社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS
信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.
リ ン グ・ スタ ー構造を 含んだ結合発振器の同期現象
上田 和輝
†上手 洋子
†西尾 芳文
††
徳島大学工学部 〒770–8506
徳島市南常三島2–1 E-mail: †{kazuki,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あら ま し 同期現象の解析は物理学・ 医学・ 社会学・ 自然学や工学と いっ た様々 な 分野で研究さ れて いる 。 本研究で は、 結合
van del Pol
発振器を 用いた同期現象の研究を 行う 。van del Pol
発振器は回路構造が単純である ため、 様々 な 形で結合さ れ、 その時に観測さ れる 同期現象について 研究が行われて き た。 我々 は結合間の結合構造に注目し 、 ス タ ー構造と リ ン グ構造が共存する 回路を 提案する 。 そし て 、 コ ン ピ ュ ータ シミ ュ レ ーショ ン を 用いて 提案回路モデル の同期状態を 観測する 。キーワ ード 同期現象，
van del Pol
発振器,結合構造,シミ ュ レ ーショ ンSynchronization of Coupled by Oscillators Containing Ring and Star Structures
Kazuki UETA
†, Yoko UWATE
†, and Yoshifumi NISHIO
†† Faculty of Engineering, Tokushima University Minami-Josanjima 2–1, Tokushima city, Tokushima, 105–0123 Japan
E-mail: †{kazuki,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract Analysis of synchronization phenomena is expected for applying in various feilds. For example, firefly luminescence, cry of birds and frogs, applause of many people and so on. In this study, we propose a new system model using the van del Pol oscillator. We investigate synchronization phenomena observed in the system model containing ring and star. In addition, we observe several types of synchronization phenomena by increasing the coupling strength of ring.
Key words synchronization phenomena, van del Pol oscillator, coupled structure, simulation
1.
ま え が き同期現象は非線形現象の１ つで、 世界中でその研究がな さ れ て いる 。 我々 は自然現象の様々 な 場面で、 こ の同期現象を 観測 し て いる 。 例え ば、 ホタ ルの同時発光、 鳥やカ エルの鳴き 声、
人々 の拍手な ど が挙げら れる 。
同期現象は小さ な 力で同期し た と き に 大き な 力を 生む こ と ができ る 。 それゆえ に、 同期現象の研究は工学だけ でな く 、 医 学や物理学、 生物学な ど 幅広く 報告さ れて いる 。 結合発振器の ネ ッ ト ワ ーク はク ラ スタ リ ン グ現象、 複雑な パタ ーン や位相伝 搬な ど の面白い位相同期が発見さ れて おり 、 多く の研究者に注 目さ れて いる 。 さ ら に、 回路を ブレ ッ ド ボード 上に簡単に組み 立て ら れる こ と や、 実物理システム である こ と な ど も 研究さ れ やすい要因の
1
つである 。本研究では、 我々 は
van del Pol
発振器を 用いて ネ ッ ト ワ ー ク の結合構造に注目し 、 コ ン ピ ュ ータ ーシミ ュ レ ーショ ン により スタ ー構造と リ ン グ構造が共存する 回路を 提案する 。
2.
システムモデル2. 1
結合構造と 特徴本研究で使用する
van del Pol
発振器を 図１ に示す。 先行研 究で知ら れて いる と おり 、 こ のvan del Pol
発振器の結合構造 の違いによ っ て 出力さ れる 信号波形の位相差が変わる こ と が分 かっ て いる 。van del Pol
発振器を 抵抗で繋ぎ、 リ ン グ状にし た場合、 リ ン グを 構成する 回路の数が偶数の時は、 同相・ 逆相を 出力する 。 回路の数が奇数の時はN
相を 出力する 。 さ ら に 、van del Pol
発振器を 抵抗で繋ぎ、 スタ ー状にし た場合、 同相を 出力する こ と が知ら れて いる 。本研究では、 こ れら の相反する 性質・ ネ ッ ト ワ ーク を 持つ回 路同士を 掛け 合わせる と 、 ど のよ う な 同期状態が観測さ れる の かを 調べる 。
— 1 —
C L
図
1 van del Pol
発振器2. 2
提案モデル図
2
はリ ン グ構造と スタ ー構造を 掛け合わせた提案モデルを 示し て いる 。 こ こ でvan del Pol
発振器をVDP-A
とVDP-B
のよ う に区別し た。 それぞれのVDP-B
はイ ン ダク タ 、 抵抗と グラ ン ド で結合さ れて いる 。 さ ら に 、VDP-A
は抵抗と グラ ン ド によ っ て 結合さ れて おり 、 こ のシステム モデルでは唯一の回 路と なっ て いる 。 周り のリ ン グを 構成する 回路数をN
と し 、 全 体でN+1
と な っ て いる 。こ れら の回路の同期状態を コ ン ピ ュ ータ シミ ュ レ ーショ ン で 確認する 。
VDP B
VDP A
C L C
i
Ai
Ag
v
Ai
kg
v
kVDP A
VDP B
VDP A
VDP B
VDP B
R R
R 2L
2L 2L 2L 2L
R
r r
r r
2L
図
2
提案モデルコ ン ピ ュ ータ シミ ュ レ ーショ ン では、 電圧を
v
kと 電流をi
gと し 、 それぞれの非線形抵抗の特性を 次の式に示す。
i
g= − g
1v
k+ g
3v
3k, (1) (g
1, g
3> 0).
