I.2 z x, y i z = x + iy. x, y z (real part), (imaginary part), x = Re(z), y = Im(z). () i. (2) 2 z = x + iy, z 2 = x 2 + iy 2,, z ± z 2 = (x ± x 2 ) +

複素解析

解析学は微分と積分を主題にした数学のことである．学部 1 年までは実数関数 についての微分積分学を学んできた. 実数関数を複素数上で定義された複素数値を もつ関数に拡張したものが複素関数である. 複素関数を利用した微分と積分からな る数学を複素解析と呼ぶ. 複素関数論とも言葉もよく用いられる. これは複素解析 と同義と思ってよい. ある複素数 z は 2 つの実数 x, y により z = x + iy とあらわされる (i は虚数単 位). したがって 1 つの複素数は 2 次元のベクトル (x, y) とみなすことができる. そ のため複素解析と 2 次元のベクトル解析とは密接な関連がある. 実際に, 複素積分 の定義には線積分の概念を使うし, 複素解析の根幹をなす定理群はストークスの定 理の応用として導くことができる. 複素解析, 複素関数を導入するご利益は, 「種々の積分を非常に簡単に求められ る」ということに尽きる. その応用先は特殊関数論 (あらゆる物理分野をカバー), 流体力学 (特に 2 次元流問題), 弾性体力学等, 物理学と数学の広い範囲に及んでい る. 進んだ応用については後期の物理数学 II (演習) で学ぶことになる.

1.1

複素関数の導入

複素関数とは複素数 z を変数とする関数のことで, w = f (z) 等として表す. z の 動く範囲を f (z) の 定義域, そのときの w の動く範囲を値域 と呼ぶ. z = x + iy とおけば, f (z) は 2 つの実変数 x, y の関数となる. f (z) の実部および 虚部を表す実関数を u(x, y), v(x, y) とおくと,

w = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

と表される. 複素関数の場合, 定義域も値域も複素平面上のある領域を示す. そのため複素関 数を幾何学的に表すためには 2 つの複素平面が必要となる. z の動く複素平面を z 平面, w 動く複素平面を w 平面 と呼ぶ. 一般に定義域を表す記号として D, 値域を 表す記号として D0を用いる. 2008-1202 2008 年 12 月 2 日 (小高正嗣，山本哲生)

1.2

複素数の性質

複素数 z は任意の実数 x, y と虚数単位 i を用いて z = x + iy と定義される. x, y はそれぞれ z の 実部 (real part), 虚部 (imaginary part) と呼び, x = Re(z), y = Im(z) と表す.

(1) −i の平方根を求めよ.

(2) 2 つの複素数 z1 = x1+ iy1, z2 = x2 + iy2の和, 差, 積は

z1± z2 = (x1± x2) + i(y1± y2), z1· z2 = (x1x2− y1y2) + i(x1y2+ x2y1), と表される. このとき z1/z2 の実部, 虚部を x1, y1, x2, y2を用いて表せ. (3) 複素数 z = x+iy の虚部の符号を変えたもの x−iy を z の共役複素数(complex

conjugate) と呼び, z と表す. このとき以下の関係が成り立つことを示せ. (z1· z2) = z1· z2, z1/z2 = z1/z2 (z2 6= 0). (4) 複素数 z = x + iy の絶対値|z| はpx2_{+ y}2_{と定義される. このとき任意の 2} つの複素数 z1, z2 に対し, 以下の式が成り立つことを示せ. |z1+ z2| ≤ |z1| + |z2| (三角不等式) (5) 一般に n 個の複素数 z1, z2,· · ·, znに対し, 以下の式が成り立つことを示せ. |z1+ z2+· · · + zn| ≤ |z1| + |z2| + · · · + |zn| (1.1)

1.3

複素数の指数関数

a, t は実数とする. このとき指数関数 eat _は eat = ∞ X n=0 (at)n n! = 1 + at 1! + (at)2 2! +· · · と無限級数を用いて表される. ただし 0! = 1 とする. さらに eat _{は次の微分方程式} の初期値問題, df (t) dy = af (t), f (0) = 1, の解である. 以下では a を複素数に拡張可能であるとする. (1) オイラーの公式 eiy = cos y + i sin y (1.2) が成り立つことを示せ. ここで y は実数である. (2) 任意の 2 つの複素数 z1, z2に対し, ez1ez2 = ez1+z2 となることを示せ (ヒント: eat が上記の微分方程式の解であることを利用する). 2008-1202 2008 年 12 月 2 日 (小高正嗣，山本哲生)

1.4

複素数の極形式

複素数 z = x + iy (x, y は実数) は横軸に実数, 縦軸に虚数にとった 複素平面 (complex plane) 上のある 1 点として表現される. このとき

z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ (1.3) と表される. これを複素数の 極形式 という. 最後の等号関係はオイラーの公式を 用いた. ここで r =|z| =px2 _{+ y}2_{, θ は z の偏角 (argument) と呼ばれ, θ = argz と} 表される. 物理では偏角 θ は位相 (phase) と呼ばれることが多い． 累乗根 z1/n • 定義: wn _{= z に対する w の解} • z = reiθ _{とおくと，定義より} z1/n = √n r exp[i n(θ + 2πk)] (k = 0, 1, . . . n− 1) （注意）累乗根 z1/n_{は n 個の値をとる．} • 例：81/3_{= 2, 2e}2π₃i_{, 2e}4π₃ i (1) z が実数の場合および純虚数の場合, argz はそれぞれどうなるか. (2) 次の複素数を極形式で表し複素平面上に図示せよ． i, −i, 1 − i, 1 +√3i (3) ド・モアブルの公式

(cos θ + i sin θ)n= cos nθ + i sin nθ, (1.4) が成り立つことを示せ. (4) z3 = 1 の根を全て求め, それを複素平面上に図示せよ. (5) 任意の自然数 n に対し zn _{= 1 の根は複素平面上でどのような幾何学的位置} にあるか. (6) 次の値を求めよ．値は１つとは限らない． 11/4, i2/3, ii

[7 ]|z| < 1 ならば， ∞ X n=0 zn = 1 1− z である．これを用いて，|r| < 1 のとき次式 が成り立つことを示せ．                ∞ X n=0 rncos nθ = 1− r cos θ 1− 2r cos θ + r2 ∞ X n=0 rnsin nθ = r sin θ 1− 2r cos θ + r2 2008-1202 2008 年 12 月 2 日 (小高正嗣，山本哲生)

1.5

オイラーの公式の利用

オイラーの公式 (1.2), ド・モアブルの公式 (1.3) を用いて以下の公式が成り立つ ことを示せ.

(1) cos(θ1± θ2) = cos θ1cos θ2∓ sin θ1sin θ2 (2) sin(θ1± θ2) = cos θ1sin θ2± sin θ1cos θ2 (3) cos 2θ = cos2θ− sin2θ

1.6

振動の記述

ばね定数 k のばねに質量 m の物体を結びつけ x 軸上で振動させる．物体 m の運 動方程式は md 2_x dx2 =−kx (1.5) あるいは d2_x dx2 =−ω 2 x, ω2 = r k m (1.6) で与えられる．指数関数を微分しても変わらない性質を利用1_{して，この方程式の} 解を x = aebt (1.7) と予想して a, b を決定する．これをもとの方程式に代入すると b2aebt =−ω2aebt を得る．これから b = ±ω と決定できる．よって一般解は x = a1eiωt+ a2e−iωt (1.8) となる．時刻 t = 0 で x = A から初速度 0 で出発したとする： x(0) = A, ˙x(0) = 0. これを満たすように a1, a2は

˙x = iω(a1eiωt− a2e−iωt) より

a1 = a2 = A/2 であるから

x = 1

2A(e

iωt_{+ e}−iωt_{) = A cos(ωt) (1.9)}

となる． (1) 速度に比例する摩擦がある場合の運動方程式 m¨x + 2λ ˙x + mω2x = 0 の解について論じよ．ここで λ は摩擦の大きさの目安を与える定数である． また上で論じた例と同じ初期条件のときの解を求めよ．λ→ 0 で上で求めた 解 (1.9) に近づくことを確認することをお忘れなく． 1_{指数関数の変数はいまの場合，複素数になるかも知れないが気にしない．とりあえずこれで進} み困ったときにあらためて考え直せばよい．これが物理数学のやり方． 2008-1202 2008 年 12 月 2 日 (小高正嗣，山本哲生)

