克也

九州工業大学研究報告（工学）No，41 1980年9月      1

楕円柱の2次元動水圧問題における粘性項

        及び移動慣性項の評価

       （昭和55年4月7日 原稿受付）

開発土木工学教室 高 西  照 彦

住友金属鉱山腿川西政雄

開発土木工学教室堺  克也

   （大学院生）

The Evaluation of the Viscous Term and the Convective   Inertia Tξrm in the Problems of Two Dimensional     Hydrodynamic Pressure on Elliptic Cylinder

      by Teruhiko TAKANISHI       Masao KAWANISHI       Katsuya SAKAI

      Abstract

  It is sllpposed that the change of the flow rate in the vichity of the both ends of the major axis is rapid when the elliptic cylinder is o5cillating ilコwater in the direction parallel to minor axis， And the effect of the convective inertia term is predominant．

  In this paper， not only the effect of the vlsc凸us term but also the convective inertla term．

about the hydrodynamic pressure on elliptic cylinder were made clear by using the五nite ele・

ment method．

  The experiments using two dimensional models of e川ptic cylinder were carried out and it was con丘rmed that the added mass coefhcients of eniptic cylinder obtained by the F． E． M． co・

incided with those obtained by the experimen亡s．

       対しては，付加質量の理論値（理想流体においては，水  1．まえがき

       の密度をρ即とすれば，πゴρ泌で表わされる）と実験値と  構造物が流体中で振動する場合に，まわりの流体の一   がよく一致することを示した。しかし，扉αが1より小さ 部が，付加質量として構造物に作用することは，既によ   い場合には，水の粘性を補正した後の実験値の方が理論

く知られている。       値より大きく，両者の間には差が生じており・占／ロ→

 付加質量には，構造物の断面形状にもとつくもの，流   0となるに従って，その差が次第に大きくなる傾向を示 体の粘性にもとつくもの，流体の移動慣性項にもとずく   していた。

もの等がある．       ぬく1の場合にはコノ・が小さくなるに従って酷円

 著者等は，前言自川において，楕円柱の2次元動水圧に   断面の長軸の両端付近における流体の流連及びその変化 閲する模型実験を行なって，楕円柱に対する水の付加質   の割合が大きくなりNavier−Stokesの方程式における移 量を求めたが，その際，水の粘性を考慮して実験値を補  動慣性項の影響を無視することができなくなるのが・上 正すれば，振動方向の軸長2bとそれに直角な方向の軸長   記の差が生じた原因ではないかと考えられる。

2ロとの比占力が，1より大きい横断面を有する楕円柱に    本論は，有限要素法を用いて．実験値に対して・流体

の粘性及び移動慣性項を考慮した補正を施すことによっ   ここに，1 o，比及び万o，7）oは，いずれも与えられ て，実験値と理論値とがよく一致することを確かめたも   た一定値である。また，／，mは，境界5戸上にたてた法 のである。これによって，楕円柱に対する水の付加質量   線の方向余弦を表わす。

に及ぼす流体の移動慣性項の影響を明らかにした。

       3．Galerkin法による定式化

 2．基礎方程式

       有限要素法を用いて，式｛D〜固を満足する解を求める  移動慣性項を考慮した2次元非圧縮粘性流体中で，一   ために，基本的には，Galerkin法にもとつく定式化ロ｝（コ，を

様断面を有する無限長の柱が，軸直角方向に一様に振動  行った。

する場合を考える。柱の断面に平行に直角座標系巨，y）    いま，有限要素法を用いた解析を行うために，構造物 を設定し，エ，y方向の流速を祝，り，流体の密度をρ岬，   をその中に含むような，十分広い流れの場を考えて，こ 物体力を∫エ，五とすれば，流体の運動方程式は，次式に   れを領域γと呼ぶ。

よって与えられる。       さて，流速の与えられた境界5。上においては0をと

警＋・晋＋・器五＋☆（誓＋割  （1〕1：鴛㌘㌶竃鷲き：三霊霊li 晋＋噺書＝ゐ＋鍛噺 （2｝翻：㌫二li搬脚こついて積分し 両式

     白＝一♪＋2μ房    ｛3｝ 一☆（∂τ身，∂碗∂エ  ∂y）｝〕dγ一・   仰）

     …＝砧一・（∂〃，∂μ石〒可）  （41を得る。上式の左辺の第顕及び1噸に部分積分を施すと

     碗＝一⇒   ｛5）胴鵠）＋叶鵠）｝ゴび

と表わされる．上式において，，は流体の粘性係恥 ＝一ル誓＋・岬（∂z ，∂が∂y〒∂エ）＋碗書レ

は動水圧である・また漣続の方勧ま，   ＋∫｛ガ賦刷品細・・D｝45ω

        寄書一〇   ｛6）なる関f繊得られる．上式の関係式を式ωに代入し，

と書ける。      さらに 式（3｝〜樹の関係を用いて整理すると・有限要素  いま，流れの場において，モの領域1ノの外部境界及び   法の変分方程式が得られて次のように表わせる。

