1．ま え が き 多層膜回折格子は，誘電体あるいは金属で作られた波 形の薄膜を積層したもので，多層膜の形状や材質によっ て，その回折特性を制御することができる1),2) 。以前か ら，大電力のもとで使用されるサンプリングミラーとし て金属の表面に低屈折率と高屈折率の誘電体膜を交互に 積層した多層膜回折格子などが考案されている1) 。また， 金属で作られた回折格子で生じる特性の一つに特定の入 射条件で入射光のエネルギーが吸収される異常共鳴吸収 がある。これも多層膜の形状や材質が吸収の発生する角 度や強度に大きな影響を与える2) 。 多層膜回折格子の回折問題については，すでに積分の 計算に点整合法を用いた数値解析的方法である積分法3) ， 要素計算が解析的に扱われている微分法4),5) ，微分法に S-matrixを導入した方法6) ，R-matrix を導入した消去理 論に基づく方法7) ，境界整合の方法であるモード整合 法8) ，そして我々の提案した R-matrix を導入した T-ma-trix法9),10) などがある。 一方，1 方向に周期的な構造をもつ回折格子に斜めに 入射した平面波の回折問題，すなわちコニカルマウント の問題の解析法には，微分法12)，偏波変換11)の観点から モード整合法による詳しい解析13) ， そして T-matrix 法14),15)によるものがある。 また，多層膜回折格子に斜め入射した平面波の回折問 題は微分法を用いて偏波変換が議論され16)，R-matrix を 導入した微分法によっても解析されている17) 。 本論文では，多層膜フーリエ格子に斜め入射した平面 電磁波回折問題を準 2 次元問題として解析した。ここで は，T-matrix 法を用いて入射媒質領域および基板領域に は空間高調波の概念を用いた定式化の特徴を保つように した。そして，コーティング層の領域には消去理論に基 づく R-matrix の表現7) を用いて漸化的な行列計算を実現 している。本手法で得られた結果は，格子のグローブの 深さ等のパラメータには従来の T-matrix 法の適用範囲の 制約を受ける18)が，コーティング層の厚みや層の数にほ とんど関係することなく十分な精度の数値計算が可能で ある。 数値例として，8 層の誘電体をアルミニウム基板に積 層したフーリエ格子における1 次（リトロー配置）回 折効率の厚さおよび入射角度特性，銀の基板に単層の誘 電体をコーティングしたフーリエ格子の 0 次回折効率の 入射角−方位角特性を示した。
フーリエ格子による電磁波回折特性の解析
——コニカルマウントされた多層膜金属格子の場合——
大 木 眞 琴*
Analysis of Electromagnetic Wave Scattering from a Fourier Grating
—Multilayer-Coated Metallic Grating in Conical Mounting—
Makoto OHKI*
We analyze the electromagnetic wave scattering ploblem from multilayer-coated Fourier grating for a general angle of incidence and arbitrary polarization. This analysis is treated a quasi-two-dimensional problem in the scaler boundary value. The analitically preocedure is applied T-matrix method with R-matrix propagation algorithm. This formulation is also useful expression because R-matrix propagation algorithm is avoided a singularity of matrix elements for the evanescent mode. Numerical examples are presented for diffraction efficiencies which incident angle and azimathal angle of Foureier grating are variable.
