リング状に交差結合されたカオス回路にみられる同期現象の調査

社団法人 電子情報通信学会

THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,

INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報

TECHNICAL REPORT OF IEICE.

リング状に交差結合されたカオス回路にみられる同期現象の調査

蔭山 侃杜 ^† 上手 洋子 ^† 西尾 芳文 ^†

† ^{徳島大学 〒 770–8506 徳島市南常三島 2–1} E-mail: †{ n-kage, uwate, nishio } @ee.tokushima-u.ac.jp

あらまし

同期現象に関する研究は様々な分野で広く行われている. 最近では特に, カオス回路における同期現象は多 くの研究者によって研究がなされている. カオス現象は初期値に非常に依存し, 非周期的挙動を示す長期的予測が困難 なものである. また, 同期現象は非常に興味深い現象を引き起こしている. 同期現象およびカオス系における分岐は, 自然科学の分野において様々な高次元の非線形現象を記述するために用いられる. 本研究では, 簡単な回路構成である 森・神力回路をインダクタによりリング状に交差結合させた回路を対象とし, 3, 5, 9, 11 および 31 個の回路を結合し た場合に発生する現象の調査をコンピュータシミュレーションを用いて行った.

キーワード

カオス回路, 交差結合, 同期現象

Investigation of Synchronizations

in a Ring of Cross-Coupled Chaotic Circuits

Naoto KAGEYAMA ^† , Yoko UWATE ^† , and Yoshifumi NISHIO ^†

† Dept. of E.E. Eng, Tokushima University 2-1 Minami-Josanjima, Tokushima, 770–8506, Japan E-mail: †{ n-kage, uwate, nishio } @ee.tokushima-u.ac.jp

Abstract Studies on synchronization phenomena are extensively carried out in various fields. Recently, in par- ticular, synchronization phenomena in chaotic circuits are studied many researchers. Chaos phenomena are quite dependent on initial values and not periodical and predictable. Moreover, the synchronization phenomena have caused very interesting phenomena. Synchronization and the related bifurcation of chaotic systems are good meth- ods to describe various higher-dimensional nonlinear phenomena in the field of natural science. In this study, we investigate synchronization phenomena observed in a ring of simple chaotic circuits cross-coupled via inductors.

Interesting synchronization phenomena can be confirmed by computer simulations.

Key words chaotic circuit, cross-coupled, synchronization

1. ま え が き

結合発振システムにおける同期現象は

,

自然科学の分野にお いて

,

様々な高次元非線形現象を記述すのに非常に適したモデ ルであり

,

結合カオス回路の同期現象に関する研究が広く様々 な分野で行われている

[1]-[10].

カオスの同期現象を調査するこ とは将来

,

カオスを利用する工学分野に活用出来るのではない かと考える

.

我々の以前の研究では

,

交差結合カオス回路を調 査し

,

様々な興味深い同期現象を報告している

[11]-[13].

しか し

,

過去の研究ではリング状に交差結合されたカオス回路にお ける電圧の小さな振動についての調査を行っていない

[12].

そ こで

,

本研究では我々は過去の研究を拡張し

, n

個の森・神力回 路をインダクタを介してリング状に交差結合したものについて

,

発生する同期現象についてコンピュータシミュレーションを用

いて調査し

,

特に小さな電圧の振動が

N

相同期を発生すること を確認した

.

2. _{回路モデル}

回路モデルは図

1

に示される

.

この回路は森・神力回路をイ ンダクタ

L 2

により交差結合させている

.

まず

,

ダイオードで 構成される非線形抵抗の

v − i

特性を次の

3

セグメント区分線 形関数によって近似する

.

i dn =

 

 



 

 

G(v 1n − v 2n − V ) (v 1n − v 2n > V ) 0 ( | v 1n − v 2n | < = V ) G(v 1n − v 2n + V ) (v 1n − v 2n < − V )

(1)

(n = 1, 2, 3, ..., n)

v v

v

v

v v v v

v v

n2 n1

42

41

31 32

21 22

11

12

i

i

i i i

d

d

d d

d n

4

3 2

1

L L L

L L

1

2

2

2 2

2

-g

-g

-g -g

-g L

L

L L

L

¹

1 1

1

C C

C C

C C

C C

C

C

²

2

2

2 1 2

1

1

1

1

i i

i i

i

1n

42

13 12

11

i i

i

i i

2n-1

23 22

21

2n

i

24

図

1

回路モデル.