㌘鴎驚㌫㍊㌶㍗｛慧丘趨＋づ＋蝿｝〃

規定されてい端を5、とすれば   ＋∫記躍＋蝿輌晋｝ゴγ

       5ニ＆＋5・     聞 一ル（ヘ  ウ   「 ■σ1  1σ〃aτ ∂y）4γ

：：㌶濃㌘における境界条f牛はぶう＋ル｛2亟∂配．＿ト∂り∂μ白＋∂〃∂P・ ∂エ∂二じ  ∂工∂y  ∂工∂エ｝〃

＆上で       ＋丸｛i㍑＋鵠＋2i㍑｝ゴ1・

      ・＝…膵・・     〔8） ＝￡（・ 書・＋〃 万・随

三蕊蕊｝ ⑨つ1蕊：ご：ll＿が ㍊

3

γについて租分すると，次式に示すような関係式が得ら     H孟輪＋H孟P、＝0       ㈲ れる。       ここに，

    ∫が（∂1￡，∂む咋     叶σ工 σy）ゴγ一〇    〇3〕 晦＝上ρ品φ・｝ゴ1・

      κ島二』ρ鵡φ・φ・、・）ゴ1・

 4．有限要素法による解析

流れの雛体嚥肱それぞオ、瀬難呼 齢∫ρ・（働1岨

ばれる小さないくつかの領域に分割する・モして・この 胎2・‡φ・1・φ・，・硲・上φ・．・φ・．鋤

；1：1；：㍑㌢意嘩以下 この鰍G諸二μμWγ

有限難の内部の鱈点の流運をπ，ρ剛水圧をρ G喜；＝叫φ・』ばび

として，この配，四，♪を，要素周辺上あるいは、要素

内に選ばれたいくつかの点撫と・・う）における流速 牛・垣・φ・、・ゴ1・＋ψ・．・φパγ 及酬圧の値を用いて内挿補間する・すなわち・

       τ￡＝φ。1f。θ酊      oo

       ，＝φ幽e加      05｝  1還㍉［φ・．、ψ・ゴγ

ここ口㌶㌶。＿ まそぷパ輌＋輪王ゴ1・

各節点における流速及蹴圧を表わしている．ωは複 鍵￡φ釦5＋五ρ編ゴ1・

￠o

素円振動数で その実数部が減衰を・虚数部が円振動数    上式において，α，β，γ，λについては総和規約を適

蝶わす・また・上略式では・騨のため 総嗣約 用するが，。，，につ・・てはこれ樋用しない．また，

が恥られておリ調概号Σカ1省路されている・例え φ。1違の下付瀞1。は。醐する偏鮒を融す．さ

臓蹴ついては・        らに，亨，5融上付緯一は，ここで取扱っている単

       φ曲一自輌。   田 一の有醒素に関す硯であることを示している・また・

      ロロユ       ェ     エ

       τr。，五等の上付添字〜は召司を分離した後の量である

である・ここにNは璃肌酪鮪髄…の纐を ことを示す。

劾す・本論では鴇にこと肪ない肌以後式はす さて試閻鵡）の両辺にそれぞれ。・・を掛けて調］堀

ように内挿棚する・      （。・叱1）

       2↓・ニφ。τf：召山        ｛18）       彦＝2（e2・五一1）

       ガニφ訓臨山       ll9｝  が掛かった式が得られる。

       だ輌1・耐   伽） 今， ・・舗褒定数とし・ω＝一葡・・噺とおけ1ま

 さて，式OE｝，旧）に，式｛10〜個及び式U8〕〜伽を代入して        ＿1ε 刷廿一1 整理し，，、：，1、：，抑；がそれぞオ、任意の値をとり得ること  e一丁・『πh『−1