Vol. 37, No. 1, 2003
* 電気電子メディア工学科 講師 平成 14 年 9 月 6 日受付
2．斜め入射回折問題の定式化 2.1 問題の座標系と入射波の表現
図 1 に，多層膜フーリエ格子の断面と座標系を示す。 格子の形状は，x 方向に周期的で，y 方向に一様な構造 とする。ここで，領域は多層膜の両端，半無限領域の入 射領域 (Incident medium)，基板領域 (Substrate)と，層領 域 (Layer)の 3 つに分けて考える。入射領域および基板領 域はそれぞれ比誘電率 e0, eI1比透磁率 m0, mI1，層領域 においては ei, mi(i1, 2, .., I) の等方均質な材質で満たされ ているとする。さらに，それぞれの領域間の境界を Si (i0, 1, .., I) とし，境界 Siの形状を Si: zfi(x)di (1) で与え, diは z 方向の格子表面の x 軸からの変位を表して いる。また，それぞれの層の厚さ eiおよび，層全体の厚 さ etotalを次のように与える。 (2) このような格子に平面波が z 軸と q の角度（入射角），x 軸と f の角度（方位角）をなして入射する場合を考え る。 この問題は，y 方向には一様で，伝搬定数 k0yであるの で，y 方向の界 Eiy, Hiyが与えられれば，その他 x および z方向の界 Eit, Hitは次式により求められ，いわゆる準 2 次元問題として取り扱うことができる14) 。但し，時間因 子は exp( j w t)として以下の記述から省略している。 (3a) (3b) ここに，tは xz 面における微分演算子で，kiは同様に xz面における波数である。また，i 層における m 次回折 波の波数ベクトルは，y 方向には界が一様な伝搬定数 k0y であるから，m 次モードにおける x 方向の波数 kxmと，z 方向の波数 kizmは放射条件を満たすように，それぞれの 領域 i において，次のように定義される。 (4a) (4b) 但し，kizmkibimであり，入射領域における x, y, z 方向 の 0 次の波数 k0x, k0y, k0zは，それぞれ k0xk0sinq cos f,
k0yk0sinq sin f, k0zk0cosq のように与えられている。
また，x, z 面の波数 kiは各領域において， のようになる。 k02xk02z Ê Ë ˆ ¯ ki^ kiky 2 0 2 b a a a a im im im im im j 1 1 1 1 2 2 2 2 , , Ï Ì Ô Ó Ô k k m P k xm 0x i im 2p a ^ Hit i y t iy i t iy j k k H yH ^ — — 2 [0 we ˆ ] Eit i y t iy i t iy j k k E yH ^ — — 2 [ 0 wm ˆ ] ei di di etotal ei d i I 1 1 0 ,
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( ) 図 1 問題の座標系とフーリエ格子の構成入射波の電界の y 方向成分 Ey i ，磁界の y 方向成分 Hy i はそれぞれ次のように定義する。 (5a) (5b) (5c) 但し，y 方向の電界，磁界の振幅 e0y, h0yは，入射角 q， 方位角 f，および偏波角 t を用いて次のようになる。ま た，hiは各領域の波動インピーダンスであり，i0 の h0 は入射領域のそれを与える。ここで，y 方向への伝搬因 子 exp(jk0yy) は時間因子と同じように以下の記述から省 略する。
e0ycos t cos fsin t sin f cos q (6a) (6b) (6c) 2.2 消去理論と境界条件 それぞれの領域の y 方向の電磁界を Eiy, Hiyとすると， Huygensの原理と Green の定理により，消去理論の形で 各領域における界は次のように表現することができる。 •入射領域 (7a) (7b) •層領域 (8a) (8b) •基板領域 (9a) (9b) ここで，rr, rr はそれぞれ xz 面における観測点，格子表 面での位置ベクトルを表し，また，nˆiは格子表面での単 位法線ベクトル，dsiは格子表面の面積素である。さら に，Gi(r ,r) は周期条件を満足する 2 次元の Green 関数で 次式で表される。 (10) さて，それぞれの境界に境界条件を適用するとき，(8) 式の両式において，格子表面の 2 次波源の位置ベクトル r r が左辺は fi1di1における境界表面上のベクトルであ り，右辺は fidiにおけるベクトルであることに注意し， G jk P j k x x k z z i i m im xm izm ( , ) exp[ { ( ) | |}] rr rr ¢ ¢ ¢ ^
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1 2 1 b d G H H G z f x H z f x I I I t I y P I y I t I x x f d z I y I I ¢ ¢ ◊ ¢— ¢ ¢ ◊ ¢— ¢ Ï Ì Ô Ó ÔÚ
¢ ¢ s [ ( , ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( , )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) 1 1 1 1 1 0 rr rr rr rr rr rr rr rr n n d G E E G z f x E z f x I I I t I y P I y I t I x x f d z I y I I ¢ ¢ ◊ ¢— ¢ ¢ ◊ ¢— ¢ Ï Ì Ô Ó ÔÚ