2.1

複素関数の極限と連続

複素数平面の領域 D で定義された複素関数 w = f (z) を考える. z が D 内を移 動してある点 z0 に近づくとき, w がある値 w0 に近づくとき, f (z) は z = z0 で極 限値 w0 を持つという. 数式では lim z→z0 f (z) = w0 (2.1) と表す. このとき z0にどの方向から近づいても w は w0 (|w0| < ∞) に近づく (すな わち偏角によらない) ことが必要である. すなわち z− z0 = reiθ とおくとき，r → 0 で θ によらず w = f(z) が一定値 w0に近づくとき f (z) は z → z0 で極限値 w0をもつ． 例 2.1 w = (z− 1)2_{において z} → 1 の極限値は z − 1 = reiθ_{とおき r} → 0 とする と，w = r2_e2iθ_{は θ の値によらずゼロに近づく．すなわち} lim z→1(z− 1) 2 _{= 0} である． 例 2.2 w = z ∗ z において z → 0 の極限値．z = reiθ_とおくと w = r −iθ reiθ = e −2iθ_. r は消えて r→ 0 としても w は e−2iθに留まる．実軸の正の方向 θ = 0 から近づく と w → 1 である．一方．虚軸の正の方向 θ = π/2 から近づくと w → e−iπ _{=−1 で} ある．よってこの極限値は存在しない． 複素関数 w = f (z) が次の 3 つの条件 1. z = z0 で f (z0) が存在する， 2. limz→z0f (z) = w0 が存在する． 3. w0 = f (z0) が成り立つ． を同時に満たすとき, f(z) は z = z0で連続であるという

2.2

複素関数の微分

複素数 z を 2 つの実数 x, y を用いて z = x + iy と表すとき．複素関数 f (z) は実 変数 x, y の 2 変数関数とみることができる．たとえば f (z) = z2 _{= x}2− y2_{+ 2ixy，} f (z) = |z|2 = x2+ y2. あるいは 2 実変数 x, y の関数とみるかわりに，z とその共 役な z∗ = x− iy との 2 変数関数とみることもできる．z, z∗で上記の f =|z|2 _を表 すと f (z) = z∗_{· z．両変数ペアの間の関係は} z = x + iy, z∗ = x− iy. (2.2) あるいは x = 1 2(z + z ∗_{), y =} 1 2i(z− z ∗_{). (2.3)} 複素関数 f は (x, y) または (z, z∗) のどちらの変数ペアの関数とも見なすことがで きる． いま f (x, y) は z = z0 = x0+ iy0において x でも y でも微分可能とすると，f を (z, z∗) の関数と見なし，z = z0付近で f (z) = f (z0) + µ ∂f ∂z ¶ z0 (z− z0) + µ ∂f ∂z∗ ¶ z0 (z∗− z∗₀) + O(|z − z0|2) (2.4) と展開する．これから f (z)− f(z0) z− z0 = µ ∂f ∂z ¶ z0 + µ ∂f ∂z∗ ¶ z0 (z− z0)∗ z− z0 + O(|z − z0|) (2.5) ここで z → z0の極限をとる．z− z0 = reiθとおき r → 0 とすればよい．このとき f (z)− f(z0) z− z0 = µ ∂f ∂z ¶ z0 + µ ∂f ∂z∗ ¶ z0 e−2iθ (2.6) となる．(∂f /∂z∗)z0 = 0 でないかぎり極限値は z0へ近づく方向 θ による．θ によら ずどの方向から z0に近づいても左辺が (その絶対値が有限な) 一定値をとるとき， f (z) は z = z0で微分可能と言い，f0(z0) や_dzdf(z0) 等と記す．f0(z0) が存在するた めの必要十分条件は z = z0において ∂f ∂z∗ = 0 (2.7) である．(2.7) をコーシー-リーマン (Cauchy-Rieman) の方程式という． 要するにある複素関数が（z∗_{を用いずに）z のみで表せるとき，その関数は点} z で微分可能である．実変数の意味での微分は関数がなめらかである，という定性 的意味にすぎなかったが，複素変数ではコーシー-リーマンの方程式を満たさねば ならない，というきつい条件がかかる．その結果，微分可能な関数の範囲はずっ と狭まる．たとえば 2008-1209.tex 2008 年 12 月 9 日 (山本哲生)

• z2_{は複素平面上でのあらゆる点で微分可能，であるが}

• |z|2_{は原点を除くあらゆる点で微分不可能}

である．

複素平面上のある領域 D の各点で f (z) が微分可能なとき f (z) は D 上で解析的 （あるいは正則という言葉も使われる）であるという．

2.3

コーシー・リーマンいろいろ

コーシー・リーマンの方程式 (2.7) はいろいろな形で表すことができる． その準備として (2.7) における ∂/∂z∗_{を x, y での微分で表しておこう．まず (2.3)} より ∂x ∂z = 1 2, ∂y ∂z = 1 2i である．ここで z での偏微分は z∗を固定した偏微分である．同様に ∂x ∂z∗ = 1 2, ∂y ∂z∗ =− 1 2i 今度は z を固定して微分した．これから ∂ ∂z = ∂x ∂z ∂ ∂x + ∂y ∂z ∂ ∂y = 1 2 µ ∂ ∂x + 1 i ∂ ∂y ¶ (2.8) を得る．これで微分変数が x, y に変換できた．同様に ∂ ∂z∗ = 1 2 µ ∂ ∂x − 1 i ∂ ∂y ¶ . (2.9) 複素関数 f (z) を実部 u と虚部 v にわけて f (z) = u(x, y) + iv(x, y) (2.10) と表し，(2.9) を用いてコーシー-リーマンの方程式 (2.7) を表すと 0 = ∂ ∂x(u + iv)− 1 i ∂ ∂y(u + iv) = µ ∂u ∂x − ∂v ∂y ¶ − 1 i µ ∂u ∂y + ∂v ∂x ¶ と書ける．よって ∂u ∂x = ∂v ∂y, ∂v ∂x =− ∂u ∂y (2.11) を得る．これはコーシー-リーマンの方程式の別の表現である． さらに (2.8). (2.9) から ∂2 ∂z∂z∗ = 1 4 µ ∂ ∂x − 1 i ∂ ∂y ¶ µ ∂ ∂x + 1 i ∂ ∂y ¶ = 1 4 µ ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 ¶ = 1 4∆. (2.12) ここで ∆ はラプラシアンである．(2.7) を満たす関数 f に対して ∆f (z) = ∆u(x, y) + i∆v(x, y) = 0 である．よって ∆u(x, y) = ∆v(x, y) = 0. (2.13) よって解析関数の実部と虚部はラプラス方程式を満たす．すなわち調和関数である． 2008-1209.tex 2008 年 12 月 9 日 (山本哲生)

