社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS
信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.
距離に反比例した重みを持つ結合カオス回路の同期現象
藤井 喬平
†橋本 周平
†上手 洋子
†西尾 芳文
††
徳島大学工学部 〒
770–8506徳島県徳島市南常三島
2–1 E-mail: †{fujii,s-hashimoto,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jpあらまし
本研究では、10 個のカオス回路を結合することで制作されたネットワークを用いて同期現象を調査した。
第一に、ネットワーク内に
3つのハブが生じているネットワークを
2つ用意した。第二に、ハブにつながるノードを それぞれ別にしたネットワークを
2つ用意した。回路間は抵抗で接続しており、座標的な距離に反比例するように抵 抗値を設定している。各ネットワークにおいて同期がどのように起こっているかを調査した。繋がっているノードが 同様である二つのハブ間においては、結合強度が０であっても同期が発生することが確認できた。
キーワード
カオス回路、複雑ネットワーク、同期現象
Synchronization Phenomena in Coupled Chaotic Circuits with Inverse Proportion Weights Depending on Distance
Kyohei FUJII†, Shuhei HASHIMOTO†, Yoko UWATE†, and Yoshifumi NISHIO†
†Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University, 2-1 Minamijosanjima, Tokushima, 770-8506 Japan E-mail: †{fujii,s-hashimoto,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract
In this study, we investigate synchronization phenomena in weighted complex networks using chaotic circuit. The proposed chaotic circuits network has Scale-free distribution and the chaotic circuit are coupled by using distance information. Next, we focus on the role of hubs in the proposed network. By computer simulations, we observe that the synchronization rate between hubs is high regardless of the coupling strength.
Key words Chaotic Circuit, Complex networks, Synchronization.
1.
ま え が き
同期現象は我々の日常の至るところで観察されている。例 として、カエルの合唱や、ホタルの明滅、心臓の拍動などがあ る。特に発振器の同期現象は非常に興味深く、複雑ネットワー クは様々な分野で注目を集めている[1] [2]。ネットワークを特 徴づける要素は次数分布や平均パス長、クラスタリング係数な どがある。また、カオス回路を用いた複雑ネットワークも研究 されているが、結合強度やハブに対して着目した研究は少な い[3] [4]。
本研究では、結合カオス回路の複雑ネットワークにおける同 期現象の調査を行った。実社会において形成される複雑ネット ワークにおいては、その中に多くのノードと接続するハブが自 然発生する場合が多い。予めハブを2つ持つスケールフリー ネットワークを1つ作り、ハブ以外のノードの中から1つを選 択する。選択したノードを新たにハブと設定することをすべて
のノードに対し行い比較する。また、結合に重みをつけるため にノードどうしをつなぐリンクに関しては座標における距離の 反比例により結合強度の値を決定する。本研究では、これらの 条件で設計されたネットワーク内のハブを中心としたリンクの 同期に関して調査する。また、得られた結果からハブ間の結合 強度を低くした調査、ネットワークにおけるハブそれぞれのつ ながっているノードが全く別々のものになっているネットワー クにおける調査を行った。
2.
回路モデル
本研究で使用するカオス回路モデルを図1に示す。この回路 は森・神力回路と呼ばれるカオス回路であり、負性抵抗、イン ダクタ、2つのキャパシタ、6つのダイオードにより構成され ている[5]。この回路方程式を式(1)に示す。
— 1 —
図1: カオス回路.
Ldi1
dt =V2n, C1
dV1n
dt =gV1n−idn, C2
dV2n
dt =idn−in.
(1)
二対のダイオードによる非線形抵抗の特性を式(2)に示す。
idn=
Gd(V1n−V2n−V) (V1n−V2n> V), 0, (|V1n−V2n|< V),
Gd(V1n−V2n+V), (V1n−V2n<−V).
(2)
以下に、各値を置き換えるパラメータを記載する。
in=
√ C2
LV xn, V1n=V yn, V2n=V zn
t=√
LC2τ, α= C2
C1
,
β=
√L C2
Gd, γ=
√L C2
g, δ= 1 R
√L C2
.
