多重三角関数とKRONECKERの青春の夢
著者名(日)
田中 秀和
雑誌名
工業技術 : 東洋大学工業技術研究所報告
号
34
ページ
64-66
発行年
2012
URL
http://id.nii.ac.jp/1060/00002106/
Creative Commons : 表示 - 非営利 - 改変禁止
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.ja
◆◆技術報告◆◆
多重三角関数とKRONECKERの青春の夢
田中 秀和＊
ABSTRA（rr．私の研究分野は、数論（ゼータ関数の解析的理論）であり、特に多重三角関数の特殊値の代数性に関心を持っ
ています。研究の目的は、実2次体などの総実体に対するKroneckerの青春の夢（最大アーベル拡大を生成する特殊関数
を求める問題）の解決です。2重三角関数を使った実2次体に対するKroneckerの青春の夢の予想は新谷による先駆的な
研究により認知され、上記予想の一般化として、多重三角関数を使った総実体に対するKroneckerの青春の夢の予想が黒
川により提唱されました。このことを踏まえ、多重三角関数の特殊値の代数性の解明に取り組んでいます。
Oiある解析的な関数の特殊値について
関数exを考えます。この関数にx＝π万蕊と代入す
ると、数値計算により
π后＝
e
262537412640768743．99999999999925007259…
が得られます。eπ后が整数に近いことは虚数乗法論
から理論として説明できます。この例は数値計算と数論
との関係を表した一例ですが、私が目標としている実2次
体に対するKroneckerの青春の夢が実現されるとこのよ
うな応用例も多く得られると期待されます。虚2次体に対
するKroneckerの青春の夢→虚数乗法論→上の例
1．1．Riemann ζ関数．
1735年にEulerは
（1．1）
1．ζ関数
1 1 1 π2
1＋
ｲ＋豆＋π＋’”＝−6一
という公式を発見しました。この公式は、次のEulerの
sin関数の積公式を用いて証明をすることができます。
繭（ X21− n2）
一π・
ｩ（￡詑αの3次L・La）項））
となります。従って、xの3次の項の係数を比較すれば、
（L1）式が得られます。
この（1．1）式は、1644年にMengoliにより提起され
た当時の未解決問題ですが、Riemannζ関数と呼ばれ
る関数の値についての公式です。Riemannζ関数は、
oo
ζ（・）一Σ±−1・；・÷・…
n＝1
と定義されます。さらに、Eulerはkが2以上の偶数の
とき、ζ（k）＝有理数×πkとなることを証明しました。
しかし、ゐが3以上の奇数の場合、このような公式はま
だ得られていません。々＝3の場合、1979年にAp6ry
（詳しくは、［A］を参照してください）により、ζ（3）が
無理数となることが証明されていますが、5以上の場合、
まだ無理数となるかどうかも証明されていません。未解
決問題です。
定理1．1（Euler）．
（12）
一…
（一り
（1．1）の証明．（1．2）式の両辺のx＝0におけるTalor展
開を比較して証明をする。（1．2）式の左辺のx＝0におけ
るTaylor展開は、
（πx）3
＋（xの4次以上の項）
sin（πX）＝πX−
3！
であり、（1．2）式の右辺を展開すると、
1．2．ガンマ関数．
多重三角関数を導入する準備として、ガンマ関数とsin
関数の関係を述べます。ガンマ関数は、
F（・）一
Y⊂醜
と定義されます。このとき、次の積表示が知られていま
す。
（1．3） r・（・・）−1一
（1・；） e− i
＊理工学部
東洋大学工業技術研究所報告
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田中秀和
但し、 γ一lim n→。。（1＋；＋…＋㌃一log n）−0．57721
…はEuler定数。（1．2）と（1．3）からsin関数はガンマ
関数を用いて
（1．4） πsin（πX）＝
F（x）F（1−x）
ゼータ正規化積を用いると、ガンマ関数は（1．6）より
と表示できます。
1．3．Hurwiセζ関数とゼータ正規化積．
HurwitZζ関数はRiemannζ関数を一般化した関数
で
oo
（・5）ζM一
ﾓω≒戸÷（1吉戸・…
と定義されます。特に、x＝1の場合、ζ（s，1）＝ζ（s）
