行列変数の解析関数について

(1)

椙山女学園大学

行列変数の解析関数について

著者

吉本明宣

雑誌名

椙山女学園大学現代マネジメント学部紀要「社

会とマネジメント」

巻

9 号

1 ページ

57-70

発行年

2011

URL

http://id.nii.ac.jp/1454/00002122/

(2)

「社会とマネジメントJ9(1) [2011-11J : 57ー70

行列変数の解析関数について

吉本明宣

AkinoriYoshimoto

Abstract

The purpos巴ofthis paper is to state about the analytic functions of a matrix

variable which has not been studied enough， and仕Yto apply that to mathematical

fields exc巴:ptlinear algebra that has b巴enstill applied much. To realize them， we

extended some facts which were well known in complex良mctiontheory of a complex variabl巴tothe case of analytic functions of a matrix variable. Unfortunately we couldn't describe社leirapplications， but仕leimportance is the fact白紙nonabelian extensions of the basic field are obtained by division points of the algebraic variety d巴fiedby algebraic equations of a matrix variable. キーワード:口行列変数の解析関数口擬正則関数

はじめに

口右解析的口一致の定理口右テーラー展開口断面口リゾルベントロエアロ関数口スペクトラム行列値関数の歴史は比較的古く， [1]においてすでに現在知られている多くのことがまとめられている。また， [2，][3]において，行列値関数の基礎的な事や応用がまとめられている。しかしながら，この方面での基本的な教科書はなく，専門的な研究も必ずしも十分進んでいるとは言えない状況である。また，従来の研究では，行列値関数は線形代数の側からのアプローチにより研究がなされており，応用も線型方程式の解法などに使われている。そうした状況を踏まえ，この論文においては，行列値関数を純粋に複素関数論的な立場から捉え，行列値関数を複素解析的な関数の拡張として考察する。ただし，ここでは議論を易しくするため2X2行列のみを対象とする。通常の複素関数論では，微分可能という概念と解析的という概念が同値になるが，行列変数 (2x 2行列以上)の関数では，解析的(厳密には，右解析的)と言う概念が，微分可能という概念より狭く，より重要になる。具体的には，複素関数論で成り立つ美しい定理の類似を考え，できるだけ制限を付けないで成り立つ事実を考察する。第 1節では現在知られている2X2行列に関す

(3)

.吉本明宣行列変数の解析関数について 58 る基本的な事実をまとめる。第 2節では，微分可能という概念が，複素関数から行列変数の関数へとどのように拡張されるのかを考察する。第 3節では，解析的という概念が，複素関数からエアロ関数(行列変数の解析関数)へと拡張される事を考察していく。

1

2 x

2 行列に関する基本的な事実

ベ

2 M

(

C

)

に対しそのノルムを

￨

同

¥

=

恥

2 ¥

J

によって定義する。このノルムはベクトル空間

M

2(([:)のノルムになっている事がわかる。すなわち，

￨

凶

1 ¥

=

¥

α

1

1 ，

¥

同

(aE

，

)

C

￨

同

+

E

1 ¥

:

;

¥I

A

¥I

+

¥I

B

，¥I

|同

\~O，(I\

A

_卜

O<=>

A=

0)

が成り立っている。このことから， 2点

A

，

B (

εM

2(C))の距離

d(A

，

B)

を

d(A

，

B)

= _¥_I

A-B

_¥_I で定義すれば，

M

2(C)は距離空間となる。また， ([:2の元

x=

t(X1

，

X2)に対して，

¥

f

l

¥

=

(

¥

イ

+

¥X2¥2)2 によって定義するとき，次の補題が成り立つ。補題1.

1

任意の

A，

BE

M

2(([:)

，

XE ([:2に対し，次の不等式が成り立つ。 (1) I¥AxI¥::; I¥

A

I¥I¥

x

¥l (2)

₁

_¥

_A

_E

₁

_¥

_:

:

;

_¥_I

A

_¥_I

例

I

a

ll角2₁_"_"

I

x

1 1

‘

I~Xl +α:2X2 1 証明 (1)

A

=

1

-11 - U

I

_，

x

=

1 "

"

'

1

_{とすれは，Ax}

=

I

-

'

"

'

" - Z " Z

1

_{となる。シュワルツ} の不等式を用いながら，

(4)