(3)
以下の式(4)は前述のパラメータを用いて正規化したもので ある。
dx dτ =zn, dy
dτ =αγyn−αf(yn−zn), dz
dτ =f(yn−zn)−xn.
(4)
この式における、f(yn−zn)を以下に示す。
f(yn−zn) =
β(yn−zn−1) (yn−zn>1), 0, (|yn−zn|<1),
β(yn−zn+ 1), (yn−zn<−1).
(5)
3.
システムモデル
オリジナルネットワークを図2に示す。本研究では、オリジ ナルネットワークを元とした計5つのネットワークを用いる。
図3(a)は、オリジナルネットワークのCC4に4つのリンク を加えることでハブを増やしたネットワークである。リンク数 は現存のハブと同数となっている。
同様に図3(b)は、オリジナルネットワークのCC8に4つの リンクを加えることでハブを増やしたネットワークである。こ のリンク数は、図3(a)と同様の数と。
図3(c)は、オリジナルネットワークで一部のノードをハブと して設計し、他のハブの影響を減少させるために2つの設計を 行ったネットワークとなっている。第一に、ハブの影響を減少 させるためにCC1のリンクを5つ減らしている。次に、CC2 とCC7をハブとして設計するため、互いが同じノードとリン クを持たないようにするため、CC2ではCC10からCC4を、
CC7ではCC5からCC9が接続されるように設計したネット ワークである。
図3(d)は、図3(c)におけるネットワークのノード数を20に したネットワークである。
図2: オリジナルネットワーク.
(a) CC4をハブにした ネットワーク.
(b) CC8をハブにした ネットワーク.
— 2 —
(c)ノードを分けたネ ットワーク.
(d)ノードを増したネ ットワーク.
図3: 提案するネットワーク.
これらのネットワークモデルの正規化方程式は式(6)のよう に表すことができる。
dx dτ =zn, dy
dτ =αγyn−αf(yn−zn)−αδ ∑
k∈Sn
(yn−yk), dz
dτ =f(yn−zn)−xn.
(6)
式(6)において、Nは結合回路数を表し、δは回路間の結合強 度を示す。またパラメータα= 0.500,β= 20.000 ,γ= 0.500 と設定する。
本研究において、ノード間の結合強度δは座標の距離によっ て定める。この値は最も短いものを1.0として、距離に反比例 した合計5種類の値を導出する。この値を以下の表1に示す。
図3(d)の場合、10種類となる。また、本研究では以下の値に 対し0.2を掛けることで結果の視認を容易にする。
図4: 5種の結合強度.
表1: 結合強度の値.
A B C D E
結合強度 1.000 0.5257 0.3826 0.3249 0.3090
4.
シミュレーション結果
本研究の同期の定義は回路間の電圧差によって定める。方程 式(7)で同期を定義する。
|yj−yi|<0.03 (i, j= 1,2,· · ·,10) (7)
第一に、図3(a)と図3(b)におけるCC1-CC2からCC1-CC8 までに注目する。図6、表3においてはCC1-CC4とCC1-CC3 を比較する。この時同期率は、結合強度がより低いCC1-CC4 の方が高いことを示している。同様に、図7、表4においては 結合強度が同じであるが、CC1-CC8の同期率がCC1-CC4よ りも高くなっている。
y1-y4
y1-y8
t
図5: 図2の電圧差分.
表2:図5の同期率. リンク CC1-CC4 CC1-CC8 同期率 26% 18%
y1-y3
y1-y4
t
図6: 図3 (a)の電圧差分.
表3: 図6の同期率.
リンク CC1-CC3 CC1-CC4 同期率 32% 50%
y1-y4
y1-y8
t
図7:図3 (b)の電圧差分.
表4: 図7の同期率.
