平 成 23 年 度
和歌山県高等学校入学者選抜学力検査問題
数 学
（11時35分〜12時25分）
（注 意）
１ 「始め」の合図があるまで，問題を見てはいけません。
２ 問題冊子と別に解答用紙が１枚あります。答えは，すべて解答用紙に記入しなさい。
３ 問題冊子と解答用紙の両方の決められた欄に，受検番号を記入しなさい。
４ 計算にあたっては，問題冊子の余白を使いなさい。
５ 印刷が悪くて分からないときや筆記用具を落としたときなどは，黙って手を挙げなさい。
６ 時間内に解答が終わっても，その場に着席していなさい。
７ 「やめ」の合図があったら，すぐに解答するのをやめ，解答用紙を裏向けにして机の上に 置きなさい。
受 検 番 号
数学
− １ −
１
次の〔問１〕〜〔問５〕に答えなさい。〔問１〕 次の（１）〜（５）を計算しなさい。
（１） ５−７
（２） −３
８ ÷ （−１ ４ ）
（３） （２
x
−６y
）−（x
−２y
）（４） 18 ＋ ２ − ８
（５） （
a
＋２b
）²−（a
−２b
）²〔問２〕 次の式を因数分解しなさい。
x
²−３x
−10〔問３〕 周の長さが100㎝で，面積が600㎝²の長方形がある。この長方形の縦の長さを求めるため，
縦の長さを
x
㎝として，次のような方程式をつくった。 にあてはまる式をかきなさい。
x
（ ）＝600〔問４〕 右の図で，正方形の１辺の長さを
x
㎝と するとき，x
の値を求めなさい。〔問５〕 右の図のように，表を３つの部分に区切った旗がある。
赤，青，黄の３色を使って，この旗のそれぞれの部分を１ 色で塗るとき，次の（１），（２）に答えなさい。ただし，旗 の裏には色を塗らないものとする。
（１） ３色全部を使って塗るとき，何通りの塗り方ができる か，求めなさい。
（２） ３色のうち２色を使って塗るとき，何通りの塗り方が できるか，求めなさい。ただし，同じ色が隣り合わない ように塗るものとする。
３㎝
４㎝
x ㎝
x ㎝
５㎝
− ２ −
２
次の〔問１〕〜〔問４〕に答えなさい。〔問１〕 美紀さんは，郵便局で職場体験活動をしたとき，
郵便物の区分や重量によって料金が異なることに興 味をもった。右の表は，そのことをクラスで発表す るために作成したものである。
このとき，次の（１），（２）に答えなさい。
（１） 20g の定形郵便物と200g の定形外郵便物を，それぞれ１通送るとき，料金の合計はいくら になるか，求めなさい。
（２） 40g の定形郵便物と80g の定形外郵便物を，合わせて20通送ったところ，料金は合計2200 円かかった。
40g の定形郵便物と80g の定形外郵便物を，それぞれ何通送ったか，求めなさい。
〔問２〕 深さが20㎝の円錐の形をした容器がある。
この容器に100㎝³の水を入れたところ，右の 図のように水面の高さが10㎝になった。あと 何㎝³の水を入れると，この容器はいっぱい になるか，求めなさい。
〔問３〕 袋の中にたくさんの玉が入っていて，そのうち，30個の玉には印がついている。標本調査を 利用して，この袋の中の玉の個数を，次のような方法で調べた。
この袋から50個の玉を無作為に抽出し，印のついた玉の個数を記録した あと，玉をすべて袋にもどした。同じようにして，印のついた玉の個数を 数回調べたところ，平均して２個含まれていた。
この袋の中には，およそ何個の玉が入っていたと推測されるか，求めなさい。
〔問４〕 A 店，B 店では，通常100ｇあたり360円で売っている牛肉を，次のように売り出した。
A 店 値段はそのままで，20％増量して売る。
B 店 通常の値段の20％引きで売る。
同じ重さの牛肉を買うとき，A 店，B 店のうち，どちらの店の方がより安く買えるか，説明 しなさい。
区 分 重量 料金
定形郵便物 25g まで 80円 50g まで 90円 定形外郵便物 50g まで 120円 100g まで 140円 150g まで 200円 250g まで 240円 500g まで 390円