ま ず、
VDP-A
の回路方程式は次のよ う にな る 。
C dv
Adt = − i
A− i
Ag+ 1
r (N v
A− v
1− v
2− ... − v
N), L di
Adt = v
A,
(2)
N
はVDP-B
の数を 表し て いる 。一方で、
VDP-B
は隣接するVDP-B
とVDP-A
に 結合さ れて いる 。VDP-B
の回路方程式は次のよ う に与え ら れる 。
C dv
kdt = − i
ka− i
kb− i
kg− 1
r (v
k− v
A),
2L di
kadt = v
k− R(i
ka+ i
k+1,b),
2L di
kbdt = v
k− R(i
kb+ i
k−1,a),
(3)
(k = 1, 2, ..., N ).
次のパラ メ ータ ーと 変数を 用いる こ と で、 正規化さ れた回路方 程式が得ら れる 。
i
A= r g
1C
3g
3L y
A, i
ka= r g
1C
3g
3L y
ka, i
kb= r g
1C
3g
3L y
kb, v
A=
r g
13g
3x
A, v
k= r g
13g
3x
k,
t = √
LCτ, “ · ” = d
dτ , α = g
1r L C ,
β = 1 r
r L C , γ = R
r C L ,
(4)
こ こ で
α
は非線形性、β
はVDP-A
とVDP-B
の間の結合強度 を 表し て いる 。 さ ら に、γ
はVDP-B
間の結合強度を 示し て い る 。VDP-A
の正規化方程式は次のよ う に表さ れる 。( x ˙
A= αx
A1 − 1 3 x
2A− y
A+ β(N x
A− x
1− x
2− ... − x
N),
˙ y
A= x
A.
(5)
さ ら に、
VDP-B
それぞれの正規化方程式は次のよ う にな る 。
˙
x
k= αx
k(1 − 1
3 x
2k) − y
ka− y
kb− β(x
A− x
k),
˙ y
ka= 1
2 { x
k− γ(y
ka+ y
k+1,b) } ,
˙ y
kb= 1
2 { x
k− γ(y
ka+ y
k−1,b) } .
(6)
3.
シミ ュ レ ーショ ン 結果3. 1 N = 4
我々 はルン ゲ
=
ク ッ タ 法を 用いて 式(5)
、(6)
の微分方程式を 計算し た。 こ のと き のス テッ プサイ ズはh = 0.02
と する 。 提 案システム モデルにおいて 、N = 4 (
リ ン グを 構成する 回路の 数が4
つ)
の時に観測し たアト ラ ク タ を 図3
に示す。 パラ メ ー タ はα = 0.1
、β = 0.0085
、γ = 0.02
と し て いる 。 こ の図では それぞれの発振器の横軸は電圧、 縦軸は電流を 表し て いる 。 図4
はそ のと き のシス テ ム モデルであ る 。VDP-B
同士を イ ン ダ ク タ で結合さ せ、 それぞれの結合部を 抵抗R
と グラ ン ド で落と し て リ ン グを 構成し て いる 。 さ ら に、 それぞれのVDP-B
をr
でVDP-A
と 結合さ せて スタ ーを 構成さ せた回路モデルと なっ て いる 。 本研究では、 結合強度β
を 変化さ せたと き の位相差を 観測する 。— 2 —
x
1y
1x
2y
2x
3y
3x
4y
4x
5y
5図
3
N= 4
の時のアト ラ ク タ(横軸:x
k,
縦軸:yk) (k = 1, 2, 3, 4, 5)
VDP B
VDP A
VDP B VDP B
VDP B
図
4
N= 4
のシステム モデルx
2x
2x
2x
2x
2x
2x
2x
2x
2x
2(a)
β=0.001.x
2x
1x
2x
3x
3x
4x
2x
4x
3x
5(b)
β=0.0085.x
2x
2x
1x
3x
3x
4x
2x
4x
3x
5(c)
β=0.05.図
5
N= 4
におけ る リ サジュ 図と 時間波形図
5
ではr
の結合強度β
を 徐々 に増加さ せた場合の変化を 観 測し た。(a)β=0.001
の時、r
