社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS
信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.
2 つのリング状結合ファンデアポール発振器の同期現象
成相 大貴 † TranMinh Hai † 上手 洋子 † 西尾 芳文 †
† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島 2–1 E-mail: † {nariai,minhhai,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし
本研究では、2 種類のリング状結合発振器を抵抗で結合した新たな結合発振器システムを提案する。1 つ目 の回路は 3 個のファンデアポール発振器を抵抗でリング状に結合させた。2 つ目の回路は 3 個の van der Pol 発振器の 構造を変えた発振器をインダクタを介して抵抗で落とすタイプでリング状に結合させた。私たちはこれら２つのリン グ状結合発振器を抵抗で結合させ、その抵抗の結合強度に着目して研究を行った。結合強度を変えることで同期現象 がどのように変化するのかを調査した。
キーワード
van der Pol 発振器、同期現象
Synchronization Phenomena
in Two Rings of Coupled van der Pol Oscillators
Daiki NARIAI † , Tran MINH HAI † , Yoko UWATE † , and Yoshifumi NISHIO †
† Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University, 2-1 Minamijosanjima, Tokushima, 770-8506 Japan E-mail: † {nariai,minhhai,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract Synchronization phenomena have been studied in various fields since long time ago. In this study, I propose a novel coupled oscillatory system such as two rings of oscillators coupled by resistors. The first ring con- sists of three van der Pol oscillators connected by resistors. The second ring consists of three oscillators connected by inductors and resistors. I focus on coupling strength of coupled oscillatory networks consisting of two kinds of oscillators. I investigate how to change synchronization phenomena by changing the coupling strength.
Key words van der Pol oscillator, Synchronization
1. ま え が き
同期現象は、非線形システムにおける最も代表的な現象であ り、自然界においてもホタルの点滅や心臓の鼓動などと同期現 象によって発生する現象が多く存在する。そのため古くから同 期現象は、工学や生物学などの様々な分野において研究されて いる。その中でも、
van der Pol
発振器の同期現象は、周波数 を変えることで様々な自然現象に近似することができる。さら にvan der Pol
発振器の回路構造はシンプルでvan der Pol
発 振器の結合系は扱いやすく、多くの研究者がvan der Pol
発振 器の様々なネットワークを提案している[1]
〜[3]
。しかし1
種 類のネットワークでの同期現象は今まで研究されてきたが、2
種類のネットワークを持つ研究の報告は少ない。自然界におい ても1
つのネットワークだけで成り立っているものは少なく、様々なネットワーク感の相互作用によって成り立っている。私 たちは異なる同期現象が発生するように結合した
2
種類のvan
der Pol
発振器のネットワークを用いて研究を行う。本研究では、結合構造が異なる
2
種類のリング状結合van der Pol
発振器を抵抗で結合して同期現象の観測を行った。1
つ目 のリングは、3
個のvan der Pol
発振器を抵抗で結合したリン グ状結合van der Pol
発振器を使用する。2
つ目のリングは、3
個の
van der Pol
発振器の構造を少し変え、インダクタを介して抵抗で落とす結合をしたリング状結合
van der Pol
発振器を 使用する。この2
つのリング状結合van der Pol
発振器間を抵 抗で結合させ、その抵抗の結合強度を変えた場合のの同期現象 の調査を行う。2. システムモデル
