高頻度データに基づく確率微分方程式モデルの ハイブリッド推定

第65巻 第1号39–69 2017c 統計数理研究所

［研究詳解］

高頻度データに基づく確率微分方程式モデルの ハイブリッド推定

内田 雅之^1,2,3

（受付2016年6月28日；改訂10月14日；採択10月17日）

要 旨

本論文では，高頻度データを用いた確率微分方程式モデルの未知パラメータにおけるハイブ リッド推定について解説する．最適な収束率より遅いベイズ型推定量を初期推定量とした，マ ルチステップ推定法や適応的最尤型推定法を説明し，それらの推定量の漸近的性質について述 べる．エルゴード的拡散過程，非エルゴード的拡散過程，微小拡散過程の

3

キーワード：拡散過程，確率微分方程式，最尤型推定量，ハイブリッド推定量，ベイ ズ型推定量，マルチステップ推定量．

1. はじめに

情報技術の発展により，金融などの時系列データが高頻度に観測可能となり，連続時間確率過 程モデルの統計解析の需要が増してきている．特に，確率微分方程式で定義された拡散型確率 過程モデルの統計解析は今までに盛んに研究されている（Kutoyants, 1984, 1994, 2004; Prakasa

Rao, 1988; Yoshida, 1992a, 1992c; Genon-Catalot and Jacod, 1993; Bibby and Sørensen, 1995;

Kessler, 1997; Prakasa Rao, 1999; Iacus, 2008; Sørensen, 2012）

2

（または最尤型推定量）を計算することが困難となることが多々ある．最尤型推定量の導出に失 敗して，誤った値を算出した場合，情報量規準に基づくモデル選択に影響が出ることも知られ ている．このことから，理論的に保障された推定量であっても，実際にデータ解析において正 しい推定量を算出できるかは別の問題となる．本論文では，確率微分方程式モデルのパラメー タを効率よく推定するための統計的手法の一つであるハイブリッド推定法について解説する．

1大阪大学大学院 基礎工学研究科：〒560–8531大阪府豊中市待兼山町1–3

2大阪大学 数理・データ科学教育研究センター（MMDS）：〒560–8531大阪府豊中市待兼山町1–3

3CREST

最初に，I.I.D.モデルにおけるハイブリッドマルチステップ（HMS）推定量について考察する．

l

(θ)

θ ∈

∈ (0, 1/2], J = [− log

q]

2

q ≤ 1/2 < 2

q

θ ˆ

0

sup

n

E

[ | n

(ˆ θ

− θ

) |

] < ∞ (1.1)

を満たすとする．ここで，θ^∗はパラメータ

θ

P

= 1, . . . , J

-

θ ˆ

θ ˆ

= ˆ θ

− [∂

l

(ˆ θ

)]

[∂

l

(ˆ θ

)]

と定義する．ただし，∂θ

=

, ∂

=

∂

l

(ˆ θ

) = 0

1

∂

l

(θ

) = ∂

l

(ˆ θ

) + ∂

l

(ˆ θ

)[θ

− θ ˆ

] + R

[(θ

− θ ˆ

)

], R

=

₁

0

(1 − t)∂

l

(ˆ θ

+ t(θ

− θ ˆ

))dt

θ ˆ

= ˆ θ

− [∂

l

(ˆ θ

)]

[∂

l

(θ

) − ∂

l

(ˆ θ

)[θ

− θ ˆ

] − R

[(θ

− θ ˆ

)

]]

= ˆ θ

− [∂

l

(ˆ θ

)]

[∂

l

(θ

)] + (θ

− θ ˆ

) + [∂

l

(ˆ θ

)]

R

[(θ

− θ ˆ

)

]

θ ˆ

− θ

= − [∂

l

(ˆ θ

)]

[∂

l

(θ

)] + [∂

l

(ˆ θ

)]

R

[(ˆ θ

− θ

)

].

特に，2q

≤ 1/2

θ ˆ

√

n -

n

(ˆ θ

− θ

) = −

1

n ∂

l

(ˆ θ

)

n

n ∂

l

(θ

)

+ 1

n ∂

l

(ˆ θ

)

1

n R

[(n

(ˆ θ

− θ

))

].

