代数体における 0 でない平方数の和

代数体における0でない平方数の和

三重大学大学院教育学研究科教育科学専攻 理数・生活系教育領域 215M028福田 裕花

2017年2月10日

目 次

1 0でない有理整数の平方数の和で表される整数 1

1.1 k個の平方数の和で表される整数 . . . . 1

1.2 k個の0でない平方数の和で表される整数 . . . . 2

1.3 4個の0でない平方数の和で表される整数 . . . . 4

1.4 2個の0でない平方数の和で表される整数 . . . . 5

1.5 3個の0でない平方数の和で表される整数 . . . . 5

1.6 k個のnv. sq.の和になるn≦xをみたす整数の個数 . . . . 9

2 二次体の整数論 11 2.1 二次体Q(√ m)の整数 . . . . 11

2.2 二次体のイデアル . . . . 16

2.3 イデアルの素因子分解 . . . . 21

2.4 二次体における素のイデアル. . . . 25

2.5 イデアルの類別 . . . . 30

2.6 イデアルを法とする合同式 . . . . 34

2.7 二次体の単数 . . . . 40

2.8 Pell方程式 x²−ay²=±1 . . . . 46

3 二次体における0でない整数の平方数の和で表される整数 50 3.1 Q(√ 5)における0でない整数の平方数の和で表される整数 . . . . 50

3.2 Q(√ 2)における0でない整数の平方数の和で表される整数 . . . . 50

1 0でない有理整数の平方数の和で表される整数

このセクションはGrosswald[1]を参照した．整数の集合をZ，非負の整数の集合をZ_≧0，自然 数の集合をZ>0と表す．このセクションでは，p, qあるいはp_i, q_jは常に素数を表すものとする．b がaで割り切れるときa|bと表し，bがaで割り切れないときa∤bと表す．

1.1 k個の平方数の和で表される整数

2個の平方数の和で表せる整数については次の定理が成り立つ．

定理1.1.1. nを自然数とする．n= 2^an1n2(a∈Z_≧0)とする．ただしn1=∏

p_i≡1 (mod 4)pia_i, n2=

∏

qj≡3 (mod 4)qjbj である．このときn2が平方数であるとき，またそのときに限りn=x12+x22

を満たすx₁, x₂∈Zが存在する．

3個の平方数の和で表せる整数については次の定理が成り立つ．

定理 1.1.2 (Legendreの定理). M={4^a(8m+ 7)|a, m∈Z_≧0}とすると，n /∈Mの場合に限り，

nは3個の平方数の和で表せる．

kが4以上のとき，負でない整数がk個の平方数の和で表される．なぜなら任意の自然数は 4個の平方数の和で表される(Lagrangeの定理)から，0を任意の個数用いることによってn =

∑4

i=1xi2+ 0²+· · ·+ 0² (xi∈Z)とかける．

nをk個の平方数の和で表す方法の個数をrk(n)と表す．

定理 1.1.3. d(n)をnの約数の個数とし，g≡k (mod 4)となるnの約数gの個数をdk(n)とす る．n= 2^an₁n₂ (a∈Z_≧0)とする．ただしn₁ =∏

p_i≡1 (mod 4)p_i^ai, n₂ =∏

q_j≡3 (mod 4)q_j^bj で ある．あるbjが奇数であるときr2(n) = 0であり，全てのbjが偶数であるときr2(n) = 4d(n1) = 4(d₁(n)−d₃(n))である.

系 1.1.4. n0のすべての素因数qがq≡3 (mod 4)であるときr2(n) =r2(2^an) =r2(2^ann02)で ある.

