第６章 実験モード解析

第６章 実験モード解析



6.1 実験モード解析とは



6.2 有限自由度系の実験モード解析



実験モード解析とは加振実験によって測定され

た外力と応答を用いてモードパラメータ（固有振

動数，モード減衰比，正規固有モードなど）を求

める（同定する）方法である．

6.1 実験モード解析とは

変位計/加速度計 力計 試験体

実験モード解析の概念



時間領域データを利用する方法



周波数領域データを利用する方法

( )

( )

,

(

( )

₍

_{( )}

)

₎

( )

_{( )}

( )

( )

, , , , , , , _{, , ,} ij j i i ij j i u x t f x t u x t x f x t u x t p x t _{u x t p x t x}

σ

ρ

σ

ν

+ = ∈Ω = ∈Γ 

(

)

(

)

(

(

₍

)

₍

)

₎

(

₎

)

₍

₎

(

)

(

)

2 , , , , , , , , _{, , ,} ij j i i ij j i U x F x U x x F x U x P x _{U x P x x}

σ

ω

ω

ω ρ

ω

ω

ω

ω

σ

ω ν

ω

+ = ∈Ω = ∈Γ

6.2 有限自由度系の実験モード解

析



２自由度ばね質点系の伝達関数

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

( )

ji ij j i ij G G , j , i , F X G F F G G G G X X = = =             =       2 1 2 1 22 21 12 11 2 1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

Maxwell の相反定理 伝達関数行列 1 x 2 x 1 k 2 k 2 m 1 m 1 f 2 f



周波数領域データを利用する方法では測定

データから伝達関数を評価し，理論式と比較す

る．



非減衰



比例粘性減衰



一般粘性減衰

( )

_{( )}( ) ( )_{2 2}

( )

1 r r T n r r _n U U X

ω

F

ω

ω

ω

= = −

∑

伝達関数行列

伝達関数行列

( )

_{( )2 2}( ) ( ) _{( ) ( )}

( )

1 2 r r T n r r r r _{n n} U U X F j

ω

ω

ω

ω

ζ ω ω

= = − +

∑

( )

( ) ( )_{( )}

(

)

( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( )

( )

1 r r T r r T n r r r r r _{d d} Z Z Z Z X F j j

ω

ω

ω ω

σ

ω ω

σ

=     = +  _{− + + +}   

∑



比例粘性減衰の場合

( )

( ) ( )

( )

_{( )} ( ) ( ) _{( ) ( )} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 r r T n r r r r _{n n} r r r r r r n r r r r r r n n r r r r _{n n} r r r r r r n n n n X G F U U G j U U U U U U U U U U U U j U U U U U U

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ζ ω ω

ω

ω

ζ ω ω

= = = = − +       = _{ } − + _{ }    

∑

∑

    

伝達関数行列とモードパラメータ

正規固有モード 固有振動数 モード減衰比 伝達関数行列(対称行列)

( )

(

)

1

( )

( )

j G

ω ω

− j X

ω ω

= F

ω

伝達関数行列の種類

ｺﾝﾌﾟﾗｲｱﾝｽ(compliance )

動剛性(dynamic stiffness)

ﾓﾋﾞﾘﾃｨｰ(mobility) 機械ｲﾝﾋﾟｰﾀﾞﾝｽ(mechanical impedance)

ｱｸｾﾚﾗﾝｽ(accelerance)

動質量(dynamic mass)

( )

( ) ( )

X

ω

= G

ω

F

ω

1

( ) ( )

( )

G−

ω

X

ω

= F

ω

( )

( ) ( )

j X

ω ω

= j G

ω ω

F

ω

( )

( ) ( )

2 2 X G F

ω

ω

ω

ω

ω

− = −

(

₂

_{( )}

) ( )

1 ₂

_{( )}

_{( )}

G X F

ω

ω

−

ω

ω

ω

− − =



比例粘性減衰を仮定して伝達関数行列を示せ．

例題(例4.2.4):比例粘性減衰系

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       = = = = + = = = ⇒       − − =       − −     =           − − +           − − +           mk c mk c k c k c , k k k k c c c c x x k k k k x x c c c c x x m m r n r n r n r 2 3 2 2 2 2 1 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1

ζ

ζ

ω

β

ω

α

ω

ζ

β

α

β

     モード減衰比 1

x

2 x k m k m c c k c

例題：比例粘性減衰系(cont.)