図１に本研究で使用する
van der Pol
発振器の回路構造を示 す。この回路は負性抵抗、インンダクタ、キャパシタから構成 されている。図
2
に提案するvan der Pol
発振器のネットワークモデルを— 1 —
示す。
3
個のVDP
を抵抗で結合した同相同期が発生する1
つ 目のリングと、3
個のNC
をインダクタを介して抵抗で落とす 結合をした3
相同期が発生する2
つ目のリングを3
つの抵抗R
1, R
2, R
3で結合する。R
1, R
2, R
3の値を変化させた場合、同相同期が発生するネットワークと
3
相同期が発生するネット ワークを結合させたネットワークの同期現象がどのように変化 するのかを観測する。C L
i gn
v Cn
i Ln
VDP
図
1 van der Pol
発振器.circuit 2
circuit 3
circuit 6 circuit 4
circuit 1 VDP
VDP
VDP R
R2
R3
2L 2L 2L
2L 2L
2L i1a
i1b i3a
i3b i2a i2b
i4a i4b
i5b
i6a i6b i5a ir4
ir5
ir3 ir1
ir2
ir6
R R
R1
circuit 5
NC NC
NC R'
R'
R'
i
gnv
Cn C NC図
2
システムモデル.この回路の
1
つ目のリングの回路方程式を式(1)
に示す。
−i
gn− i
cn− i
Ln= i
an+ i
bn+ i
rnL
didtLn= v
nv
n− v
i= (i
an− i
b(i))R v
n− v
j= (i
bn− i
a(j))R v
n− v
n+3= (i
rn− i
r(n+3))R
3(1)
ここで、
n = 1, 2, 3
、i = 2, 3, 1
、j = 3, 1, 2
とする。この回路の
2
つ目のリングの回路方程式を式(2)
に示す。
−i
gn− i
cn= i
an+ i
bn+ i
rnv
n− 2L
didtan= − (i
an+ i
b(i))R
′v
n− 2L
didtbn= −(i
bn+ i
a(j))R
′v
n− v
n−3= (i
rn− i
r(n−3))R
3(2)
ここで、
n = 4, 5, 6
、i = 5, 6, 4
、j = 6, 4, 5
とする。非線形抵抗の
I − V
特性を式(3)
に示す:
i
gn= − g
1v
n+ g
3v
3n(3)
また、変数変換に使用するパラメータを以下のように置くこ とによって
t = √
LGτ, v
n= √
g13g3
x
n, i
n=
√
g1C 3g3Ly
n, ε = g
1√
CL
, α =
R1√
LC
, β = R
′√
CL
, γ
n=
R1n
√
LC
.
(4)
1
つ目のリングの正規化方程式式(5)
、2
つ目のリングの正規化 方程式(6)
が得られる。
˙
x
n= ε(x
n− x
3n) − y
n− γ
n(x
n− x
n+3) +α(−x
n+ x
i+ x
j)
˙
y
n= x
n.
(n = 1, 2, 3)
(5)
˙
x
n= ε(x
n− x
3n) − y
an− y
bn+ γ
n−3(x
n− x
n−3)
˙
y
an= x
n− β(y
an+ y
b(i))
˙
y
bn= x
n− β(y
bn+ y
a(j))
(n = 4, 5, 6)
(6)
パラメータ
ε
は非線形強度を意味し、α, β,γ
nは抵抗R
、抵抗R
′、抵抗R
nの結合強度を意味する。3. シミュレーション結果
提案するシステムモデルの
γ
nの値を変化させた時の同期現 象の変化に着目して研究を行った。他の結合強度はε = 0.05, α = 0.05, β = 0.05
に固定する。γ
1= γ
2= γ
3= 0.02
の時の発振器間の位相差を図3
、図4
に 示す。図3
、図4
の結果は初期値が異なる。これら2
つの結果 により、初期値によって同期現象が変化することが確認できた ので、結合強度γ
1, γ
2, γ
3のうち1
つまたは2
つの結合強度を 弱め、初期値によって変化しないように同期現象を制御する。γ
1= 0.001, γ
2= 0.001, γ
3= 0.02
の場合の発振器間の位相 差を図5
に示す。初期値に関係なく、1
つ目のリングでは同相 同期が観測できる。図6
に3
つのNC
の電圧の時系列波形を示 す。この時系列波形と発振器間の位相差により、2
つ目のリン グでは3
相同期が発生する。これらより、3
つのうち2
つの結 合強度を弱めた場合は1
つ目のリングでは同相同期、2
つ目の リングでは3
相同期が発生する。γ
1= 0.02, γ
2= 0.005, γ
3= 0.02
の場合の発振器間の位相差 を図7
に示す。初期値に関係なく、1
つ目のリングのVDP
では それぞれ同相同期が発生し、2
つ目のリングのNC
ではcircuit 4
とcircuit 6
でも同相同期が発生する。この結果より、3
つの うち1
つの結合強度を弱めた場合は1
つ目のリングでは同相同— 2 —
x 3 x 3
x 1
x 1
x 2 x 2
x 4 x 5 x 6 x 3 x 2
x 1 x 5
x 5 x 4
x 4 x 6
x 6
図
3
発振器間の位相差(
γ1=
γ2=
γ3= 0.02 ).