の結合強度が弱いため、 リ ン グが 支配的な 振る 舞いを と っ た結果と な っ て いる 。 先行研究の結果 ど おり リ ン グの特性が現れて いる 。 リ ン グを 構成する 回路の数 が偶数で、 隣接する 回路同士が逆相を 出力し て いる 。 ま た、 対 角の回路同士が同相を 出力し て いる こ と が分かる 。 こ のと き 、 スタ ーを 構成し て いる 真ん中の回路VDP-A
は初期値によ っ て 位相差が変化する 。次に、
(b)β=0.0085
の時、 同相同期のVDP-B
同士とVDP-A
から3
相同期を 観測し た。VDP-A
は初期値によ ら な いこ と も 確認でき た。 こ れは、 リ ン グ構造から スタ ー構造へ変化する 時 のち ょ う ど 間に相当する 値だと 考え ら れる 。最後に、
(c)β=0.05
の時、r
の結合強度が強いので、 スタ ーが 支配的な 振る 舞いを し て いる 。 し かし 、 スタ ーが支配的にな っ たに も 関わら ず、 同相と 逆相が出力さ れて いる こ と が分かる 。 真ん中のvan del Pol
発振器だけ が逆相と な り 、 残り の回路同 士が同相と な っ た。3. 2 N = 5
図
6
にN = 5
の時のシミ ュ レ ーショ ン 結果を 示す。 パラ メ ー タ の値はN = 4
と 同じ よ う にα = 0.1
、γ = 0.02
とβ=0.001
、0.0085
、0.05
と する 。ま ず
β=0.001
の場合、VDP-A
とVDP-B
を 繋ぐr
の結合強 度が弱く 、 リ ン グを 構成する 回路の数が偶数な ので、 先行の結 果ど おり5
相同期を 観測する こ と ができ た 。N = 4
と 同様に スタ ーを 構成し て いる 真ん中の回路VDP-A
は初期値によ っ て 位相差が変化する 。次に、
β=0.0085
の場合、VDP-A
とX
6のVDP-B
が逆相と なり 、X
6を 除いた4
つの回路がN = 4
の時と 同様に同相同期 を 観測し た。N = 4
の場合と は違い、 リ ン グと スタ ーの共存す る パラ メ ータ の値と は言い難いこ と が分かる 。最後に
β=0.05
の場合、N = 4
と 同様に5
相同期し て いたVDP-B
が全て 同相同期へと 変化し た。 そし て その時、VDP-A
はβ
の値を 増加さ せて いく に連れてVDP-B
と 逆相同期を 観測 し た。x
2x
3x
1x
1x
1x
1x
1x
4x
5x
6(a)
β=0.001.— 3 —
x
2x
3x
1x
1x
1x
1x
1x
4x
5x
6(b)
β=0.0085.x
2x
3x
1x
1x
1x
1x
1x
4x
5x
6(c)
β=0.05.図
6
N= 5
のシミ ュ レ ーショ ン 結果(α = 0.1、
γ= 0.02)
4.
ま と め本研究では、 我々 はリ ン グ構造と スタ ー構造を 掛け 合わせた システム モデルを 提案し た。 そし て 、 リ ン グを 構成する 回路の 数が
4
つの場合と5
つの場合に分けて 考え 、 それぞれの回路に おいて リ ン グの結合強度が増加し た時の同期現象を 観測し た。初めに、 結合強度
β
が十分に小さ いと き 、 リ ン グと 似た振る 舞いがみら れた。 こ れはβ
が小さ いために、 真ん中のVDP-A
が短絡さ れて いる から である 。 それゆえ に、 リ ン グの特性が観 測でき た。次に、 結合強度
β
を 徐々 に増加さ せる につれて 、VDP-B
そ れぞれの位相差が同相同期にな っ た。 こ れは、 スタ ーが支配的 にな っ たから だと 分かる 。最終的に、 結合強度
β
が十分に大き いと き 、VDP-A
とVDP- B
の位相差が逆相同期にな っ た。 さ ら に、 回路の数が奇数の場 合において 、3
相同期が観測でき た。 し かし な がら 、 回路数が 偶数の場合は3
相同期を 観測する こ と ができ な かっ た。今後は、 平均法を 用いて 位相差の関係を 計算する 。 さ ら に 、
VDP-A
とVDP-B
が逆相同期に な る メ カ ニズム に ついて 調査 を 行う 。文 献