となりRiemannζ関数と一致します。ここで、 Lerch
の公式（詳しくは、［L］を参照してください）を思い出
します。
定理1．2（Lerch）．
（1．6）
ζ’（・，・） 一 1・・濃
定理1．2の証明の概略．
f（x）＝ ζ’（0，x）−log F（x）
とおきます。このとき、
（1．7） 1
ノω＝−
Ti°9（2・）
となることを示せば、（1．6）が得られます。まず、
f”（x）＝0
を示し、次に
f（x＋1）＝f（x）
を証明します。すると、！（x）が定数であることがわかり
ます。そこで、x＝bとf（x）に代入すれば、（1．7）が
得られます。従って、（1．6）も得られることになります。
ここで、ゼータ正規化積を導入します。ゼータ正規化
積とは、1992年にDeninger（詳しくは、［D］を参照し
てください）により導入されたもので以下のように定義
されます。
ll A・ex・（芸Σ÷、一。）
λ∈A λ∈A
（・8）
@語一茸ぽ）
と表すことができます。従って、（1．4）と（1．8）により、
sin関数はゼータ正規化積を用いて
（1．9）
oo oo
2・i・（・x）一 II（n・x）H（n−x）
n＝O n＝1
と表すことができます。
1．4．多重三角関数．
多重sin関数（詳しくは、［B， KKI， KK2］を参照してく
ださい）は、ゼータ正規化積を用いて
oo
S，（・，（ω・，…，CL…））一 ll （・1ω1・…＋n・ωr＋X）
nl，＿，nr＝O
（口＠、ω1＋…・一））←1ア1
カ1，＿，nr＝1
と定義されます。特に、r＝1、ω1＝1とすれば、
Sl（x，（1））＝・2sin（πx）
となります。
2．Kroneckerの青春の夢
2．1．・Kroneckerの青春の夢．
sil関数の基本性質：（1）周期性（2）倍角公式（加法定
理）（3）微分方程式（4）x∈Qならばsin（πx）∈Q
このようなsin関数に対して、 Kroneckerは以下の結果
を発見しました。
￠⊃Q“b∩R＝Q（・i・（・x）lx∈Q）
そして、この結果の一般化として、次のことが成り立つ
と予想（Kroneckerの青春の夢）しました。
Kroneckerの の 有限次拡大体K／Qに対し、あ
る関数Fκ（x）が存在し、
Ka’−K（FK（x）lx∈K）
となる。但し、」K”bはKの最大アーベル拡大を表す。
2．2．実2次体に対するKroneckerの青春の夢．
新谷の結果（詳しくは、［S］を参照してください）
（1977年）を思い出すことにします。新谷は、Kが実2
次体の場合、Kroneckerの青春の夢の関tw FK（x）が2重
sin関数であろうと予想しました（いくつか構成をしま
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工業技術No．34（2012）
多重三角関数とKRONECKERの青春の夢
した）。そのときに、上で述べたsin関数の性質を以下
のように一般化しました。
新谷による2重sin関数の基本性質：（1）周期性（類
似の性質）（2）倍角公式（部分的）（3）微分方程式（未
解明） （4）x∈KならばFK（x）∈K（実例）新谷の結果
を踏まえ、1991年に黒川はKが総実代数体の場合、
Kroneckerの青春の夢の関数FK（x）が多重サイン関数
であろうと予想し、多重三角関数の研究に取り組み始め
ました。新谷、黒川、小山の結果を踏まえ、私は多重
sin関数の基本領域（開区間（0，ω1＋’”＋ωr））におけ
るN等分値の代数性に興味があり研究（詳しくは、［T1，
T2， T3， T4， T5， T6］を参照してください）をしていま
す。
注意2．1．
Kが有理数体Qの場合、Kroneckerにより発見され、
Kroneckerの青春の夢の関数Fκ（x）はe・xまたは
sin（πx）です。また、 Kが虚2次体の場合、高木貞治に
より「類体論」の論文（1920年）で証明されています。
Kroneckerの青春の夢の関数FK（x）はsn一関数（楕円関
数）が用いられています。
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東洋大学 理工学部
E−mail address：tanaka−h＠toyo．jp
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