水平方向群杭効率の簡易計算式
（昭和57年11月2日 原稿受付）
開発土木工学教室高西照彦 九州大学大学院生若原敏裕
Simple Eormulae for Calculating PilCs−Group Efflciency in Horlzontal Dlrectlon
by Teruhiko TAKANISHI Toshihiro WAKAHARA
Abstract
It is complicated to calculate piles−group efficiencies in horizontal direction exactly by using the three dimensional theory of elasticity derived by the authors in the previous paper．
Therefore， the authors proposed simple formulae for calculating the piles−group efficien−
cies．
It is shown that the approximate results obtained by using the simple formulae agree well with the exact results．
Poulos4）は種々の諸元及び力学的定数を有する群杭 1．まえがき
に対する群杭効率を計算し，その結果を数枚の表にまと 著者らは，前論1）・2）において，3次元弾性理論にもとず めた。この表を用いれば，与えられた群杭に対する群杭 いて，上層地盤中に根入れされた群杭が，その頭部に水 効率を容易に求めることができて便利である。しかし，
平荷重を受けた時の各々の杭および周辺地盤の変形を表 群杭効率を支配するパラメーターはその数が多いので，
わす解析解を誘導し，多柱基礎の横方向群杭効率を表わ 任意の諸元及び力学的定数を有する群杭に対する群杭効 す理論式を求めた。また，模型群杭を作製して実験を行 率を求めるためには，Poulosの方法に従えばそれらのパ い，前記の理論値と実験値とが比較的よく一致すること ラメーターのすべての組合せに対してそれぞれ群杭効率 を確かめた。しかし著者らの導いた解析解を用いて群杭 を求めうる表をあらかじめ作製しておかなければならな 効率を求めるための数値計算を行うには，その各項が変 いことになる。表の枚数があまり多いのもかえって利用 形ベッセル関数で表わされる無限級数の和を計算しなけ に不便である。
ればならず，そのために多くの計算時間を必要とすると 本論においては，市販の関数電卓を用いて，群杭効率 いう難点があった。他方，Poulosは有限要素法的な考え を容易に求めることができる実用的な近似計算式を提案 方3）に従って，群杭効率を求める理論式を提案している した。提案式には，群杭効率を支配するパラメーターが が，その数値計算に際しては，著者等の場合と同様に多 すべて含まれているので，この式を用いれば任意の諸元 大な計算量と計算時間を必要とすることに変わりはな 及び力学的諸定数を有する群杭に対する群杭効率を求め い。 ることができる。
上記のように，群杭効率を求めるのに，厳密ではある 本論では，まず提案式についての説明を行い，次に数 がその計算式が繁雑で多くの計算量を必要とする方法に 値計算を行って本論の提案式の結果と前論u 2）による解 代って，設計に必要な精度で群杭効率を簡便に求めうる 析解とを比較して，両者が比較的よく一致することを示 方法が望まれる。 した。
なお，本論においては，簡単のため，群杭を構成する また群杭を構成する各杭が，それぞれ単独杭として変 各杭の直径は全て等しい場合を取扱った。さらに本論で 形する場合の，杭頭単位荷重に対する杭頭変位をδ。と は群杭の杭配置が図一4に示すように，その行方向と列方 すれば，単杭の杭頭を1だけ変位させるのに必要な水平 向の杭本数がほぼ等しいような場合を考察の対象とし 荷重Q。は，式（2）により求まる。