¢ ¢ s [ ( , ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( , )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) 1 1 1 1 1 0 rr rr rr rr rr rr rr rr n n d G n H H G d G H H i P i i t iy iy i t i x x f d z i i i t iy P iy i i i ¢ ¢ ◊ ¢— ¢ ¢ ◊ ¢— ¢ ¢ ¢ ◊ ¢— ¢ ¢ ◊Ú
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¢ ¢ s s 1 1 1 1 1 [ ( , ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( , )] [ ( , ) ˆ ( ) ( ) ˆ ˆ ( ) ˆ rr rr rr rr rr rr rr rr rr rr rr n n n —t¢¢Gi( ,rr rr¢)]rr¢ x x¢ˆ (fi d zi) ˆ d G n E E G d G n E E i P i i t iy iy i t i x x f d z i i i t iy P iy i i i ¢ ¢ ◊ ¢— ¢ ¢ ◊ ¢— ¢ ¢ ¢ ◊ ¢— ¢ ¢ ◊Ú
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¢ ¢ s s 1 1 1 1 1 [ ( , ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( , )] [ ( , ) ˆ ( ) ( ) ˆ ˆ ( ) ˆ rr rr rr rr rr rr rr rr rr rr rr n n —t¢¢Gi( ,rr rr¢)]rr¢ x x¢ˆ (fi d zi) ˆ H d G n H H G H z f x z f x y i t y P y t x x f d z y ( ) [ ( , ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( , )] ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ rr rr rr rr rr rr rr rr rr ¢ ¢ ◊ ¢— ¢ ¢ ◊ ¢— ¢ Ï Ì Ô Ó ÔÚ
¢ ¢ s0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n E d G n E E G E z f x z f x y i t y P y t x x f d z y ( ) [ ( , ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( , )] ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ rr rr rr rr rr rr rr rr rr ¢ ¢ ◊ ¢— ¢ ¢ ◊ ¢— ¢ Ï Ì Ô Ó ÔÚ
¢ ¢ s0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n hi m ei/ i h0y 0 1h (cos sint f cosq sin cos )t f j b i m xm izm im j k x k z , exp{ ( )} Hy h i y ( )rr0j0 0, Ey e i y ( )rr0j0 0,
y方向の電磁界が境界 Si1で連続であること，そして x
および z 成分について次の境界条件を与える。
nˆi1Eitnˆi1E(i1)t|zfi1di1 (11a)
nˆi1Hitnˆi1H(i1)t|zfi1di1 (11b) ここで(11)式は y 成分を用いて表すことができ， (12a) (12b) (12c) (12d) となる。但し， (13a) (13b) (13c) (13d) である。 また，格子表面上の界を次のように表現し，この展開 係数が電流分布を意味する。 (14a) (14b) (14c) (14d) 2.3 多層膜領域での界展開 (8)式の両式においてを Green 関数の絶対値に注意して 境界条件を適用し，また，(14)式によって表面界の展開 を行って行列形式で表現すると次式のようになる。 (15) 但し，aai, bbiは(4N2)1 のサイズをもつ列ベクトルであ り，Qa11や Qb11などは(4N2)(4N2)のサイズをもつ正 方行列で，それぞれ次のような要素を持っている。 (16a) (16b) (16c) (16d) (16e) (16f) (16g) (16h) (16i) Qb V V 22 0 0 i D i i i D i i Q k f Q k f ( , ) ( , ) È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ Qb 21 1 1 1 1 0 0 ¢ ¢ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ v Q k f v Q k f b i e D i i b i h D i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) Qb V V 12 0 0 i D i i i D i i Q k f Q k f ( , ) ( , ) È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ Qb11 1 1 1 1 0 0 ¢ ¢ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ v Q k f v Q k f b i e D i i b i h D