1. ポーランド空間

1.

可分で完備な距離のつく位相空間のことをポーランド空間

(Polish space)

.

,

R

“

” ω

2

.

1.1. (X, d)

,

A ⊂ X

(

ずに

)

, A

G

.

1.2.(

)

X

: (a)

X

2

(

)

. (b) X

(c) X

R

.

1.3.

X

: (a) X

.

(b) X

R

. (c) X

[0, 1]

G

.

1.4. X

,

f : ω

→ X

g : X → ω

:

(1) f

(

)

.

(2) g

,

F

. (3) f ◦ g = id

.

, f

, g

.

(4)

X

0

(clopen

, g

.

1.5.(Sierpinski–Hausdorff–Michael

)

X

,

Y

, Y

.

, X

, f : X → Y

,

f (X )

.

,

X

ω

X

.

2.

2.1. (Baire

)

,

2.2.

X

A

(nowhere dense)

, X

U

,

V

V ⊂ U \ A

.

, A

.

(meager set)

.

2.3.

(Baire space)

.

, Baire

空間のことだとも言える

.

2.4.

.

G

部分空間はまたベール空間である

(

).

2.5.

X

A

B

, A4B = (A \ B) ∪ (B \ A)

.

,

A =

B

,

.

2.6. A =

G

G

A

(the Baire property)

.

の開集合を含む

σ-

.

.

2.7.

A

, “x

W

W ∩ A

”

E(A)

, “x

W

W \ A

”

U(A)

.

E(A)

, U (A)

, U (A) ⊂ E(A)

.

A \ E(A)

U (A) \ A

,

A

, E(A) \ A

A \ U (A)

.

一般に

E(A) = E(B) ⇐⇒ U (A) = U (B) ⇐⇒ A =

B

, A

A =

E(A) =

U (B)

.

A

E(A) = A (

), A

U (A) = int(A) (

)

.

2.8.

X

Y

f : X → Y

BP

, Y

f

X

.

2

2.9. (BP

“

”

) X

Y

f : X → Y

BP

,

D ⊂ X

: X \ D

, f

D

f ¹ D

D

Y

.

これを証明するために

, {V

: n ∈ ω}

Y

, f

(V

)

X

, G

X

f

(V

)4G

(

M

)

.

D = X \ S

n∈ω

M

, X \ D

S

n∈ω

M

, x ∈ D

f (x) ∈ V

⇐⇒ x ∈ G

∩ D

f

D

.

逆にそのような集合

D

BP

.

2.10.

comeager

(

)

.

comeager

.

2.11. (

) X

Y

とする

.

f : X × Y → R

,

f

: y 7→ f (x, y)

f

: x 7→ f (x, y)

を考える

.

, f

y ∈ Y

, f

x ∈ X

,

D ⊂ X × Y

. D

X × Y

comeager

,

y ∈ Y

D

= {x : hx, yi ∈ D}

X

comeager

,

f

hx, yi ∈ D

なる

.

以下

,

. X

Y

.

δ

ε

, “y

δ-

f

“

”

ε

hx, yi

E

,

.

E

:

hx

, y

i ∈ E

hx, yi

. hx, yi

E

.

u

v

y

δ-

,

i

y

δ-

u

v

, |f (x

, u) − f (x

, v)| ≤ ε

.

i → ∞

, f

, f

|f (x, u) − f (x, v)| ≤ ε.

hx, yi ∈ E

.

つぎに,

x ∈ E

\ int(E

)

hx, yi

M

M

⊂ E

\ int(E

)

M

.

D = X × Y \ S

m,n∈ω

M

m,_n¹ としよう

. D

comeager in X × Y

,

y ∈ Y

x / ∈ D

⇐⇒ x ∈ S

m,n∈ω

E

\ int(E

)

D

comeager in X

.

あとは

hx

, y

i → hx, yi ∈ D (i → ∞)

f (x

, y

) → f (x, y)

.

そうでないとすると

,

n ∈ ω

∃

i (|f (x

, y

)− f (x, y)| ≥ 1/n)

.

x

→ x

, f (x

, y) → f (x, y)

∀

i (|f (x

, y) − f (x, y)| < 1/2n)

.