x 2
x 2 x 1
x 1 x 3
x 3
x 1 x 2 x 3 x 6 x 5
x 4
x 6 x 6 x 4
x 4 x 5
x 5
図
4
発振器間の位相差(
γ1=
γ2=
γ3= 0.02 ).
x 2
x 2 x 3
x 3 x 1
x 1
x 1 x 2 x 3 x 6 x 5
x 4
x 4 x 4
x 5
x 5 x 6
x 6
図
5
発振器間の位相差(
γ1= 0.001, γ
2= 0.001, γ
3= 0.02 ).
x n
time
図
6
電圧の時系列波形.期、
2
つ目のリングの2
つのNC
間で同相同期が発生する。結合強度を変えることによって、同じシステムモデルで様々 な同期現象を観測することができた。これらの結果より結合強 度を決めることによって同期現象を制御することができる。さ らに結合強度を変えることによって、
2
つ目のリングの同期現 象が変化することが分かった。x 2 x 2 x 3
x 3 x 1
x 1
x 4 x 5 x 6
x 3 x 2
x 1 x 5
x 5 x 6
x 6 x 4
x 4
図
7
発振器間の位相差(
γ1= 0.02, γ
2= 0.005, γ
3= 0.02 ).
次に、
2
つ目のリングの位相差と結合強度の関係に着目して 調査する。図8
に結合強度γ
2とcircuit 4
とcircuit 5
、circuit 5
とcircuit 6
、circuit 6
とcircuit 4
の位相差の関係を表した グラフを示す。γ
2の値を0.000
から0.030
まで0.001
間隔で変 化させた場合の2
つ目のリングの位相差を観測する。この時のγ
2以外の結合強度γ
1= 0.02, γ
3= 0.02
、初期値は一定の値に 固定する。γ
2の値が0.02
より小さい(
他の2
つの結合強度より小さい)
場合について考える。γ
2が0.000
から0.012
までcircuit 4
とcircuit 5
、circuit 5
とcircuit 6
の位相差は逆相同期が発生す る。0.12
を超えると、circuit 4
とcircuit 5
、circuit 5
とcircuit 6
は位相差が60
◦付近にしだいに近づく。circuit 6
とcircuit 4
においては、γ
2が0.02
より少しでも小さければ必ず同相同期 が発生する。次に
γ
2の値が0.02
より大きい(
他の2
つの結合強度より大 きい)
場合について考える。γ
2が大きくなるに従って、circuit 4
とcircuit 5
、circuit 5
とcircuit 6
の位相差は60
◦、circuit 6
とcircuit 4
の位相差は120
◦に近づく。図
8 2
つ目のリングにおける位相差と結合強度の関係.図
9,10
にγ
1= 0.02, γ
2= 0.03, γ
3= 0.02
時の1
つ目のリン グ、2
つ目のリングの時系列波形を示す。図9
より、1
つ目の— 3 —
リングの発振器では同相同期が発生する。図
10
より、2
つ目の リングでは3
相同期が1
つ目のリングの同相同期に寄せられた60
◦ずれの同期現象が観測できた。time x n
図
9 γ
1= 0.02, γ
2= 0.03, γ
3= 0.02
時の1
つ目のリングの時系列 波形.time x n
図
10 γ
1= 0.02, γ
2= 0.03, γ
3= 0.02
時の2
つ目のリングの時系列 波形.4. ま と め
本研究では提案した
2
つのリング状結合van der Pol
発振器 における、結合強度を変えることにより同期現象の調査、初期 値によって変わらないようにする制御を行った。3
つの結合強 度が全て等しい時は同期現象が初期値によって変化する。しか し3
つのうち1
つの結合強度を弱くした場合では、初期値に関 係なく1
つ目のリング状結合発振器では同相同期が発生し、2
つ目のリング状結合発振器では2
つのvan der Pol
発振器で同 相同期がおこる。3
つのうち2
つの結合強度を弱くした場合で は、初期値に関係なく1
つ目のリング状結合発振器では同相同 期が発生し、2
つ目のリング状結合発振器では3
相同期または3
相同期が同相同期に寄せられた同期現象が観測することがで きる。今後の展望として、提案システムモデルの回路実験を行いた い。また、リング状ではなく様々な構造における
2
種類のネッ トワークにおける同期現象を観測していきたい。文 献