を考慮すると，有限要素法による解析式が得られて，次   となるが，ここでノ已が小さいとすれば のように表わすことができる・

@    ・≒÷（三瓢二1

  （ω』f。β＋G言枷 β＋G器rノβ＋κあ1f，rr，eぱ

   ＋κざ，，，品，・L∫ゴ緬⇒。よ  OD 酬られる・従って鍋鵡（四｝から次式欄られる・

  G護〜白＋（ωハf。β＋G器｝u耳十κ品識晦e加         （ω」1f・β＋G言罰泊÷G器砺＋1f島的f白

   ＋κ5βr砺叫εω・−H晶♪且＝ρ。白      ㈱     ＋κおfノ川7−1苗か＝Ωロ        ㈲

G訂栂＋｛ω』・r卵十G暮幻砺＋」ζ品ア1白砺      わち，

 コー」κ品γりβび7−1i「、呈」♪1 ニ エ〜σy       （26｝       ζ1十ζ2−←ζ3 ＝ 1      〔3D

 流れの場（領域の内のそれぞれの有限要素について，   でなければならないという条件が課せられているので，

式倒，00，㈱を立てて，さらにこれらをすべて重ね合わ   面積座標はそのうち2っだけが独立な座標値を有してい せれば，領域γ内における全節点の流速μ．，抄、及び動   ることになる。図一2に面積座標による座標値の一例を 水圧かに関する非線型連立方程式を得る。ωを既知と   示した。

して，この方程式を，流れの場全体についての境界条件

       2〔0．1』）

式｛呂｝のもとで解けば，全節点に対する流速と動水圧を求 めることができる。

 一様断面を有する無限長柱が流体中で軸に直角方向の      （0 1／2 1／2）4     6｛1／2 ユノ2 0）

剛振動を行なっている場合，その柱の単位長さ当りに作

用蹄⌒力は ・−iこつしユては

@  （・3」）（1／，，；．1／，）（1、；、・）

     R・二上（正ψ＋綱）ゴ5    問

      図一2 面積座標 y方向については

     弓｛・即輌1）ゴ5 ㈱式鴛1！1樫蓼漂：灘驚㌶：1

によって求められる。ここに，8 は柱の横断面の周を表   座標で表わせぱ，次式のようになる。

∵−     iiiiiiii：iiii｝ 働

 本論では，有限要素の形状としては三角形要素を採用

し，流速π，抄については2次多項式による6節点三角    ここに

麟議状蹴繕［iiiii］＝吉

y

泊襲 為y3

ズly1

為y3

工1yl 工2y2

1 y：

1 y3 1 y1 1 y3 1 y1 1 y2

1 エ2 1 エ3 1 エ1

1 エ1 1 エ2

 （エ y ）       』＝ 1 エ2y2＝三角形1−2−3の面積     倒       1 エ3y3

0       エ

       さて，本請においては、図一2に示す有限要素内の任   図一1 三角形要素      意点の流速況，uが，面積座標を用いて，次式のように       与えられると仮定した。

図一1に示肯醒素について・醗内あるいは醗  1、螂＋鴫＋磁＋，、ζ，ζ，＋。，ζ，ζ柚、ζ1ζ，

境界上の任意点の座標よρ，弛は，面積座標を用いれば，      ㈲

次式のよう曙わすことができる・     に∫1ζr＋鰯＋碍＋∫、ζ，ζ叶∫、ζ、ζ，÷∫、ζ1ζ、

    」r♪＝・エ1ζ1＋エ2ζ2＋エ3ζ3       偉9）       oo

    ypニy1ζ1＋動ζ：÷的ζ3         ㈲    ここに，凸〜臼，∫1〜ムは未定係数であり，それは式  ここで，面積座標相互の問には，その総和が1，すな   ㈲，閲で示される流速が，要素の各節点においてそれぞ