2.4

いくつかの初等関数とその微分

2.4.1 指数関数と 3 角関数 z を複素数とする. このとき指数関数 ez_{, 三角関数 cos z, sin z は次の無限級数で} 定義される. ただし 0! = 1 とする. ez = 1 + z 1! + z2 2! +· · · = ∞ X n=0 zn n!, (2.14) cos z = 1− z 2 2! + z4 4! +· · · = ∞ X n=0 (−1)n_z2n (2n)! , (2.15) sin z = z−z 3 3! + z5 5! +· · · = ∞ X n=0 (−1)nz2n+1 (2n + 1)! (2.16) この定義からオイラーの公式

eiz = cos z + i sin z, e−iz = cos z− i sin z (2.17) が成り立ち，これから 3 角関数を指数関数で表す公式 cos z = e iz _{+ e}−iz 2 , sin z = eiz− e−iz 2i (2.18) が得られる．また加法定理やその他多くの公式はそのまま成り立つ．たとえばピ タゴラスの定理 cos2z + sin2z = 1 など．実際 cos2z + sin2z = µ eiz_{+ e}−iz 2 ¶2 + µ eiz _{− e}−iz 2i ¶ = 1 である． これらの関数は複素平面の全領域で解析であり，定義からその微分は d dze z _{= e}z_, d dz cos z =− sin z, d dz sin z = cos z (2.19) となることがわかる．要するに実関数のときの微分公式がそのまま成り立つ． 2.4.2 双曲線関数 双曲線関数は以下のように定義される: cosh z = e z_{+ e}−z 2 , sinh z = ez_{− e}−z 2 , tanh z = sinh z cosh z (2.20)

z は実数であっても複素数であってもよい． 双曲線関数における「ピタゴラスの定理」は cosh2z− sinh2z = 1 (2.21) となる． cosh z, sinh z の定義 (2.20) から，これらは複素平面の全域 (|z| < ∞) で解析であ ることがわかる．ただし tanh z は z = ±πi で微分可能ではない．(2.20) の両辺を z で微分すると d dz cosh z = sinh z, d dz sinh z = cosh z, d dz tanh z = 1 cosh2z (2.22)

となることがすぐわかる．ただし z = ±πi/2 で cosh z = 0 となることから tanh z

は z = ±πi/2 で微分不可能である．これまた 3 角関数の微分公式とほぼ同じだが cosh z の微分のみ符号が異なる． 2.4.3 対数関数 複素数 z の対数関数はどう定義できるだろうか？いま z を極形式で表し z = reiθ とし，両辺の自然対数をとる．実関数とのアナロジーで ln z = ln r + iθ となる．右辺第 1 項は z の絶対値の ln を，第 2 項は z の偏角 (argument) の i 倍と なっている．これから複素数 z の対数関数は ln z = ln|z| + i arg z (2.23) と定義できる．実数の z > 0 では arg z = 0 であるから ln z = ln|z| であり，これ までの対数の定義と一致する．負の実数や複素数ではこれまで対数は計算できな かったが，いまやその値を求めることができる．たとえば

ln(−2) = ln(2eiπ) = ln 2 + iπ, ln i = π

2i, ln(1 + i) = 1 2ln 2 + i π 4, 等々． (2.23) で定義された対数関数は z = 0（と z = ∞）を除いて複素平面上で解析的 である（問題 2.7 で証明せよ）．したがって点 z にどの方向から近づいても z にお ける微係数は等しい．θ = arg z = 0 の方向から近づくとき，(2.23) 右辺第 2 項は ゼロであるから落としてよい．よって ln z の微分は実関数 ln|z| の微分と同じであ る．すなわち d dz ln z = 1 z. (2.24) 2008-1209.tex 2008 年 12 月 9 日 (山本哲生)

指数関数，３角関数，双曲線関数と比べて，対数関数では実は次のようなやっ かいな？問題がある．与えられた複素数 z =|z|eiθ_{を極形式での表現はこれ以外に}

も実は無数にある．すなわち n を任意の整数として

z =|z|ei(θ+2nπ) =|z|eiθ · e2nπi.

なぜならば任意の整数 n に対して e2nπi _{= 1 であるからである．この結果，両辺の} ln をとった ln z = ln|z| + i(θ + 2nπ), n = 0, ±1, ±2, · · · (2.25) は無数個の値をとる．ln z のように複素平面上の点 z を与えても関数値が一意的に 決まらない関数は多価関数と呼ばれる．これは同じ点であるにもかかわらず，z を 一意的に表せないことによる．無数の値を相手にするのは面倒なので，z の偏角 θ の範囲を 0 _{≤ θ < 2π に限り 1 価関数として扱うことがある．このときの ln z の値} を主値という． 2.4.4 無理関数 z = rei(θ+2nπ)_{, (n = 0,±1, ±2, · · · ) は複素平面上で同じ点を表している．いま複} 素関数 f (z) =√z = z1/2 (2.26) を考えると，たとえば z = reiθ _{と z = re}i(θ+2π) _{は同じ点であるにもかかわらず，} f (z) = z1/2の値は

f (reiθ) = r1/2eiθ/2, f (rei(θ+2πi)) = r1/2eiθ/2eiπ=−r1/2eiθ/2

という異なる値をとる．一方，

f (rei(θ+4π)) = r1/2eiθ/2e2πi = r1/2eiθ/2 = f (reiθ)

すなわち複素平面上で z が原点を中心とする半径 r の円周上で 2 回転 (4π 回転) する ごとに z1/2_{はもとの値に戻る．つまり z}1/2_{は 2 価関数である．z の偏角を 0≤ z < 2π} の限る，すなわち主値をとると，z1/2_{は 1 価関数となり，その偏角は 0 ≤ θ < π で} 変化する． z1/2_{は z = 0 以外で解析的であり，その微分は} d dzz 1/2 ₌ 1 2z1/2 (2.27) である．つまり実関数の場合と同じように微分すればよい． 一般に zα_{（α は複素数）の微分は} d dzz α _{= αz}α−1 (2.28)

である．解析関数では実数での微分がそのまま複素数まで拡張できる．よって「こ れまでどおり」計算すればよい． 以上から，解析関数の微分では実関数の微分に新たな規則を付け加えることな く．実関数の知識をそのまま活かして自然に世界を複素関数まで拡張できた．な んという快適さ！ 2008-1209.tex 2008 年 12 月 9 日 (山本哲生)

問題

問題 2.1 次の関数 f (z) の解析性を調べよ．ただし x = (z + z∗)/2, y = (z− z∗)/2i である． 1. f (z) = z− z∗ 2. f (z) = z + 1/z 3. f (z) = x2+ y2_{+ 2ixy, f (z) = x}2_{+ y}2_{− 2ixy}

4. f (z) = e−y(cos x + i sin x), f (z) = e−y(cos x− i sin x) 問題 2.2 2 次元渦なし流体の流れは複素ポテンシャル f (z) = u(x, y) + iv(x, y) によって記述するのが便利である．実部 u(x, y) は速度ポテンシャル，虚部 v(x, y) を流れ関数とよぶ．流体の速度 V は V =∇u によって与えられる．f (z) が解析的だとして以下を示せ． 1. df /dz = Vx− iVy 2. ∇ · V = 0（湧き出し，吸い込みない）． 3. ∇ × V = 0（渦なし，層流）． 問題 2.3 双曲線関数の「ピタゴラスの定理」を証明せよ．

問題 2.4 z が実数のとき cosh z, sinh z, tanh z のグラフの概略を描け． 問題 2.5 以下の公式を証明せよ．

cosh z = cos iz, sinh z =−i sin iz, tanh z = −i tan iz 問題 2.6 加法定理

cosh(z1+ z2) = cosh z1cosh z2+ sinh z1sinh z2,

sinh(z1+ z2) = sinh z1cosh z2+ cosh z1sinh z2, tanh(z1+ z2) = tanh z1+ tanh z2

1 + tanh z1tanh z2

を証明せよ．3 角関数の加法定理とたいへんよく似ているが符号が微妙に異なる． どの部分の符号が違うか?