∃

i (|f (x

, y

) − f (x

, y)| > 1/2n)

.

これに対して

, m

,

i

y

y

は

1/m

,

∃

i (x

∈ / E

m,_2n¹

)

.

, x / ∈ int(E

m,_2n¹ y

)

, hx, yi ∈ D

x / ∈ E

m,_2n¹ y すなわち

hx, yi ∈ / E

m,_2n¹ である

.

つまり

, ∃n ∈ ω ∀m ∈ ω (hx, yi ∈ / E

m,_2n¹

)

.

y

f

1/2n

.

f

.

f(x

, y

)

f (x, y)

. (

).

ここでは

f

,

.

4

3.

位相空間

X

σ-

X

.

.

3.1. X

, Y

, B

B

B

= { B ∩ Y : B ∈ B

}

.

3.2.

X

Y

f : X → Y

∀B ∈ B

(f

(B ) ∈ B

)

, f

.

f

f

, f

.

3.3.

.

3.4. X

,

B

,

G

,

,

: B

X

,

Y

1

1

f : Y → X

B = f (Y )

.

3.5.

: X

t

B

X

X

t

t

, (X, t

)

,

B

t

-

clopen

.

3.6.

, 3.4

: X

Y

間

, B

X

. f : X → Y

, f ¹ B

1

1

f (B)

Y

3.6

, “

”

. 3.7.(

)

X

t

t

,

,

t

t

.

, t

t

.

, t

⊃ t

だったとして

, id

: (X, t

) → (X, t

)

3.6

.

t

t

.

, X

2

, t

-

t

-

.

(

3.8)

, t

t

X

.

3.7.

X

t

.

P = Q

n

(X, t

)

. P

∆

∆ = { (x, x, x, . . .) : x ∈ X }

によって定義する

.

, ∆

P

,

x 7→

(x, x, x, . . .)

∆

X

,

ての

t

S

n

t

.

t

X

∆

P

,

t

T

n

t

(

X

)

.

, X

2

,

t

. 3.8.

,

X

t

⊂ t

⊂ t

⊂ · · ·

S

n∈ω

t

X

t

,

t

t

までのどの位相で考えても同じである

.

3.9.

(3.8)

3.5

:

(X, t)

, B

(n ∈ ω)

, t

より細かいポーランド位相

t

,

B

t

-clopen

.

t

t

.

6

4.

4.1.

X

σ-

A

(X, A)

(mea- surable space)

.

4.2. (X, A)

(Y, B)

,

f : X → Y

∀B ∈ B (f

(B) ∈ A)

,

f

.

.

4.3.

,

,

(standard Borel space)

. 4.4. X

, (X, B

)

, X

.

4.5.

(X, A)

(countably separated)

,

A

∈ A

X

,

,

x = y ⇐⇒ (∀n ∈ ω)[ x ∈ A

⇐⇒ y ∈ A

]

が成立することである

.

{A

: n ∈ ω}

(countable separating family)

. (X, A)

, (2

, B

)

f : X → 2

. (

x ∈ X

{n ∈ ω : x ∈ A

}

.)

4.6.

(X, A)

,

{A

: n ∈ ω}

A

σ-

,

(countably

generated)

. (X, A)

,

ある写像

f : X → 2

A = { f

(B) : B ⊂ 2

}

.

4.7.

,

,

.

,

.

4.8.

,

.

,

,

.

,

,

.

4.9.

,

σ-

(Blackwell space)

呼ばれる

.

Σ

(

)

.

,

.

8

5.

X

, Y

. B ⊂ X × Y

,

U ⊂ Y

∀

B = { x ∈ X : U \ B

}

∃

B = { x ∈ X : U ∩ B

}

と定義する

,

B

= { y ∈ Y : hx, yi ∈ B}

B

x ∈ X

.

ここで証明したいのは次のことである

:

定理

. B

,

U ⊂ Y

, ∀

B

∃

B

.

これを証明するために

,

X × Y

A

.

, B ∈ A

, B

X × Y

,

U ⊂ Y

, ∀

B

∃

B

X

.

