複数状態を有するカオス回路の結合系にみられる同期モード
Several Synchronization Modes in Coupled Multi-State Chaotic Circuits 和田 昌浩1
Masahiro Wada 西尾 芳文2
Yoshifumi Nishio 甲南大学理工学部情報システム工学科1
Dept. of Information Science and Systems Engineering, Konan University 徳島大学工学部電気電子工学科2
Dept. of Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University
1 まえがき
複数の状態を持つシステムは，大規模結合系では様々 な自然界の現象を説明する上で重要である．また，複雑 系においては同一パラメータでも多くの状態が共存する ことが知られている．そこで，従来のカオス回路を改良 し，カオス振動と周期振動を同一パラメータで共存する ようなカオス回路を提案する．本研究では，このような 複数状態が共存する複数のカオス回路をインダクタによ り環状に結合した系にみられる幾つかの同期モードにつ いて調査した．
2 回路モデル
図1は，今回提案するカオス回路と，それをインダク タL0を用いて環状に結合した系である．回路方程式か ら微分方程式を導出するにあたり，L0とL1k でできる ループにKCLを用いると回路方程式が縮退し，それぞ れの回路について3次元の微分方程式で記述できる．従 来のカオス回路は，3次元の微分方程式および1つの非 線形素子にて構成されていたが[1]，ここでは，負性抵 抗にあたる NR を区分線形抵抗に置き換えることによ り，多状態カオス回路を設計する．提案する回路は，適 当な変数変換を施すと，次の回路方程式で与えられる．
˙
xk = zk
˙
yk = β¡
zk−f(yk)¢
˙
zk = α(xk−1−2xk+xk+1)
−(xk+yk)−h(zk)
(1)
f(yk) = 1 2
©|δyk+ 1| − |δyk−1|ª
(2)
ここで，カオス回路の数をNとすれば，k= 1, . . . , N， x0 =xN である．従来，(1)において h(z)が −γz で あったが，負性抵抗を構成する回路を次のような区分線 形抵抗で再構成する．
h(z) =m0γ∗z+γ∗ 2
©(m0−m1)¡
|z−Bp2|−|z+Bp2|¢
+(m1−m2)¡
|z−Bp1|−|z+Bp1|¢ª (3)
また，この回路は同一パラメータで，カオス振動と周期 振動の２つの状態を呈するので，これを多状態カオス回
路(以下，MSCC)と呼ぶ．実際の回路を用いた実験で
も２つの状態が共存する現象が確認できる[2]．区分線 形抵抗の設計を変更すれば，さらに多くの状態を共存さ せることが可能である．
3 シミュレーション
このMSCCを複数個結合した回路に見られる幾つか の同期モードを数値計算によって示す．数値計算は，4 次のルンゲ・クッタ法を用いて行った．
(1) N = 2のとき
適切なパラメータを選ぶと，次の４つの同期モード が観測された．(a)周期振動の同期，(b)周期振動の 逆相同期，(c)カオス振動の逆相モード，(d)カオス 振動と周期振動を繰り返すダブルモード，の4種類
C C1
L0 L0
L0
L0 L0
C Ck
C C2
C CN
L0
v1
vk
v2
vN
図1 回路モデルと環状結合系
図2 N=3の場合のシミュレーション結果の一例．
であった．また，γ∗が大きくなると，カオス状態が 消滅し周期振動のみとなる現象も確認された[2]．
(2) N = 3のとき
パラメータをα= 0.50,β = 10.0,γ∗= 0.68,δ= 100 とし，区分線形抵抗の構成として，[Bp1,Bp2,m0, m1,m2] = [0.35, 0.55, -1.0, 0.65, -0.2]を選んだ．こ の場合，次の現象が確認できた．(a)周期振動の3相 同期，(b)周期振動の逆相同期，(c)カオス振動と周 期振動を繰り返すダブルモード，(d)2種類の周期振 動が混在するもの，などが確認された．すべての同 期モードは，初期値の違いのみであるため，初期値 依存性を調べることは重要である．シミュレーショ ン結果の一例を図2に示す．これはカオス振動と周 期振動とが繰り返し起こるダブルモードカオス状態 であると考えられる．
(3) N ≥4のとき
結合数Nが偶数と奇数では，周期振動の同期モード は若干異なることに注意する．周期振動の場合は，従 来の発振器の結合系と同様の現象が得られるものと 考えられる．また，Nが大きいときは，発振器の結 合系などにみられる位相波の伝播現象が確認された．
これ以外の興味深い現象が確認されることも考えら れる．
4 まとめ
本研究では，多状態を有するカオス回路をインダクタ で結合した系にみられる様々な同期モードについて調査 を行った．同一パラメータであっても，幾つかの同期モー ドが共存することを明らかにした．
参考文献[1] Y.Nishio, A.Ushida,IEICE Trans., vol. E78-A, no. 5, pp. 608–617, 1995.
[2] M.Wada, Y.Nishio, inProc. of NCSP’04, pp. 535–538, 2003.
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