た。
Qo＝ 1／δo （2）
2．解析理論
したがってx方向の群杭効率は，式（3）より求まる。
2．1．群杭効率 N
図一1に示す群杭に対して，各杭の頭部の連結を断ち， x＿口Qζ （3）
たとえば輌杭頭に坊向の単位水平荷重を加える。 εザ脇
このときのゴ杭・∫杭等のκ方向水平変位をδ㌫δ刀等， またy方向の群杭効率は，式（1）において，右辺の1を y方向のそれをδ浩δ芸等と表わすことにする。いま， 0に，0を1に置き変えた式を解いて
これらの値が既知であれば，群杭効率は次のようにして
㌶二巖ll㌶蕊二巖：竃 麟一馨 （4）
を加え，各杭のκ方向の杭頭変位を1，y方向のそれを0 から求めればよい。
とするのに必要な水平荷重を，それぞれQ誉，Q汽i＝1， 2．2．基本的な考え方
2，……∧りとすれば，Qf， Q7は，式（1）の連立一次方程 前節の所論から，群杭効率を得るには，各杭に対する 式の解として求めることができる。 変位の影響係数δ■等と，各杭が単独杭として変形する 場合の杭頭水平変位δ。とが求められればよいことにな
δ浮δ㍗…… δ欝δ㍑
δ芹δ習、……δ㍑δ㍑
δ講δ謂……δ蒜δ縦 δ諮δ緒……δ縦δ撒
ぱ ぱ
QC 酬
1 0
1 0
｝り れ
θ」
L・ 万
L、
4」
Lθ
θ∂ X、
φ θ、
Q
上層地
H
㌔ ノ／z，
〜杭
1ノ／z、 ノ杭
基盤
る。
いま，δ習等及びδ。等を，群杭効率を支配する各種の
（1） 無次元パラメーターをその変数として含む簡単な近似関 数で表わすことを考える。
近似関数の変数としては，次のようなパラメーターが 考えられる。
れ （i）地盤のボアソン比 レ
旬地盤のせん断弾性係数と杭の曲げ剛性との関係を表 θ、 わす無次元量 α。（＝π44μ／64ED
L・ X． ここに，μ：地盤のせん断弾性係数，E1：杭の曲げ剛 4・ 性，4：杭径である。
x、 旬地盤の深さ（＝杭長）と杭径との比 理／4 胸各杭中心軸間距離と杭径との比 L／4
（v）各杭の中心軸を結ぶ直線が基準座標となす角 θ ㈹杭本数N
上層地盤 ㈲杭配置
ノ ㈲杭上下端の拘束条件
1 拘束条件としては次の4種類の場合を考えている。
Z・ ノ杭 （図一2参照）
基盤 （a）杭上端回転拘束・杭下端固定 （・FF）
（b）杭上端回転拘束，杭下端ヒンヂ （Fm 図一1 群杭『地盤系 （c）杭上端回転自由，杭下端固定 （HF）
（d）杭上端回転自由，杭下端ヒンヂ （別田
2．3．単杭の杭頭変位の近似関数 ×10−3 群杭を構成する各杭が，単杭として変形する場合の杭
45 頭変位δ。に影響を与える無次元パラメーターは，杭配
置に関するものを除いたレ，α。，JZ／φ及び杭の上下端 ぶ36 の拘束条件の4種類である。
いま前3つのパラメーターがそれぞれ独立に変化する 27 ときのδ。におよぼす影響を杭上下端の拘束条件をいろ
いろ変えた場合について前論 ） 2｝にしたがって求めた。 18 結果を図一3（a）〜（c）に示す。
嬬
固定 ヒンヂ 固定 ヒンヂ FF FH HF 、冊
0．024
0．023
0．022
図一2 杭の上下端拘束条件と略号 ぶ
0．014
FFFH 班朋
レ＝0．4 劫！4＝10
15 10×10−3
α0 （b）αoと単杭杭頭変位 図一3 単杭の杭頭変位と諸定数の関係
0．024
0．023
0．022
0．015
0．014
0．013
0 10 20 30 40 50
昂14 （c）H／∂と単杭杭頭変位 図一3 単杭の杭頭変位と諸定数の関係
0．013
（i）レ
o・012 図一3−（a）に示すように，杭頭変位はレの増加に伴い，
