だから

g(0, y) = y ²

y ⁴ = 1 → 1 as y → 0.

となり

,

点

P = (x, y)

_が

Q = (0, 0)

_{に近づく経路によって}

lim _P _→Q g(P )

の値が異なる

.

よって極限値は存在しない

. 2

15

例題

1.7. (x, y) = (0, 0)

h(x, y) = x − y x + y

は

Q = (0, 0)

で極限値を持たない事を示せ

.

　ヒント

=

下の図

.

(5)

[

解答

] y = αx

_を保って

, x → 0, y → 0

_{となるとき}

(x,y)→(0,0) lim h(x, y) = lim

(x,y)→(0,0)

(1 − α)x

(1 + α)x = 1 − α 1 + α .

これは

α

_{の値により異なるので}

,

極限値は存在しない

.

例えば

, α = 1

_のとき

h(x, y) → 0 , α = − 2

_のとき

h(x, y) → − 3 , α = − 1/2

_のとき

h(x, y) → 3

となる

. 2

17 1.4 連続関数

I. 1

変数の連続関数

関数

f

_が

x ₀

_で極限値

a

_をもち

,

しかも

f (x ₀ ) = a

_のとき

,

“

f

_は

x = x ₀

_{で連続”といい}

, D

_{の全ての点}

x

_{で連続な関数を“}

D

_{で連続な関} 数”という

.

注意

1.8.

連続の定義を

ε - δ

論法を使って厳密に述べてみよう

.

( ∗ )

_“関数

f

_は

x = x ₀

_で連続

”

とは

,

任意の

ε > 0

_にたいし

,

ある

δ > 0

があり

,

| x − x ₀ | ≤ δ ⇒ | f (x) − f (x ₀ ) | ≤ ε

となる事である

.

II. 2

変数の連続関数

領域

D

f (P )

_{が点}

Q = (a, b) ∈ D

_{で連続とは}

,

P lim →Q f (P ) = f (Q)

となることである

.

注意

1.9.

多変数関数の連続の定義を

ε − δ

論法を使って厳密に述べてみよう

.

( ∗ ) P = (x, y)

_を関数

f

_の定義域

D

_{内の点とする}

. f

_{が点}

Q = (a, b) ∈ D

_{で連続とは}

,

任意の

ε > 0

_にたいし

,

ある

δ > 0

_があり

, ρ(P, Q) ≡

(x − a) ² + (y − b) ² < δ ⇒ | f (P ) − f (Q) | < ε ( ∗ )

_{多変数関数も}

, 1

変数関数の場合と同様に都合の良い性質を備えている

:

19

定理

1.10 (

最大値

,

最小値

).

有界閉領域

D

_{で連続な関数}

f (P )

_は

D

_で最大値と最小値をとる

.

定理

1.11 (

中間値の定理

).

関数

f (P )

_は領域

D

_で連続

.

任意にとった

2

点

Q, R ∈ D

_で

f (Q) < f (R)

_のとき

, f (Q) < c < f(R)

_{となる任意の数}

c

_にたいし

, f (S ) = c

_となる点

S ∈ D

_{が存在する}

.

(6)

2 微分の復習

いよいよ多変数関数の微分

(

偏微分

)

を論ずる

.

その前に一変数関数の微分を復習しておこう

.

2.1 微分の概念

微分は

,

“

Newton

が質点の運動を研究するために考案した”とされて

いる

.

f

_を

D

で定義された関数とする

. D

_{の内部の点}

x ₀

_にたいし

,

(2.1) lim

h→0

f (x ₀ + h) − f (x ₀ ) h

,

“

f

_は

x ₀

_{で微分可能”と言い}

, (2.1) = f (x ₀ ) = df

dx (x ₀ )

と記述する

. f (x ₀ )

_を

x _o ∈ D

_{の関数と見たとき}

,

“

f

_{の導関数”と呼ぶ}

. 21

2.2 1 変数間の微分公式

重要な微分公式を表にする

.

定理

2.1. (i) f, g

_{は微分可能な関数}

, α, β

_{は定数とする}

.

関数微分

α f (x) + β α f (x)

関数の積

f (x) g(x) f (x) g(x) + f (x) g (x)

合成関数

g

f (x)

g f (x)

f (x) f (x)

g(x) , g = 0 f (x) g(x) − f (x) g (x) g(x) ₂

(ii)

初等関数の微分は以下の通り

:

関数微分

指数関数

e ^x e ^x

対数関数

log | x | 1 x

定数

c 0

べき乗

x ⁿ ,

ただし

n = 0

_なる整数

, n x ⁿ⁻¹

べき乗

x ^α ,

ただし

α =

_{整数で}

x > 0 α x ^α−1

正弦

sin x cos x

余弦

cos x − sin x 23

2.3 重要な定理 -1 変数関数バージョン

重要な定理

定理

2.2. f

_{を区間}

[a, b]

_で連続

, (a, b)

で微分可能な関数とする

. (i) (Rolle

の定理

) f (a) = 0 = f (b)

_なら

, f (c) = 0

_となる点

c ∈ (a, b)

_がある

.

(ii) (

平均値の定理

)

次を満たす点

z ∈ (a, b)

_がある

: f (b) − f (a)

b − a = f (z).

(7)

平均値の定理を使うと数学では許されない

0/0

_{の計算が出来ることが} ある

.

定理

2.3 (

ロピタルの定理

).