「社会とマネジメントJ9 (1)畿

￨

凶

1=

1 (

1

角的

α

+

2X212

+

1

叩 l叩

2 n

2

話

1 (

_向

1

2 +州市

1 +

(

1 α

2

12 +

1 川

I

x

2

1 ~(I向1

2 ₊

_l

_a

₂

₁

2 ₊

₁

_α

_l

₊

₁

川

_I

₍

_X

l

I

2 +

I

x

2

1

2 )

2 =

I

A

I

X

I

したがって， (1)を証明できた。 (2)

B

の列ベクトlレを

b

₁

，

b

₂とすれば

，

A

B

=

(Ab

₁

，

Ab

₂₎となる。(1)を用いると，

I

A

B

W

=

t

I

A

;

b

11

壬玄|同121~112

=

1 同

1

2

1 同

1

2

したがって，(2)を証明できた。補題1.1の系

A

のスペクトラムσ(A)に対して，

s

u

p

r

(

A

)

1 ~

I

A

I

(q.e.d) 証明補題1.1の (1)とスペクトラムの定義より，

SUplσ(A~~IIAII が成り立つ。

(q.e.d) 点、列(An)促 Nが

A

。に収束するとは， l

民

I

A

"

-

.

4

0 ト

o

となることとする。このことを

l

i

m

A

"

=

.

4

0

で表す。また，

M

2(C)の元を項とする級数

L

;

A

"

に対し，その部分和 nニ1

品

=

L

;

A

"

匁二1 の作る点列

(

S

k

h

E

N

がSに収束するとき，

L

;

A

"

はSに収束するといい，

S

=

l

i

m

S

.

k→∞“ で表す。

(5)

-吉本明宣行列変数の解析関数について 60

2 I

擬正則関数

ここからは，後の議論のために，値として

M

2(lC)の元を取る関数を考察する。メ入_T_， Z f-7A(z) を複素数体

C

から

M

2(lC)への関数とする。 A(z)が z=zoで連続であるとは，Zoに収束する任意の点列 {zn}促 Nに対して，ある M2(lC)の点 A(zo)が存在して，

l

i

m

A(zn) = A(zo) Zn→z。となることをいう。また，A令)が z=zoで正則であるとは，z勾0に収束する任意の点列{ヤ

z

ゐzn}n て (2.1)

l

i

m

A(ろ)-A(zo) Zn→Zo Zn-ZO が存在することをいう。極限値(2.1)を

A

'

(zo)と表すことにする。行列値関数 A(z)は複素数値関数と同様な性質を持つことは容易に想像でき，よく知られてもいるので，証明なしで以下の定理を引用する。また定理

2 .

1

(Cauchyの積分定理) 正則関数 A(z)の定義領域 D 内のジヨルダン閉曲線。の内部がすべて

D

の点からなるならば， fA(z)

ゐ

=0，(0は2次の零行列) Q

また，A(O)(z) =A(z)， 1以上の整数に対して，z=zoにおける

h

回微分を

A

φ

¥zo) とすると，次の定理が成り立つ。定理

2 .

2

定理2.1と同様の仮定の下でに (2.2)

A

ゆ)(zo)

=

土

[-A

位

τ

dz，

(

k

=

0

，

1

，

2

，...)

2 π

i;(z-zo) 領域

D

内において，高々極を例外とすれば

D

内で正則な関数 A(z)を有理型関数であるという。複素数値関数と同様に，有理型関数 A(z)は次のようなローラン展開をもっ事が証明できる。定理

2 .

3

領域 D:

0

云高<ド

-

z

o

l

く

R

2-::;，∞で A(z)は正則であるとすれば，Dにおいて，

(6)

「社会とマネジメントJ9(1)命 (2.3) A(z)

=

L

Ak(z-ZO)k と一意的に展開できる。また，Akは次のように表示できる。 i A(z) 先 = 一一￨一一ーで-:-;-dz， (kは整数) 2πi ド-;ol~r (Z -Zo)k+l ただし，rはRlくr<R2なる任意の正数である。 A(z)のローラン展開 (2劫において，適当な整数nが存在して，

r

，

A

"

*

0

lAk

=

O，

(

k

< n) となるが nが負の整数であるとき，

A

(z)はn位の極をもっという。また，

A

_

l

を z=z。における留数とよぶ。後に使用するために，次の補題を考える。補題

2 .