直線的に減少する。杭の上下端の条件による差は，上端 0 0・35 0・40 0・45 が回転拘束の場合よりも，回転自由の状態にあるときの レ
方が大きい値をとる。また，理／4が10以上の場合には，
（・）ボアソン比と単杭杭頭変位 杭下端における条件の差異がδ。に及ぼす影響について 図一3 単杭の杭頭変位と諸定数の関係 は，ほとんどこれを無視し得る。
（ii）α。 を通じて相互作用を及ぼし合うので，各杭は，単杭の場 図一3−（b）のように，α。の増加に対して，杭頭変位は双 合に比べてはるかに複雑な変形を生ずる。
曲線的に減少してゆく。杭上端が，回転自由の場合の方 が，回転拘束の場合よりも大きな値をとり，杭下端の拘 束条件の影響は，α。の値が大きい場合（＞10−3）には，
ほとんど無視できる。しかしα。の値が小さい場合，すな わち地盤の剛性が杭のそれに比べて小さいときには，杭 下端の拘束条件の影響を考慮する必要がある。
㈲ H／4
1f／4の増加に対して杭頭変位は増加する。図一3−（c）
に示すように，耳／4の値が30を越えればδ。はほぼ一定
表一1 近似式の係数値（その1）
FF FH HF HH
Ds 0．0178 0．0182 0．0322 0．0323
Us 1．0416 1．0308 1．0049 1．0035
W 0．7643 0．7643 0．8041 0．8041
Vo 0．8052 0．8144 0．8382 0．8394
V 1．0159 1．0048 1．0031 1．0076
値に近づく。瓦／4＞20に対しては杭下端の拘束条件の 群杭の杭頭変位に対する影響係数に影響を与えるパラ 差異は無視できるが，亙／4が小さい場合には，杭下端の メーターは，単杭の場合のそれに加えて，2．2の㈲，ω，
拘束条件の差異は無視できなくなる。 ㈹である。
今，上記のことを考慮して，各パラメーターごとにな 本論では，群杭の杭頭変位に対する影響係数δ習等の るべく簡単な関数形を仮定し，δ。に対する近似を行うこ 近似関数を次式の形で表わした。
とを考える。さて，ある一定の条件（本論の場合，ソ＝0．
4・一・−W4−1・を選んだ）の場合｝・つ・・て杭頭 δぎ一鶏δ鵠／R・ （10）
単位水平荷重に対する単杭の杭頭変位を前論1） 2）によっ
て求め（それをあと表わす．以後これを単杭の基準影響 （羅i㌧……N）
係数と呼ぶ。），このあを規準にとって，各パラメーター
がδ。に及ぼす影響を表わす関数形を定めた。結果を示 ここに， は2．2の（i），（‖），liD， D ，㈲，㈲をパラメー せば，次式のとおりである。 ターとしてもつ関数，∫習は同じく2．2の㈲，（v）を，RNは 胸，θ，㈲を，それぞれパラメーターとして有する関数
㌦一織（一の蹴一（1…鋤恒5）で：る㌫1㌘関数｝こついては次⊇する゜
，＝％ γo 1㈲d−lo） （6） δ2は群杭頭部の変位の影響係数を求めるための基準 となる影響係数を表わすもので，本論では以後これを群 上式で，（W1一碗・のは，レが，単杭の杭頭変位に対す 杭の基準影響係数と呼ぶ。
る影響係数δ。に及ぼす影響を表わす項であり，L7。・ δ2を次式によって定義する。
ぼ・1（H／d−10｝はH／4が，（1000α。）一 sはαo及びH／4が，
それぞれδ・に及ぼす影響を表わしている． δξ一鴫 （ll）
式（5）を整理すれば
ここに，品は2．3で定義した単杭の基準影響係数であ
δ・一 fぴ（1−｝γ・レ）σ9・1〃1d（1000α・）… （7）る．また，ε・は一定条件（・一・・4…−1rW4−
＿ 10，L／4＝2）のもとでのN本杭に対する群杭効率の ここにD・＝δ・剛／ω （8）輪解（前論1・，・・）を劾し，、，は，任意の。。。，ル W＝馴 （9）φ醐の値に対して，他のパラメーターの値を⑭場