関数

f, g

_{を定理}

2.2

の条件をみたすものとする

. f (a) = 0 = g(a) , g (a) = 0

_とすると

,

b→a lim f (b)

g(b) = lim

b→a

f (b) g (b) .

25 2.4 高階微分

(i)

関数

f

_の導関数

f (x)

_にたいし

,

その微分と導関数

f (x)

_を考えることができる

. f (x)

_を

2

階微分／２階導関数と呼ぶ．

(ii)

さらに

3

階微分

f , · · · , n

_階微分

f ⁽ⁿ⁾

_{も考えることが出来る}

. ( ∗ )

この高階微分の重要な応用として

,

テイラー展開がある

.

テイラー展開

定理

2.4.

関数

f

_{は区間}

(a, b)

_で

n + 1

_{階まで微分可能をする}

.

点

c, x ∈ (a, b)

_にたいし

,

次が成立

:

ある点

y

があり

f (x) = f (c) + f (c)

1! (x − c) + f (c)

2! (x − c) ² + + · · · + f ⁽ⁿ⁾ (c)

n! (x − c) ⁿ + R _n+1 , (| y − c | < | x − c |

であり

R _n+1 ≡ f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (y)

(n + 1)! (x − c) ⁿ⁺¹ ).

(2.2)

27

3 偏微分

3.1 偏微分の定義

(i) f

_を領域

D

で定義された連続関数とする

.

(3.1) lim

x→x

0

f (x, y ₀ ) − f (x ₀ , y ₀ ) x − x ₀

, f

_{は点}

(x

₀

, y

₀

)

_で

x

_{偏微分可能} _といい

, (3.1) = f _x (x ₀ , y ₀ ) (= ∂f

∂x (x ₀ , y ₀ )

_{とも表示する}

)

と表す

.

さらに

,

この

f _x (x ₀ , y ₀ )

_を

f

_の

x

_{偏導関数と呼ぶ}

. (ii)

同様に

,

x→x lim

0

f (x, y ₀ ) − f (x ₀ , y ₀ )

x − x ₀ ≡ f _y (x ₀ , y ₀ ) (= ∂f

∂y (x ₀ , y ₀ )

)

(8)

, f

_{は点}

(x

₀

, y

₀

)

_で

y

_{偏微分可能} _といい

,

この極限値

f _y (x ₀ , y ₀ )

_を

f

_の

y

_偏導関数 _と呼ぶ

.

偏微分の直感的な意味

-

重要

注意

3.1.

大雑把に言えば

,

偏微分しようとする変数以外は定数と考えて微分することが偏微分である

.

そのため１変数の場合の微分公式が

,

そのまま偏微分にも適用できる

.

例題

3.2.

次の関数を

x

_および

y

_{で偏微分せよ}

.

(i) x ² y + y ³ , (ii) x ² − x y + y ² , (iii) e ^{x+x y} , (iv) sin(x y), (v) log x

y , (vi) log 1 x ² + y .

29 [

解答

] (i) f _x = 2xy, f _y = x ² + 3y ² . (ii) f _x = 2x − y, f _y = − x + 2y .

(iii) f _x = (1 + y) e ^x+xy , f _y = x e ^x+xy . (iv) f _x = y cos(xy), f _y = x cos(xy) . (v) f _x = 1

y · y x = 1

x , f _y = − x y ² · y

x = − 1 y . (vi) f _x = − 2x

(x ² + y) , f _y = − 1 x ² + y .

偏微分を理解するコツ

( ∗ )

_増分記号

Δ :

変数

x

_{が増える量を「}

x

_{の増分」と呼び}

, Δx

_で表す

.

( Δx

_は

2

文字だが

, 1

つの量である

.)

x → x + Δx

_{と変化したときに}

,

関数

f (x, y)

_{がどれだけ変化するか} 考える

.

Δx

_{が小さいとき}

, x -

偏微分の定義を思い出すと

,

f (x + Δx, y) − f (x, y) = f (x + Δx, y) − f (x, y)

Δx Δx

(3.2)

f _x (x, y) Δx.

同様に

, Δy

_{が小さいとして}

y → y + Δy

_{と変化したときには}

, f (x, y + Δy) − f (x, y) = f (x, y + Δy) − f (x, y)

Δy Δy

(3.3)

f _y (x, y) Δy.

31 ( ∗ ) 2

変数関数

z = f (x, y)

_で

, x, y

_{がともに別の変数}

t

_{の関数であると} する

:

x = V (t), y = W (t).

t → t + Δt

_{と変化したとき}

, f

がどう変化するか調べる

. x

_の変化

Δx = V (t + Δt) − V (t) = V (t + Δt) − V (t)

Δt V (t) Δt, y

_の変化

Δy = W (t + Δt) − W (t) = W (t + Δt) − W (t)

Δt W (t) Δt.

これを

(3.2)

に代入して

,

f (V (t + Δt), W (t + Δt)) − f (V (t), W (t + Δt))

= f (x + Δx, y + Δy) − f (x, y + Δy)

f _x (x, y + Δy) Δx f _x (x, y + Δy) V (t)Δt.

(9)

同様に

,

f (V (t), W (t + Δt)) − f (V (t), W (t))

= f (x, y + Δy) − f (x, y)

f _y (x, y) Δy f _y (x, y) W (t)Δt.

以上の

2

つを足して

Δz = f (V (t + Δt), W (t + Δt)) − f (V (t), W (t))

= f (V (t + Δt), W (t + Δt)) − f (V (t), W (t + Δt)) +f (V (t), W (t + Δt)) − f (V (t), W (t + Δt))

= f _x (x, y + Δ) V (t) Δt + f _y (x, y) W (t) Δt.