定理 1.1.5. nが奇数のとき任意のa∈Z>0に対してr₄(2·4^an) =r₄(2n)である．

x1, x2, x3が互いに素である場合にn=x²₁+x²₂+x²₃とnを3個の平方数の和で表す方法の個数 をR₃(n)とする．平方因子をもたない整数をsquarefreeという．

定理 1.1.6 (Gaussの定理). n∈Z>0はsquarefreeであるとする．h(−n)は二次体Q(√

−n)の類 数とする．n ≡3 (mod 8)のとき二次体の判別式をd=−nとし, n ≡1,2,5,6 (mod 8)のとき d=−4nとする（これらについてはセクション2で詳しく述べる）．

δ1= ¹₂, δ3=¹₃ を除いてδn = 1とする．このとき

R3(n) =





12h(−n)δ_n (n≡1,2,5,6 (mod 8)) 24h(−n)δ_n (n≡3 (mod 8)) となる．

nが平方因子をもたないときはR3(n) =r3(n)であり，一般には r₃(n) =∑

d²|n

R₃ (n

d² )

(1.1)

である．

定理 1.1.7 (Gauss-Batemannの定理). n= 4^an1, 4∤n1のとき r₃(n) = 16

n

√nL(1, χ)q(n)P(n), (1.2)

q(n) =











0 (n1≡7 (mod 8)), 2^−a (n1≡3 (mod 8)), 3·2^−a−1 (n1≡1,2,5,6 (mod 8)),

P(n) = ∏

p^2b|n,p:odd



1 +∑^b−1

j=1

p^−j+p^−b {

1− ((⁻_p2bⁿ)

p )

1 p

}₋1

,

squarefreeの整数nに対してP(n) = 1であり，χ(m) = (⁻_m⁴ⁿ)に対してL(s, χ) =∑_∞

m=1χ(m)m^−s である．

(1.2)を用いて定理1.1.7から以下のことがいえる．

R3(n) =π⁻¹Gn

√nL(1, χ), Gn =











0 (n≡0,4,7 (mod 8)) 16 (n≡3 (mod 8)) 24 (n≡1,2,5,6 (mod 8)).

(1.3)

f ≡1 (mod 4)のときf はsquarefree，4|f,4² ∤f のときf /4はsquarefreeとし，n =f g²に対 して，





L(1, χ) =∏

p|g

( 1−(

−f p

)1 p

) L

( 1,

(−f m

))

(n≡3 (mod 4)), L(1, χ) =∏

p|g

( 1−(

−4f p

)1 p

) L

( 1,

(−4f m

))

(n≡1,2 (mod 4)).

(1.4)

定理1.1.8. Mを3個の平方数の和で表せない自然数の集合とし，M(x) =∑

n∈M, n≦x1としたと き，C= ^{7 log 7}_{8 log 4}−⁷₆, R(x) = ⁷₆+θ₂(^log_{log 4}^x7 +θ₃)−⁷₈θ₃−⁷₆·4^−θ3 (0≦θ_i≦1)に対して

M(x) = x 6 − 7

8 log 4logx+C+R(x)．

1.2 k個の0でない平方数の和で表される整数

0でない平方数(nonvanishing square)を省略して nv. sq. と表す．

定理 1.2.1. k= 2,3,4のときk個のnv. sq.の和で表せない整数が無限に存在する．

証明.

(i)k= 4のとき.

nが奇数のとき任意のa∈Z>0に対してr4(2n) =r4(2·4^an)だから4個の平方数の和による2n と2·4^anの表し方は1対1で対応している．2nに4個のnv. sq.で表せないものが存在する場合 4^a·2nも同様である．2·1 = 1²+ 1²+ 0²+ 0²だから2·4^a= (2^a)²+ (2^a)²+ 0²+ 0²であり，こ の他に2·4^aを4個の平方数で表す方法は存在しない．

(ii)k= 3のとき.

4|nに対して，n=∑3

i=1xi2 (xi ∈Z)のとき全てのxiは偶数で ⁿ₄ =∑3

i=1(^x₂ⁱ)²である．よって

n

4 も3個の平方数の和で表せる．この作業を繰り返すことで，4∤n₁に対してn= 4^an₁に3個の nv. sq.の和で表されるものが存在するとき，n₁も3個のnv. sq.の和で表される．25 = 3²+ 4²+ 0² としか3個の平方数の和で表せないから，n= 4^a·25もまたn= (2^a·3)²+ (2^a·4)²+ 0²としか 表せない．

(iii)k= 2のとき.