i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) Qa V V 22 0 0 i N i i i N i i Q k f Q k f ( , ) ( , ) È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ Qa 21 1 1 1 1 1 1 Q k f v Q k f v Q k f Q k f N i i a i e h i i a i h h i i N i i ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ Qa V V 12 0 0 i N i i i N i i Q k f Q k f ( , ) ( , ) È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ Qa11 1 1 1 1 1 1 Q k f v Q k f v Q k f Q k f N i i a i e h i i a i h h i i N i i ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ a ai in bb e in h i in e in h a a b b ( ) ( ) ( ) ( ) , È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ Q Q Q Q Q Q Q Q a a a a b b b b 11 12 21 22 1 11 12 21 22 1 È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ aa a a bb bb i i i i d i i tHiy jk dxi jk x n xn in h ¢ ◊ ¢— ¢ ^ ¢
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¢ snˆ ( ) exp( )b( ) rr 2 Hiy jk x n xn in h ( ) exp( ) ( ) ¢Â
¢ rr 2 a d i i tEiy jk dxi jk x n xn in e ¢ ◊ ¢— ¢ ^ ¢Â
¢ snˆ ( ) exp( )b( ) rr 2 Eiy jk x n xn in e ( ) exp( ) ( ) ¢Â
¢ rr 2 a n m m n n b i h i i i i b i h b i h i i k k k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 1 2 1 2 1 1 1 ^ ^ ^ ^ ¢ n w a i h i i y i k k k ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 1 ^ ^ Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ m n e e n n b i e i i i i b i e b i e i i k k k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 1 2 1 2 1 1 1 ^ ^ ^ ^ ¢ n we a i e i i y i k k k ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 1 ^ ^ Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ nb i h i t i y y H ( ) ( ) ( ) ˆ( ˆ ) 1 n 1◊ ¢— 1 ˆ( ˆ ) ( )( )ˆ ( ) y i tHiy a i E h i t i y n1◊ ¢— n 1n1—¢ 1 nb i e i t i y y E ( ) ( ) ( ) ˆ( ˆ ) 1 n 1◊ ¢— 1 ˆ( ˆ ) ( )( )ˆ ( ) y i tEiy a i H e i t i y n1◊ ¢— n 1n1—¢ 1但し，zi は厚さによる要素で，次式のように与えられ る。 (17) ここで(15)式を次のように変形する。 (18) ここに， (19) である。多層膜領域の展開には，それぞれの層において 厚さ eiによる要素を考慮しなければならない。しかし， この要素が数値計算を行う際に発散の原因となる。本論 文ではこの問題を解決するために，有限領域の層領域に ついては R-matrix 伝搬則を適用し，T-matrix 法において 数値計算するうえで発散しない形の解を導出した。(19) 式は境界 Si1と Siの格子表面の界のフーリエ級数の展開 係数を層 i について導いたもので，それぞれの要素を，
r11(i), r(i)12, r(i)21, r(i)22とする。次に，境界 S0と Siの関係を R(i)11,
R(i) 12, R (i) 21, R (i) 22の要素をもった行列 R (i) で次のように定義す る。 (20) これは R(1)r(1) からはじめ，次の漸化式を繰り返し用い て，R(I)を求めることができる。ここで， (21) 但し， (22) である。(21)式の漸化式を用いて多層膜領域での全領域 を表した行列方程式は次式のようになる。 (23) 2.4 入射領域の界展開 入射領域は(7)式の両式を用いて，次のように電磁界成 分のそれぞれについて平面波モード展開を行うことにす る。こうして bm (e) は反射波の電界成分，bm (h) は反射波の磁界 成分，am (e)は入射波の電界成分，a m (h)は入射波の磁界成分の ように未定係数の意味を明確にすることができる。 z f(x) (24a) zf(x) (24b) ここで，入射波は(5)式で与えられているので， (25) と決定できる。ここで，bm (e), b m (h), a m (e), a m (h) のそれぞれには， 格子形状の情報が入っているが，それには SIから S0ま での距離 etotalも含まれている。この厚さによる要素は指 数関数であるので，コーティングの厚さが大きくなって いった場合にその要素の値が極端に大きな値を取ること になり，数値計算には不適切である。そこで，入射領域 における界の未定係数 bm (e), b m (h), a m (e), a m (h) を x 軸まで，つまり z の負方向に etotalだけ投影させた a (e) mztotalam (e), a(h) mztotalam (h), b(e) mztotalbm (e), b(h) mztotalbm (h) を用いることにする。但し，etotal の要素 ztotalは，