両辺を

Δt

_で割って

, Δt → 0

_とすると

,

次の合成関数の微分公式

(2

変数関数バージョン

)

が得られる

.

33 d z

dt = d f (V (t), W (t)) dt

= lim

Δt→0

f (V (t + Δt), W (t + Δt)) − f (V (t), W (t)) Δt

= f _x (x, y) V (t) + f _y (x, y) W (t)

= f _x (V (t), W (t)) V (t) + f _y (V (t), W (t)) W (t).

問題

3.3.

次の関数を

t

_{で微分せよ}

.

ただし

, a, b

_は定数

.

(i) f (a t, b t), (ii) f (a cos t, b sin t), (iii) f (e ^at , e ^bt ).

3.2 座標変換

( ∗ ) x, y

_{が別の変数}

u, v

_で

,

x = g(u, v), y = h(u, v)

と表されてる

.

このとき関数

z ≡ f (x, y)

_に

,

前と同じ「増分」の考え方を

,

に適用する

.

Step 1. u → u + Δu , v → Δv

, Δx = g(u + Δu, v + Δv) − g(u, v)

= g(u + Δu, v + Δv) − g(u, v + Δv) + g(u, v + Δv) − g(u, v) g _u (u, v + Δv) Δu + g _v (u, v) Δv.

Δy = h(u + Δu, v + Δv) − h(u, v)

= h(u + Δu, v + Δv) − h(u, v + Δv) + h(u, v + Δv) − h(u, v) h _u (u, v + Δv) Δu + h _v (u, v) Δv.

35 Step 2.

一方

, x → x + Δx , y → y + Δy

,

前と同様に

Δz = f (x + Δx, y + Δy) − f (x, y)

f _x (x, y + Δy) Δx + f _y (x, y) Δy.

ここに

, Δx , Δy

_{の計算結果を代入}

. Δz f _x (x, y + Δy)

g _u (u, v + Δv) Δu + g _v (u, v) Δv +f _y (x, y)

h _u (u, v + Δv) Δu + h _v (u, v) Δv . Step 3. ∂f

∂u

^は

,

「

Δv = 0

_として

lim _Δu Δz

Δu

を計算したもの」だから

, Δz

Δu f _x (x, y + Δy) g _u (u, v) + f _y (x, y) h _u (u, v)

→ f _x (x, y) g _u (u, v) + f _y (x, y) h _u (u, v).

(

ここで

Δv = 0

_{であることを注意}

)

(10)

Step 4. ∂f

∂v

^は

,

「

Δu = 0

_として

lim _Δv Δz

Δv

を計算したもの」だから

,

前と同じ計算を繰り返して

,

次の定理が得られた

:

命題

3.4 (

偏微分の座標変換

). (x, y) → (u, v)

_{という座標変換}

x = g(u, v), y = h(u, v)

を行うとき

, (x, y)

_の関数

z = f (x, y) = f (g(u, v), h(u, v))

_{の偏微分につ} いて

,

次の式が成立する

.

∂f

∂u = f _x (x, y) g _u (u, v) + f _y (x, y) h _u (u, v)

∂f

∂v = f _x (x, y) g _v (u, v) + f _y (x, y) h _v (u, v).

(3.4)

注意

3.5 (

線形代数の利用

). (i) 2 × 2

_行列

(3.5) ∂(x, y)

∂(u, v) ≡

g _u (u, v) h _u (u, v) g _v (u, v) h _v (u, v)

37

を使うと

(3.4)

は行列の記法を使って

f _u (u, v) f _v (u, v)

= ∂(x, y)

∂(u, v)

f _x (x, y) f _y (x, y)

ただし

x = g(u, v), y = h(u, v)

_である

.

(ii) (3.5)

の行列をヤコビ行列

(

ヤコビアン

, Jacobian)

と言い

,

多変数関数の積分で重要な役割を果たしている

.

38 3.3 極座標

xy

_{平面上の点}

P = (x, y)

_にたいし

,

原点

O

_から

P

_{までの距離を}

r

直線

OP

_と

x

_{軸とのなす角}

(

反時計回りに計る

)

を

θ

とおく

.

この

(r, θ)

_を点

P

_の _極座標 _という

. 39

( ∗ )

_極座標

(r, θ)

_{と通常の座標}^*2

(x, y)

の関係は前の図から直ぐ判る

: x = r cos θ, y = r sin θ.

もしくは

,

r =

x ² + y ² , tan θ = y x .

注意

3.6.

原点

(0, 0)

_{の極座標は}

r = 0

_で

θ

_{は不定である}

.

問題

3.7. (i)

次の極座標を直交座標

(x, y)

_{に変換せよ}

.

(a) (r, θ) = (1, π

4 ), (b) (r, θ) = (2, π

2 ), (c) (r, θ) = (1, π).

(ii)

次の直交座標を極座標

(r, θ)

_{に変換せよ}

.

(a) (x, y) = (0, 2), (b) (x, y) = (1, 2), (c) (x, y) = ( − 1, − 1).

*2 直交座標と呼ぶ

.

(11)

( ∗ )

ある図形は極座標で簡明に表示できる

.

例題

3.8.

極座標

(r, θ)

で表示された次の関数の概形を書け

.