問題 2.7 対数関数は z = 0（と z = ∞）を除いて複素平面上で解析的であること を以下の 2 とおりの計算によって示せ．すなわち (2.25) において 1. その実虚部をそれぞれ u(x, y) = ln|z|, v(x, y) = arg z とおき，u, v がコーシー-リーマン方程式 (2.11) を満たすことを示す． 2. ln z を z と z∗で表しコーシー-リーマン方程式の等価な別の表式 ∂ ln z/∂z∗ = 0 (2.7) を満たすことを示す． 2008-1209.tex 2008 年 12 月 9 日 (山本哲生)

3.1

複素関数の積分

関数の定積分を考える．実変数のときは積分径路は一意的であった．たとえば Z 1 0 dx x は x 軸にそって 0 から 1 まで x を積分するという意味である．これに対して，複 素変数の積分 _Z 1+i 0 dz z では複素平面において 0 から 1 + i に至る径路は無数にある．このため積分値が一 意的にきまるかどうかが問題となる． たとえば上の例では，(1) 原点から実軸に沿って z = 1 まで行き次に虚軸に平行 に z = 1 から z = 1 + i まで行く径路に沿った積分と，(2) 原点から虚軸に沿って z = i まで行き次に実軸に平行に z = i から z = 1 + i まで行く径路に沿った積分と は同じ値になるだろうか？実際に径路 (1) と径路 (2) に沿った積分を計算して両者 の結果を比較してみよう． z = x + iy (3.1) とおき，よく知っている実変数 x, y の積分に焼き直して計算しよう．このとき dz = dx + idy (3.2) であるから _Z 1+i 0 dz z = Z 1+i 0 (dx + idy)(x + iy) (3.3) と書ける．径路 (1) の 0 から 1 までの積分においては y = 0 よって dy = 0，1 から 1 + i までの積分では x = 1 よって dx = 0 であるから Z (1) dz z = Z 1 0 dx x + Z 1 0 idy (1 + iy) = Z 1 0 dx x + i Z 1 0 dy + i2 Z 1 0 dy y = 1 2 + i + i 21 2 = i (3.4) となる．径路 (2) の 0 から i までの積分においては x = 0 よって dx = 0，i から 1 + i までの積分では y = 1 よって dy = 0 であるから Z (2) dz z = Z 1 0 idy iy + Z 1 0 dx (x + i) = i2 Z 1 0 dy y + Z 1 0 dx x + i Z 1 0 dx = i21 2+ 1 2+ i = i (3.5) となって径路 (1) の結果と一致する．

積分 _Z 1+i 0 dz z∗ (3.6) ではどうだろうか？ z∗ = x− iy (3.7) であるからこの積分は Z 1+i 0 dz z = Z 1+i 0 (dx + idy)(x− iy) (3.8) と書ける．径路 (1) に沿って積分すると Z (1) dz z∗ = Z 1 0 dx x + Z 1 0 idy (1− iy) = Z 1 0 dx x + i Z 1 0 dy + i(−i) Z 1 0 dy y = 1 2+ i + 1 2 = 1 + i (3.9) となる．径路 (2) では Z (2) dz z = Z 1 0 idy (−iy) + Z 1 0 dx (x− i) = i(−i) Z 1 0 dy y + Z 1 0 dx x− i Z 1 0 dx = 1 2 + 1 2 − i = 1 − i (3.10) となって径路 (1) に沿った結果とは一致しない． 2008-1216.tex 2008 年 12 月 16 日 (山本哲生)

3.2

コーシーの積分定理

複素平面上での z = a から z = b までの定積分 Z b a dz f (z) (3.11) の値が径路によらず一意的にきまる条件を考察しよう．積分値が径路によらない ことを示すには，z = a から b に至る径路 A と z = b から a に至る径路 B を合わせ た閉じた径路 C を考え，径路 C に沿った周回積分 I C dz f (z) (3.12) が C の形によらずゼロになることを示せばよい． 複素関数 f (z) において z = x + iy である．f (z) を x, y の関数と見なして，まず 複素平面上の大きさが無限小の径路 x + iy→

(1)(x + dx) + iy→(2)(x + dx) + i(y + dy)→(3)+i(y + dy)→(4)x + iy に沿った周回積分を考える．それぞれの径路での積分値は

1. f (x, y)dx

2. f (x + dx, y)(idy) = if (x + dx, y)dy 3. f (x, y + dy)(−dx) = −f(x, y + dy)dx 4. f (x, y)(−idy) = −if(x, y)dy

これらを加え合わせると Z

(1)+(2)+(3)+(4)

dz f (z) = [f (x, y)− f(x, y + dy)]dx + i[f(x + dx, y) − f(x, y)]dy

= µ −∂f ∂y + i ∂f ∂x ¶ dxdy = i µ ∂f ∂x + i ∂f ∂y ¶ dxdy (3.13) となる．径路 C で囲まれた有限な領域 D での積分にするには，D をこのような無 限小の領域に分割し，各無限小領域での積分を加え合わせればよい．このとき各 無限小領域での周回積分の和は有限領域 D の周囲 C に沿った積分となる．よって I C dz f (z) = i ZZ D dxdy µ ∂f ∂x + i ∂f ∂y ¶ (3.14) (2.3) の関係 x = 1 2(z + z ∗_{), y =} 1 2i(z− z ∗₎

を用いて積分変数を x, y から z, z∗に変換すると idxdy = i∂(x, y) ∂(z, z∗)dzdz ∗ _{= i}¯¯¯¯ ¯ 1 2 1 2i 1 2 − 1 2i ¯¯ ¯¯ ¯dzdz∗ =− 1 2dzdz ∗_{. (3.15)} また (2.9) の関係 ∂ ∂x + i ∂ ∂y = 2 ∂ ∂z∗ (3.16) を用いると結局 _I C dz f (z) =− ZZ D dzdz∗ ∂f ∂z∗ (3.17) を得る．よって ∂f ∂z∗ = 0 (3.18) のときは I C dz f (z) = 0 (3.19) となる．この事実はコーシーの積分定理と呼ばれる．(3.18) は微分可能条件（コー シー-リーマンの方程式）であることに注意せよ．f (z) が領域 D で微分可能（解 析的）であるならば D 内で f (z) が積分可能，つまり f (z) の定積分は径路によら ずその両端の値のみによってきまる．よって解析関数の積分では径路を気にせず， 「これまでどおり」積分すればよい．たとえば Z 1+i 0 dz z = · z2 2 ¸1+i 0 = (1 + i) 2 2 = i のように． 2008-1216.tex 2008 年 12 月 16 日 (山本哲生)

3.3

コーシーの積分表示

いま領域 D の内部に点 z0があり f (z) は D で微分可能とすると f (z) z− z0 は z = z0以外で微分可能である．ここで z0を中心とする半径 r の円 Sr を考える と f (z)/(z− z0) は D から Srより内側を D から除いた領域で微分可能であるから， I C dz f (z) z− z0 = I Sr dz f (z) z− z0 (3.20) が成り立つ．右辺の積分は次のように計算できる．Sr上の点は z = z0+ reiθ (r = const, 0≤ θ < 2π) (3.21) と表せる．これから dz = ireiθdθ (3.22) である．よって I Sr dz f (z) z− z0 = Z 2π 0 ireiθdθf (z0+ re iθ₎ reiθ = i Z 2π 0 dθ f (z0+ reiθ).

ここで r → 0 とすると右辺の integrand は f(z0) = const となり，右辺は 2πif (z0) となる．よって f (z0) = 1 2πi I C dz f (z) z− z0 . (3.23) これは f (z0) の積分表示とよばれる．とくに f (z) = const のとき I C dz z− z0 = 2πi (3.24) となる．

3.4

導関数の積分表示

f (z) を領域 D で微分可能な関数，閉曲線 C を D 内の閉曲線とすると，D 内の 点 z0での f (z0) はコーシーの積分表示 (3.23) から f (z0) = 1 2πi I C dz f (z) z− z0 (3.25) と表される． 両辺を z0で微分すると導関数 f0(z0) = 1 2πi I C dz f (z) (z− z0)2 (3.26) が得られる．もう一回微分すると f00(z0) = 2 2πi I C dz f (z) (z− z0)3 (3.27) さらに微分すると f000(z0) = 3· 2 2πi I C dz f (z) (z− z0)4 . (3.28) よって一般に f(n)(z0) = n! 2πi I C dz f (z) (z− z0)n+1 (3.29) (3.29) はグルサーの公式と呼ばれる. グルサーの公式は微分可能な関数 f (z) の z = z0 における微係数 f(n)_(z 0) を f (z) の積分で表す式である． 2008-1216.tex 2008 年 12 月 16 日 (山本哲生)