れその節点での流速酷〜識，凸〜暁に等しくなければ   と表わされる。図二2に示した節点1〜3における条件

μ1

口2 1 ヨ

μ4

μ6

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0％κ％ 0 0

％ OH OH O

％膓ζ0 0 0％

商

已2

召3

e

e5

日5

        ii＝［ili］［i ㈹

即 械拉っ．したがって，

        ｛宮1已コξ3｝ア＝｛β．」｝｛♪1声2♪3｝ア     ㈲     が得られる。ここに，

に驚1：漂㌫魏⊆： 倒＝閲  ㈹

た，       上式を用いれば，式掘は次のように書くことカ1できる。

｛ん、｝＝

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 −1 −1 4  0  0

−1 0 −1 0  4  0

−1−1 0  0  0  4

      コ

       」ウ＝ Σ］ ζ「「ζr「ζナ「8r

         rロ1       ヨ

        ＝ Σ βf」ζ「「ζ『「ζ』「1已      ｛4η

         ドヨユ

￠1〕   ここに，島，ブ，，走，は，式㈲のべき乗を表わし

         ｛∫rl＝口  O Ol

｛」」＝10 1 01

である．さらに，，についても同様醐f系式酬られる。   ｛々・1−10011

上式の関係を用いれば，式聞，㈹はそれぞれ次のように   である。

書くことができる。        式㈹・則から・流速の形状関数φ・は

       6    2z＝Σζ〜°ζ㍗ζ㍗召ρ       雫司

     ゜司       であり，動水圧のそれは，式働より

             3

     q巳1      rロ1

   に圭ζ酬ζ拙      であることがオっかる・

㈹

6       φ。ニΣ〆1守。ζ「肯ζ『1守ζr・      （49）

ニΣA亨。ζドζ芦ζ♂ 1z．      ㈹     ψよ＝Σ8，よζ「 ζゴ ζナ・     醐

     甲司       φ．をそれぞれ土，yについて偏微分した式は，

     む

㌻鴛ご：撒㌫一＝ 1：：：：弘1淵  抽

       と表わされる凸ここに¶

ilにii i i l i…㈹一二［1；：li：il：li：：｛：li16カ

：蟹㌶ii∵麓1：：き1 ＝［ii：li：i蕊：｛：1拒

場合と同様にすればよい・す肋ち・要納の憾点の いま，F（佃，，i）を

璽嶽1濃驚1竺わさオエると仮定すれ F⑳＝廊ζ♂ゴγ

    カ＝，1ζ1＋＆ζ、＋、、ζ，    剥     ＝2」〔ψ＋；舞！湯！  刷

6

とすれば，式o』｝は式畑〜岡を用いて次のように氾き表わ   これをペクトルェで表わすことにすれば，上記の非恕型 すことができる。       連立方程式は

     う   お

 五∫σβ＝ρばΣΣ／1戸司ロβE1r

     ρ＝1 ロ＝1

      ら  ち  ユ

 κあ＝ρ即Σ Σ Σ」4β。ん劔『r1㌦・

     ♪ロ1 0ロ： r＝1       じ  ビ  ヨ

 κ品，＝ραΣΣΣ・q♪。．49βノ1‡，F辿・

     ρコ1 口且1 アロ1      ヨ   ヨ

 G詰二2μΣΣA貢αAさβFG

     ρE1 守＝1     コ   コ

  ＋μΣ Σ、4Lメ1‡βFc

   ρ＝1 呼＝1

     コ   ヨ

 G6」＝μΣ Σ、4；。、41βFc      ♪亡l p斗

     コ  ヨ

 G鵠＝μΣ Σ 鵡、、4論Fc     P＝1 呼＝1

     コ   コ

 G謂＝μΣ Σ、4；詔1毒Fc     ρロ1 0耳1

      コ   ユ

    ≡2μΣΣA㍍Aζβ1rc

      ρ＝1 口E1

 H晶二ΣΣA；。8q、」㌦

    P＝1ゼ司

    ヨ   コ

 月「；三＝Σ Σ 、4㌔B射F∫，

    ♪⊃10訂 ここに

∫「 ＝、F偽十右，，｝z戸十卯1亨，，ゆ十両）

F1 ＝F（ψρ十在十f．，斑ρ十η拘十方，刀ρ十醐十占r）

凡二Fσρ十∫可，ゴρ十∫守，占戸十柄）

♪｝∫＝」島

        F（エ）＝0       （5η と書ける。ここで，エの第拒1回目の近似値が既知の場 合，エの第鍵1回目の近似値は

・巾・＝・佃一1L

k貴｛F（エ個一1り｝〕−1F（エ・・一・り ㈹

    によって求めることができる。