20㎝
10㎝
− ３ −
３
１辺の長さがともに４㎝の正三角形ABCと正 n
角形（
n
は４以上の自然数）が，図１のように，正 三角形の辺BC
と正n
角形の辺PQが重なるように
おかれている。今，この正三角形
ABCを，図２のように，頂点 C
を中心に矢印の向きに回転させ，正三角形の辺AC
を正n
角形の辺に重ねる。次に，頂点Aを中心 に，同じように正三角形を回転させ，辺ABを正n
角形の辺に重ねる。
このようにして，正三角形を正
n
角形の内側で，矢印の向きに回転させながら動かし，正三角形のい ずれかの辺が再び正
n
角形の辺PQと重なったとき，
正三角形が正
n
角形の内側を１周したものとする。次の〔問１〕〜〔問５〕に答えなさい。
〔問１〕 図３のように，正三角形
ABC
を，頂点C
を中心に矢印の向きに100°回転させたと ころ，辺ACが正n
角形の辺と重なった。このとき，
n
の値を求めなさい。〔問２〕 図４は，
n
＝５のときのものである。正三角形ABCが，正五角形の内側を，矢印の向きに
回転しながら１周したとき，正三角形ABCの各頂点は，それぞれどの位置にくるか，解答欄
の に，A，B，Cのうち，あてはまる記号をかきなさい。図３
図４ 図１
A
B C
P Q
図２
A A
B
B B
C C
P Q
A
A B
B
C
P Q
100°
A
B C
P Q
− ４ −
〔問３〕 正三角形ABCが，正
n
角形の内側を回転しながら１周したとき，正三角形の辺AB
が正n
角 形の辺と２回重なった。このとき，あてはまる
n
の値をすべて求めなさい。〔問４〕 図５のように，正三角形
ABCが，正六角形
の内側を回転しながら１周するとき，正三角形 の頂点Aはどのように動くか。解答欄にある 図の破線のうち，Aが動いたあとにできる曲線 をすべてなぞり，実線にしなさい。〔問５〕 図６のように，正三角形
ABCが，正十二角
形の内側を回転しながら１周するとき，正三角 形の頂点Aが動いたあとにできる曲線の長さ を求めなさい。ただし，円周率はπとする。P Q
A
B C
図５
図６
P Q
A
B C
４㎝
− ５ −
４
下の図のように，４点O
（0，0），A（12，0），B（12，4），C（4，4）を頂点とする台形OABC
がある。２点
P，Q
は原点O
を同時に出発し，Pはx
軸上を，Qはy
軸上をそれぞれ矢印の向きに毎秒１㎝の速 さで動く。ただし，座標の１目もりを１㎝とする。次の〔問１〕〜〔問３〕に答えなさい。
〔問１〕 ３点P，B，Qが一直線上に並ぶのは，２点P，Qが原点
O
を出発してから何秒後か，求めな さい。〔問２〕 ２点P，Qが原点Oを出発してから
x
秒後に，台形OABCを線分 PQで分ける図形のうち，
原点Oを含む図形の面積を
y
㎝²とする。ただし，x
＝０のとき，y
＝０とする。このとき，次の（１），（２）に答えなさい。
（１）
x
の変域が０≦x
≦８のとき，y
をx
の式で表し，そのグラフをかきなさい。（２）
x
の変域が８≦x
≦12のとき，y
をx
の式で表しなさい。〔問３〕 線分PQが台形
OABC
の面積を２等分するのは，２点P，Q
が原点O
を出発してから何秒後 か，求めなさい。O P
C B
A 5
5
10 10
15 15
Q
x
y
− ６ −
A D
F R B
C P Q
S
５
右の図１のように，直線AP，AQ
があり，AP上に点 B
がある。Bを通る直線RS
をひき，AQ
と の 交 点 をC
と す る。ま た，∠ACBの 二等分線をひき，APとの交点をD
とする。次の〔問１〕〜〔問３〕に答えなさい。
〔問１〕 点Aを通り，直線
CD
に平行な直線をひき，直線RSとの交点を E
とする。∠ACB= 86°のと
き，∠CAEの大きさを求めなさい。〔問２〕 AC=９㎝，BC=６㎝，AD=６㎝のとき，BDの長さを求めなさい。
〔問３〕 右の図２のように，∠
ABR
の二 等分線をひき，直線CDとの交点をF