5.1. P

X

, Q

Y

,

∀

(P × Q) =

 



P, if U ⊂ Q

∅, otherwise , ∃

(P × Q) =

 



P, if U ∩ Q 6= ∅

∅, otherwise

, P × Q ∈ A

.

5.2. B ∈ A

,

∀

(B

) = ∃

B

∃

(B

) = ∀

B

, B

A

.

5.3. B

, B

, B

, . . . ∈ A

,

∀

\

n∈ω

B

= \

n∈ω

∀

B

,

∀

[

n∈ω

B

= \

V⊂U basic open

[

n∈ω

∃

B

,

∃

\

n∈ω

B

= [

V⊂U basic open

\

n∈ω

∀

B

,

∃

[

n∈ω

B

= [

n∈ω

∃

B

となるので

, T

n∈ω

B

S

n∈ω

B

A

.

2

3

,

,

U \ ( S

n

B

)

,

, U

V 6= ∅

, V ∩ ( S

n

B

)

,

.

5.4. 5.1

5.3

, A

P × Q

σ-

.

X × Y

A

,

.

5.5.

, X

,

.

, Y

,

.

5.6. 5.1

5.3

, X

Y

, B

Σ

∃

B

Σ

B

Π

∀

B

Π

10

6.

位相空間

X

F(X)

,

F

(X)

.

. 6.1. X

, d

X

.

,

A ∈ F

(X )

x 7→ d(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A}

と同一視できる

.

,

F

(X)

C(X, R)

.

,

F

(X)

.

6.2.

F

(X )

,

,

H (A, B) = sup

x∈X

|d(x, A) − d(x, B)|

で定義される

F

(X)

H

. d

H

, d

.

6.2.

F

(X )

Wijsman

. X

, Wijsman

.

6.3. (Beer–Constantini

) X

, X

Wijsman

, F

(X)

.

ハウスドルフ距離位相と

Wijsman

. X

F

(X )

. 2

.

6.4. Vietoris

, X

U

.

{ A ∈ F

(X ) : A ∩ U 6= ∅ }

{ A ∈ F

(X) : A ⊂ U }

の形の集合で生成される位相である

.

,

,

.

6.5. Fell

, X

U

.

{ A ∈ F

(X) : A ∩ U 6= ∅ }

の形の集合と

, X

K

{ A ∈ F

(X) : A ∩ K = ∅ }

の形の集合で生成される位相である

. X

, F

(X )

Fell

.

, X

, Fell

T

(

)

.

6.6.

4

, X

U

(U)

= { A ∈ F

(X ) : A ∩ U 6= ∅ }

の形の集合は

F

(X)

.

, Wijsman

Fell

,

F

(X)

.

X

U

(U )

F ∗ (X)

σ-

Effros

. Wijsman

Fell

族は

Effros

. Vietoris

のボレル構造は

, X

, Effros

.

6.7. X

, (Beer–Constantini

) Effros

F

(X)

. F(X )

,

.

6.8.

, Wijsman

F(X)

.

, “

X

”

,

.

,

A

∈ F

(X )

x ∈ X

d(x, A

) → ∞

, A

→ ∅

.

したがって

,

F(X )

R

F(R)

Wijsman

,

(0, 1)

R

F(R)

.

いずれにせよ

,

Wijsman

, F(X)

X

,

F(X)

X

. (

,

.)

12

6.9. Wijsman

,

A

f

: x 7→ d(x, A)

.

, F

(X )

X

C(X, R)

. C(X, R)

F(X )

F

(X)

.

, F

(X )

,

X

F

(X)

.

Beer

Constantini

F

(X )

で

F

(X )

(6.3.)

.

, X

F

(X )

F

(X )

G

.

(X, d)

d

, F

(X )

パクトで距離づけ可能な空間となる

.

.

D = {x

: m ∈ ω}

X

, f

, X

x

.

F

(X)

D

R

(

F

(X )

).

また

, C(X, R)

F

(X )

,

f 7→ f ¹ D

F

(X)

R

.

,

F

(X)

.