     上式中，右辺第2項の係数行列を求めるには，次のよ     うにすればよい。いま，一一つの要素について考えること     にすれば，式㈲，⑳，倒を参照して

㈲      1㌔＝（ω丹f自遭＋G話）πβ÷G箒砺＋κ晶，，、β、，，

       ヰκ；』7［，坦1白一」∫孟釦一Ωロ     〔59）

      ∫「αニG謡1 β十（ωλf胡十G諸）1」β十κ晶7「fβ防       十κ；』γρ γ一丹；ip亡Ω。ヂ      （60）

      肌＝H孟2 。十H；抽α      ㈹     とおき

∫中二

∂、「』，∂几   ∂几    ∂几

∂〜rピ∂存7  ∂口    ∂♪」

 皿・ 処＋処  亜

 ∂1 坦  ∂μβ ∂沙ア  ∂飯

 ≡   旦巴   0

 ∂rr。    ∂rノ『

｛62）

闘   を計算する。つぎに，上式の∫。」を各要素について求め     て，これらをすべての要素について重ね合わせた後，境

    縣件蜘を用いれば・酬の毒｛F（エ）｝が得られる・

 流れの場の中にある一つの有限要素について，流速1z，

〜ノに対しては6節点，動水圧力に対しては3節点を採用     7．水中における無限長柱の振動方程式 しているので，有限要素法による解析式㈲，㈱，閻の個

数は試胴61において，そ2、それ。＝1〜6として6 ばねによってつるされた・一樹緬鮪する朋無限

つの酬こ対して台計15個の耀式力・得られることにな 行う胎の振肺程端…繊騨位長さ当りの馳

ヲ      止を単位長さ当りのばね定数とすれば，

ロロ

6．非纏立方程式の解法     ，・鱗ξ一劃   ㈲

舗醒素について，蜘を用いて，式伍剛，牢 と劾すことカ｛できる・ここに・ξ雌の馴加〔・

おける繍を勅これらをすぺての要素について動 方向ける）の変｛立馴・蹴柱騨鹸さ当りに働く 合わせ鵠酬条欄8）を餅、れば，流れの場内にあ 醐方向の流体抵抗加・それは鋤こよって与えられ

糎國妨蹴欄られる．繕で｛ま，この嬬式を いま・σ・を醐速度として註が

多変致のN，w，。，−R、ph、。n法を配解いた．すなわ   ξ＝㌃σ・〆    （臼｝

ち，いま全節点における鞠，四β，九を一列に並べて，   で表わされる減衰自由振動を行うものとすれば，式｛田）は

      7

     画σ坤び．一ωRバo  価） 8吊醒素法酬の獺

となる。ここで       静止流体中で振動する，一様断面をもつ剛な焦限長柱         Rズ＝1〜虻。εω          ㈹   に対する動ホ圧を，有限要素法を用いて解析する場合に

とおいた．また，縫面罐する流齢流速は，砧向 は・柱の断面に対して冊大きな外蠣界澱定するこ

については，        とと准と外部獅で囲まれ端域を＋分多くの有鞭

y方向については

       1

        ・＝0       岡        ci

で蒜ωについて解け舗止流体中で軸蹴動 ／φ ：

を行う剛柱の固有円振動数と蹴数を求めることがで ／  。！

きる・しかレふ中にもω力鞠こ含まれているので・    瀦    ／

罐㌶鷲二鴬1享lllま1竺 RiZ−A一一−一膓一

；：㌶邊驚㌶煙譲1：歴巖    一  ／

蹴圧を勅れば試醜〔脚品。を定めることが     グ

できる。この」〜口の値を用いて，式㈲からωを計算し，

得られたωの値と最初に仮定したωの値とを比べて，そ

の差が十分小さければ，それが求めるωの値であるが，        図一3 水中における円柱の振動

もし両者の差が大きいときは・新しく求めたωの値を改    まず，本請において要求される計算精度を確保するの めて初期値として採用し・上記の操作をくり返せばよい。  に必要な最小の外部境界の大きさを定めるために，図＿

 いま・このようにして得られたωの虚数部を輪とお   3に示すように，半径αの円柱が，半径Rの同心円状境 く。      界を有する流体領域内で減衰自由振動をする場合を考え          輪二∫m（ω）         ㈹   る。このとき，この領域内の流体の運動に関しては，そ  一方・柱の空気中における固有円振動数，」・は次式    れを支配するNavier−Stokesの方程式において，流体の

      ㌍嘉    〔祀）：三慧：璽腰：塁：禦三婿纏蕊

によって求められるから，これらの値を用いれば，無限   既に求められているので，この解析解を用いて，いろいろ 長柱の単位長さ当りに対する流体の付加質量は      のR／ロについて，円柱に対する水の付加質量五 汲び減