(i) r = 1, (ii) r ² (1 + sin ² θ) = 1, (iii) r = 1 + cos θ, (iv) r = 1 + 2 cos θ, (v) r = sin θ, (vi) r = θ

[

解答

]

1.0 0.5 0.5 1.0

0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6

図

3.1 (i)

円

, (ii)

楕円

41

0.5 1.0 1.5 2.0

1.0 0.5 0.5 1.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

0.4 0.2 0.2 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

2 2 4 6

4 3 2 1 1

図

3.2 (iii)

カーディオイド

(

心臓形

), (iv)

カーディオイド

, (v)

円

, (vi)

螺旋

例題

3.9. (i)

直交座標

(x, y) →

極座標

(r, θ) x = r cos θ, y = r sin θ

の変数変換のヤコビ行列を求めよ

.

[

解答

]

まず

∂x

∂r = cos θ, ∂y

∂r = sin θ,

∂x

∂θ = − r sin θ, ∂y

∂θ = r cos θ,

だから

, (3.5)

より

∂(x, y)

∂(r, θ) =

cos θ sin θ

− r sin θ r cos θ

2

43

問題

3.10. (i)

直交座標

(x, y) →

斜行座標

(u, v)

(3.6) x = u + v, y = u − v

の変数変換のヤコビ行列を求めよ

.

(ii) f (x, y) = x ² + y ² + e ^{x y}

² _とする

.

座標変換

(3.6)

にたいし

,

∂f

∂u , ∂f

∂v

を求めよ

.

[

解答

]

まず

∂x

∂u = 1, ∂y

∂u = 1,

∂x

∂v = 1, ∂y

∂v = − 1,

(12)

だから

,

∂(x, y)

∂(u, v) =

1 1 1 − 1

(ii)

まず

f

_{の偏微分を計算する}

.

f _x = 2x + y ² e ^{x y}

²

= (u + v) + (u − v) ² e (u+v) (u−v)

²

,

f _y = 2y + 2x y e ^{x y}

²

= 2(u − v) + 2(u + v) (u − v) e (u+v) (u−v)

²

.

⎛

⎝ ∂f /∂u

∂f /∂v

⎞

⎠ =

1 1 1 − 1

· f _x

f _y

=

⎛

⎝ f _x + f _y f _x − f _y

⎞

⎠

=

⎛

⎝ 4u + (u − v) (3u + v) e (u+v) (u−v)

²

4v − (u − v) (u + 3v) e (u+v) (u−v)

²

⎞

⎠ . 2

45 3.4 高階偏微分

1

変数の場合と同様

,

偏微分でも“偏導関数の偏微分”を考えることが出来る

.

x→x lim

0

f _x (x, y ₀ ) − f _x (x ₀ , y ₀ )

x − x ₀ = f _xx (x ₀ , y ₀ ) (= ∂ ² f

∂x ² (x ₀ , y ₀ )

).

(3.7)

これ以外にも

y→y lim

0

f _x (x ₀ , y) − f _x (x ₀ , y ₀ )

y − y ₀ = f _xy (x ₀ , y ₀ ), (= ∂ ² f

∂x∂y (x ₀ , y ₀ )

).

(3.8)

x→x lim

0

f _y (x, y ₀ ) − f _y (x ₀ , y ₀ )

x − x ₀ = f _yx (x ₀ , y ₀ ), (= ∂ ² f

∂y∂x (x ₀ , y ₀ )

).

(3.9)

y→y lim

0

f _y (x ₀ , y) − f _y (x ₀ , y ₀ )

y − y ₀ = f _yy (x ₀ , y ₀ ) (= ∂ ² f

∂y ² (x ₀ , y ₀ )

).

(3.10)

などの“

2

階偏微分”および“

2

階偏導関数”がある

.

注意

3.11.

ここで

(3.8)

と

(3.9)

は偏微分の順序が異なるが

,

適当な条件の下では同じになる

(

次の命題

).

命題

3.12.

関数

f

_{の偏導関数}

f _xy (x, y) , (3.8)

と

f _yx (x, y) , (3.9)

が領域

D

_{で共に存在し}

,

連続である

.

このとき

,

両者は一致する

.

47

この議論を何度も繰り返すと自然数

m, n

_にたいし

∂ ^m f

∂x ^m (x, y), ∂ ⁿ f

∂y ⁿ (x, y), ∂ ^m+n f

∂x ^m ∂y ⁿ (x, y)

という“高階偏微分と高階偏導関数”を考えることができる

.

さらに命題

3.12

と類似した結果が成立する

.

(13)

4 テイラーの定理

１変数関数の場合と同様

, 2

変数関数にもテイラーの定理がある

. 1

変数関数のテイラー展開

関数

f

_{は区間}

(a, b)

_で

n + 1

_{階まで微分可能をする}

.

点

c, x ∈ (a, b)

にたいし

,

次が成立

:

ある点

y

があり

f ( x ) = f ( c ) + f

( c )

1! ( x − c ) + f

( c )

2! ( x − c )

²

+ + · · · + f

⁽ⁿ⁾

( c )

n ! ( x − c )

ⁿ

+ R

_n+1

, (| y − c | < | x − c |

であり

R

_n+1

≡ f

⁽ⁿ⁺¹⁾

( y )

( n + 1)! ( x − c )

ⁿ⁺¹

) . (4.1)

49

定理

4.1 (2

変数関数のテイラーの定理

).

関数

f (x, y)

_{はある領域}

D

_で定義され

,

そこで

n + 1

階までの偏導関数が存在している

.