4|nに対して，n=∑2

i=1x_i²(x_i∈Z)のとき(ii)と同様にして，4∤n₁に対してn= 4^an₁(4∤n₁)に 2個のnv. sq.の和で表されるものが存在するとき，n1も2個のnv. sq.の和で表される．1 = 1²+ 0² としか2個の平方数の和で表せないから4^a·1 = (2^a)²+ 0²としか表せない．

定理 1.2.2. k(≧)5に対して，一部の整数を除いてほとんどの整数はk個のnv. sq.の和で表せる．

証明.

(i)k= 5のとき.

169は169 = 13²= 12²+5²= 12²+3²+4²= 11²+4²+4²+4²= 12²+4²+2²+2²+1²と1,2,3,4,5 個のnv. sq.の和で表せる．n≧170のときn−169 =∑4

i=1x_i² (x_i ∈Z, x₁≧x₂≧x₃≧x₄)と する．このときxi ̸= 0ならばn= 13²+∑4

i=1xi2と5個のnv. sq.の和で表せる．同様にして，

x4= 0ならばn= 12²+ 5²+∑3

i=1xi2と，x₄=x3= 0ならばn= 12²+ 3²+ 4²+∑2

i=1xi2と，

x4=x3 =x2 = 0ならばn= 11²+ 4²+ 4²+ 4²+xi2 と表せる．よって170以上のnは5個の nv. sq.の和で表せるからn <170について調べるとn= 1,2,3,4とn= 6,7,9,10,12,15,18,33を 除いた全ての自然数は5個のnv. sq.の和で表せる．

(ii)k= 6のとき.

n≧171とするとn−1は5個のnv. sq.の和で表せるからn=∑5

i=1x_i²+ 1²(x_i∈Z, x_i̸= 0)と6 個のnv. sq.の和で表せる．n <171について調べるとn= 1,2,3,4,5とn= 7,8,10,11,13,16,19 が例外的に6個のnv. sq.の和で表せないことが分かる．

(iii)k= 7のとき.

n−1 =∑6

i=1xi2(xi∈Z, xi̸= 0)と表すとn= 1²+∑6

i=1xi2である．n= 1と(ii)の例外の整数に 1を足した整数n= 2,3,4,5,6と8,9,11,12,14,17,20のみが7個のnv. sq.の和で表せない整数にな りうる．まず明らかにn= 1,2,3,4,5,6は7個のnv. sq.の和にならない．さらに和の平方数の最小 値を2²とすると和が20を越えてしまうから最小の平方数は1²である．ここで8,9,11,12,14,17,20 のいくつかが7個のnv. sq.の和で表せるとすると7 = 8−1,8 = 9−1, . . .19 = 20−1が6個の nv. sq.の和で表せることになる．これは(ii)に矛盾するから7個のnv. sq.の和で表せない整数は n= 1,2,3,4,5,6とn= 8,9,11,12,14,17,20である．

より一般的に考える．6以上のkに対して例外として1,2, . . . , k−1とk+b(b∈B={1,2,4,5,7, 10,13})を除いた全ての整数がk個のnv. sq.の和で表せるとする．まず1,2, . . . , kは明らかに(k+1) 個のnv. sq.の和で表せない．n−1 =∑k

i=1xi2(xi∈Z, ∏

ixi̸= 0)のときn=∑k+1

i=1xi2(xk+1= 1)

と表せる．よってb+ (k+ 1) (b∈B)の整数のみを検討すればよい．ここで(k+ 1)2²>13 + (k+ 1) だから和に含まれる最も小さい平方数は1² である．全てのb ∈ Bに対してxk+1 = 1と決め b+k+ 1 = ∑k+1

i=1x_i² (∏

ix_i ̸= 0)と仮定するとb+k= ∑k

i=1x_i² (∏

ix_i ̸= 0)となる．これは b+kがk個のnv. sq.の和で表せないことに矛盾する．

以上により定理1.2.2を次のように改める．

定理 1.2.3. n̸= 1,2, . . . , k−1, n̸=k+b (b∈B)であるn∈Z>0はk(≥6)個のnv. sq.の和で 表される．k= 5のとき，b∈B∪ {28}として同様の主張を得る．

1.3 4個の0でない平方数の和で表される整数

定理 1.3.1. 1,2,3と4 +b (b∈B∪ {25,37})と4^an1 (a∈Z_≧0, n1= 2,6,14)から成る集合の数 を除いて，全ての自然数は4個のnv. sq.の和で表される．