リンク CC1-CC4 CC1-CC8 同期率 26% 40%
この結果から、ハブ間においては同期がその間の結合強度の みに影響されないと考えた。
次に、既存のハブと新規のハブ間の結合強度を減少させた検 証を行う。図8、表5においては、CC1-CC4の結合強度を0 とする。同様に図9、表6においては、CC1-CC8の結合強度 を0とする。
y1-y3
y1-y4
t
図8: 図3 (a)の電圧差分.
— 3 —
表5: 図8の同期率.
リンク CC1-CC3 CC1-CC4 同期率 29% 38%
y1-y4
y1-y8
t
図9: 図3 (b)の電圧差分.
表6: 図9の同期率.
リンク CC1-CC4 CC1-CC8 同期率 24% 29%
この結果から、ハブ間の同期は結合強度に寄らず繋がってい るノードに依存すると考えた。
第二に、二つのハブにおいて互いが同じノードとリンクを持 たないように設計する。図3(c)においては、CC2とCC7がハ ブになるよう設計している。CC2-CC7の間の結合強度を変え ることにより見られる電圧差分を以下の図10、表7に示す。
y2-y7
y2-y7
t
図10:図3 (c)の電圧差分.
表7: 図10の同期率.
CC2-CC7の結合強度 0 2.0 同期率 6% 26%
この結果から、二つのハブは互いが同じノードとリンクを持 たない設計である場合、同期は結合強度に比例することがわ かる。
図10、表7を基に、ハブとしての性質を更に高めた調査を 行う。図3(d)は、ノード数が20のネットワークである。この ネットワークにおいてCC3とCC13はハブとして設定する。
このネットワークにおけるハブ間の結合強度を変えることで、
ハブ間の同期について調べる。この結果を図11、表8に示す。
y3-y13
y3-y13
t
図11: 図3 (d)の電圧差分.
表8: 図11の同期率.
CC3-CC13の結合強度 0 2.0 同期率 17% 82%
これらの結果から、より大きいネットワークにおいても、二 つのハブは互いが同じノードとリンクを持たない設計である場 合、同期は結合強度に比例することがわかる。
5.
ま と め
本研究では、様々なネットワークにおいてハブの位置を変更 することで様々な影響を観測した。その結果から、ハブ間の同 期率が高い理由を二つの手法で調査した。初めに、ハブ間の結 合強度を変更する調査を行い、次に二つのハブが互いが同じ ノードとリンクを持たない設計にした。
まずこの結果から、ハブ間の同期は同期率のみに依存しない ことがわかった。ハブ間の結合強度を0にした時同期が起こっ ていたことからそのことが把握できる。そしてハブ間の同期率 が高い理由を調査するため、二つのハブが互いが同じノードと リンクを持たない設計にして計測を行った。この時、同期率は 結合強度に比例した。また、大きいネットワークでも同様に結 合させてみたが、同じ傾向が見られた。
この調査において、結合強度は距離に依存する5種類のみで ある。他のネットワークと比べるためには規模が小さいので、
より大きなネットワークを用いた同様の調査を行う必要がある と判断した。
文 献
[1] M. Uchida, S. Shirayama, “Analysis of Network Structure and Model Estimation for SNS”情報処理学会論文誌, Vol. 47, No. 9, Sep. 2006.
[2] H. Kori, N. Masuda, “Synchronization of Coupled Oscil- lators on Complex Networks”日本ロボット学会誌, Vol.26, No.1, pp.6〜9, 2008.
[3] K. Ago, Y. Uwate, Y. Nishio, “Investigation of Synchro- nization in Coupled Chaotic Circuit Network with Local Bridge”, IEEE Workshop on Nonlinear Networks December 12-13, 2014.
[4] K. Oi, Y. Uwate, Y. Nishio,“Influence of Regional Change in Synchronization of Complex Networks in Coupled Paramet- rically Excited Oscillators", IEEE Workshop on Nonlinear Circuit Networks. December 9-10, 2016.
[5] K. Ago, Y. Uwate and Y. Nishio,“Synchronization of Cou- pled Chaotic Circuits with Parameter Dispersion in Small- World Network", Proceedings of International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications,pp. 431-434, Dec.
2015.
— 4 —