点

P = (a, b) ∈ D

_と数

h, k

_は

B _ε (P ) ⊂ D, ε ≡

h ² + k ²

を満たしている

.

このとき

,

ある

0 < θ < 1

_にたいし

,

次の等式が成立する

:

f ( a + h, b + k ) = f ( a, b ) + X

n m=1

1 m !

“ h ∂

∂x + k ∂

∂y

”

m

f ( a, b ) + R

_n+1

, R

_n+1

≡ 1

( n + 1)!

“ h ∂

∂x + k ∂

∂y

”

n+1

f ( a + θh, b + θk ) .

ただし

“ h ∂

∂x + k ∂

∂y

”

m

f ( a, b ) = X

m

=0

m

C

h

^m−

k

∂

^m

f

∂x

^m−

∂y

( a, b )

[

証明

] F ( t ) ≡ f ( a + ht, b + kt ) , 0 ≤ t ≤ 1 ,

_とおく

.

Step 1.

この

F ( t )

に「

(1

変数の）テイラーの定理」を適用

.

ある

0 < s < t

_があり

,

F ( t ) = F (0) + F

(0)

1! t + · · · + F

⁽ⁿ⁾

(0)

n ! t

ⁿ

+ F

⁽ⁿ⁺¹⁾

( s ) ( n + 1)! t

ⁿ⁺¹

.

Step 2. q = 1 , 2 , · · ·

にたいし

,

次が成立することを示せば

,

定理

4.1

の証明が終わる

.

(4.2) F

^(q)

( t ) = “ h ∂

∂x + k ∂

∂y

”

_q

f ( a + h t, b + k t ) .

(i)

まず

q = 1

のとき命題

3.4

で

x = a + h t, y = b + k t

とおき

, ( x, y ) → t

_{への座標変換を行う}

.

51 F

( t ) = f

_x

( x, y ) h + f

_y

( x, y ) k ⇒ k = 1

とした

(4.2)

が成立

. (ii)

「

q

_のとき

(4.2)

が成立するとしたら

, q + 1

でも成立する」ことをいう

.

F

^(q+1)

( t ) = “

F

^(q)

( t ) ”

= d dt

“ h ∂

∂x + k ∂

∂y

”

q

f ( a + ht, b + kt )

= d dt

X

q

=0

q

C

h

⁻

k

∂

^q

f

∂x

^q−

∂y

( a + ht, b + kt )

= X

q

=0

q

C

h

^q−

k

∂

^q

∂x

^q−

∂y

d

dt f ( a + ht, b + kt )

= X

q

=0

q

C

h

^q−

k

∂

^q

∂x

^q−

∂y

“

f

_x

( a + ht, b + kt ) h + f

_y

( a + ht, b + kt ) k ”

=

q+1

X

=0

q+1

C

h

^q+1−

k

∂

^q+1

f

∂x

^q+1−

∂y

( a + ht, b + kt ) = q + 1

の

(4.2) . 2

(14)

4.1 極値

領域

D ⊂ R ²

で定義された関数

f (x, y)

_{が点}

P = (a, b)

_{で極大値をとる} とは

,

ある

ε > 0

_があり

f (a, b) ≥ f (x, y), (x, y) ∈ B _ε (P ).

一方

,

点

P = (a, b)

_{で極小値をとるとは}

,

ある

ε > 0

_があり

f (a, b) ≤ f (x, y), (x, y) ∈ B _ε (P ).

注意

4.2.

イメージとしては立体地図を考えればよい

.

関数

f

_{の値は標高} だから

,

極大値をとる点

P

_{は山頂になる}

.

53

-1 0

1 -1

0 1 0

0.25 0.5 0.75 1

-1 0

1

関数

f

_は連続な

2

階偏導関数を持つとし

, 2 × 2

_行列式^*3_を

(4.3) H (x, y) ≡

f _xx (x, y) f _xy (x, y) f _xy (x, y) f _yy (x, y)

で定義する

.

*3 ヘッセの行列式と呼ばれる

.

極値の判定

定理

4.3.

関数

f (x, y)

_{はある領域}

D

_{で定義され}

,

そこで

2

_階までの連続な偏導関数が存在している

.

(i)

関数

f

_{が点}

P = (a, b) ∈ D

_{で極値をとるなら}

, (4.4) f _x (a, b) = 0 f _y (a, b) = 0.

(ii)

逆に

,

関数

f

_{はある点}

P = (a, b)

_で

(5.1)

. (a) H ( a, b ) > 0 , f

_xx

( a, b ) > 0

^aなら

, f

_{は点}

P

_{で極小値をもつ}

. (b) H ( a, b ) > 0 , f

_xx

( a, b ) < 0

なら

, f

_{は点}

P

_{で極大値をもつ}

. (c) H ( a, b ) < 0

なら

,

点

P

_は

f

_{の極値ではない}

.

(d) H ( a, b ) = 0

なら

,

これだけでは極値かどうか判定できない

.

a

(a)

と

(b)

で

, f

_xx

( a, b )

を

f

_yy

( a, b )

で代用してもよい

.

55

5 極大と極小 5.1 極値の定義 2

変数関数

f (x, y)

_が

(i)

「点

P = (a, b)

_{で極大」とは}

,

点

P

_{の適当な近傍}

U

_にたいし

, f (P ) ≥ f (Q), Q ∈ U, Q = P.

(ii)

「点

P = (a, b)

_{で極小」とは}

,

点

P

_{の適当な近傍}

U

_にたいし

, f (P ) ≥ f (Q), Q ∈ U, Q = P.