前出の伝達関数行列の式に代入する．

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 

( )





( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 22 21 12 11 2 1 = = = = = =             −       − + − +       + − =                   − − + − +       + − =             =      

γ

γζ

ζ

γω

ω

ζ

ω

ω

ω

β

γβ

ζ

β

γ

β

ζ

β

ω

ω

ζ

ω

ω

ω

ω

ζ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

, , , mk c , m k , F F j k j k F F j m j m F F G G G G X X n n n n n n n n 比例粘性減衰パラメータではない

例題：比例粘性減衰系(cont)



伝達関数行列要素の振幅線図

ζ

( )1 = 0.02,k =1 11 G G₁₂ 21 G G₂₂ ( )1 n

ω

ω

( )1 n

ω

ω

( )1 n

ω

ω

( )1 n

ω

ω

例題：比例粘性減衰(cont.)



伝達関数行列要素の位相線図

ζ

( )1 = 0.02,k =1 11 G ∠ ∠G₁₂ 21 G ∠ ∠G₂₂ ( )1 n

ω

ω

( )1 n

ω

ω

( )1 n

ω

ω

( )1 n

ω

ω

例題：比例粘性減衰系(cont.)



伝達関数行列要素の実部線図

ζ

( )1 = 0.02,k =1

[ ]

₁₁ Re G ( )1 n

ω

ω

( )1 n

ω

ω

( )1 n

ω

ω

( )1 n

ω

ω

[ ]

₁₂ Re G

[ ]

₂₁ Re G Re G

[ ]

₂₂

例題：比例粘性減衰系(cont.)



伝達関数行列要素の虚部線図

ζ

( )1 = 0.02,k =1

[ ]

₁₁ Im G ( )1 n

ω

ω

( )1 n

ω

ω

( )1 n

ω

ω

( )1 n

ω

ω

[ ]

₂₁ Im G

[ ]

₁₂ Im G

[ ]

₂₂ Im G

( )1 = _{0 02} =₁ k , .

ζ

例題：比例粘性減衰系(cont.)



伝達関数行列要素のベクトル線図

２次のモード円 １次のモード円

[ ]

₁₁ Re G

[ ]

₁₁ Im G

[ ]

₁₂ Re G

[ ]

₁₂ Im G

[ ]

₂₁ Re G

[ ]

₂₁ Im G

[ ]

₂₂ Re G

[ ]

₂₂ Im G

( )1 = _{0 1} =₁ k , .

ζ

例題：比例粘性減衰系(cont.)



伝達関数行列要素のベクトル線図

[ ]

₁₁ Re G

[ ]

₁₁ Im G

[ ]

₁₂ Re G

[ ]

₁₂ Im G

[ ]

₂₁ Re G

[ ]

₂₁ Im G

[ ]

₂₂ Re G

[ ]

₂₂ Im G

( )

_{( )} ( ) ( ) _{( ) ( )} ( )

_{( )}

( )

_{( )}

(

( )

)

2 2 1 1 2 r r T n n r r r n r r r r _{n n} r U U G G G j

ω

ω

ω

ω ω

ω

ω

ζ ω ω

= = = = ≈ ≈ − +

∑

∑

１自由度法



モード円の区別が明確な場合に適用できる．

( )1 = _{0 1} =₁ k , .

ζ

( ) 1 02 0 1 = = k , .

ζ

適用可 適用不可



モード円が現れた（応答の測定点がモードの節

になっていない）任意の伝達関数について

固有振動数の同定

[ ]

₁₁ Im G

[ ]

11 Im G ( )1 n

ω

ω

( )1 n

ω

ω

= ( )2 n

ω

ω

= ( )1 n

ω

ω

= ( )2 n

ω

ω

=

[ ]

₁₁ Re G



モード円が現れた（応答の測定点がモードの節

になっていない）任意の伝達関数について

モード減衰比の同定

[ ]

₁₁ Re G

[ ]

₁₁ Im G

[ ]

11 Im G ( )1 n

ω

ω

( )2 ( )2 2 1

ζ

ω

ω

= _n − ( )2 ( )2 2 1

ζ

ω

ω

= _n + ( )1 ( )1 2 1

ζ

ω

ω

= _n − ( )1 ( )1 2 1

ζ

ω

ω

= _n + 3dB band ( )1

ω

∆

( )2

ω

∆

モード減衰比の同定(cont.)