証明.

n1=∑4

i=1xi2 (xi∈Z, ∏4

i=1xi̸= 0)のときn= 4^an1=∑4

i=1yi2 (yi= 2^axi ̸= 0 (i= 1,2,3,4)) とかける．n≡0 (mod 8)のときn= 4^an₁とするとn₁が偶数のときr₄(4^an₁) =r₄(n₁)であり，

n1が奇数のときr4(4^a−1(4n1)) =r4(4n1)である．よってn≡0 (mod 8)のときはn1, 4n1のそれ ぞれが4個のnv. sq.の和で表せるかどうかを考えればよい．

n≡2,3,4,6,7 (mod 8)のときn−169 ≡1,2,3,5,6 (mod 8)だからn ≧170とし，n≡1,5 (mod 8)のときn−4·169 = n−676 ≡1,5 (mod 8)だからn≧677として考える．このとき，

n−169,n−676のいずれも4^a(8k+ 7)≡0,4,7 (mod 8)と等しくないから1,2,3個のnv. sq.の和 で表せる．ここで169 = 13²= 5²+ 12²= 3²+ 4²+ 12², 676 = 26²= 10²+ 24²= 6²+ 8²+ 24² を用いるとn−169,n−676は4個のnv. sq.の和で表せる．

(i)n̸≡0 (mod 8)のとき.

n̸≡1 (mod 4)ならばn≦169とし，n≡1 (mod 4)ならばn≦676として考える．

(ii)n≡0 (mod 8)のとき.

n= 4^an1(4∤n1, a∈Z>0)と決め，n₁̸≡1 (mod 4)ならばn1≦169とし，n₁≡1 (mod 4)なら ばn₁≦676として考える．

n1が4個のnv. sq.の和で表せるとき，n= 4^an1も同様である．よって(ii)においては，(i)におい て4個のnv. sq.の和で表せない整数のみを考えればよい．n̸≡0 (mod 8)をみたすn≦169 (n≡1 (mod 4)のときはn≦676)に対して1つずつ確かめていくとA={1,2,3,5,6,9,11,14,17,29,41} の要素のみが4個のnv. sq.の和で表せない．

n₁ ∈ Aのそれぞれに対して4^an₁の形のものを考える．n₁ = 1のとき4^a ·1 = 4^a−1·4 = 4^a−1(1²+ 1²+ 1²+ 1²)だから4個のnv. sq.の和で表せる．同様にしてn1= 3,5,9,11,17,29,41 はそれぞれ4^a·3 = 4^a−1·12 = 4^a−1(3²+ 1²+ 1²+ 1²), 4^a·5 = 4^a−1·20 = 4^a−1(3²+ 3²+ 1²+ 1²), 4^a·9 = 4^a−1·36 = 4^a−1(5²+ 3²+ 1²+ 1²), 4^a·11 = 4^a−1·44 = 4^a−1(5²+ 3²+ 3²+ 1²), 4^a·17 = 4^a−1·68 = 4^a−1(7²+ 3²+ 3²+ 1²), 4^a ·29 = 4^a−1·116 = 4^a−1(9²+ 5²+ 3²+ 1²), 4^a·41 = 4^a−1·164 = 4^a−1(11²+ 5²+ 3²+ 3²)だから4^an₁ (n₁ = 3,5,9,11,17,29,41)は4個の nv. sq.の和で表せる．n₁= 2,6,14のときr4(2·4^a) =r4(2),r4(6·4^a) =r4(6),r4(14·4^a) =r4(14) だから4^a·2, 4^a·6, 4^a·14は全て4個のnv. sq.の和で表せない．

1.4 2個の0でない平方数の和で表される整数

定理 1.4.1. n1=∏

pi≡1 (mod 4)piai,n2=∏

q_j≡3 (mod 4)qjbj としたときn= 2^an1n22 (a∈Z_≧0) とすると，n₁= 1かつaが偶数である場合を除き，nは2個のnv. sq.の和で表される．

証明.