1 l

I

Z

Z2 をM2(C)の任意の元とし，任意の正の整数

h

に対して，

¥

Z

3 Z4) 行列値関数

A

(z)を

Z

H

4 (

Z

)

=

(

1

1 )

とする。そのとき， A; (Z)

=

kAk_1 (Z) (h

0 i

証明 Ak(z)と

l

Oh

Jは可換であるので，

州山刷…

βかz山山)ド日円

i

=

J i

1 臨

斗

均

虫

斗唱 =斗

J

(

白

(

C

川

;

U

b

川

;

}

(

イ

わ

(

z

;z1

)

l

イ

一

(

Z

乙

ご

z

J

ム

了

乙

二

z

J

ん

j

4 )

=kAk

も

k-l(Z) 補題2.2

l

r

Z

Z2

I

をM2(C)の任意の元とし，任意の正の整数hに対して，

¥

，

z

3 Z4) 行列値関数 kA(z)を

(7)

-吉本明宣行列変数の解析関数について

Z

H

ル

(

ムγ)

とする。そのとき，

出

)

=

1

7

5

4

1 A

(

Z

)

(

:

;

)

J

(

Z

)

証明

，可'(Z)ト(収

ω侍Z)か)ド~Jム(Z3ゐJ+Jふ?

加(((よムzτγz叩~)J仏zろゴ

=lえIA(Z{~ ~

J

m

A

(

Z

)

となる。

D

をM2(C)内のある領域とし，X。を

D

の内部のある点として， (q. e. d) 九川 l_ト llJ U R -J

c

r E Z

、、

I l l 1 ノ

oz

ん円い

W

+

九

一一X

汁川町

e

x

r I l H J 、 H H H_、

一一

為

D

と定義する。

D

内の点の集合Dx。をXOに付随した

D

の断面とよぶ。そこで，Dから

M

2

(

C

)

への関数f(X)が

D

で擬正則であるとは，各

X

oに対して，Dx。上の

z

の複素

関数い(~引が正別であることをいいそのような D 上の連続関~f(X) ~iD

の擬正則関数であるいうことにする。また，各Dx。上のXOにおけるf(Xo+

z

I

)

の微分係数f'(X

_o

)

を(d

f)

(X

_o

)

でも表すことにする。そのとき，直ちに次の命題が成り立つ。命題2.1 f(X)， g(X)をM2(C)のある領域

D

で定義された擬正則関数とするとき，次の性質が成り立つ。 (1)

d

(

f

+

g)(){)

=

(

d

f

)

(

)

(

)

+

(

，

必

)

(

)

(

)

(

2 )

α

を

M

2

(

C

)

の元とすると， d(a

f

)

(

)

(

)

=

α

(d

f)

(X) (3) d(

危

)

(

)

(

)

=

(d

f)

()()g()()

+

f(X)(

命

，

)

(

)

(

)

A

を

M

2

(

C

)

の元として，

C

から

M

2

(

C

)

への関数 62

(8)

「社会とマネジメントJ9(1)・ (2.4)

z~ ~(~J

を考える。この級数は，

I~>"A" であるとき絶対収束し，

(2.5)

前

J

=

(

1 _-z-lAf

が成り立つ。したがって， (2.6)

R

(

z

，

A

)

=

Z-l (1-Z-l

At

1

=

(

z

I

-

At

1 と定義すると，(2.6)より，

1 A

A

m (2.7)

R

(

z

，

A

)

=

ー+-;;-+…+で:-:;-+…

z z

-

z

山，~

が I~>I同|において成り立つ。ゆえに，

R(z

，

A)

は

z=

∞で正則で，位 7)は

z=

∞におけるテーラー展開となる。

R

(

z

，

A)

を

A

のリゾルベントという。今，関数 X~f(X) は M2(C) 内のある領域 D で定義された擬正則関数であるとてし対ザ﹂ ¥ ・ I l l 1 ， j

h

ゐ夕刊勾 f i l l -¥

一一

五

点るあ。のる内す

D

九十ル(~~}

}

i

I

とおくと，上の関数を使って

U

ろからM2(C)への関数

。

.8)

z~

_X_o

+(J同 f(五 +(JJ

を構成できる。この関数を (2.9) と定義する。擬正則関数の定義より，

fx

。

(

z

)

はz=oで正則な

C

から

M

2(C)への関数である。従って，定理2.3より，適当な正の整数

R

に対して，

fx

タ)は

I

z

l

く

R

で次のテーラー展開をもっ。 z~

f

x

o

(

z

)

位.10)

。

ゐ

(z)=L~Zk このように，

MiC)

内のある領域

D

で定義された擬正則関数f(X)から

D

の断面

(9)

.吉本明宣行列変数の解析関数について 64

Dx

。に対応する

Ux

。上の正則関数

f

x

/

s

)

を構成できる。逆に，

D

内の l点

Xo

に付随した断面

Dx

。に対応する

U

x

。で (2.10)のようなテイラー展開をもっ正則関数

f

x

o(

z

)

が存在したとする。

叫ん

r

)

=

{

X

E

D

I

X

-

X

o

l

<

r

}

とおくとき，次の定理が成り立つ。定理

2 .