回路方程式は次のように表される

.

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

  L 1

di 1n

dt = v 2n

C 1

dv 1n

dt = gv 1n − i 2n − i dn

C 2 dv 2n

dt = i dn + i 2,n − 1 − i 1n

L 2

di 2n

dt = v 1n − v 2,n+1 ,

(2)

(n = 1, 2, 3, ..., n)

ここで

v 20 = v 2n

および

v 2n+1 = v 21

となる

.

次の式

(3)

のパ ラメータおよび式

(4)

の変数を用い

,

正規化された回路方程式 は式

(5)

のように与えられる

.

 



 

α = C 2

C 1

, β =

% L 1

C 2

G, γ =

% L 1

C 2

g, δ = L 1

L 2

, t = √

L 1 C 2 τ,

(3)

 

 

 

 i 1n =

% C 2

L 1

V x n , v 1n = V y n , v 2n = V z n , i 2n =

% C 2

L 1

V ω n ,

(4)

(n = 1, 2, 3, ..., n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 



˙ x n = z n

˙

y n = α(γy n − ω n − βf(y n − z n )

˙

z n = βf(y n − z n ) + ω n − 1 − x n

˙

ω n = δ(y n − z n+1 )

(5)

(n = 1, 2, 3, ..., n)

ここで

z 20 = z 2n

および

z 2n+1 = z 21

となる

.

非線形関数

f( · )

はダイオードによって構成される直線非線 形抵抗の

v − i

特性に対応しており

,

次の

3

セグメントの区分 線形関数によって記述されているものとする

.

f(y n − z n ) =

 

 

 



y n − z n − 1 (y n − z n > V ) 0 ( | y n − z n | < = V ) y n − z n + 1 (y n − z n < − V )

(6)

(n = 1, 2, 3, ...n).

3. _{シミュレーション結果}

我々は図

1

で示す回路より興味深い同期現象を観測すること が出来た

.

式

(5)

をルンゲクッタ法を用いてコンピューターシ ミュレーションを行い

,

その結果を図

2, 3, 4, 5

に示す

.

これら の同期状態は

,

式

(3)

で示されているパラメータの値をそれぞ れ

, α = 2.0, β = 4.0, γ = 0.15

および

δ = 0.004

と固定し

,

初

期値を変化させた場合に得られたものである

.

図

2

は回路の結合数

n

が

3

の場合におけるアトラクタと電圧 の時間波形を示したものである

.

図

2(b)

のアトラクタと電圧 の時間波形は図

2(a)

の回路から得られたものである

. 3

つの回 路はすべて時間波形では同相同期しているように見えるが

,

ア トラクタは

,

同相同期を示していない

.

しかし

,

拡大した時間波 形である図

2(c)

をみてみると

, 3

つの電圧の小さな振動は明確 に三相で同期しており

,

図

2(b)

においてアトラクタが完全に同 相同期していない原因となっている

.

また

,

アトラクタの形状 が位相平面上の第一象限および第三象限における位相差を表し ていることが確認できる

.

このことから

,

我々は小さなの振動 の局所的な三相による多数の定常状態の存在を期待するとがで き

,

いくつかの異なった定常状態を確認することができた

.

図

3

は回路の結合数

n

が

5

の場合におけるアトラクタと電圧 の時間波形を示したものである

.

図

3(a)

に示している

5

つの回 路をリング状に結合した場合においても

,

図

2

の場合と同様に

5

つの電圧の小さな振動が五相で同期することを確認した

.

ま た

,

小さなの振動の局所的な五相によるいくつかの異なった定 常状態を確認することができた

.

図

4

は回路の結合数

N

が

7, 9, 11

および

31

の場合における 電圧波形を表しており

,

図

5

は図

4

におけるそれぞれの波形の 一部を拡大したものである

.

図

4

の電圧波形は

,

正

,

負の領域で の小さな電圧の振動についてみてみると

,

図中において左から 順に

(M + 1)/2

番目と

(M + 3)/2

番目の波形の間で位相差が 少し大きくなっているが

,

図

1(b)

および図

2(b)

と同様にそれ ぞれ

,

七相

,

九相

,

十一相

,

三十一相で同期しているといえる

.