ztotalexp(j k0zmetotal) (26)
で与えられる。よって入射領域におけるそれぞれの未定 係数は次のような行列方程式で表すことができる。 (27) 但し，それぞれの行列の要素は，次のようになる。 (28a) am b m e m h m m e m h a a b b ¢ ¢ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ ¢ ¢ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ ( ) ( ) ( ) ( ) , b a m m X X X X È Î Í ˘ ˚ ˙ È Î Í ˘ ˚ ˙È Î Í ˘ ˚ ˙ 11 12 21 22 0 0 aa bb a e m m a h m m m e y m h y ( ) 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 π Ï Ì Ó π Ï Ì Ó Ey b H b r m e m m y r m h m m ( ) ( ) , ( ) , ( ) , rr
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j 0 0 Ey a H a i m e m m y i m h m m ( ) ( ) , ( ) , ( ) , rrÂ
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j0 aa aa bb bb 0 11 12 21 22 0 I I I I I I R R R R È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ ( )( ) ( )( ) Z( )ir( )iR(i) 11 22 1 1[
]
R R R R R R Z R R Z r r Z R r r Z r i i i i i i i i i i i i i i i i i i 11 12 21 22 11 1 12 1 12 1 12 1 12 21 21 1 22 12 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ aa aa bb bb 0 11 12 21 22 0 i i i i i i R R R R È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ ( )( ) ( )( ) r r r r i i i i 11 12 21 22 11 12 21 22 1 11 12 21 22 ( ) ( ) ( ) ( ) È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ Q Q Q Q Q Q Q Q a a a a b b b b aa aa bb bb i i i i i i i i r r r r 1 11 12 21 22 1 È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ ( ) ( ) ( ) ( ) Viexp{jkizm(di1di)}(28b) (28c) (28d) (28e) 2.5 基板領域における界展開 (9)式の両式を用いて，入射領域と同様に基板層につい て展開を行う。このようにすることで，Bm (e) は基板層から の入射波の電界成分，Bm (h) は基板層からの入射波の磁界 成分，A(e) mは透過波の電界成分，Am (h) は透過波の磁界成分 のように未定係数の意味を明白にできる。 zf(x) (29a) z f(x) (29b) ここで，基板の下からの入射はないので，Bm (e)B m (h)0 と いうことが分かる。また，基板領域におけるそれぞれの 未定係数は，次のような行列方程式で表せる。 (30) 但し，それぞれの行列の要素は，次のようになる。 (31a) (31b) (31c) (31d) (31e) 2.6 行列要素の解析的表現と T-matrix Dirichlet型マトリクス QD, Neumann 型マトリクス QN， およびハイブリッドマトリクス Qhの要素は li,i1 とし て次のように表される。 (32) (33) (34) ここで， すべての格子形状が振幅 h の基本波と振幅 hg，位相 d をもつ第 2 調波の和で表せるとき，フーリ エ格子の形状を表す関数は (35) で与えられ，(32)式のマトリクスの要素は Bessel 関数を 用いて解析的に表現することができる。 (36) 但し，QN, Qhyの要素は，(33), (34) 式のように QDで表さ れている。このとき，入射領域，多層膜領域，基板領域 それぞれの行列方程式，(27), (23), (30)式を結びつけると， 次の連立方程式を導くことができる。 (37) b A a B m m mn m m T È Î Í ˘ ˚ ˙ È Î Í ˘ ˚ ˙ [ ] Q k f js j J k h J k h D i l im s n m s n m s izm s izm ( , ) exp ( )| | ( ) ( ) | | 1 2 2 2 b d p g