4 f

x

o

(z)を

M

2(

1 C

)

内のある領域ある領域

D

内の l点

Xo

Dx

。に対応する

Ux

。上の正則関数とし，(2.10)のテーラー展開ん。

(

z

)

ニ

エ

A

kZ

k

をもっ

R

に対して

，

u<r<R

なるfをとる。

XED

は

D(Xo

，

r

)

内にあるとし，

C

o

=

{

Z

E

I

C

l

z

l

=

r

}

とおく。そのとき， (2.11)

f

(

X

)

=

去

j

ん。

(

z

)

R

(

z

，

X-X

o

)

ゐ

“

，

.

Co は

D(Xo，

r

)

内の

X

において絶対収束し， (2凶

f

(

X

)

=

IAk(X

-XS

となる。つまり，

f(X)

は

f

x

。

(

z

)

=

f

(

X

o

+

z

)

の

z

に

X-Xo

を代入したものになっている。さらに，この関数は

D(Xo

，

r

)

内の

X

Dx

対応する叫上で微分可能な擬正則関数となり，

(

d

f

)

(

X

)

=

fkAk(X

-x

o

t

1 証明仮定より，

I

X

-

X

o

l

<

r

であり，

C

o

上で、は，

I

z

l

バ

I

X

-

X

o

l

で、あるので， (2.7) の下で述べたことから

，R(z，

X

-Xo

)

は

C

o上で絶対収束する。また，補題 1.1の系より，

s

U

P

I

σ

(X -

X

o

)

l

:

;

I

医

-

X

o

l

であるから，積分 (2.11)は定理の仮定を満たす

r

の取り方に寄らず一定の値をとることがわかる。さらに，

C

o上で、は

f

x

o

(z)も絶対収束するので， (2.11)は項別積分可能となり， (2川

(

x

-

L

)2

7

7 L

z

k

R

(

z

，

XL)

ゐ

であることに注意すれば，

f

(

X

)

=

Z

4 (

X

-

X

o

)

h

であることがわかる。また，補題2.1と

fkAk(X

-x

o

t

1_が

_D(Xo

_，

_r

₎

_内の

_X

_において絶対収束することから k~l

(

d

f

)

(

X

)

=

む

>

A

k

(

X

-x

o

t

1 となる。 (q.e.d)

(10)

「社会とマネジメントJ9(1)綴注意定理2.4から， (2.11)で定義される

D(X

μ)

上の関数は擬正則関数となるが，逆は必ずしも正しくない。たとえば， Ax。(z)を

Dx

。上の定数でない正則関数とする。

D

仏い酌点

L

中山

}

Z

f

，

W

，

W

f

E

。に付随した叫いによって

D(X

μ)

は埋め尽くされるので，それらの点の

D(Xo

，

r

)

内の断面上の正則関数を

AX

，.，W，uf

(

Z

)

=

A

x

o

(

Z

)

と定義すると，

f(X) =

{

A

x

(

Z

)

I

X

=

X

Z

'

，w，w' E

D(Xo

，

r

)

}

は

D(X

μ)

上の擬正則関数であるが，積分 (2.11)のように表すことができない。そのことを簡単に述べると次のようになる。 (2.11)で表される関数は， (2.12)のように右テーラー展開され，

D(X

μ)

内の各点

X

Dx

で微分可能となる。後の定理3.5で示されるように， (__ (0ωi) ( _ __ (0W i _ / __ ，)

fIXo+I~， :II， 1ωε <c， X

_l

o

+[ ~

ε

I

D(Xo

，

r

)

I

は

ω

の正則関数であり，定義から

V

lwOJJl

V

lwOJ

¥V / }

い(~ ~)Jィ(五)となる後の間 5 より f(X) ~iD川吋数と

なるが，これは仮定に反する。定理2.4の(2.12)のような展開を持つ関数を右解析的であるといい，そのような展開を右テーラー展開ということにする。定理

2 .