56

(15)

図

5.1 1

変数関数の極大と極小

(i)

極大と極小を併せて

,

「極値」という

. (ii)

応用上は

,

極値を調べることが重要

.

(iii)

極値は最大

/

最小とは必ずしも一致しない

.

cf.

図

5.1

を見よ

.

全区間

( −∞ , ∞ )

_では最大

,

最小ともに存在しない

.

(iv)

ではどうやって極値を調べるのか

? ⇒

微分

/

偏微分

. 57

2 1

0 1

2 2

1 0

1 2

0.0 0.5 1.0

2 1

0 1

2 2

1 0

1 2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

図

5.2 2

変数関数の極大と極小

定理

5.1.

関数

f (x, y)

_は

2

階までの連続な偏導関数が存在している

. (i)

関数

f

_{が点}

P = (a, b) ∈ D

_{で極値をとる}

. ⇒

(5.1) f _x (a, b) = 0 f _y (a, b) = 0.

(ii)

逆に

,

関数

f

_{がある点}

P = (a, b)

_で

(5.1)

を満たしていると

, P

_で極値を取る可能性がある

.

問題

5.2. f (x, y) = 1 − 2x ² − xy − y ² + 2x − 3y

の極大

,

極小を求めよ

.

[

解答

] Step 1. f

_が

(a, b)

_{で極値を持つと}

, (5.2) f _x (a, b) = 0, f _y (a, b) = 0

をみたす

.

0 = f _x (a, b) = − 4a − b + 2 0 = f _y (a, b) = − a − 2b − 3 (5.3)

Step 2.

この

(5.3)

をみたす

(a, b)

_{を計算する}

. (a, b) = (1, − 2)

59 Step 3.

では「

(a, b) = (1, − 2)

_では極大

/

極小のどちらを取るか」

を判定せよ

.

[Step 3

の解答

] f

_{の値を計算する}

. f (1, − 2) = 5

f (1.1, − 2) = 4.98, f (0.9, − 2) = 4.98, f (1, − 1.9) = 4.99, f (1, − 2.1) = 4.99, f (1.1, − 1.9) = 4.96, f (1.1, − 2.1) = 4.98, f (0.9, − 1.9) = 4.98, f (0.9, − 2.1) = 4.96

よって

(a, b) = (1, − 2)

_{では極大値をとる}

.

( ∗ ) Step 3

の極大

/

極小判定方法は煩雑

.

⇒

もっと

,

スマートな方法はないのか

?

(16)

5.2 極値の判定

関数

f

_は連続な

2

階偏導関数を持つとし

, 2 × 2

_行列式^*4_を

H (x, y) ≡

f _xx (x, y) f _xy (x, y) f _xy (x, y) f _yy (x, y)

= f _xx (x, y) f _yy (x, y) −

f _xy (x, y) ₂ . (5.4)

で定義する

.

定理

5.3 (

極大

/

極小の判定

).

関数

f (x, y)

_は

2

階までの連続な偏導関数が存在している

.

関数

f

_{がある点}

P = (a, b)

_で

(5.5) f _x (a, b) = 0 f _y (a, b) = 0.

.

*4 ヘッセの行列式と呼ばれる

.

61

判定条件

(ii-a) H (a, b) > 0 , f _xx (a, b) > 0 .

^a

⇒ f

_{は点}

P

_{で極小値をもつ}

. (ii-b) H (a, b) > 0 , f _xx (a, b) < 0 . ⇒ f

_{は点}

P

_{で極大値をもつ}

. (ii-c) H (a, b) < 0 . ⇒

点

P

_は

f

_{の極値ではない}

.

(ii-d) H (a, b) = 0 . ⇒

これだけでは極値かどうか判定できない

.

a

(ii-a)

と

(ii-b)

では

, f _xx (a, b)

_を

f _yy (a, b)

_{で代用してもよい}

.

5.3 極値判定の原理

2

変数関数のテイラー展開

f ( a + h, b + k ) = f ( a, b ) + “

h f

_x

( a, b ) + k f

_y

( a, b ) ” + 1 2!

“

h

²

f

_xx

( a, b ) + 2 h k f

_xy

( a, b ) + k

²

f

_yy

( a, b ) ” + · · · + 1 n !

“ h ∂

∂x + k ∂

∂y

”

n

f ( a, b ) + R

_n+1

,

R

_n+1

≡ 1 ( n + 1)!

“ h ∂

∂x + k ∂

∂y

”

_n+1

f ( a + θh, b + θk ) .

ただし

“ h ∂

∂x + k ∂

∂y

”

_n

f ( a, b ) = X

n

=0

k

C

h

ⁿ⁻

k

∂

ⁿ

f

∂x

ⁿ⁻

∂y

( a, b )

63 (∗)

これが

,

極値判定の原理となる定理

.

⇒

では

,

多変数関数のテイラー展開から「なぜ定理

5.3

の原理が導かれるのか」

.

問題

5.4.

次の不等式が

,

任意の

s

_にたいし

,

成立している

.

係数

A, B, C

_の条件を導け

.

ただし

A = 0

とする

.

A s

²

+ 2 B s + C > 0 . [

解答

]

式変形

.

0 < A s

²

+ 2 B s + C = A `

s

²

+ 2 B A s ´

+ C

= A `

s

²

+ 2 B

A s + B

²

A

²

´ − B

²

A + C

= A ` s + B

A

´

2

+ A C − B

²

A .