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ÊËÁ ˆ ¯ ˜ Ï Ì Ô Ó Ô ¸ ˝ Ô ˛ Ô m m f x h P x P x l( ) cos cos 2p 4 g p d Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ Ï Ì Ô Ó Ô ¸ ˝ Ô ˛ Ô Qhy( , )ki flainQ kD( , )i fl QN k fi l Q k f im in im D i l ( , ) 1 a a ( , ) b È Î Í ˘ ˚ ˙ Q k f P dx jk f x jx k k D i l im P izm l xn xm ( , ) 1 exp ( ) ( ) bÚ
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¢ ¢]
Y v Q k f v Q k f bI e D I I bI h D I I 22 1 1 0 0 ¢ ¢ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ ( ) ( ) ( , ) ( , ) Y Q k f v Q k f v Q k f Q k f N I I aI e h I I aI h h I I N I I 21 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ Y v Q k f v Q k f bI e D I I bI h D I I 12 1 1 0 0 ¢ ¢ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ ( ) ( ) ( , ) ( , ) Y Q k f Q k f Q k f Q k f N I I aI e h I I aI h h I I N I I 11 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) n n È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ Am B m e m h m m e m h A A B B ( )( ) ( ) ( ) , È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ B A m m I I Y Y Y Y È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ 11 12 21 22 aa bb Ey A H A t m e m I m y t m h m I m ( ) ( ) , ( ) , ( ) , rrÂ
j1 rrÂ
j1 0 Bm 1 0 B 1 e m I m m h m I m ( ) , ( ) , ,Â
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j X Q k f Q k f D D 22 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ X Q k f Q k f N N 21 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ X Q k f Q k f D D 12 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ X Q k f Q k f N N 11 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙(38) ここで，(37)式の amや bmは(26)式によって z の負方向に etotalだけ移動させたものを用いている。また，Tmnは T-matrixであり，入力の amと Bmを出力の bmと Amに変 換する遷移行列である。 2.7 回折効率の定義 TEモード（z 方向に電界の存在しないモード）と TM モード（z 方向に磁界が存在しないモード）の合成界の 反射回折効率 rr ，透過回折効率 rt は，それぞれのポイ ンティングベクトルの時間平均を入射電磁界のそれで規 格化することによって求めることができる。各回折モー ドにおける反射回折効率 rm r，透過回折効率 r m tは次式に より求められる。 (39a) (39b) また，伝搬可能なモードを足しあわせることにより，総 合の回折効率 rr total, r t totalも次式により得ることができる。 (40a) (40b) 3．数値計算例 図 2 に，アルミニウム(nsub0.997j6.94, l590 nm) の フーリエ格子基板上に同形状の低屈折率 (nL1.39, MgF2) と高屈折率 (nH=2.45, TiO2) の誘電体膜の対を 4 回積層し た（8 層）多層膜フーリエ格子，但し，形状パラメータが P333.3 nm, h60 nm, g0.2, dp/2 において，方位角 f をいくつか変化させ，偏波角 t90 で平面波が入射した 場 合 で あ る 。 規 格 化 膜 厚 c が ceini/l{H; iodd, L; ieven}で定義される場合，厚さに対する 1 次（リト ロー角62.26°）回折効率特性 (a)と c0.304 としたとき の入射角 q に対する1 次回折効率特性 (b)が示されてい る。これは方位角 f0° で正弦波格子の場合，Li の結 果17) と一致していることを確認している。 