5 f(X)

を(2.11)によって定義された

D(Xo

，

r

)

上の関数とする。断面

Dx

。上の

D(Xo

，

r

)

内の無限個の点

{X

n}

叫に対して，

f(Xn)=O

であるならば，

f(X)

は

D(X

μ)

上で恒等的に

O

である。証明断面

Dxo

上の無限個の点

{Xn}

院 Nに対して，

f(Xn)=O

であるので，複素正則関数の一致の定理より，

f(X)

は断面

Dx

。上で恒等的に

O

である。また，定理2.4 より，

f(X)

は(2.12)のような右テーラー展開を持つので，

f(X)

は

D(Xo

，

r

)

上で恒等的にOである。 (q.e. d)

3 I

エアロ関数

この節において，擬正則関数よりも少し強い概念を導入する。

M

2(

<

C

)

内のある l 点

Xo

に対して， fx。(z)は複素平面

C

内の有界領域

Do

上の正則関数であるとする。さらに，

M

2(

<

C

)

内の領域Dを次のように定義する。

D={X

ε

M

2(

<

C

)

ド

(X-X

o

)

ε

D

o

}

，

(11)

-吉本明宣行列変数の解析関数について 66 ここで，

σ

(

X

)

は

X

の固有値である。

C

。を領域

D

。内または

D

。の境界上のジヨルダン閉曲線で領域

D

内の元

X

に対して，固有値

σ

(

X-X

o)を全て含むものとする。そのとき，領域

D

上の関数

f(X)

を次のように定義する。

1

r

(

3 .

1 )

f

(

X

)

=

読ん。(川

(

z

，

X-Xo)dz

Co このように定義された関数

f(X)

を領域

D

上のエアロ関数と呼ぶことにする。注意 (3.1)のエアロ関数

f(X)

の定義は

f

x

o

(z)の正則性に依存しており，

f

(

X

)

の定義領域

D

もん。(z)の定義領域から決まる。命題

3 .

1 (

3 .

1 )

で定義された領域

D

上のエアロ関数

f(X)

は

D

上の擬正則関数である。証明 (2.7)およびその下の注意により

，

R(z

，

X-X

_o

)

は曲線

C

o上で絶対収束する。したがって，

(

3 .

1 )

で定義された関数

f(X)

は，正則関数

f

x

o

(z)の最大絶対値の原理から，領域

D

上で定義された関数となる。また，補題2.1より

，

R(z

，

X-X

o

)

は

X

の擬正則関数であることがわかるから，

D

内の各点

X1

に対する断面

DX

，

上で

f(X)

は正則である。 (q.e.d) さて，今度は別の方法で、エアロ関数

f(X)

の定義領域

D

上の関数を定義しよう。

D

内の各点

X

1に対して，(2.8)の上で定義された

U

x上の関数丘(z)

=

r

f

X

1

+

r

~

0

1

ム ¥¥UZ 11

(

z

ε

Ux

，

)

を考える。

fx

_，

(

z

)

は，命題

3 .

1

より

UX

，

上の正則関数だから，そのテーラー展開を用いて積分 (2.11)によって定義される関数を

gx

_，

(X)とする。ただし，その定義領域は領域

D

に含まれるようにとるものとする。定理2.4によれば， (2.10)なる f(z)のフーリエ展開に対して，

gx

_，

(X)

は (2.12)のような右解析的な関数として表わされる。仮に

D

内の異なる 2点

X1

，

X

Zに対して

gX

，

(X)

，

g

x

2

(X)

の定義領域

Dl

，

Dz

が共通部分を持つならば，定理2.5によって，それらは等しい関数となる。同様にして，

D1uDz

の外にある領域

D

内の点

X

3に対して，

gx

可

(X)

を考えることによって関数を延長することができる。領域

D

は有界であったので，

D

内の有限個の点

XvXz

，

…

，

X

nによる

D

上の関数

g(X)

が定義できる。ここで，

D

上の関数

g(X)

は点

X1

，

X

Z，'" ，

X

nの取り方によらず一意的に決まることに注意する。命題

3 .