式（6），（7）に含まれる各係数，D、，σ、，叱γ。，γの値 合と同じにとったときの前論1｝・2）による群杭効果の理論 は，表一1に，杭上下端の拘束条件別に示している。 解を表わす。
2．4．群杭の杭頭変位に対する影響係数の近似関数 さて，レ，α。，耳／4及び杭本数Nのいろいろの値につ 群杭がその杭頭に水平荷重をうけたとき，各杭は地盤 いて，前論D・2）の理論式を用いて式ODのδ穿を求め，っづ
いて，躍を近似する関数を導いた。次式にδξの近似関 i杭に対してL／4＞4の位置にある杭の変位が 杭の変 数を示す。 位に与える影響は小さいとしてこれを無視することがで きることと，たとえ，i杭を中心としてL／4≦4の範囲 δ㌍D・（1−1〃レ）σ2・1θ1d（1000α。）一曜 （12） ｝、9本以上の杭が存在して、、ても，i杭を対象とする場
ここに 合には図一5に示すように点線で囲んだ合計9本の杭の
剛＋°鼎7雪砺）・四一（13）《三嶽ればいまの⌒であることを考慮した結
である。
上式を導くときに考慮した群杭の杭配置は，図一4に示 すように，2，4，6，9本杭の4通りの場合である。
なお，式⑬，q3）中の各係数については，杭の上下端の 拘束条件をパラメーターとして叱γ。，γは表一1に，Dg，
σgは表一2に示している。
」V＝2
魅）L、
L Lx
」V＝6
L
図一4 群杭の配置図
表一2 近似式の係数値（その2）
FF FH HF HH
Dg tg
0．0172 P．0803
0．0175 P．0718
0．0311 P．0409
0．0312 P．0395
また，η，はi杭を中心として杭中心軸間距離L／4が4 を越えない範囲にある杭の本数を表わすものとする。さ らに，群杭の構成杭本数が9本以上の場合については，
式⑬の総和記号の上限を9とした。これらは，いずれも
図一5 相互作用の影響範囲
6i）∫習について
∫習は，前述のように，杭中心軸間距離L、と杭径4の 比，並びに杭の中心軸を結ぶ直線と載荷方向とのなす角 θσが，変位の影響係数に与える影響を表わす関数であ る。∫習とL∠」／4との関係を求めるのに図一6に示すよう な2本杭についてそれがある一定のパラメーターの値
6＝0．4，α。＝10−3，1抑4ニ10）をもつ場合を考察の 対象として取り上げた。いま，θi、＝45°としてLごゴ／4と
∫■の関係を前論D 21を用いて求めると図一7が得られる。
図一6 2本杭の変位の影響係数
㍉
1．0
0．9
0．5
0．4
0．3
0．2
0．1
一〇．1
γ 2杭 4
Lx／
1杭 FF， FH
朋，朋
1丑汀，朋 FF， FH
FF， FH 朋，」朋
の値は杭の上端の拘束条件及びLf」／4によって多少異 なるが，それは表一3に示す通りである。
また，式⑭中のmin（L ゴ／めはゴ杭に一番近い杭まで の杭中心軸間距離と杭径の比を表わしている。
なお，前述のように，L、、／4＞4の場合については，互 にその相互作用は小さいとしてこれを無視することにし
た。
㈲ 、R〃について
1〜Nは杭本数と杭配置が変位の影響係数に与える影響 を表わす関数である。
本論ではこれを次式のように近似的に表示した。
杭上端が回転拘束の場合
図一7 L／4と万㍗（2本杭） 以上の結果・群杭を構成する各杭の変位の影響係数
δ留は式（1》，（12），（13），（14），05），（1θによって求めることがで 表一3 近似式の係数値（その3） きる。δ習が得られれば式（1），（2），（3）から群杭効率を計算 することができる。
2．5．簡易計算式の適用範囲
前章までに示した群杭効率の簡易計算式を適用する際 の制限事項について述べる。
まず第1に，1．の最後のところで述べたように，本 論では，（i）群杭を構成する各杭の直径が全て等しい，（ii）
群杭の杭配置はその行方向と列方向の杭本数がほほ等し いような場合を考察の対象としているので，必然的に 本論の群杭効率の簡易計算式は，上記の制約をうけるこ とになる。