3dB band ∆

ω

(r)

を計測してモード減衰比

ζ

(r)

を

計算する．



必要があれば，比例粘性減衰パラメータ

α

,

β

に変換

する．

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

( )

)

( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 1 2 r r r r r r r r r r n n n _r n

ω

ω

ω

ζ

ω

ζ

ω ζ

ζ

ζ

ω

∆ ∆ ≈ + − − ≈ << ⇒ ≈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 _{1 2} 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 ₁ , 1 1 1 1 4 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n A A A

ω

ω

ω

_α

_ζ

_ζ

ζ

α

β

ω

ω

ω

ω

ζ

α

β

β

ζ

ζ

_ω

_ω

ω

ω

ω

    = − = +     _{ }   _⇒   ₌      _{= +}  _{= − + −}     _{ }    



加振点固定あるいは応答点固定の n 個の伝達

関数についてモード円の大きさ A

_ij

(j=1,2,…,n)

を測定する．

正規固有モードの同定

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 1 2 11 2 _n U U A ω ζ =

[ ]

₁₁ Re G

[ ]

₁₁ Im G

[ ]

12 Im G ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12 1 1 1 1 1 11 2 _n U U A ω ζ =

[ ]

₁₂ Re G ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 2 12 2 _n U U A ω ζ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12 1 2 1 1 1 12 2 _n U U A ω ζ =

正規固有モードの同定(cont.)



モード円の大きさ A

_ij

_{(j=1,2,…,n) から正規固有}

モードを計算する．

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 ₁ 1 1 1 2 1 11 _{1 1 2} 1 11 2 2 2 ₁ 2 2 2 2 2 11 _{2 2 2} 1 11 1 1 ₁ 1 1 1 11 ₁ 1 1 1 2 1 1 1 2 12 2 2 ₂ 2 11 ₁ 1 2 2 2 2 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n U A U A U A U A U A _U U U A U A _U U A U

ζ ω

ζ ω

ζ ω

ζ ω

ζ ω

ζ ω

ζ ω

= ⇒ = = ⇒ =       _{ }   ₌   _{  =}                 _⇒       ₌               ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 11 1 1 1 2 1 12 11 2 _{2 2 2} 2 1 11 2 _{2 2 2 2} 2 2 11 12 2 2 2 n n n n A A A U A U _A A

ζ ω

ζ ω

ζ ω

                ₌              



時間応答あるいは伝達関数を計測して，モード

パラメータ（固有振動数，モード減衰比，正規固

有モードなど）を設計変数にした．

の最小化問題を解く．

2

_











=

-多自由度法

二乗誤差

実験データ

理論値

時間応答あるいは伝達関数

6.3 連続体の実験モード解析



実際の構造物は連続体である．



連続体の伝達関数作用素



1点(x=x

_j

∈Γ

₁

)加振の伝達関数作用素

( )

_{( )}( )

( )

(

( )

_{( ) ( )}

( )

_{( ) ( )}

)

2 2 1 , , d , d r r r r r _n x U x

ω

z F z

ω

z z P z

ω

ω

ω

∞ Ω Γ = Φ = Φ + Φ Γ −

∑

_∫

_∫

伝達関数作用素 正規固有振動モード関数 変位の Fourier 変換 境界力の Fourier 変換 物体力の Fourier 変換

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

_{( )}

( )2 2 ( )

( )

( )

1 , 0 , , r r j j r r j j n F x _x U x x P P x P x x

ω

ω

ω

ω

ω δ

ω

ω

∞ = Γ =  _Φ  _{⇒ = Φ}  = − − 

∑

連続体の伝達関数作用素



_{n 点(x=x}

₁

_,

_x

₂

_,…,

_x

_n

∈Γ

₁

)加振 n 点応答の場合



_{n 自由度系の伝達関数行列と形式的に一致する．}

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}( )

( )

( )

( )

1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 2 2 2 1 , 0 , , , , 1, 2, , , _{j j} i i n n n n n nn n r r i ij _r j r _n F x U x U i j n P x P x x U G G G P U G G G P U G G G P x G x ω ω ω ω ω δ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω Γ ∞ = =  _{≡ =}  = −              _{=  }    _{ }    _{ }             Φ = Φ −

∑

         