2

領域

D

上の関数として

f(X)=g(X)

である。証明

g(X)

を定義する点、達

X1

，

X

Z，

…

，

X

nの中に

f(X)

を定義した

X

。が含まれているとしても一般性を失わないので，

X

oはその中に入っているものとする。

f

x

o

(z)から積分 (2.11)によって定義される関数を

gx

_o

(X)

とするとき，

g(X)

は

gx

_o

(X)

の延長になっているが，他方

f(X)

も

gx

_o

(X)

の延長になっているので，

g(X)

の一意性から，

f(X) =g(X)

である。 (q.e.d) 注意命題 3.2によれば，エアロ関数の定義 (2.14)は

X

。に依らないことがわかる。

(12)

「社会とマネジメントJ9 (1)鯵ここまでくれば複素正則関数の場合と類似の次の定理が証明できる。定理3.1 M2(

<

C

)

内の有界領域

D

上の関数f(X)に関して，次の (i)，(ii)は同値である。 ( i)f(X)はD上のエアロ関数である。 (ii)f(X)は

D

内の各点

X

。で右解析的である。証明 ( i )司(ii ) 命題 3.2より，f(X)は右解析的な関数より構成される関数g(X)に等しい。

D

内の任意の点

X

。はg(X)を定義する点達X1'X2'…

，

Xnの中に含まれていると仮定してもかまわないので，f(X)は

X

。において右解析的となる。 (ii )=*( i)f(X)に対して

，

D内の各点Xi(i

=

1，2，…

，

n)から (2.11)によって定義できる関数をfx/X)

，

(i=1

，

2

，

…

，

n

)

とするとき，それらから構成できる関数は，命題 3.2よりエアロ関数である。 (q.e.d) 定理2.5の一致の定理は次のように一般イじできる。定理

3 .

2

f(X)を領域

D

上のエアロ関数とする。

D

内のある l点

X

。に収束する det(Xn-Xo)坊を満たす無限個の点列{Xn}院Nに対して，f(Xn)ニ

o

(Xoを含む) であるならば，f(X)は

D

上で恒等的に

O

である。証明定理3.1より，f(X)は点Xoにおいて，適当な正数 rに対して，D(X

μ)

の範囲で右テーラー展開できる。このとき，Xoに収束する

d

e

t

(Xn-Xo}t

0

を満たす無限個の点列{XnteNはD(X

μ)

に含まれていると考えてよい。その右テーラー展開が以下のようであるとする。 f(X)

=

'

t

Ak(X -XS

f(Xo)

=

0

であることから，Ao=Oである。帰納法の仮定で、Ao= A1=… = An-l

=

0

として

，

X E D(Xo

，

r)

，

det(X -Xo)刊の範囲で次のような関数を考える。

五(か島(日)す

X-Xof そのとき，

Z4(X-x

。

)

h

=

f

(

X

)

であることとん(Xo)の連続性より，

~=ん(五)=!!曳五 (XK)=!!曳f(Xk)(Xk

-xot

=

0

したがって

，

XεD(Xわけにおいてf(X)=

0

となる。f(X)

，

(X E D(Xo

，

r))

，

を解析接続することによって，f(X)は

D

上で恒等的に

O

となる。 (q.e. d) 定理

3 .

3

(2.11)によってfx/z)から定義された領域 D 上のf(X)は， fx。(z)のzに X - X。を代入したものに等しい。証明定理2.4より

，

XがD(Xo

，

r)内にあるときは

，

f(X)はfxo(z)の

z

にX-Xoを

(13)

-吉本明宣行列変数の解析関数について代入したものに等しい。また

，

D上のf(X)はD(Xo

，

r)上のf(X)の延長であるので，定理3.2より，f(X)はfx/z)の

z

にX - Xoを代入したものである。 (q.e.d) 次に，f(X)の右テーラー展開における係数の大きさを評価する。定理3

.

4

M2(C)内のある領域

D

の各点で右解析的な関数f(X)が

D

内の各点

X

。で，

I

X

-

X

o

l

くTなる範囲において， f(X)

エ

=

Ak(X一xot を値大最の

X

Ij る斗 j おヂ﹂

r

ク向

の

約

一

h

m

川川

M

一 f

oz

︿一 Z A V H H J 川付 / ! イ l ¥ 4

L

/ r t i t i -t ¥ f r J 一一

z

ム寺町

、少﹂者一のとそヲ匂。れるすき、弁﹂開 ) 展けと

M

が成り立つ。証明 (3.2) タ h 巳， G 、、，，，，一 Z

一

1 /t ‘ 、一十 o v_一 ' b 品

ん一

z

ld 刈 l ' a -E ， w

ー一

制

一一 -R

A

と表示できるので，

I

A

k

l

1 士事

2 J

T

r

M(r)

r

k となる。 (q. e. d) 定理3.4の系

M

2

(

C

)