      4碑㌃y一ψ  ㈹‡灘㌶蒜固麟濃r竺蕊，

によって与えられる。さらに，柱の振動方向に垂直な平   数を

面への柱断面の投影長をαとし・流体の密度を再とすれ         R，＝，〜詔ンμ      洞

ば・柱に対す赫の付加質量f緻・・は    で麟したとき，R，−300の場合について行った。結果

         ロら

によって定義される．また，瀬定蜘ま1ωの実数部を りぷ軸には』mと」紬＝R一剛とき，すなわ礁

一。。とおけば        醐域中で端する円柱に対する端の付加蜘との

       比をとった。また，図一4㈲は，同じくR／ロに対する，

     ∫后篇      閲 円柱の流体中での融減衰酬の噸定数の変化をプ。

によって求められる。       ットしたものである。両図から，1〜／α≧6であれば，

8

曇

ミ

『

3

2

／∂

z

      ロ

 R       』

      ミ

  α      ㊤

      ＝ 4

      4

  司＿◆       3

2

      R／α      一一一一←∫卍／ロ

      （a） 付加質量       （b） 減i臣定融

図一4 円柱に対する水の付加質量と減衰定数に及ぼす境界の影響

 C      外部境界の存在が円柱の付加質量に及ぼす影響は，これ       をほとんど無視してもよいことがわかる。

       1〜／ロ＝6

       要素数45       つぎに，有限要素の要素数と領域の分割法が，円柱の       水中における固有円振動数の計算精度に及ぼす影響につ       いて，上記と全く同じモデルを用いて，以下のような検       討を行った。

       円形の外部境界の半径と円柱の半径との比をR／α＝

      6にとったとき，図一5に示すように，全領域の1／

      を選んで，これをそれぞれ24個及び45個の要素数に分割       した場合にっいて，前章までに示した有限要素解析法を D、      用いて，円柱の流体中での固有円振助数及び減衰定数を

 1ロ      求めて，これを解析解と比較した。その際，境界条件と

一 黶xL．       B    しては、図一一5において，

 トー一一一一一一一「一      （i）A−B−C−D−A上で〃ニ0

−⇒ @         （ii）B＿C上で。＝0

       （iiD C−D上でpニ0       図一5 有限要素分割例         ．

       （W）D−A上で批＝｛∫。ロ叫

      を採用した。結果を表一1に示す。同表は，それぞれ1〜／α 表一1 有限要素法解析の精度に及ぼす要素数の影    二。。の場合及びR／ロニ6の場合に対する解析解を基準に     響（水中における円柱の振動，Rノα巴6の

    場合）       とって，これに対する比でもって示してある。表一1か

鵠蒜纂畠、1雛質且

と⊇合

F・E・Ml・…M ら・流体中にお1柵柱鮒加質醗び瀬定数を比較

要梁数241要素数45    的よい精度で求めるためには，要素数として45程度を採

の解折解を基準に1＿．

昨、のとき1霊酬

とうた場合    減諾E数          の比

0・酬10・9793 肘れば寸→分であるといえよう・

0、8図

08855 09255     1．で述べたように，著者等の行った楕円柱の2次元助    1       水圧に関する摸型実験においては，振動方向の軸長2占

0．鰯   0、9871  とそれに直角な方向の軸貼と砒故力㍉1より小さ

9

い場合に対しては，5／αが小さくなるに従って実験値と    巨）D−−A上でμ＝U詔研 理詰値との問の差が大きくなることが示された。このよ   とした。

うに，両者の値に差が生じたのは，前請川においては，    式⑳，㈱，閻，笛］に示す非線型連立方程式と式㈲に示 実験値の補正をする際に，簡単のため，流体の移動慣性   す振動方程式とを同時に満足するωの値は，次のような 項を無視したことにその原因があるのではないかと考え  手順に従って求めた。

られる。そこで本章においては，有限要素解析法を用い    （i） まず，理想流体中における楕円柱の固有振動数 て，楕円柱の水中振動における流体の移動慣性項の大き   を求めて，これをωの初期値とし，減衰定数の初期値は さを評価して，前論川の実験値をより厳密に捕正するこ   0とする〔ωニω9り。

とにした。さらに，楕円柱の水中における固有振動数に    ｛ii） 式倒，0励，田｝において，移動慣性項κ島，κ島 よって，流体の移動慣性項の大きさがどのように変化す   を省略すれば，粘性項のみを考慮した線型連立一次方程 るかについても検討を加えた。       式が得られるので，これと式1田とを用いて，ω＝ω9」を  前章までに述べた有限要素解析法に従って，実験に用   初期値として繰返し計算を行って，逐次ω＝ω騨を求