したがって，√¹

n

∂

l

(θ

)

R

sup

n

E

[ | n

(ˆ θ

− θ

) |

] < ∞ = ⇒ sup

n

E

[ | n

(ˆ θ

− θ

) |

] < ∞

sup

n

E

[|n

(ˆ θ

− θ

)|

] < ∞ = ⇒ sup

n

E

[|n

(ˆ θ

− θ

)|

] < ∞, .. .

sup

n

E

[ | n

(ˆ θ

− θ

) |

] < ∞ = ⇒ sup

n

E

[ | n

(ˆ θ

− θ

) |

] < ∞ , sup

n

E

[|n

(ˆ θ

− θ

)|

] < ∞ = ⇒ sup

n

E

[| √

n(ˆ θ

− θ

)|

] < ∞

となり，J

-

θ ˆ

√

n -

（1.1）を満足する初期推定量として，最尤型推定量とベイズ型推定量を考えることができるが，

最尤型推定量の導出には最適化が伴い，初期値の設定が重要な鍵となる．一方で，ベイズ型推 定量は，マルコフチェーンモンテカルロ（MCMC）法を用いた数値計算により導出される．最尤 型推定量の数値計算に比べて，ベイズ型推定量の数値計算は初期値の影響が少ない．本論文で は，ベイズ型推定量を初期推定量として用いて，最尤型推定（マルチステップ推定）により，漸 近有効推定量を導出する方法をハイブリッド推定法と呼ぶことにする．特に，初期ベイズ推定 量を用いたマルチステップ推定法をハイブリッドマルチステップ推定法と表現することにする．

本論文の構成は次の通りである．第

2

3

また，具体例とシミュレーション結果を示す．第

3

4

言うまでもなく，推定量の極限分布は統計的漸近理論には必須であり，モデル選択問題におけ る情報量規準を正当化するために，推定量のモーメントの収束性を示すことは不可欠である．幾 多の統計的漸近理論の研究があるが，特に

Ibragimov and Has’minskii

Kutoyants

2004）

Yoshida

Uchida and Yoshida

（2001, 2004a, 2006, 2016），Uchida（2010）を参照．

2. エルゴード的拡散過程

本節は，Kamatani and Uchida（2015）の結果に従って，エルゴード的拡散過程のドリフトパ ラメータおよびボラティリティパラメータのハイブリッドマルチステップ推定量を導出し，そ の漸近的性質を考察する．

2.1 モデルと仮定

次の確率微分方程式で定義される

d -

dX

= b(X

, β)dt + a(X

, α)dw

, t ≥ 0, X

= x

. (2.1)

ここで，

w

r -

θ = (α, β) ∈ Θ

× Θ

= Θ

Θ

Θ

さらに，b

:

× Θ

→

, a :

× Θ

→

⊗

= (α

, β

)

θ

る．θ^∗

∈ Int(Θ)

and Fournier

= (X

i

)

= ih

整数で

p ≥ 2

→ ∞

→ 0，nh

→ 0

n

n

≤ nh

∈ (0, (p − 1)/p)

= 1/n

→ ∞

nh

→ ∞，nh

→ 0

0

p ≥ 5

p

Kutoyants

デルによる統計推測はこれまで精力的に研究されてきており，離散観測データからのエルゴー ド的拡散過程モデルによる統計解析についても，今なお多くの研究者によって研究され続けて いる．Prakasa Rao（1983, 1988），Yoshida（1992c, 2011），Bibby and Sørensen（1995），Kessler

（1995, 1997），Gobet（2002），Uchida（2010），Uchida and Yoshida（2001, 2011, 2012, 2014），

Masuda

Shimizu and Yoshida

Shimizu

Ogihara and Yoshida

Masuda

特に

Kessler（1995, 1997）

→ 0

1

U

(α, β)

= [

]，A(x, α) = aa

(x, α)

は拡散過程（2.1）の生成作用素，すなわち，

L

=

i=1

b

(x, β)∂

+

i,j=1

A

(x, α)∂

∂

ΔX

= X

− X

i−1

, A

(α) = A(X

i−1

, α), b

(β) = b(X

i−1

, β)

→

→

A， B

A

= AA

B[A] = tr(BA

)

A

= tr(AA

)

疑似対数尤度関数

U

(θ)

U

(θ) = − 1 2

n i=1

h

_k 0 j=0

h

D

(θ)

[(X

i

− r

(h

, θ))

] +

k₀

j=0

h

E

(θ)

.