3.5

解析接続

グルサーの公式から z = z0で 1 回微分可能な関数は何回でも微分可能であるこ とがわかる．すなわち，複素関数の微分可能性は z = z0近傍における関数の局所 的振舞を規定するだけでなく，大域的振舞まで規定していることを意味する．こ のことは，f (z) は別の点 a でも解析的であること，すなわち f (z) は a のまわりで 整級数に展開できる可能性を開く． これを以下で具現化しよう．積分径路上の任意の点 z に対して|z − a| > |z0− a| となるように径路を選ぶ．そうすると 1/(z − z0) を z = a のまわりで 1 z− z0 = 1 z− a · 1 1− z0− a z− a = ∞ X k=0 (z0− a)k (z− a)k+1 µ¯¯ ¯¯z0− a z− a ¯¯ ¯¯ < 1¶ (3.30) と展開できるから，これを (3.25) に代入すると f (z0) = 1 2πi I C dz f (z) ∞ X k=0 (z0− a)k (z− a)k+1 = ∞ X k=0 ak(z0− a)k. (3.31) となり，z = a のまわりでの展開が得られた2_．ここで ak= 1 2πi I C dz f (z) (z− a)k+1 (3.32) である． この級数は z = a のまわりのある範囲で収束する．この範囲の端の辺の点 b を とり，点 b のまわりで f (z) を展開すると，級数は b のまわりのある範囲で収束す る．この手続きを繰り返しすと，（うまく行けば）解析関数 f (z) の定義域を拡げて ゆくことができる．この領域拡張手続きを解析接続という．上での導き方からわ かるように，展開中心 a における f (z) の微分可能性は用いていないことに注意し よう．z0での微分可能性のみを使っている． 2_{どの範囲で級数が収束するか（収束半径）の問題はさておき．}

3.6

まとめ

微分可能条件 ∂f ∂z∗ = 0 (3.33) からすべてが導かれた．すなわち，この条件を満たす関数は解析関数とよばれ， • f0_{(z) の存在−→ f}(n)_{の存在とその積分表示}−→ 整級数展開可能 が導かれ，さらに • 積分可能：定積分の値が一意的にきまる， も導かれた．コーシー-リーマン方程式はえらい！しかし数学的美しさはともかく， 物理数学的な御利益を得るためにはもう少しがまんしてローラン展開や留数定理 （これは強力！）まで進まねばならない．ここまでゆくと数学的美しさにも磨きが かかる． 2008-1216.tex 2008 年 12 月 16 日 (山本哲生)

問題

問題 3.1 原点と 1 + i をむすぶ直線に沿った径路で積分 (3.1) を実行し，§3.1 での 結果と同じ結果 i が得られることを示せ．（ヒント：この場合は z を z = reπi/4 (0≤ r ≤√2) と表せば計算が簡単である．） 問題 3.2 (3.20) を示せ． 問題 3.3 n を整数として I C dz (z− z0)n= ( 2πi (n =−1) 0 (n6= −1) であることを示せ．積分径路 C は点 z0を反時計回りに 1 周する． 問題 3.4 以下の周回積分を求めよ．C は原点を中心とする|z| = 2 の円 1 2πi I C dz z2− 1 問題 3.5 f (z) が閉じた径路 C およびその内部で解析的であると仮定して I C dz f 0_(z) z− z0 = I C dz f (z) (z− z0)2 を示せ． 問題 3.6 n 階導関数に対するコーシーの積分表示を使って次の関数の積分表示を 求めよ． 1. ルジャンドル多項式 Pn(x) = 1 2n_n! dn dxn(1− x 2₎n 答 Pn(x) = 1 2n 1 2πi I dz (1− z 2₎n (z− x)n+1 最初のいくつかを書き下すと P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 3 2x 2 ₋1 2,· · ·

2. エルミート多項式 Hn(x) = (−1)nex 2 dn dzne −x2 答 Hn(x) = (−1)nex 2 n! 2πi I dz e −z2 (z− x)n+1 = n! 2πi I dz z−n−1e−z2+2zx 右辺の導出は中辺において z → −z + x の変数変換をすればよい． H0(x) = 1, H1(x) = 2x, H2(x) = 4x2− 2, H3(x) = 8x3− 12x, · · · である． 3. ラゲール多項式 Ln(x) = ex n! dn dzn(x n_e−x₎ 答 Ln(x) = ex 2πi I dz z n_e−z (z− x)n+1 = 1 2πi I ds e −xs 1−s (1− s)sn+1 右辺の導出は中辺において z = x/(1− s) の変数変換をすればよい． L0(x) = 1, L1(x) =−x + 1, L2(x) = 1 2!(x 2_{− 4x + 2), · · ·} である． 2008-1216.tex 2008 年 12 月 16 日 (山本哲生)

4.1

特異点

前回の講義で f (z) が D で微分可能なとき，|z0− a| < |z − a| として f(z) は a の まわりで f (z0) = 1 2πi I C dz f (z) z− z0 = ∞ X k=0 ak(z0−a)k, ak= 1 2πi I C dz f (z) (z− a)k+1 = f(k)_(a) k! と整級数に展開できることを示した．では D 内に特異点 α があるとき f (z) は α の まわりでどのように展開できるだろうか？ 特異点とは，平たくいえば f (z) が発散する点のことである．たとえば • f(z) = 1/z2_{は z → 0 で |1/z}2_{| → ∞ となる．つまり 1/z}2_{は z = 0 に特異点} をもつ． • 特異点は実数とは限らない． f (z) = 1 z2_{+ 1} は z = ±i に特異点をもつ．この場合は特異点が 2 個ある． • 特異点が無数個ある関数も考えられる．たとえば f (z) = 1 sin z は実軸上に z = nπ (n = 0,±1, ±2, · · · ) というように無数個の特異点をもつ． • 見かけだおしの特異点もある．たとえば f (z) = sin z z は z = 0 で分母がゼロとなるので z = 0 が特異点のようにみえるが z → 0 で sin z z = 1 z µ z− z 3 3! +· · · ¶ → 1 なので z = 0 で発散しない．このような特異点は「除き得る特異点」という． これらの特異点は「たちの良い」特異点である．すなわち α を f (z) の特異点とす るとき，f (z) に (z− α)k_{（k：正整数）をかけて極限をとることによって有限にお} さえることができる．つまり lim z→α(z− α) k f (z) = a (0 <|a| < ∞). (4.1) たとえば lim z→i(z− i) 1 z2_{+ 1} = lim_z→i(z− i) 1 (z + i)(z− i) = 1 2i

となり有限値におさえられる．(z − α)k_{f (z) が z → α でゼロでない有限値 a にな} るとき，特異点 α は f (z) の k 位の極 (pole) とよばれる．z = i は 1/(z2_{+ 1) の 1 位} の極である． これに対して f (z) = exp µ 1 z ¶ = ∞ X k=0 1 k! µ 1 z ¶k は z = 0 に特異点をもつが，どんな大きい正整数 n をもってしても z → 0 で zn_e1/z を有限におさえることはできない．このような「たちの悪い」特異点を真性特異 点という． 正確には，特異点とは f (z) が発散する点のことではなく，微分不可能な点のこ とである．発散する点では微分不可能であるが，発散しなくても微分不可能なこ ともある．その一例は f (z) = exp µ −1 z ¶ である．z → 0 で f(z) → 0 に収束するが，z = 0 では微分不可能である． 2009-0106 2009 年 1 月 6 日 (山本哲生)