いた各麺の楕円柱模型について数値計算を行い，流体の   め，十分小さな正数ε，に対して

㌶籠；鑑蕊麟籔る固有円振動  1ω曽嘉牛臼

       が成立するまで続ける。このようにして得られたωの値   C      加＝4．g8cm         とそのときの流速及び動水圧を，それぞれω＝ω即，

       臨㍗   ・＝・rい＝・識＝趨）とおく・

振動｝の場合，図一6において

 （i）A−B−C−D−A上でI」＝o         が成立すれば，このときのωP）及びエ『｝が求める解であ  ｛ii〕B−C上で〜zニ0       る。

 （iii）c−D上で♪＝o      ｛、i） もし上式が成立しなければ，ω？】＝（ω㍗÷ωLII）

       要封轍50      （iii｝移動慣性項κ晶r，κ島rを考慮した場合のωの        値を求めるために，（ii｝で得たω，江，隅♪の値を出発        値ω＝ωr｝＝ωr㌔況＝1 ：°｝＝2 r〕、1にuP｝＝1）ln）｝

       ρ＝♪蝉＝♪㌍として用いて，式㈹の∫σμを各要素につ        いて計算し，式闘を利用して第1回目の近似値π自〕，

       むtU，ρ9｝を求める。

      （h ）（iiDで得たμ9）， uLu，声㍗を改めて初期値とし，ω  D       としてはωニω㍗をそのまま用いて式田）を使ってくり返

       を求める。十分小さな正数烏に対して        図一6 有限要素分劃例

      δ＜εc

 有限要素法解析に用いた楕円柱及び外部境界と流れ場・  が成立したところでくり返し計耳を打切る。このときの そして要素分割の一例を図一6に示した。解析は・対称   エ㍗を用いて，式⑳から流体の楕円柱に対する抵抗力1〜訂 性を考慮して，全体の1／4について行った。図一6に   を計算し，式㈹よりω』llを求める。

おいては，2α＝4．98cm， yσ＝0．2， R／ロ＝5・要素    （v）十分小さな正数』に対して 数50，節点数121である。

境界条件としては細柱の鞠方向振剛潮方向  1ωtl劇く・・

ぢ欝鷲註ξi㌫㌫ぷ、璽覧鷺二 。｛．．麟 澗竺m白

      ：      ∵  、      占／直＝o．2

しの酬直としては・跳ω？〕を線型馴して

を用いて㌔繕蹴＿蓮：ぽ：1㌔ …

くり返す。ωの値が得られれば，付加質舐は式剖より，

付加質量係数は式仰〕より求められる。

 計算に用いた諸定数値の一例を示せば，表一2の摸型    巳 1については，水の動粘性係数ン＝0』1112cm2／s，水

の密度ρ ＝998．94kg／m3，楕円柱の単位長さ当り質量

m＝0．78226kg／m，楕円柱に対する単位長さ当りのば

i 一ズ＼、ノ ＼㌔   ＼

・o：o ・o  ・ロ    ：σ、     ：

ね定融＝L3373N／mである．       一一＿＿R

 楕円柱模型1が短軸方向に振動する場合の流速及び動     喝■◆

水圧の分布を図・−7に示す。図中，各節点における流速

は流速ペクトルによって表示し剛水圧の分布はぷ線   図一7瀧と動水圧の分布

を用いてその等圧線を示した。同図より，楕円柱の長軸   おいて示したように，水の粘性のみを考慮して実験値に の両端付近で，流速及び流速の変化が著しく大きいこと   補正を施した結果（その後，前請川における実験値の算 がわかる。また流速は、楕円柱から遠ざかるに従って，   出に一部誤りがあることが判明したので，本論の図一8 その大きさが急速に減少することが示されている。     ではそれを訂正して，正しい結果を示した）を，●印は  上記のようにして・各租の楕円柱模型に対して，その   粘性項と移動慣性項とを同時に考慮して実験値に補正を 水中における固有円振動数と減衰定数、並びに流速及び   施した結果をそれぞれ表わしている。

動水圧分布を求めた。きらに式（了Dを用いて，楕円柱に対    同図から，●印はδ／ロのすぺての値に対して，理論値 する水の付加質量を求めて，前論川で得た実験値を補正   （理想流体中での楕円柱に対する付加質量係数α抱＝1｝

した。結果を図一8に示す。図中，o印は既に前論川に   ときわめてよく一致しているといえる。とくに，占／αが

   1．1

ξ

11砧

ユ．0

0．95

O

●      5、o

一一 ^{ｨ」占／α}

●（粘性項＋移動慣性項）補正

図一8 楕円柱に対する水の付加質量係数

】1

1より小さいときは，・占／σが小さくなるに従って，移動    つぎに，楕円柱に対する水の付加質量係数及び減衰定 慣性項の影響がより大きくなることが示されている。ま   数に及ぽす粘性項及び移動慣性項の影響が，楕円柱の水 た，占／α＞1のときは，移動慣性項の影響はほとんど葉   中における固有円振動数によってどのように変化するか 視しても差支えないこともわかる。       を知るために，数値計算を行なった。計算モデルとして  表一2は，減衰定数に対する実験値と計算値とを比較   は，表一2の摸型1を用いた。楕円柱をつるしたばねの