とする。このとき，次の（１），（２）に答え なさい。
（１） ∠
BFC
＝１２∠
BACであることを，∠ ACB
＝∠a
，∠ABR＝∠b
として，証明しなさい。（２） ∠
ABCの二等分線上に点 G
をとり，４点B，F，G，C
が同じ円周上にあるようにしたい。Gの位置をどのように決めればよいか，説明しなさい。ただし，作図の手順はかかなくて もよい。
図１
A D R B
C P Q
S
図２
平成23年度学力検査 数学科解答用紙
１
〔問１〕
（１）
（２）
（３）
（４）
（５）
〔問２〕
〔問３〕
〔問４〕 x＝
〔問５〕
（１） 通り
（２） 通り
２
〔問１〕
（１） 円
（２） 40g の定形郵便物 通 80g の定形外郵便物 通
〔問２〕 ㎝³
〔問３〕 およそ 個
〔問４〕
（説明）
よって，同じ重さの牛肉を買うとき，（ ）店 の方がより安く買える。
３
〔問１〕 n＝
〔問２〕
P Q
〔問３〕 n＝
〔問４〕
P Q
〔問５〕 ㎝
４
〔問１〕 秒後
〔問２〕
（１）
（式）
（グラフ）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5
6 7 8 9
4 3 2 1
10 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19
x y
（２）
〔問３〕 秒後
５
〔問１〕 ∠
CAE＝
度〔問２〕
BD
＝ ㎝〔問３〕
（１）（証明）
（２）（説明）
平成23年度学力検査 数学科採点表 （100点満点）
問 題 配点 正 解 採 点 上 の 留 意 点
１
〔問１〕
（１） ３ −２
（２） ３ ３ ２
（３） ３
x
−４y
（４） ３ ２ ２
（５） ３ ８
ab
〔問２〕 ３ （
x
−５）（x
＋２）〔問３〕 ３ 50−
x
〔問４〕 ３
x
= 12 ７〔問５〕 （１） ２ ６ （通り）
（２） ２ ６ （通り）
２
〔問１〕
（１） ３ 320 （円）
（２） ４ （40g の定形郵便物） 12 （通）
（80g の定形外郵便物） ８ （通） 両方できて正答とする。
〔問２〕 ４ 700 （㎝³）
〔問３〕 ４ （およそ） 750 （個）
〔問４〕 ５
Ａ店では，360円で120ｇ，つまり，100ｇあたり300円で買える。
Ｂ店では，100ｇあたり288円で買える。
よって，同じ重さの牛肉を買うとき，Ｂ店の方がより安く買える。
正解は一例を示したもので ある。
段階的に評価する。
３
〔問１〕 ３
n
＝18〔問２〕 ３
P Q
Ａ Ｂ
Ｃ
すべてできて正答とする。
〔問３〕 ３
n
＝５，６，７ すべてできて正答とする。〔問４〕 ４
P Q
すべてできて正答とする。
〔問５〕 ５ 16π （㎝）
４
〔問１〕 ３ 16 （秒後）
〔問２〕 （１）
３ （式）
y
= １ ４x
²３
（グラフ）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5
6 7 8 9
4 3 2 1
10 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19
x y
段階的に評価する。
（２） ３
y
＝４x
−16〔問３〕 ４ ９ （秒後）
５
〔問１〕 ３ ∠
CAE＝43
（度）〔問２〕 ４
BD
＝４ （㎝）〔問３〕
（１） ７
△
ABCにおいて，∠ ABRは頂点B
における外角なので，∠
BAC＝∠ b
−∠a
･･･ ①また，△
BCFにおいて，∠ FBR
は頂点Bにおける外角で，直線
BF，CF
は，それぞれ，∠ABR，∠ACR
の二等分線だから，∠
BFC＝
１２∠
b
−１２∠
a
＝１２（∠
b
−∠a
）･･･ ②①，②から，∠
BFC
＝１ ２∠BAC正解は一例を示したもので ある。
段階的に評価する。
（２） ４ ∠
ABCの二等分線と∠ ACS
の二等分線の交点を点G
とする。正解は一例を示したもので ある。
段階的に評価する。