この不等式がすべての

s

_{で成立するには}

,

A > 0 , AC − B

²

> 0 . 2

(17)

問題

5.5.

次の不等式が

, ( s, t ) = (0 , 0)

を除く任意の

s, t

_にたいし

,

成立している

.

係数

A, B, C

_{の条件を導け}

.

ただし

A = 0

とする

.

A s

²

+ 2 B s t + C t

²

> 0 . [

解答

] s = 0 , t = 0

とする

.

A s

²

+ 2 B s t + C t

²

> 0 .

の両辺を

t

²

> 0

で割る

.

A ( s

t )

²

+ 2 B s

t + C > 0 .

ここで

u ≡ s/t

_とおけば

,

A u

²

+ 2 B u + C > 0 .

「この不等式がすべての

u

_{で成立」は}

,

問題

5.4

そのもの

.

よって

, A > 0 , AC − B

²

> 0 .

65

であればよい

.

(∗)

極大

/

極小の判定条件に戻る

.

いま

( a, b )

が極小点とする

.

多変数関数のテイラー展開を使うと

,

0 < f ( a + h, b + k ) − f ( a, b ) = “

h f

_x

( a, b ) + k f

_y

( a, b ) ” + 1 2!

“

h

²

f

_xx

( a, b ) + 2 h k f

_xy

( a, b ) + k

²

f

_yy

( a, b ) ” + · · ·

の不等式が

,

微小で任意の

h, k (| h | + | k | = 0)

にたいして成立している

. (i)

まず点

( a, b )

は極小点なので

,

(5.6) f

_x

( a, b ) = 0 , f

_y

( a, b ) = 0 .

(ii) (5.6)

より多変数関数のテイラー展開は

,

0 < f ( a + h, b + k ) − f ( a, b )

= 1 2!

“

h

²

f

_xx

( a, b ) + 2 h k f

_xy

( a, b ) + k

²

f

_yy

( a, b ) ” + · · ·

A = f

_xx

( a, b ) , B = f

_xy

( a, b ) , C = f

_yy

( a, b )

とおくと

,

これは

0 < 1

2!

“

A h

²

+ 2 B h k + C

²

k

²

”

が「微小で任意の

h, k (| h | + | k | = 0)

」にたいして成立することである

.

問題

5.5

より

A > 0 , AC − B

²

≥ 0

⇒ f

_xx

( a, b ) > 0 ,

H ( a, b ) ≡ f

_xx

( a, b ) · f

_yy

( a, b ) − `

f

_xy

( a, b ) ´

₂

> 0 . (5.6)

と併せて

,

これが

( a, b )

が極小である十分条件

. 2

(∗)

極大の条件を調べる

.

問題

5.6.

次の不等式が

,

任意の

s

_にたいし

,

成立している

.

係数

A, B, C

_の条件を導け

.

ただし

A = 0

とする

.

A s

²

+ 2 B s + C < 0 . 67

[

解答

]

式変形

.

0 ≥ A s

²

+ 2 B s + C = A `

s

²

+ 2 B A s ´

+ C

= A `

s

²

+ 2 B

A s + B

²

A

²

´ − B

²

A + C

= A ` s + B

A

´

2

+ A C − B

²

A .

この不等式がすべての

s

_{で成立するには}

,

A < 0 , AC − B

²

> 0 . 2

→

今まで同じ議論で

,

極大の判定条件が導かれる

. f

_xx

( a, b ) < 0 ,

H ( a, b ) ≡ f

_xx

( a, b ) · f

_yy

( a, b ) − `

f

_xy

( a, b ) ´

2

> 0 .

(18)

例題

5.7. f ( x, y ) = xy (1 − x

²

− y

²

)

の極値を求めよ

.

[

解答

] Step 1.

まず

f

_x

( x, y ) = y (1 − y

²

− 3 x

²

) , f

_y

( x, y ) = x (1 − x

²

− 3 y

²

)

だから

, f

_x

( x, y ) = 0 , f

_y

( x, y ) = 0

を同時に満たす点

(0 , 0) , (±1 , 0) , (0 , ±1) , ( 1 2 , ± 1

2 ) , (− 1 2 , ± 1

2 )

という

9

個の点が極値の候補である

.

69

1

0

1

1 0

1 1

0 1

Step 2. f

_xx

( x, y ) = −6 xy = f

_yy

( x, y ), f

_xy

( x, y ) = 1 − 3 x

²

− 3 y

² _だから

, H ( x, y ) = 36 x

²

y

²

− (1 − 3 x

²

− 3 y

²

)

²

である

.

f

_xx

( x, y ) H ( x, y )

(0 , 0) 0 −1

(±1 , 0) 0 −4

(0 , ±1) 0 −4

(1 / 2 , 1 / 2) −3 / 2 2 (1 / 2 , −1 / 2) 3 / 2 2 (−1 / 2 , 1 / 2) −3 / 2 2 (−1 / 2 , −1 / 2) 3 / 2 2

これより４個の点

(1 / 2 . ± 1 / 2) , (±1 / 2 . 1 / 2)

だけで

H > 0

となる

.

結局

, f

_は

(1 / 2 , 1 / 2) , (−1 / 2 , −1 / 2)

で極大値

, (1 / 2 , −1 / 2) , (−1 / 2 , 1 / 2)

で極小値をとる

.

71

問題

5.8.

次の関数の極値を調べよ

.