定理1.1.1より，n= 2^an₁n₂² (a∈Z_≧0, n₁ =∏

pi≡1 (mod 4)p_i^ai, n₂ =∏

qj≡3 (mod 4)q_j^bj)のと きに限ってn=x1′2

+x2′2

(x1′, x2′ ∈Z_≧0)となる．2個の平方数の和でnを表す全ての方法は n= (n2x1)²+ (n2x2)² (x1, x2∈Z_≧0)の形であり2^an1=x12+x22だからn2= 1のとき，すな わちn= 2^an₁の場合を考えればよい．y_iを奇数としてx_i= 2^ciy_i (c_i∈Z_≧0)とする．

(i)c1=c2=cのとき.

n= 2^an₁=x₁²+x₂²= (2^c1y₁)²+(2^c2y₂)²= 2^2c(y₁²+y₂²)である．y_iは奇数だからy₁²≡y₂²≡1 (mod 8)であり，y₁²+y22≡2 (mod 8)である．n₁≡1 (mod 4)だからn1 =¹₂(y12+y22)より y1とy2はいずれも0でない．よってx1とx2も0でない．

(ii)c1< c2のとき.

c =c1, d=c2−c1 >0とすると，n= 2^an1 = (2^c1y1)²+ (2^c2y2)² = 2^2c1(y12+ 2^2c2−2c1y22) = 2^2c(y₁²+ 4^dy₂²)である．よってa= 2c,n₁=y₁²+ 4^dy₂²≡y₁²≡1 (mod 4)が成り立っている．

ここでy1̸= 0のときx1̸= 0となる．しかしまだx2=y2= 0の可能性がある（これはc2=∞ の場合に対応している）．y₁y₂̸= 0のときはx₁x₂̸= 0である．

nそしてn1が2個のnv. sq.の和で表されない可能性はnがn =m²の完全平方であり，n= 2^an1= 2^2cy12= (2^cy1)²を2個の平方数の和で表す方法が(±m)²+ 0²= 0²+ (±m)²の4通りの みであるときである．ここでn₁=y₁²=p₁^2a1p₂^2a2· · ·p_r^2ar (p_i≡1 (mod 4) (i= 1,2, . . . , r))で ある．

n₁ > 1 のときr₂(n₁) = 4d(n₁) = 4d(∏

p_i^2ai) = 4∏

(2a_i + 1) ≧ 4·3 = 12 > 4 だから r2(n) =r2(m²) =r2(2^an1) =r2(n1)>4である．よって2個のnv. sq.の和で表せる．

n1= 1のときn= 2^a= 2^2cだからb= 1のとき，nを2個の平方数で表す方法はn= 2²= 2²+0² の表し方のみとなる．またc−1まではn= 2^2(c−1)+ 0²のみがnを2個の平方数で表す方法であ ると仮定する．cのときにn= 2^2c =x12+x22 (x1x2 ̸= 0)とすると，n≡0 (mod 4)よりx1と x₂は共に偶数でなければいけない．このときに両辺を4で割ると ⁿ

4 = 2^2(c−1)= (^x₂¹)²+ (^x₂²)²と なり仮定に矛盾するからn1= 1のきn= 2^aは2個のnv. sq.の和で表せない．

よってn= 2^an₁n₂²が2個のnv. sq.の和で表せない唯一の場合はa= 2c, n₁= 1のときである．

1.5 3個の0でない平方数の和で表される整数

Mをn= 4^a(8m+ 7)の形の整数の集合とするとn /∈Mの場合に限りnは最大で3個のnv. sq.の 和で表せる．このときxi ̸= 0に対してn=x12またはn=x12+x22であり，n̸=x12+x22+x32

であることが起こりうる．

r3(n)>0でn=x12+x22の表し方はr3(n)に数えられるから一般的にx12+x22+ 0², x12+ 0²+x22, 0²+x12+x22と少なくとも三重に数えられる．そしてn=m²が2個のnv. sq.の和で表 せないときr₂(n)によって数えられる, (±m)²+ 0², 0²+ (±m)²の4通りの表し方はr₃(n)によっ て6通りの表し方として数えられる．すなわち(±m)²+ 0²+ 0², 0²+ (±m)²+ 0², 0²+ 0²+ (±m)²