したものである。これをみても，粘性項と移動慣性項と   ばね定数占をいろいろ変えることによって，楕円柱の水 を同時に考慮した場合の方が，より実験値に近いといえ   中での固有円振動致，〜甘を変化させた。計箕結果を図一 る。      9（a），（b）に示す。

      図から，輪が大きくなると，粘性項のみを考慮した現

牢2減錠数醐する鰍靴計算値との比較 台も描瀕と卵慣醒とを同時、こ考鼠た糖も，

摸型1

2c＝4．9ヨ．25＝1．〔o

模型II

20＝4．田．2占＝1．詞

膜型II1

三σ二4．93、26＝2、拙

ワ測枯性・剛擶1㌶ 付加簸係撫と甑定肌の鵬いずれも次第に

       酬， 減少し酬き訪る一定個こ近づいてい禰向を示して

ロ．田6       0．025    て生ずる付加質量は，ほぼ振動数の平方根に比例して増

。，。3、。』29。．。25』．。19。．。25。、。23 加し酬くが・一方描円柱の加運度はωに比例して大 L＿＿⊥＿＿」＿＿＿⊥＿＿」      きくなるので，結局，付加質量係数をα罰＝1＋α；と書

0．033

。、。26。．。231。．田9

  1  i

LO5

占

↑1・的

ゴ

↑

1．02

      くことになるからであろう。また，涼衰力も振動数の平        方根に比例して増加するが，減衰定数∫砺は（減衰力／

2σ＝・L98cm，施＝0コ      振動数）に比例するので，九，も振動数の平方根に逆比例

   ＝㌶㌶動慣性項剛  して小さくなっていくことになる・

＼卵 ll＝＿＿小＿較日 ，

   ヘ      ゲ

    、、、、＿      り振動する場合について，有限要素解析法を用いて，流

／理想耐 一     体の縦瓢ぴ鯛鵬項を麺して，この胴柱に対

1．oo  O  lO  20  30  4n        する水の付加質量及び減衰定数を求めた。数値計算によ

0．02

0，0］

     ＿雌項．鮒n馴樋  値と理言自舶理想流紳における楕円柱に対する水鮒

     一一一一粘性項考慮       加質量係数＝1）とはきわめてよく一致することが示さ        れた。

      また、楕円柱が短軸方向に振動する叫合には，長軸に    、    ㌔、、      対する短軸の比が小さいほど，すなわち楕円柱断面が偶          一‥      平なほど流体の移励慣性項の影晋が大きいことがわかっ        た。

O    l⑪    20    30    ・10

         ＿→，山rad！引        さらに，減衰定数についても，実察仙と計口値と｛ま比     （b〕減衰定数       較的よく一致することが示された。

図一9 振動鼓と付加質量係数及び減衰定数    との関係（初期速度振幅5mn訂S）

12

         謝辞  2｝Mu巳uto Kawahara and Takashi Oka皿oto：Finite e［芒ment

      analy5i50f steady flolv of viscous fluid u5ing 5tream func・

 本諸文につきましては・九州大学工学部教授小坪清真    ti。：1， Proc． of J． S． C． E．， N。．247，1976．3．

博士に終始，懇切な御指導をいただきました。常日頃か   3〕土木学会国：土木工学における数値解析／流体解析損，第8章 ら終始変らぬ懇切でしかも真に適切な御指導をしていた    郁睡素法による涜体解抵サイエンス社1974・  ，       引Chen， S． S， M． W， Wambsganss and J． A Jendr3ejc2yk：

だいております小坪先生に心より感謝致します。       Added mass and damping。f aΨibrating rDd in c。nfined       viscous fluids， Transaction50f the ASME， Journal of

      参  考  文  献      Applied Me｛：hanicふvol．43，1976．6，

1｝高西照彦・川西政雄：楕円柱に対すら水の付加質量 九州工    5｝」挿平清真・高西照彦：多柱基礎へのホの附加質量について，土

 業大学研究報告（工学｝，No・39」979・9．      木学会論文報告集， No，248，］976・4．