(i) f ( x, y ) = x

²

− xy + y

²

− 4 x − y, (ii) f ( x, y ) = xy `

a − x − y ´ . (iii) f ( x, y ) = p

x

²

+ y

²

. [

解答

] (i) (3 , 2)

で極小

−7.

(ii) ( a/ 3 , a/ 3)

で極大

a

³

/ 27.

(iii) (0 . 0)

で極小値

0. 2

(19)

6 最適化問題

6.1 線形最適化問題の例

例題

6.1 (

文章題の数式化

).

ある工場で

, 3

種類のネジ

A, B, C

を毎週決められた数だけ作る

.

そのネジの製作には

, 3

台の旋盤

1, 2, 3

を使う

.

•

旋盤によって性能が異なるので

,

ネジ製作の所要時間が異なる

.

•

ネジを作るため

1

分当たりのコストも旋盤によって異なる

.

•

ネジの所用数量

,

加工時間

,

製造コストは次の表の通りである

.

所要時間

(

分

)

旋盤

1

旋盤

2

旋盤

3

ネジ

A (4000

個

) 0.2 0.4 0.5

ネジ

B (9000

個

) 0.1 0.3 0.5

ネジ

C (7000

個

) 0.2 0.2 0.4

製造コスト

(

円

/

分

) 12 9 9

制限時間

(

時間

) 40 40 40

費用の総額を最小にするために

,

解析する方程式を求めよ

.

73

問題

6.1

解答それぞれの旋盤で作るネジの個数をつぎのように置く

.

(

所要時間

)

旋盤

1

旋盤

2

旋盤

3

ネジ

A (4000) a

₁

a

₂

a

₃

ネジ

B (9000) b

₁

b

₂

b

₃

ネジ

C (7000) c

₁

c

₂

c

₃

次に製作するネジの個数は

,

a

₁

+ a

₂

+ a

₃

= 4000 , b

₁

+ b

₂

+ b

₃

= 9000 , c

₁

+ c

₂

+ c

₃

= 7000 . (6.1)

まずネジの製作に要する時間を見る

.

旋盤

1

旋盤

2

旋盤

2

ネジ

A 0 . 2 · a

₁ _分

0 . 4 · a

₂ _分

0 . 5 · a

₃ _分ネジ

B 0 . 1 · b

₁ _分

0 . 3 · b

₂ _分

0 . 5 · b

₃ _分ネジ

C 0 . 2 · c

₁ _分

0 . 2 · c

₂ _分

0 . 4 · c

₃ _分

75

よって

旋盤

1

の使用時間

T

₁

= 0 . 2 · a

₁

+ 0 . 4 · a

₂

+ 0 . 5 · a

₃

≤ 40 × 60 ,

旋盤

2

の使用時間

T

₂

= 0 . 1 · b

₁

+ 0 . 3 · b

₂

+ 0 . 5 · b

₃

≤ 40 × 60 ,

旋盤

3

の使用時間

T

₃

= 0 . 2 · c

₁

+ 0 . 2 · c

₂

+ 0 . 4 · c

₃

≤ 40 × 60 . (6.2)

製造コストを最小にするので

,

方程式

(6.1) + (6.2)

を満たす下で

,

min n

12 T

₁

+ 9 T

₂

+ 9 T

₃

o

= min n

0 . 2 · a

₁

+ 0 . 4 · a

₂

+ 0 . 5 · a

₃

+ 0 . 1 · b

₁

+0 . 3 · b

₂

+ 0 . 5 · b

₃

+ 0 . 2 · c

₁

+ 0 . 2 · c

₂

+ 0 . 4 · c

₃

o

2

(20)

問題

6.2 (2008

年公務員一級教養

, No 17).

ある工場で

2

種類の製品

A, B

が製造されており

,

製品

1

個当たりの人件費

,

原料費並びに製品を出荷する際の製品単価がそれぞれ表の通りである

.

人件費の上限は

130

万円

,

原料費の上限は

220

万円であるとき

,

製品

A, B

の出荷額の合計の最大値はいくらか

.

(

単位

:

万円

)

人件費原料費製品単価製品

A 3 4 12

製品

B 2 5 10

77 [

問題

6.2

解答

]

製品

A, B

の出荷量をそれぞれ

x, y

_とする

.

上限は

130

万円

,

原料費の上限は

220

万円なので

,

3 x + 2 y ≤ 130 , (6.3)

4 x + 5 y ≤ 220 , (6.4)

x ≥ 0 , y ≥ 0 (6.5)

の範囲で

12 x + 10 y = c

をである

c

_{を最大にすればよい}

.

図

6.1

青い部分が

(6.3), (6.4), (6.5)

を満たす領域

3 x + 2 y = 130

と

4 x + 5 y = 220

の交点は

, (30 , 20).

よって

c = 12 · 30 + 10 · 20 = 560 . 2

79 6.2 一般の – 等式制約条件付き最適化問題

前節ので論じた“多変数関数の極大

/

極小”より難しい問題を論ずる

.

等式制約条件付き最適化問題

問題

6.3.

二つの滑らかな関数

(6.6) f ( x, y ) : R

²

→ R

¹

, g ( x, y ) : R

²

→ R

¹ と実数

b

_{が与えられている}

.

このとき

(6.7) max

(x,y)

f ( x, y ) subjects to g ( x, y ) = b

の値

(=

最適値

)

をもとめよ

.

なお

,

最適値を実現する

( x

^∗

, y

^∗

)

を最適解とよぶ

. ♠

応用解析学