ここで

(r

(h

, θ))

=

j=0h^j_n

j!

L

f

(X

i−1

), f

(x) = x

j = 0, 1, . . .

D

(θ) := D

(X

i−1

, θ)， E

(θ) := E

(X

i−1

, θ)

= 1, . . . , d

(Ξ

(h

, x, θ

))

=

h

h

w! L

¯ g

(x),

¯

g

(y) = (y

− x

)(y

− x

),

¯

g

(y) = − (y

− x

) L

f

(x)

j! − (y

− x

) L

f

(x) j!

+

r≥1,s≥1 r+s=j

L

f

(x) r!

L

f

(x)

s! , (1 ≤ j ≤ l).

(Ξ

(h

, x, θ))

=

j=0

h

γ

(x, θ)

γ

(x, θ) = 0, γ

(x, θ) = A

(x, α), γ

(x, θ) = 1

2

L

A

(x, α) +

{ (∂

b

(x, β))A

(x, α) + (∂

b

(x, β))A

(x, α) }

となる．オーダー

l

(h

Ξ

(h

, x, θ))

j=0

h

D

(x, θ)

D

(x, θ) = A

(x, α),

D

(x, θ) = − A

(x, α)γ

(x, θ)A

(x, α),

D

(x, θ) = { (A

(x, α)γ

(x, θ))

− A

(x, α)γ

(x, θ) } A

(x, α)

l

log det(h

Ξ

(h

, x, θ))

j=0

h

E

(x, θ)

E

(x, θ) = log det(A(x, α)), E

(x, θ) = tr(A

(x, α)γ

(x, θ)), E

(x, θ) = 1

2 tr(2A

(x, α)γ

(x, θ) − { (A

(x, α)γ

(x, θ))

} )

となる．疑似対数尤度関数

U

(α, β)

Kessler

Uchida and Yoshida

（2012）を参照．Kessler（1997）は同時最尤型推定量

θ ˆ

= ( ˆ α

, β ˆ

)

U

( ˆ α

, β ˆ

) = sup

U

(α, β)

→ ∞，nh

→ 0

( √

n( ˆ α

− α

), √

nh

( ˆ β

− β

)) →

(ζ

, ζ

) ∼ N

(0, Γ(θ

)

).

ここで，

Γ(θ

) = (Γ

(θ

))

0 0 (Γ

(θ

))

, Γ

(θ

) = 1

2

R^d

tr{A

(∂

A)A

(∂

A)(x, α

)}μ

(dx), Γ

(θ

) =

R^d

(∂

b(x, β

))

A(x, α

)

∂

b(x, β

)μ

(dx).

しかし，先述した通り，

Θ

（1992c）は

nh

→ 0

→ 0

Kessler

Ibragimov-Has’minskii-Kutoyants

Yoshida

3

k

= [

]，l

= [

]

l

≤ k

≤ l

+ 1

I

α ˆ

, ˆ β

k = 1, 2, . . . , k

U

( ˆ α

, β ˆ

) = sup

β∈Θ2

U

( ˆ α

, β), U

( ˆ α

, β ˆ

) = sup

α∈Θ₁

U

(α, β ˆ

)

α

= ˆ α

U

( ˆ α

) = sup

1

U

(α)

U

(α) = − 1 2

n i=1

{ h

A

(α)[(ΔX

)

] + log det(A

(α)) }

次に適応的ベイズ型推定について考える．事前分布

π

(α)，π

(β)

α∈Θ

inf

π

(α) > 0, inf

β∈Θ₂

π

(β) > 0

を満たすとする．タイプ

I

α ˜

β ˜

k = 1, 2, . . . , l

˜ α

=

Θ1

α exp {H

(α, β ˜

) } π

(α)dα

Θ1

exp {H

(α, β ˜

) } π

(α)dα , β ˜

=

Θ2

β exp {

˜

( ˜ α

, β) } π

(β)dβ

Θ2

exp {

˜

( ˜ α

, β) } π

(β)dβ ,

˜ α

=

Θ₁

α exp{U

(α, β ˜

)}π

(α)dα

Θ1

exp { U

(α, β ˜

) } π

(α)dα , β ˜

=

Θ₂

β exp{U

( ˜ α

, β)}π

(β)dβ

Θ2

exp { U

( ˜ α

, β) } π

(β)dβ .