ここで

d

(0 ≤ d < 1

)

, F

(X)

X

[0, 1]

,

[0, 1]

,

.

6.10.

d

d/(1 + d)

, X

(

)

, F

(X )

の

Wijsman

.

(6.8

た

F (R)

)

.

, d/(1 + d)

1

,

1

,

d

6.9

.

F

(X)

F

(X)

.

(

∅ ∈ F

(X).)

, F

(X )

.

, Beer

Constantini

, Becker-Kechris

,

.

6.11. (Kuratowski–Ryll-Nardzewski

) X

とし

F

(X )

Effros

,

σ

: F

(X ) → X

(∀A ∈ F

(X) (σ

(A) ∈ A).)

.

X = ω

, A ∈ F

(ω

)

, σ

(A)

α = σ

(A) ⇐⇒

∀n ∈ ω (α(n) = min{ i ∈ ω : A ∩ [α¹n

(i)] 6= ∅ })

とすればよい

.

X

,

f : ω

→ X

,

σ

(A) = f (σ

(f

(A)))

と定義する

.

, f

X

A 7→ f

(A)

F

(X)

F

(ω

)

.

14

7.

位相群とは

,

,

.

7.1

G

1

U

(a) U

, 1

∈ T U

. (b) U ∈ U

U

∈ U

.

(c)

U ∈ U

V ∈ U

V V ⊂ U

. (d)

U ∈ U

g ∈ G

gU g

∈ U

.

これらは逆演算

g 7→ g

,

hg, hi 7→ gh,

hg, hi 7→ ghg

1

(a)

(d)

.

7.2.

G

T

T

U

= {1

}

,

G

(Tychonov

T

2

空間

)

.

7.3

,

“

”

.

7.3. (

) T

G

,

,

1

U

(

G

)

.

条件が必要であることはあきらか

.

, U

{U

: n ∈ ω}

.

, U

{V

: n ∈ ω}

4

.

(1) V

= G.

(2) V

V

V

⊂ V

. (3) V

= V

. (4) V

⊂ U

.

最後の条件から

{V

: n ∈ ω}

U

. G

T

, x 6= 1

∀

n (x / ∈ V

)

.

x ∈ V

\ V

をみたすただ一つの

n ∈ ω

n(x)

ϕ(x) = inf

 

 X

0≤i≤r

2

: x = x

· · · x

 



としよう

.

, x = x

· · · x

(x

, . . . , x

) ∈ (G\{1

})

.

ϕ(1

) = 0

.

この

ϕ(x)

: (i) ϕ(x) ≥ 0, ϕ(1

) = 0.

(ii) ϕ(x

) = ϕ(x).

(iii) ϕ(xy) ≤ ϕ(x) + ϕ(y).

さらに次の性質をもつことを証明しよう

: (iv) x 6= 1

= ⇒ ϕ(x) > 0.

(v) V

⊂ {x ∈ G : ϕ(x) ≤ 2

} ⊂ V

.

(iv)

(v)

. (v)

:

ϕ(x) ≤ 2

≤ 2ϕ(x). (∗)

.

, x = x

· · · x

r + 1

(x

, . . . , x

)

2 X

i=0

2

≥ 2

(∗∗)

となることを

, r

.

まず

r = 0

. r < s

(∗∗)

s + 1

(x

, . . . , x

)

x = x

· · · x

. α = P

i=0

2

.

P

i=0

2

k = 0, . . . , s

,

k = s

α

, P

i=0

2

≤ α/2

P

i=0

2

> α/2

k

.

,

(x

, . . . , x

)

, (x

, . . . , x

), x

, (x

, . . . , x

)

3

(

).

,

k−1

X

i=0

2

≤ α 2 ,

X

i=k+1

2

< α 2

である

.

s

,

,

2

k−1

X

i=0

2

≥ 2

,

2 X

i=k+1

2

≥ 2

したがって

, 2

≤ α, 2

≤ α

.

, 2

≤ α

α

.

さていま

n

2

≤ α

, 2

≤ 2

, 2

≤ 2

, 2

≤ 2

, n(x

· · · x

) ≥

16