4.2

ローラン展開

もとの問題に戻ろう． もとの問題 f (z) が微分可能な領域 D 内で微分可能なとき，|z0− a| < |z − a| とし て f (z) は a のまわりで f (z0) = 1 2πi I C dz f (z) z− z0 = ∞ X k=0 ak(z0− a)k, (4.2) ak= 1 2πi I C dz f (z) (z− a)k+1 = f(k)_(a) k! (4.3) と整級数に展開できることを示した．では f (z) が微分可能な領域 D 内に孤 立特異点 α があるとき f (z) は特異点 α のまわりでどのように展開できるだ ろうか？ α は f (z) の特異点であるから z = α のまわりで f (z) は整級数には展開できな い．なぜならば整級数だと z _{→ α で f(z) は有限値に収束するからである．した} がって展開は 1 (z− α)k のような z− α の逆冪の項を含むことが予想される．この展開の具体形を求める ことが問題である． f (z) は D から点 α を除く領域で解析的であることから，点 α を囲む微小領域を D から取り除いた領域 D0では解析的である．D0として図のような領域をとりそ の周囲を C0_{とすると，D}0_{における f (z) の解析性から，コーシーの積分定理を使っ} て f (z) は f (z0) = 1 2πi I C0 dz f (z) z− z0 = 1 2πi I C2 dz f (z) z− z0 − 1 2πi I C1 dz f (z) z− z0 (4.4) と表せる．z0は D0内の点である．径路 C2, C1は反時計回りにとる． 径路 C2 上の任意の点 z に対して|z0 − α| < |z − α| となるように C2をとると， 前節と同様に 1 z− z0 = 1 z− α · 1 1− z0− α z− α = ∞ X k=0 (z0− α)k (z− α)k+1 (4.5) と展開できる．よって (4.4) の右辺第 1 項は 1 2πi I C2 dz f (z) z− z0 = ∞ X k=0 ak(z0− α)k (4.6)

と展開できる．ここで ak = 1 2πi I C2 dz f (z) (z− α)k+1 (4.7) である．あとの積分については径路上の点 z に対して|z − α| < |z0− α| であるこ とから，今度は − 1 z− z0 = 1 z0− α · 1 1− z− α z0− α = ∞ X k=1 (z− α)k−1 (z0− α)k (4.8) と展開できる．よって (4.4) の右辺第 2 項は − 1 2πi I C1 dz f (z) z− z0 = ∞ X k=1 a_−k (z0− α)k (4.9) と展開できる．ここで a_−k = 1 2πi I dz f (z)(z− α)k−1. (4.10) これらの結果はまとまって結局，ローラン展開の公式 f (z) = ∞ X k=−∞ ak(z− α)k (4.11) ak = 1 2πi I C dz f (z) (z− α)k+1 (k = 0,±1, ±2, · · · ) (4.12) が得られる．径路 C は特異点 α を囲む領域 D 内の任意の閉じた径路である3_．い ま f (z) は D 内で正則ではなく特異点 z = α では f(k)_{(α) は存在しないため} ak = f(k)_(α) k! とは書けないことに注意しよう．しかしもし D 内で f (z) が解析的で点 α が特異 点ではないとしよう．このときは (4.12) において k ≤ −1 で integrand は D で解析 的である．よって ak = 0 (k =−1, −2, −3, · · · ) となり，k = 0, 1, 2, · · · .. に対して (4.2) が成り立つ．すなわち f (z) は z = α のまわりで整級数に帰着する（テーラー 展開）．これは前回の講義で行ったとおりである． 関数の「本性」は特異点に現れる．つまりローラン展開したとき分数の項 (k≤ −1) が重要である．これらの項はローラン展開の主要部とよばれることがある．これに 対して整級数の部分は解析部とよばれる．k < 0 での展開 が有限項 k =−n (n > 0) で切れるとき，z = α は n 位の極 (pole) とよばれる．ローラン展開においてとく に k =−1 の項は重要で，その係数 a−1は z = α における f (z) の留数 (residue) と よばれる． 3_{径路 C} 1を十分小さくとっておけば領域 D と D0の差異は点 α を含むか含まないかの差異にす ぎない． 2009-0106 2009 年 1 月 6 日 (山本哲生)

4.3

留数の計算方法

関数 f (z) の特異点 z = α が真性特異点ではなく n 位の極の場合には留数を簡単 に計算することができる． このとき f (z) は f (z) = a−n (z− α)n + a_−n+1 (z− α)n−1 + a_−n+2 (z− α)n−2 +· · · + a₋₁ z− α + a0 + a1(z− α) + · · · と展開される．両辺に (z_{− α)}n_{をかけると}

(z−α)nf (z) = a_−n+a_−n+1(z−α)+a_−n+2(z−α)2+· · ·+a₋₁(z−α)n−1+a0(z−α)n+· · · . 両辺を n− 1 回 z で微分すると係数が a−n,· · · , a−2の項は落ちて dn−1 dxn−1[(z− α) n f (z)] = (n− 1)!a₋₁+n! 1!a0(z− α) + (n + 1)! 2! a1(z− α) 2 +· · · . z → α の極限をとると a₋₁の項のみが残り4 Res f (α)≡ a₋₁ = 1 (n− 1)! · dn−1 dxn−1 {(z − α) n f (z)} ¸ z→α (4.13) が得られる．これが f (z) が z = α に n 位の極をもつときの留数を求める公式であ る．とくに z0が 1 位の極の場合には，留数は単に Res f (z0) = [(z− α)f(z)]z→α (4.14) から求まる． 例 4.1 関数 f (z) = 1 (z− 1)(z + 2) (4.15) は z = 1 と z = −2 に 1 位の極をもつ．(4.14) から Res f (1) = 1 3, Res f (−1) = − 1 3. 例 4.2 関数 f (z) = cos z z3 は z = 0 に 3 位の極をもつ．z = 0 における留数は Res ³_{cos z} z3 ´ z=0 = 1 2! · d2 dz2 ³ z3· cos z z3 ´¸ z=0 = 1 2[− cos z]z=0=− 1 2. 実際， cos z z3 = 1 z3 µ 1− 1 2!z 2₊ 1 4!z 4_{− · · ·} ¶ = 1 z3 − 1 2z + 1 4!z− · · · であることからもわかる． 4_{留数 = residue = 残滓と呼ぶ理由はここから来ている．}

問題

問題 4.1 z = 0 以外では微分可能な関数 f (z) = exp µ −1 z ¶ を形式的に z で微分し，z = 0 のまわりで f (z) = ∞ X k=0 f(k)(0) k! z k _{(z 6= 0)} のように展開せよ．ただし f(k)_{(0) = lim} z→0f(k)(z) とする．何が起るか？ 問題 4.2 関数 f (z) = 1 (z− 1)(z + 2) (4.16) を特異点 z = 1 のまわりにローラン展開せよ．（ヒント：公式 (4.12) を導く際に使っ た方法を用いる．w = z _{− 1 とおき 1/(z + 2) を w の冪に展開せよ．|w| の大きさ} に応じて異なる展開となることに注意．） 問題 4.3 関数 f (z) = 1 (z− 1)(z + 2) (4.17) を z = 0 のまわりにローラン展開せよ． 問題 4.4 z = π/2 における f (z) = tan z のローラン展開の主要部（分数部分）を求めよ． 問題 4.5 関数 f (z) = 1 sin z の各特異点における留数を求めよ． 2009-0106 2009 年 1 月 6 日 (山本哲生)

5.1

留数定理

関数 f (z) が領域 D でつぎのようにローラン展開 f (z) = ∞ X k=−∞ ak(z− α)k=· · · + a₋₂ (z− α)2 + a₋₁ z− α + a0+ a1(z− α) + · · · (5.1) できるとする．z = α を囲む閉曲線 C に沿って両辺を積分すると I C dz f (z) = ∞ X k=−∞ ak I dz (z− α)k. (5.2) ここで右辺の積分は k =−1 を除いてすべてゼロである（問題 3.3 を見よ）．k = −1

については 2πi に等しい．a₋₁ = Res f (α) であるから，この周回積分は I dz f (z) = 2πi Res f (α) (5.3) となる． C で囲まれた領域内に特異点が多数あるとき，特異点を αk(k = 1, 2,· · · ) とす る．特異点 αkを囲む小さい閉じた径路 Ckをとる．Ckは互いに重ならず，また D からはみ出ることもないように，その大きさを十分小さくとる（図参照）．C と Ckとではさまれる領域で f (z) は解析的であるから I C dz f (z) = I C1 dz f (z) + I C2 dz f (z) +· · · (5.4) Ckで囲まれる領域で特異点はひとつしかないから I Ck dz f (z) = 2πi Res f (αk) (5.5) である．よって C に沿った周回積分は I dz f (z) = 2πiX k Res f (αk) (5.6) となる．周回積分を求めるには径路 C で囲まれた領域内にある特異点における留 数をを計算し，それらの和をとればよい．この和の 2πi 倍が求める積分値である． これを留数定理とよぶ．留数定理は定積分を計算する強力な手段を与える．すな わち定積分計算は代数計算に帰着する5_{．留数定理は多様な積分変換，とくにラプ} ラス逆変換6_{においてその本領を発揮する．ラプラス変換は本講義では触れる時間} がないため今後のお楽しみとしておいておこう．本講義では留数定理に習熟する ことを目的として，いくつかの初等的積分を扱う．これだけでもいままではでき なかったいくつかの定積分ができるようになる．積分計算を数多くこなすことに よって留数定理を使いこなし，計算腕力をつけてもらいたい． 5_{コーシーの研究目的の一つは定積分計算にあったといわれる．} 6_{ラプラス変換は古典物理においては，拡散方程式（熱伝導方程式）や波動方程式を解く強力な} 手法の一つである．

5.2

積分

Z

_∞ −∞

dx f (x)

の計算

実関数の定積分 I = Z _∞ −∞ dx x2_{+ 1} (5.7) を計算しよう．この積分は実は d dxtan −1_{x =} 1 x2_{+ 1} (5.8) であることを知っていれば Z _∞ −∞ dx x2_{+ 1} = £ tan−1x¤∞_−∞ = π 2 − µ −π 2 ¶ = π (5.9) と直ちに求まる． しかしこれを知らなくても留数定理を使って以下のように計算できる．まず積 分を複素周回積分 _I C dz z2_{+ 1} (5.10) に置き換え，integrand の特異点に着目する．特異点は α =±i (5.11) にある．特異点の位置を眺めつつ積分径路 C を決定する，うまい径路を見つける ところにもっとも工夫（勘！）がいる．いまの場合は C として 1. 実軸上の z =−R から実軸にそって z = R （R は十分大きい正の実数）に至 る径路 C1 と， 2. 原点を中心とした半径 R の上半円 C2 を合わせた閉径路を C とする．C で囲まれた領域内にある integrand の特異点は α = i のみである．よって留数定理から I C dz z2_{+ 1} = 2πi Res µ 1 z2_{+ 1} ¶ z=i = 2πi lim z→i · (z− i) · 1 z2_{+ 1} ¸ = π (5.12) である．径路 C2に沿った積分を次のように評価する．z = Reiθ_{とおくと C2上で}

R = const, 0 < θ < π である．また dz = iReiθ_{dθ である．よって}

¯¯ ¯¯I C dz z2_{+ 1} ¯¯ ¯¯ ≤Z π 0 dθ¯¯¯¯ R R2_e2iθ_{+ 1} ¯¯ ¯¯ = _R1 Z π 0 dθ ¯¯ ¯¯1 + _R21_e2iθ ¯¯ ¯¯ = π R + O µ 1 R3 ¶ (5.13) 2009-0113 2009 年 1 月 13 日 (山本哲生)

すなわち R → ∞ で径路 C1に沿った積分はゼロに近づく．一方，径路 C1に沿っ た積分は求める積分 I にかぎりなく近づく．よって R → ∞ で I C dz z2_{+ 1} = Z _∞ −∞ dx x2_{+ 1} = π. (5.14) 一般に f (z) が条件 1. 有限個の特異点を除いて上半面で解析的である， 2. 0≤ arg z ≤ π において |z| → ∞ のとき，f(z) は 1/z2と同程度またはそれよ りはやくゼロに近づく (f(z) = O(1/z2_{) for|z| → ∞)} を満たすとき _Z ∞ −∞ dx f (x) = 2πiX(上半面の留数) (5.15) から計算できる．

5.3

フーリエ積分

Z

_∞ −∞

dx f (x)e

iax

の計算

実関数の定積分 _Z ∞ 0 dxsin x x (5.16) を計算しよう． 変数を複素数 z に拡張し次の径路に沿った周回積分 I dz e iz z (5.17) を計算する．R > r > 0 とし 1. 実軸に沿った−R < z < −r の範囲 2. Cr：原点を中心とする半径 r の上半円 (π > θ > 0) 3. 実軸に沿った r < z < R の範囲 4. CR：原点を中心とする半径 R の上半円 (0 < θ < π) これらの径路で囲まれる領域内に integrand の特異点はない．よって I dz e iz z = 0 = Z _−r −R dxe ix x + Z Cr dz e iz z + Z R r dxe ix x + Z CR dz e iz z (5.18) である．CRに沿った積分において

z = Reiθ = R(cos θ + i sin θ), dz = iReiθdθ (0 < θ < π) (5.19) であるから Z CR dz e iz z = i Z π 0

dθ eR(i cos θ−sin θ)= i Z π 0 dθ e−R sin θ · eiR cos θ (5.20) となる．0 < θ < π であるから sin θ > 0 である．よって R を増やすと右辺の integrand はいくらでも小さくでき，R → ∞ で Z CR dz e iz z → 0 (R → ∞) (5.21) となる．一方，Crに沿った積分は Z Cr dz e iz z = i Z 0 π

dθ er(i cos θ−sin θ) (5.22)

である．r → 0 で er(i cos θ−sin θ) _{→ 1 である．よって} Z Cr dz e iz z → −iπ (r → 0). (5.23) また Z R r dxe ix x + Z _−r −R dxe ix x = Z R r dxe ix x + Z r R dxe −ix x = 2i Z R r dxsin x x . (5.24) 以上をまとめると r→ 0, R → ∞ で Z _∞ 0 dxsin x x = π 2 (5.25) を得る． 一般に f (z) が条件 1. 有限個の特異点を除いて上半面で解析的である， 2. |z| → ∞（0 ≤ arg z ≤ π で）のとき f(z) はゼロに近づく： lim |z|→∞f (z) = 0 (0≤ arg z ≤ π) (5.26) を満たすとき Z _∞ −∞

dx f (x)eiax = 2πiX(上半面の留数) (a > 0) (5.27) から計算できる．

5.4

積分

Z

2π 0

dθ f (cos θ, sin θ)

の計算

定積分 _Z 2π 0 dθ a + b cos θ (a > b > 0) (5.28) を計算しよう． z = eiθとおくと求める積分は Z 2π 0 dθ a + b cos θ = 2 i I dz bz2_{+ 2az + b} (5.29) と変形される．積分路は原点を中心とする単位円である．Integrand は z = 1 b(−a ± √ a2− b2_{) =} ( z+ z₋ (5.30) に 1 位の極をもつ．このうち z+のみが単位円内にある．z = z+における留数は Res µ 1 bz2_{+ 2az + b} ¶ z=z+ = Res µ 1 b(z− z+)(z− z−) ¶ z=z+ = 1 b(z+− z−) = 1 2√a2− b2. (5.31) よって I dz

bz2_{+ 2az + b} = 2πi Res µ 1 bz2_{+ 2az + b} ¶ z=z+ = √ πi a2− b2. (5.32) よって結局 _Z 2π 0 dθ a + b cos θ = 2π √ a2− b2 (a > b > 0). (5.33) 一般に _Z 2π 0 dθ f (cos θ, sin θ) (5.34) の形の積分を計算するには z = eiθ_{と変数変換をし} dθ = 1 i dz z , cos θ = 1 2(z + z −1_{), sin θ =} 1 2i(z− z −1_{) (5.35)} を用いて Z 2π 0 dθ f (cos θ, sin θ) = 1 i I dz z f µ 1 2(z + z −1_), 1 2i(z− z −1₎¶ _(5.36) 2009-0113 2009 年 1 月 13 日 (山本哲生)

と変形する．積分路は単位円である．単位円内の f (z)/z の特異点を zn(n = 1, 2,· · · ) とすると求める積分は Z 2π 0 dθ f (cos θ, sin θ) = 2πX n Res µ f (z) z ¶ zm (5.37) から計算できる．単位円内に f (z)/z の特異点がないときは積分値はゼロである．

問題

問題 5.1 §5.2 で扱った実関数の定積分 Z _∞ −∞ dx x2_{+ 1}  において径路 C2として下半円をとっても同じ結果を得ることを確かめよ． 問題 5.2 _Z ∞ 0 dx x4_{+ 1} を求めよ． 問題 5.3 _Z ∞ 0 dx x 2 x4_{+ 1} を求めよ． 問題 5.4 _Z ∞ 0 dx (x2_{+ a}2₎2 = π 4a3 (a > 0) を示せ． 問題 5.5 §5.3 で扱った実関数の定積分 Z _∞ 0 dxsin x x において径路 Crを原点を中心とする半径 r の下半円 (π < θ < 2π) にとって積分 を計算せよ． 問題 5.6 a を複素数とするガウス積分 I(a) = Z _∞ 0 dx e−ax2 について 1. I(a) が収束するための a の条件を求めよ． 2. a が正の実数であるときと同じ公式 Z _∞ 0 dx e−ax2 = 1 2 r π a (5.38) が成り立つことを示せ． 2009-0113 2009 年 1 月 13 日 (山本哲生)

問題 5.7 フレネル (Fresnel) 積分 Z _∞ 0 dx cos x2, Z _∞ 0 dx sin x2 を求めよ．ヒント：前問の結果を用いると簡単． 問題 5.8 I = Z 2π 0 dθ 1 + t2− 2t cos θ = 2π 1− t2 (|t| < 1) であることを示せ．また • |t| > 1 であるとどうなるか？ • |t| = 1 であるとどうなるか？ 物理的意味：平面上の定点 P の位置ベクトルを r，原点を中心する半径 r0_の円周 上の点 P0の位置ベクトルを r0(r0 < r) とするとき，P と P0の距離 l は l2 = (r− r0)2 = r2(1 + t2− 2t cos θ) に等しい．ここで t = r0/r, θ は r と r0のなす角である．積分 I は r0を半径 r0の円 周上で 1 周させたときの P と P0_{の距離 l の 2 乗の逆数の平均値を表している．す} なわち _¿ 1 l2 À = 1 r2− r02 幾何学的には，右辺の分母は P から円に引いた接線の長さの平方である． 問題 5.9 次の式が成り立つことを示せ．ただし a > 0 とする． (a) Z _∞ −∞ dx cos x x2_{+ a}2 = π ae −a_. cos x の代わりに cos kx とすると右辺はどうなるか？ (b) Z _∞ −∞ dx x sin x x2_{+ a}2 = πe −a_. sin x の代わりに sin kx とすると右辺はどうなるか？ 問題 5.10 z = z0のまわりにおける関数 f (z) のローラン展開は f (z) = ∞ X k=−∞ ak(z− z0)k, ak= 1 2πi I dz f (z) (z− z0)k+1 で与えられる（(4.12) を見よ）． f (z) = 1 (z− 1)(z + 2) を z = 1 のまわり (_{|z − 1| < 3) でのローラン展開の係数 a}kを計算し，(??) と同じ 結果を与えることを確認せよ．

問題 5.11 f (z) = 1 (z− 1)(z + 2) を_{|z − 1| > 3 なる z について z = 1 のまわりのローラン展開係数を計算し，(??)} と同じ結果を与えることを確認せよ． 2009-0113 2009 年 1 月 13 日 (山本哲生)

6.1

特異積分

孤立した 1 位の特異点がちょうど積分路上にあることが往々にしてある．たと えば実軸上での積分 _Z ∞ −∞ dx f (x) x− x0 . f (x0)6= 0 のときこのような積分は通常の意味では積分不可能である．しかし物理 の問題では往々にして，このような場合でもともかく強引に？結果を得たい場合 が多々ある．次の 2 とおりの対処方法がある： 1. 積分路の変形：x0を中心とする無限小の半径 δ をもつ半円の迂回路を積分径 路に含めることによって，特異点 x0を囲い込むなり，締め出すなりして積 分路を変形する． 2. 特異点をずらす：x0のかわりに ² を無限小量として x0を x0+ i² または x0−i² に置き換える (²& 0)． 6.1.1 コーシーの主値 この節では対処法 1 について議論する．対処法 2 については次節で論じる． f (z) は複素平面の上半面で解析的かつ|z| → ∞ のとき十分はやくゼロに近づく 関数とする． 1. 実軸−∞ < x < ∞ 2. 原点を中心とする半径 R→ ∞ の上半面の半円 からなる径路 (1) + (2) を想定する．特異点 x0を囲い込む径路 Cδ+または締め出す 径路 Cδ−をとる（図参照）と，δ → 0 でこの径路からの積分への寄与はそれぞれ Z C_δ± dz f (z) z− x0 = ( iπf (x0) （Cδ+：反時計回り） −iπf(x0) （Cδ−：時計回り） (6.1) となる．ここで図の閉径路 Cδ+に沿った次の積分を考える： I C dz f (z) z− x0 = Z x0−δ −∞ dx f (x) x− x0 + Z Cδ± dz f (z) z− x0 + Z _∞ x0+δ dx f (x) x− x0 + Z CR dz f (z) z− x0 (δ→ 0, R → ∞). f (z) は半円径路 (2) 上で R → ∞ のとき十分はやくゼロに近づく関数であるから， 径路 (2) に沿った積分はゼロとした．

右辺において Cδ+の径路をとるとき，閉径路 C に囲まれた領域で integrand は z = x0に 1 位の極をもつ．そこでの留数は f (x0) に等しいから，左辺の積分値 は 2πif (x0) となる．一方，右辺第 2 項は (6.1) より iπf (x0) に等しい．これに対し て右辺において Cδ−の径路をとるとき，閉径路 C に囲まれた領域で integrand は 解析的である．よって左辺はゼロである．一方，右辺第 2 項は−iπf(x0) に等し い．したがって，いずれにせよ f (z) が複素平面の上半面で解析的かつ_{|z| → ∞} (0 ≤ arg z ≤ π) のとき十分はやくゼロに近づくとき P Z _∞ −∞ dx f (x) x− x0 − iπf(x 0) = 0 (6.2) となる．ここで P Z _∞ −∞ dx f (x) x− x0 = lim δ→0 µZ x0−δ −∞ dx f (x) x− x0 + Z _∞ x0+δ dx f (x) x− x0 ¶ (δ→ 0) (6.3) である．この積分はコーシーの主値 (principal value) と呼ばれる．実軸上の特異点 に左右から同じ距離を保ちつつ δ → 0 の極限をとることがポイントである．これ は微妙な平衡を保つちょうど相殺する方法であることに注意しよう． 同様に，f (z) が複素平面の下半面で解析的かつ|z| → ∞ (−π < arg z < 2π) の とき十分はやくゼロに近づくとき P Z _∞ −∞ dx f (x) x− x0 + iπf (x0) = 0 (6.4) となる． 主値積分の区間は_{−∞ < x < ∞ と限る必要はない．例えば積分} Z b a dx x− x0 (a < x0 < b) では δ, δ0を微小量として ÃZ x0−δ0 a dx + Z b x0+δ dx ! 1 x− x0 = [ln(−δ0)− ln(a − x0)] + [ln(b− x0)− ln δ] = ln b− x0 a− x0 + ln−δ 0 δ は δ0_{と δ が勝手な値をとるときはその値が定まらない．しかし主値をとって δ}0 _{= δ} とすると ln(−δ0_{/δ) = ln(−1) = iπ となって} µZ x0−δ a dx + Z b x0+δ dx ¶ 1 x− x0 = P Z b a dx x− x0 = ln b− x0 a− x0 + iπ 2009-0120 2009 年 1 月 20 日 (山本哲生)

となって積分値が一意的に定まる7_． 同じ極限操作の手法が積分限界_{±∞ に対しても適用される．すなわち} P Z _∞ −∞ dx f (x) ≡ lim a→∞ Z a −a dx f (x) (6.5) である． 7_{ln z も主値をとった．すなわち 0≤ arg z < 2π に限った．}