第２回 方程式を解く •

第２回 方程式を解く

• solve コマンド

solve( {式}, {未知数} ) が基本形です。方程式の数式解を出力します。

複数の式、複数の未知数によって連立方程式も解けます。例題および ?solve も 参考にしてください。

• evalコマンド

eval は評価する式と評価する点の二つのパラメータを持ちます。検算、条件下 での値の評価などに使います。

soln:=solve({x+2*y=3, y+1/x=1}, {x, y});

eval(x+2*y, soln[1]);

eval({x+2*y, y+1/x}, soln[2]);

• unapply コマンド

unapply コマンドによって、式を関数に変えることができます。

x+3*y;

f:=unapply(%,x,y);

f(1,3);

練習次の方程式の解を求め、かつそれが解であることを確かめよ。

(1) x³+ 4x²−3x−1 = 0

(2) x+ 2y= 3, 3x²−2xy+y² = 13 練習次の連立方程式を解け。















3y+ 3z−2w =−4 x+y+ 2z+ 3w = 2 x+ 2y+ 3z+ 2w = 1 x+ 3y+ 4z+ 2w =−1

,









x+ 2y+ 3z = 4 2x+y+ 3z = 0

−2x+ 3y+z = 1















x−y =−2

3x−y+z =−2 2x−y+ 2z =−1

y−z = 1

,









x+ 2y−2z+s+ 3t = 2 2x+y+ 2z+t = 3

−2x−3y+ 2z−s+ 2t = 1

• RootOf

solve を用いて５次方程式などを解くと RootOf の表示が現れます。これは、

その方程式の解であると、言っているだけで、実際の数値は、近似的にしか求 められません。

solve({x^5-2*x+3=0}, {x});

allvalues(%);

• fsolveコマンド

solve コマンドと異なり、数値解を求めます。基本的には、一つの実数解を返

します。多項式については、すべての実数解を返します。

• isolve コマンド

整数解を求める命令です。

• msolveコマンド

mod n の意味での整数解を求める命令です。nの指定が必要です。

• modの計算

msolve コマンドに関連して、剰余類の計算は mod を用います。 ?mod も参

考にしてください。

mod(12,7);

12 mod 7;

練習

(1) sinx= 0.7の解を５個求めよ.

(2) 13x+ 7y= 1 となる整数解を求めよ.

(3) 17を法として 5,5²,5³,· · · ,5²⁰ を求めよ.

(4) 17を法として 5^x= 1 となる整数xを求めよ.

補充問題 尖がった一山の関数を

f(x) =

(2x 0≤x≤1/2

2−2x 1/2≤x≤1 と定義する. 山の真ん中を削って二山の関数にするには

1

2f(f(x))

と関数の合成をすれば良い. これを繰り返して,足し合わせていくと,その極限関数と して, 連続関数だがすべての点で微分不可能な関数(高木関数)ができる. 以下の操作 は高木関数を構成している. 命令を解釈してください.

restart:

f := x -> 1 - abs(2*x-1):

fns := [ seq(f@@n / 2^n, n=1..10) ]:

plot( fns[1..4], 0..1, scaling=constrained);

plot( add(a, a=fns), 0..1, scaling=constrained);

以下の問題についてMaple を用いて考察して見よ.

多項式 f₁ を f₁(x) = x²−2 と定め

f_n+1(x) =f_n(x²−2) (n= 1,2,3, . . .)

によって f₂, f₃, . . . を順次定めていく. 実数aが −2 < a <2 をみたすとき, 方程式 f_n(x) =a は相異なる実数解をちょうど 2ⁿ 個もち, いずれの解も −2< x < 2 の範 囲にあることを示せ.

[2004年度千葉大学後期問題]