全体で定義されるエアロ関数f(X)が有界ならば，f(X)は定数である。証明定理3.4より，f(X)の右テーラー展開の係数Akは， (3.3)

₁

判

l

g

4

1

を満足する。今，仮定より，任意のrに対して，M(

け

::;Mとなる定数

M

が存在するので，すべての自然数 kに対して， (3.4)

₁

_判

_￨

_豆

_予

となる。さらに， (3.4)における

r

は

f

x

o

(z)が正則である限り大きく取れるので， r→ ∞ とすれば，Ak=Oである事がわかる。したがって，f(X)は定数である。 (q.e.d) 68

(14)

「社会とマネジメントJ9(1). 最後に，定理2.4の下の注意の中で用いたエアロ関数の重要な事実を証明する。

f(X)

を領域

D

上のエアロ関数とする。

f(X)

に対して，、 . ，，，

X

J 1 ' ¥ l i t -J ノ ¥ t i l l -ノ

ω

0

一叩 w

o ω

一 / I l i -t ¥ 一

+

一

X

一

/ I l l i -¥_一

f

一

m J

叩 r u w

一一

x

- w

と定義して，この極限値が春在するとき，

d

微分可能であるということにする。そのとき次の定理が成り立つ。定理3.5 エアロ関数

f(X)

はd微分可能である。証明定理3.1によれば，エアロ関数

f(X)

は右解析的であり，さらに補題2.2を用いれば，

f(X)

が

d

微分可能であることがわかる。

(

q

.

e.d)

おわりに

この論文で展開した理論の応用として，楕円関数の一般化やそれに対応する楕円曲線の一般化を構成することが可能である。また，一般化された関数の等分点を基礎体に添加した体を考えると，非ア」ベル拡大体が構成され，その相互法則を考察することができる。それらは，別の機会で発表する予定である。参考文献 [1]φ. P.

r

aHTMaxep: The Theory~川ðatrices，1

，

11

，

Che1sea (1959) [2]杉浦光夫:Jor白且標準系と単因子論， 1， II，岩波講座基礎数学 (1977) [3] 千葉克裕:行列の関数とジヨルダン標準形サイエンテイスト社 (1998)

(15)

.吉本明宣行列変数の解析関数について 70 V回目【著者略歴】ー】』】】』】

吉本

明宣 ( よしもとあきのり ) 1959年愛知県生まれ所属・現職椙山女学園大学現代マネジメント学部・講師最終学歴・学位名古屋大学大学院理学研究科博士課程後期課程数学専攻満期退学・理学修士所属学会日本数学会主要著書「四元数体上の非可換ガロア拡大のガロア群の構造JW社会と情報~ 10 (2) (2006)，椙山女学園大学生活科学部生活社会科学科， pp.93-103. r2霧剰余環の既約剰余類群の構造とその応用J(共著者: 石井雅治)f現代マネジメント学部ディスカッションベーノ号ーJ12 (2007)，椙山女学園大学現代マネジメント学部， pp. 1--9. r2罵剰余環の既約剰余類群の構造の暗号への応用J(共著者:石井雅治)，w 日本応用数理学会論文誌~ 19(1) (2009)，日本応用数理学会， pp.57-71. ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー回ーーーーー---ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー_ o

行列変数の解析関数について

行列変数の解析関数について

著者

吉本 明宣

雑誌名

椙山女学園大学 現代マネジメント学部紀要 「社

会とマネジメント」

巻

9

号

1

ページ

57-70

発行年

2011

URL

http://id.nii.ac.jp/1454/00002122/

行列変数の解析関数について

吉本明宣

はじめに

1

1

2

x

2

行列に関する基本的な事実

ベ

2

M

(

C

)

￨

同

¥

=

恥

2

¥

J

M

￨

凶

1

¥

=

¥

α

1

1

，

¥

同

，

)

C

￨

同

+

E

1

¥

:

:

;

A

+

B

|同

\~O，(I\

A

卜

O<=>

A=

0)

A

，

B (

εM

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吉本明宣

椙山女学園大学現代マネジメント学部紀要「社

_卜

₁

_¥

_A

_E

₁

_¥

_: