（３次元静磁場解析のための辺要素有限要素法基礎研究）

日本機械学会［No.187-1］北陸信越支部 第55期総会・講演会 講演論文集 [2018.3.3福井県福井市]

G99999

磁気記録装置内における磁気ポテンシャルの有限要素解析

（３次元静磁場解析のための辺要素有限要素法基礎研究）

鋤柄 あかね

^*1

，倉橋 貴彦

^*2

Investigation on distribution of the magnetic flux density around magnetic recording device

based on the finite element method

(The edge element formulation for three-dimensional magnetic field analysis)

Akane SUKIGARA^*1, Takahiko KURAHASHI^*2

*1*2 Nagaoka University of Technology, Deptment of Mechanical Engineering Kamitomioka 1603-1, Nagaoka-shi, Niigata, 160-0016 Japan

Magnetic recording system require to increase capacity of memory, record at high speed and reduce power consumption. In recent years, a microscopic magnet is used on magnetic disc and accurate position control of magnetic head is performed in magnetic recording system, which make it possible to increase capacity of memory and record at high speed. Power consumption is changed by electric current. In fact, control of electric current is related to control of magnetic flux, which affect capability of recording. However, researches on magnetic flux focused on control of electric current have not been carried out sufficiently. In the analysis of magnetic field based on the finite element method, it is necessary to consider continuity of the magnetic flux density of normal direction on the interface among element. The node element does not satisfy this condition, however the edge element contain it. In this paper, the edge element is introduced based on mathematical theory, and basic example is carried out.

Key Words : Magnetic flux density, Magnetic vector potential, Edge element, Shape function vector, Finite element method

1.

　 緒 　 　 　 言

近 年

， 磁 気 記 録 装 置 の 記

［No.187-1］日本機械学会北陸信越支部 第55期総会・講演会　講演論文集 [2018.3.3福井県福井市]

*1 学生員，長岡技術科学大学（〒940-2188　新潟県長岡市上富岡町1603-1）

*2 正員，長岡技術科学大学

E-mail: [email protected]

録 容 量 増 加

， 記 録 再 生 の 高 速 化

， 消 費 電 力 の 低 減 が 要 求 さ れ る

．

特

定

の

領

域

に

対

し

少

な

い

電

流

で

磁

化

反

転 可 能 な 磁 束 密 度 を 発 生 さ せ る た め の 磁 場 解 析 お よ び 制 御 が 重 要 で あ る

．

磁

気

ベ

ク

ト

ル

ポ

テ

ン

シ

ャ

ル

に

よ る 有 限 要 素 法 を 用 い た 磁 場 解 析 が 有 効 で あ る が

，

要

素

の

節

点

に

磁

気

ベ

ク

ト

ル

ポ

テ

ン

シ

ャ

ル

を

設

定

す

る

有 限 要 素 法 で は 電 磁

気 の 特 性 を 十 分 に 表 現 で き な い と い う 問 題 が あ る ． こ れ は ， 透 磁 率 の 異 な る 材 料 界 面 に お い て ， 節 点 要 素 で は

ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル の 法 線 方 向 成 分 の 不 連 続 性 が 満 た さ れ な い た め で あ る

．

こ

の 問 題 を 解 決 す る 手 法 と し て

， 辺 要 素 を 用 い た 有 限 要 素 法 が あ る

． 本 研

究 で は ， 辺 要 素 有 限 要 素 法 の 定 式 化 と 簡 易 モ デ ル の 静 磁 場 解 析 結 果 を 示 し ， 辺 要 素 適 用 の 妥 当 性 を 検 証 す る ．

2.

　

⁽¹⁾

辺 要 素 有 限 要 素 法 に 基 づ く 定 式 化

2

・

1

　 支 配 方 程 式

マ

1

）

4

） ク ス ウ ェ ル 方 程 式 を 式 （ ～ （ に 示 す ．

t







 D

J

H

（

1

）

t







 B

E

（

2

）

0



 B

（

3

）

ρ



 D

（

4

）

こ

B

：

[T]

，

E

：

[V/m]

，

H

：

[A/m]

，

J

： こ で ， 磁 束 密 度 電 界 の 強 さ 磁 界 の 強 さ 電 流 密 度

[A/m²]，D

：

[C/m²]

，

ρ

：

[C/m³]

で

5

）

7

） 電 束 密 度 電 荷 密 度 あ る ． 構 成 方 程 式 を 式 （ ～ （ に 示 す ．

H Bμ

（

5

）

E

Dε

（

6

）

E

J σ

（

7

）

こ

μ

：

[H/m]

，

ε

：

[F/m]

，

σ

：

[s/m]

こ で ， 透 磁 率 誘 電 率 導 電 率

で

1

） あ る ． 静 磁 界 解 析 に お い て は マ ク ス ウ ェ ル 方 程 式 （ の 時 間 微 分 項 を 無 視 す る ．

J H





（

8

）

式

9

）

A [Wb/m]

を （ で 定 義 さ れ る 磁 気 ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル 導 入 す る ．

A B

（

9

）

式

5

）

9

） （ に 式 （ を 適 用 す る ．

A B

B

H  

 1

（

10

）

こ

ν

：

[m/H]

（

J0

こ で ， 磁 気 抵 抗 率 透 磁 率 の 逆 数 ） で あ る ． 領 域 に 流 入 す る 外 部 電 流 を 強 制 電 流 と 呼 び ，

と

8

） お く ． 式 （ に 適 用 す る と ， 静 磁 場 の 支 配 方 程 式 が 得 ら れ る ．

) J0

A H  





（



（

11

）

両

w

と

Ωe

で 辺 重 み 関 数 ベ ク ト ル の 内 積 を と り ， 要 素 領 域 積 分 す る ．





      

e

ew

（

 A)d w J₀d

（

12

）

こ

13

） こ で ， ベ ク ト ル 公 式 （ を 用 い る ．

) ( ) ( )

( a a b a b

b      

（

13

）

左

13

）

14

）

Γe

は

n

辺 に 式 （ と ガ ウ ス の 発 散 定 理 を 適 用 す る と ， 式 （ が 得 ら れ る ． 要 素 境 界 ，

は 要 素 境 界 の 外 向 き 単 位 法 線 ベ ク ト ル で あ る ．







            

e e

e( A) ( w)d [( A) w] nd w J₀d

_（

₁₄

_）

2

・

2

　 辺 要 素 の 導 入

本 節

η

研 究 で は 四 面 体 一 次 要 素 を 用 い る ． 点 要 素 に お け る 要 素 内 の 値 は ， 体 積 座 標

を

N

は 形 状 関 数 と し て 節 点 ご と の 値 を 次 の よ う に 補 間 す る ． 全 節 点 数 で あ る ．







N n

n nA

A 

_（

₁₅

_）

式

15

） （ の 勾 配 を と る ．











N n

n nA

A 

_（

₁₆

_）

∇ηn

に

式 17

） つ い て 考 え る ． 体 積 座 標 の 性 質 を 用 い て （ の よ う に 変 形 す る ．







  



















N m

m n n m n

N m

m n

N m

m

n (  )  (  ) (    )



_（

₁₇

_）

こ

m

か

n

に

e={m,n}

に

Ne

こ で ， 節 点 ら 向 か う 辺 つ い て の 形 状 関 数 ベ ク ト ル

と

18

） し て 式 （ の よ う に 定 義 す る ．

m n n m

e    

N

（

18

）

ベ

A

を

18

）

Ne

ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル ， 式 （ の 形 状 関 数 ベ ク ト ル

を 基 底 と し て 張 ら れ る ベ ク ト ル 空 間 と し て 定 義 し 直 す ．







E e

e eA N

A

（

19

）

こ

E

は

Ae

は

A

こ で ， 全 辺 数 ， ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル

の

A

の

Fig.

辺 ご と の 値 で あ る ． こ れ を 辺 要 素 有 限 要 素 法 で 用 い る ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル 近 似 式 と す る ．

1

に

Ne

の

6

形 状 関 数 ベ ク ト ル 分 布 を 示 す ． 形 状 関 数 自 身 が 成 分 を 持 つ ． 四 面 体 一 次 要 素 の

辺

x, y, z

軸

3

辺 の 内 ， に 沿 っ た に つ い て 示 す ． 添 え 字 は 辺 番 号 お よ び 方 向 を 示 す ．

2

・

4

　 支 配 方 程 式 の 離 散 化

ガ

19

）

Ae*

は ラ ー キ ン 法 を 適 用 し 離 散 化 を 行 う ． 重 み 関 数 と し て ， 式 （ を 用 い る ． 任 意 で あ る ．







E e

e eA^* N

w

（

20

）

式

19

）

20

）

17

） （ ， （ を 支 配 方 程 式 （ に 代 入 す る ．

 

  

_

   

















 e

e e e

e e e e

e e Ae A d ⁶ A ₀d

1 6 *

1 6

1

*) ( ( ) ) ( )

) (

( N N N J



_（

₂₁

_）

重

{A^*e}

を

22

）

Ve

み 関 数 の 任 意 性 よ り 消 去 し ， 辺 要 素 有 限 要 素 方 程 式 （ が 得 ら れ る ． 要 素 体 積 を

と す る ．













































































































































































0 0 0

6 2 1

6 6

2 6

1 6

6 2

2 2

1 2

6 1

2 1

1 1

) (

) (

) (

4 )

( ) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

J J J

N N

N N

N N

N N

N N

N N

N N

N N

N N

m n

m n

m n

e e

V

A A A V













  













（

22

）

（

a

）

N1x

（

b

）

N1y

（

c

）

N1z

（

a

）

N3x

（

b

）

N3y

（

c

）

N3z

（

a

）

N4x

（

b

）

N4y

（

c

）

N4z

Fig. 1 Distribution of shape function vector component.

3.

　 数 値 解 析 例

　

⁽²⁾

の 柱 辺 要 素 適 用 方 法 の 確 認 と し て ， 文 献 簡 易 モ デ ル に 対 し 解 析 を 行 っ た ． 四 角

の 面 か ら 上 面 下 へ

1[T]

の 磁 束 密 度 が 発 生 し て い る と す る ． 電 流 を

与 え な い た め 電 流 密 度

J0 = 0

と

Table 1

す る ．

に

計 を 示 す ． ま 算 条 件 た ，

Fig. 2

に 解 析 モ デ ル お よ び 境 界

条

件 を 示 す ． 矢 印 は 辺 の 向 き を 示 し て お り ， 未 知 辺 に は を 表 記 し た ． ？

Fig. 3

に

⁽²⁾

の 解 析 結 果 を 示 す ． 文 献

例 致 題 と し て お り ， 辺 要 素 解 適 が 用 一 の 妥 当 性 を 確 認 す る こ と が で き た ．

Table 1 Computational conditions.

Number of nodes 8

Number of elements 6

Number of edges 19

Magnetic permeability ratio μ 1

Fig. 2 Finite element mesh and boundary condition Fig. 3 Computational result.

for magnetic vector potential. (Distribution of magnetic flux density.)

4.

　 結 　 　 　 語

本 研 究 で は 辺 要 素 を 導 入 し た 静 磁 界 解 析 を 行 っ た

．

形

状

関

数

ベ

ク

ト ル の

分布を示し，辺要素における要素内補間方法を明らかにした．また，辺要素有限要素法の定式化を示し，文献

(2)

の 簡 易 モ デ ル に 対 し 解 析 を 行 っ た

． 今 後 ， 外 部 電 流 を 与 辺 要 素 適 用 方 法 の 妥 当 性 を 確 認 し た ．

え た

場 の 磁 界 解 析 を 行 う こ と を 定 し て い る ． 合 予

謝 　 　 　 辞

　 数 値 実 験 を 行 う に あ た り

，

九 州 大

学 盤 発 ン ー の 高 性 能 ー ー シ ス テ ム 利 い た ． こ こ に 謝 情 報 基 研 究 開 セ タ 演 算 サ バ を 用 さ せ て 頂 意 を 表 す ．

文 　 　 　 献

(1) 本 利久 ， 間

五 嵐 十 一， 川口秀樹 ，数値電磁気学， 森北出版 （2002） ．

(2) 河 ， 瀬順洋

伊 藤 昭

吉 ，電気・電 の 用解析， 森北出版 （ 子機器 実 1997） ．