図

5

の拡大した電圧波形をよく見てみると

,

接続数

n

が大きくな るにつれて

(M + 1)/2

番目と

M

番目の波形に近づくにつれ

, 1

つ遅れている波形に対しての位相差が小さくなっていること が確認できる

.

それぞれの波形は図

1

の回路モデルにおいて

,

時計回りお よび反時計回りとなるような順番で遅れて同期状態をを示し ており

,

例として

,

図

5(a)

の場合では

,

図中において左から

n = 4, 2, 7, 5, 3, 1, 6

番目の回路

,

図

5(b)

の場合では

,

図中にお いて左から

n = 1, 3, 5, 7, 2, 4, 6

番目の回路順番で波形が遅れ ている

.

図

1

において

1

つの回路に対して隣り合う回路

(e.g.

n = 4

の回路を基準とするとそれに対して

, n = 3, 5

の回路

)

は

,

時計回りおよび反時計回りのどちらの順番から数えた場合 でも基準とした回路から最も遠くなる順番で波形が表れる

.

こ れらの波形の遅れの順番は

,

図

5(a), (b), (c), (d)

いずれの場合 でも初期値によって決まり

, N

相での同期状態となる場合上で あげた特性が常に示されることが確認できた

.

また

,

これらの 現象は回路数

n

が奇数の場合でのみ確認でき

,

偶数の場合では 発生しなかった

.

4. _{ま と め}

本研究では

,

インダクタによりリング状に交差結合されたカ オス回路から得られる同期現象についての調査を行った

.

時間 波形の詳細な調査ではいくつかの興味深い現象を明らかにした

.

発生のメカニズムを詳細に説明する事と同様に

,

この現象の

(a)

(b)

(c)

図

2 3

つのカオス回路を交差結合したモデル. (a)回路モデル. (b) 上図

:

位相平面でのアトラクタ

(左から y 1 − y 2 , y 1 − y 3

および

y 2 − y 3 ).

下図

:

時間波形

(y 1 , y 2

および

y 3 ). (c)

拡大した時間 波形.

L 1 2

c c

1

-g

12

v

v

22 d2

i

12

i

L1

c

2

c

1

-g

v

11

v

21

i

d1

i

11

L¹

c

²

c

¹

-g

v

¹⁵

v

²⁵

i

^d5

i

¹⁵

1L

c

2

c

1

-g

v

14

v

24

i

d4

i

14

1 L

c

2

c

1

-g

v

13

v

23 ^d3

i

i

13

L2 L2

L2

L2

L2

i

21

i

22

i

24

i

23

i

25

(a)

(b)

図

3 5

つのカオス回路を交差結合したモデル. (a)回路モデル. (b)上 図

:

位相平面でのアトラクタ

(左から y 1 −y 2 , y 1 −y 3 , y 1 −y 4 , y 1 −y 5

および

y 2 −y 3 ).

中図

:

位相平面でのアトラクタ

(左か

ら

y 2 −y 4 , y 2 −y 5 , y 3 −y 4 , y 3 −y 5

および

y 4 −y 5 ).

下図

:

時間 波形

(y 1 , y 2 , y 3 , y 4

および

y 5 ).

(a)

(b)

(c)

(d)

図

4

回路モデルから得られた電圧の時間波形. (a)

N = 7, (b) N = 9,

(c) N = 11, (d) N = 31.

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

315400 315600 315800 316000 316200 316400 316600

(a)

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

165400 165600 165800 166000 166200 166400 166600 166800

(b)

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

214400 214600 214800 215000 215200 215400 215600 215800

(c)

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

54000 54200 54400 54600 54800 55000 55200

(d)

図

5

拡大した時間波形. (a)

N = 7, (b) N = 9, (c) N = 11, (d) N = 31.

状態の詳細な調査や統計分析を出す事が今後の我々の課題で ある

.

謝 辞

本 研 究 の 一 部 は

,

日 本 学 術 振 興 会 の 科 学 研 究 費 補 助 金

(23700269)

により得られた成果である

.

文 献

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