k

= l

β ˜

k = 1, 2, . . . , l

H⁽⁰⁾p,n

(α, β) = 1 n

U

(α),

(α, β) = 1

n

U

(α, β),

˜

(α, β) = 1

(nh

)

U

(α, β).

p ≥ 3

Uchida and Yoshida

n → ∞， nh

→ 0

M > 0

sup

n

E

[|n

( ˜ α

− α

)|

] < ∞, sup

n

E

[|(nh

)

( ˜ β

− β

)|

] < ∞

が成り立つことを示した．˜

α

β ˜

U

次にワンステップ推定量を考えてみる．すべての

M > 0

n → ∞

→ 0

sup

n∈N

E

[ | ( √

n( ˇ α

− α

), √

nh

( ˇ β

− β

)) |

] < ∞ (2.2)

を満たす初期推定量

θ ˇ

= ( ˇ α

, β ˇ

)

θ ˇ

= ( ˇ α

, β ˇ

)

θ ˇ

= ˇ θ

− [∂

U

(ˇ θ

)]

∂

U

(ˇ θ

)

で定義される．ある正則条件の下で，n

→ ∞，nh

→ 0

E

[f( √

n( ˇ α

− α

), √

nh

( ˇ β

− β

))] →

, ζ

)]

がすべての多項式増大な連続関数

f

Lehmann

たす初期推定量

θ ˇ

以上の理由から，本節では，nh^p_n

→ 0

これ以降に用いる記号を定義しておく．C_↑^k,l

(

× Θ;

)

f

f(x, θ)

× Θ

-

f (x, θ)

x

k

θ

x

|n| = 0, 1, . . . , k

∂

f(x, θ)

θ

l

| ν | = 1, . . . , l， |n| = 0, 1, . . . , k

δ

∂

f(x, θ)

θ

x

= (n

, . . . , n

)，

ν = (ν

, . . . , ν

)

m = dim(Θ), |n| = n

+. . .+n

, | ν | = ν

+. . .+ν

,

∂

= ∂

· · · ∂

, ∂

= ∂/∂x

, δ

= δ

1

· · · δ

m

, δ

= ∂/∂θ

(R

)

x

-

次を仮定する．

[A1]

(i)

K > 0

x, y ∈

sup

α∈Θ1

|| a(x, α) − a(y, α) || + sup

β∈Θ2

| b(x, β) − b(y, β) | ≤ K | x − y | .

(ii) inf

det(A(x, α)) > 0.

(iii) X

μ

R^d

| f(x) | μ

(dx) < ∞

f ∈ F

(

)

→ ∞

1 T

_T

0

f(X

)dt →

R^d

f(x)μ

(dx)

(iv)

M > 0

E[|X

|

] < ∞.

(v)

R^d

g(x)μ

(dx) = 0

g ∈ F

(

)

∂

G(x) ∈ F

(

) (i = 1, . . . , d)

x

L

G(x) = − g(x).

(vi) Γ(θ

)

[A2]

(k,

∈ C

(R

× Θ

;

). b ∈ C

(R

× Θ

;

⊗

).

 注1.

[A1]

2.2 ハイブリッドマルチステップ推定量 初期推定量に対して次を仮定する．

[B]

p ≥ 2，q = max{p, 4}

(i) α

α ˆ

n → ∞ , nh

→ 0

M

> 0

n

( ˆ α

− α

) →

0, sup

n

E

[|n

( ˆ α

− α

)|

] < ∞

(ii) β

β ˆ

n → ∞，nh

→ 0

M

> 0

(nh

)

( ˆ β

− β

) →

0, sup

n

E

[|(nh

)

( ˆ β

− β

)|

] < ∞

[B]

Y

(α) = − 1 2

R^d

tr[A(x, α)

A(x, α

) − I

] + log det(A(x, α)) det(A(x, α

))

μ

(dx)

[A3]すべての

α ∈ Θ

(α) ≤ − χ | α − α

|

χ

初期最尤型推定量

α ˇ

U

( ˇ α

) = sup

1

U

(α)

U

(α) = − 1

2

{ h

A

(α)[(ΔX

)

] + log det(A

(α)) } .

α ˜

˜ α

=

Θ1

α exp

1 n^1−2q

U

(α)

π

(α)dα

Θ1

exp

1 n¹⁻

2q

U

(α)

π

(α)dα