図 3 は，ガラスをコーティングした銀 (nsub0.07j4.2, l650 nm) の フ ー リ エ 格 子 (g0.2, dp/2, P556 nm, h25 nm, d0160 nm) に t90° の偏波角をもった平面波 （TM 波）が入射した場合の 0 次反射回折効率 rr 0を示し たものである。f0° のとき，rr 0の吸収点のピークは q25° 付近に現れているが，方位角 f の増加とともに入 射角 q の大きいところに現れるようになる。この吸収は やはり TM 波に特有な金属表面に励起する表面波の励 振，すなわち表面プラズモンによる異常共鳴吸収である と考えられる。また，方位角 f が数度から入射角 q10° 付近にはっきり現れ，f の増加とともに q の大きい方に 次第に大きな値になっていく吸収がみえる。これは f0° の完全な TM 偏波のときには現れていないことから TE 波成分による伝送波によるものであると考えられる。ま た，f と q がともに f45° 付近でこれらが交差している ことが興味深い。 rtotal r b b t m t e I m m I m m R I
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, { (1) } { (1) } 0 rtotalr rmr e bm m RÂ
, ( 0 ) 0 r e e h h m t I I me I mh y y k k A A e h 0 1 1 0 2 1 2 0 2 0 0 2 ^ ^ ( ) ( ) ( ) | | | | | | | | r h h m r m e m h y y b b e b | | | | | | | | ( ) 2 ( ) 0 2 0 2 0 0 2 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T X R X X R Y R Y Y R X R X X R Y R Y Y R mn I I I I I I I I 11 11 12 11 12 21 21 22 21 22 21 11 22 21 12 11 21 12 11 22 È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ È Î Í Í ˘ ˚ ˙ ˙ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Normalized layer thickness, χ
Diffr action efficiency , r –1 Al Substrate, (HL)4 φ =0˚ 5˚ 10˚ 53˚ 57˚ 61˚ 65˚ 69˚ 73˚ 0.92 0.94 0.96 0.98 1 Littrow Incident angle, θ Diffr action efficiency , r –1 Al Substrate (HL)4 10˚ φ =0˚ 5˚ ρ ρ 図 2 多層膜フーリエ格子の回折効率
4．むすび 多層膜フーリエ格子に斜め入射した平面電磁波回折特 性をコーティング層内で R-matirx 伝搬則を用いて T-matirx法によって厳密に解析した。その結果，エバネッ セントモードによる行列計算の発散が抑えられており， 行列要素は Bessel 関数を用いて解析的に求められてい る。本手法のこの様な特徴は，格子の溝の深さに対して は従来の T-matrix 法の制約を受けるが，コーティング層 の層数や層の厚さにはほとんど関係なく適用できて，計 算の精度と効率において従来の計算法に比べて優れてい ると考えられる。数値計算例として，8 層の誘電体をア ルミニウム基板に積層したフーリエ格子の回折効率の厚 さおよび入射角度特性を示した。また，銀の基板に単層 の誘電体をコーティングしたフーリエ格子の 0 次回折効 率の入射角−方位角特性は f と q がともに f45° 付近 で吸収点が交差するという興味ある結果を示した。しか し，数値計算結果の詳細な検討は今のところ不十分であ り，偏波変換の議論と併せてさらに検討を進める余地が ある。 また，将来的にはグレーティングが 2 方向に周期構造 を持ついわゆるバイグレーティング，あるいはそれらを 層状にした回折格子における斜め入射，任意偏波での解 析に本手法を適用する予定である。 謝 辞 本研究の一部は筆者が群馬大学工学部に在職中，当時 の大学院生であった対馬正宏氏，指導教授であった上崎 省吾先生との共同研究によるものである。また，執筆の 機会を与えていただきました本学電気電子メディア工学 科教授，河野汀先生，日頃ご指導いただく電気電子メ ディア工学科長，佐藤甲癸先生に感謝します。 参 考 文 献
1) D. Maystre, M. Neviere, and R. Petit, “Experimental Veri-fication and Applications of the Theory,”
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2) D. Maystre, M. Neviere, and R. Petit, “The Homogeneous Problem,” Electromagnetic Theory of Gratings, ed. R. Petit, pp. 123–157, Springer-Verlag, Berlin, 1980. 3) D. Maystre, “A new general integral theory for dielectric
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15) 舘野浩彰，大木眞琴，上崎省吾，“フーリエ格子に 斜め入射した平面電磁波回折特性の T-matrix 法解 析 ，” 信 学 論 (C-I), vol. J81-C-I, no. 1, pp. 36–37, Jan.
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