っぎに，群杭効率に影響を与える各パラメーターに対 図一7の関係を参照して，瑠の近似式を次式のように表 する制限値は次の通りである。
わした。 （i）0．35≦レ≦0．45 （ii） 10｝4≦αo≦10 2
麓：謬卿当 （14） 瓢；｛1
（」，ノ＝1，2・・・… ノ〉つ ＿
計算例を不すことにする。
上式における各係数・4。，・41，ノ1・，81，B・、 C1， C・ 対象とする杭基礎は9本杭で（図一8参照），杭の上端は 杭上端回転拘束 杭上端回転自由
Llj／d≦4 L鱒／d＞4 Ll」／d≦4 L ／d＞4
Ao
̀l
̀2
0．9803 O．0685 O．3655
0．9749 O．0203 O．5295
0．9945 O．0347 O．3402
0．9842 O．0053 O．7006 Bl
a2
0．7441 O．7108
0．3890 O．8255
0．1528 O．6663
0．3160 O．8145
Cl b2
0．0979 O．9724
0．1183 O．9044
0．1255 O．8933
0．1193 O．8773
剛な項板に固定され，下端は基盤に剛結されているとす L／4＝2／0．5＝4，」V＝9
る（FF）。杭は中実で，杭径4＝50 c勿，杭長（＝地盤深 であるから，式（13）において総和の上限値はmin（凡9）＝
さ）H＝12．5m，杭の弾性係数E＝105kg／cm2であり， 9となる。したがって
杭中心軸間距離はL＝2m・地盤はボアソン比レ＝°・4・ @・i営9后一4。π＋4。π＋万「−14．585
せん断弾性定数μ＝103kg／cm2とする。 τ＝1
表一1を参照すれば，式（13）のばは
LL ・ξ一（・8・52＋α；17・14・585）・1・・159卯x 1旬
＝0．85269
となる。したがって，表一1，2を参照すれば式（12）か ら，
δξ＝＝0．0172×（1−0．7643×0．4）×1．08030・1x25 ×（1000×0．01）一゜・85269
1 ＝2．0335×10−3
X を得る。
β）房y
っぎに，式（14），（15）を用いて鷹yを計算する。
図一8から，杭中心軸間距離Lガの最小値は2mである から，式（14）の、42の巾指数はmin（L 」／4）＝2／0．5＝4 と
図一8 計算例として用いた 表一3を参照すれば，式⑭から
た杭澱 搭・r−・．98・3−・．・685・・．3655・一・．979・8 尼ツ＝尼x＝0
（ ＝1，2… 9）
（i）単杭の杭頭変位の影響係数δo
を得る。
昨12・5／°・5＝25 さらに，瑠等については，式⑮からこれらの1直を計算
炉・44μ／64E1 することができる。
3＝＝；認編；表竺㌫1ゴー2／一一゜であるから・
であるから，式（謙：二隠して 劃一α7441・・71 ・・979・・972−・
し㌶5慧㍑＝；㌶㌣ 一認1
δo＝2．0914×10−3×0．0178×（1−0．7643×0．4）
∫留＝瑠＝0
×1・°416ぴ1x25（1°°°×°・°1）一ぴ245x 倉 以下同様｝、して瑠，瑠……を得る。
＝4．2869×10−6cm／kg
γ）1〜N
となる。 さいごにRNについては式⑯の上式から （ii）群杭の杭頭変位の影響係数δ㍗
δ獅を得るためには，式（1》から明らかなようにそ R・一（1−°・響42・14・585）4−・973・5 れそれδ鵠yぽの値を計算すること力書必要である・ である。
・）δξ δ）δぎ
まず，式（13），（12）を用いて，δξを計算する。
したがって・δ汐は式⑩から 果6）をも考慮して式⑯の係数を定めたことによるもので δ㍗＝δぎ＝2・0914×10−3×2・0335×10−3 あり，本論で提案した簡易式の方が実験値に対するより ×0．97908／0．97305 よい近似になっている。
ニ4・2792×10『6cm／kg 本論で提案した群杭効率の簡易計算式は非常に簡単で ＠＝1，2，……，9） あり，その上，精度においても実用的に十分な精度を有
16ト2・914・1輌・335・1ピ ；籔；讐て容易｝こ群杭｝こ対する｝を
× 0．973q5 ｛0．277470，10241｝／
一｛1．2127×10−60．4476×10−6｝・m／kg
δ謬＝δ謬＝0
のように求められる。 蕾
（iii）群杭効率婿
（ii）からδ習等が得られれば，式（1）を解いてQf， Qr，
……CQ《を求めることができる。 Q『等が得られれば，
（i）のδ。を用いて式（2），（3）から，図一8に示す群杭の群杭効
杭上端回転拘束 劫！4＝25 レ＝0．4 1．0 −一一厳密解
一近似解
↑°8
0．6
率を算出することができる。結果を示せば o◆4 θぎ＝0．506
0．2
となる。
他方，前論1） 2）による計算結果は 0・01 3 5 7 g
、ξニ0．513 →L／∂
図一9 4本杭の群杭効率 となり，両者はよく一致しているといえる。
4．数値計算結果及び考察
本論で導いた群杭効率の簡易計算式と前論U 2｝で導い
1．0 た3次元弾性論による群杭効率の理論解とを用いて，い
ろいろのパラメーターの値に対してそれぞれ数値計算を ㌔
冨翻蕊隠㌶違わし，実線が本↑°8
0．6 論による簡易計算式の解を表わす。
図一9は4本杭に対する，図一10は6本杭の長手方向に
対する，図一11は同じく6本杭の短手方向に対する，図 o・4
−12は9本杭に対する群杭効率をそれぞれ図示してい
る。 α2 これらの図から簡易計算式による近似解は，前論u・2）
による理論解に比較的よく一致しているといえる o．o
杭上端回転拘束 劫／4＝25 レ＝0．4
−一一ｵ密解 α。
ロ 。 1 3 5 7 9
図から，近似解は理論解に比べて，L／4が大きいとき ＿L／ゴ
（L／4＞7），杭本数が多くなるに従って，群杭効率を過
図一10 6本杭長手方向の群杭効率 大に評価する結果を得ることがわかる。これは実験結
1．0
v↑°8
0．6
0．4
0．2
1．0
ピゆ
0．6
0．4
0．2
杭上端回転拘束 〆∂＝25 レ＝0．4
0・01 3 5 7 9 0・01 3 5 7 9
−一一L／4 −一一L／4 図一11 6本杭短手方向の群杭効率 図一12 9本杭の群杭効率
今後の研究課題としては
参考 文献
（i）群杭を構成する各杭の直径がそれぞれ異なるような 1）小坪清真．高西照彦：不規則な配置をもつ杭径の異なる群杭に対 場合に対しても適用できるような群杭効率の簡易計算式 する横方向群杭効果の解析法，土木学会論文報告集，第277号，1978
を導くこと ，『撚真．高西照彦．鳥野清．園艦、多柱基礎の横方向荷
（ii）群杭の杭配置が，行方向あるいは列方向に長いよう 重分担率と群杭効果，土木学会論文報告集，第312号，1981年9月。
な場合にも適用できるような群杭効率の簡易計算式を導 3）H・G・Poulos： Behavior of laterally loaded Piles：II−Pile
くこと 、1鷺蒜：1：驚ll°｝；＃1；票＝：。、、、m。，、。ぱ
が挙げられる。 Pr㏄． ASCE．， vol．105， No． GT12，May，1979．
これらの研究課題については，現在研究中である。 5）高西照彦・尾島啓介・梅田幸晴：杭基礎の横方向群杭効果と荷重 本論文については・九州大学教授4・坪清真博士から・ 雰に関する理論的研究九州工業大学研酷N°4L198°年 懇切な御指導をいただきました。終始変らぬ懇切な御指 6）小坪清真．高西照彦・河島正治：横方向群杭効果に関する模型実 導に対しまして心から感謝を致します。 験，土木学会論文報告集，第248号，1976年4月。
