実数値函数の連続性と可微分性について
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(2) . 北海道教育大学紀要 （第２部Ａ） 第３ ０巻 第１号 ｌｏ ｆＨｏｋｋａ ｉｄｏＵｎ ｉ Ｊ ｉ ｆＥｄｕｃａ ｏｕ ｒ ｎａ ｔ ｉ Ｓｅｃ ｉ ｌ ｖｅ ［ ｔ ｒ ｓ ｏｎ（ ＩＡ）Ｖｏ ｏｎｌ ｙｏ ．３０ ．１ ，Ｎｏ. Ｓｅｐ ｔ ｅｍｂｅ ｒ ，１９７９ 昭和５４年９月. 実数値函数の連続性と可微分性について. 藤. 戸. 伊 佐 美. 北海道教育大学函館分校数学教室. ｉ ｉｎｕｉ ｉ ｉ ｌ ｉ ｆ ｆｅｒｅｎｔ ｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ Ｄｉ ｏｎ ｔｈｅ Ｃｏｎｔ ｔｙ ｏｆ ｔｈｅ Ｆｕｎｃｔ ｏｎ ａｂ ， 工 ＩＴＯ ｓａｍｉ ＦＵＪ ｉ ｔ ｉ ｉｄｏ Ｕｎ ｉ ｔｙｏｆＥｄｕｃａ ｌ ｌ ｏｎ Ｎ ［ ｉ ｓ ｖｅｒ ｏ ｒｙ ｅ Ｃｏ ｅｇｅ ａｔｈｅｍａｔ ｃｓ Ｌａｂｏ ｒ ａｔ ， ， Ｈａｋｏｄａｔ ，Ｈｏｋｋａ Ｈａｋｏｄａ ｔ ｅ ０４０. Ａｂｓｔｒａｃｔ. ｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔ ｉｎｇ ｈｏｗ ｔｏ ｍａｋｅ ａ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｆｕｎｃｔ ｆａ ｃｏｎｔ Ｗ′ ｔｕｄｙ ｌ ｌ ｏｎ ａｎｄ ｏｎ ｏ ｅ ｈａｖｅ ｂｅｅｎｓ ｉｏｎ．ｌｎ ｔ ｉ ｉ ｉ ｉ ｆ ｈｅ ｆ ｉ ｌ ｆ ｔ ｐａｒｔ ｏｆｔｈ ｃ ｌｇａｔｅ ｔｈｅ ｍｏｎｏｔｏｎｌ ｒ ｓ ｐａｐｅｒ， ｗｅ ｔ ｒ ｅｄ ｔｏｉｎｖｅｓｔ ｓ ａｂ ｅ ｆｕｎｃｔ ｅｒｅｎｔ ａｄ. ｆ ｆｔｈｅ ｄ ｉ ｈｅ ｄ ｉ ｆ ｉ ｆ ｆ ｔｙ ｏ ｉ ｌｎｕｏｕｓ ｐａｒｔａｎｄｔ ｅ ｐａｒｔｏｆ ｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔ ｅｒ ｅｎｔ ａｂｌ ｅｎｃｅ ｆｕｎｃｔ ｅｒ ｐｒｏｐｅｒ ｉｎｕｏｕｓｆ ｉ ｉ ｉ ｈａｔ ａ ｃｏｎｔ ｈｅｌ ｔ ｐａｒｔ ｏｆｔｈ ｏｎ．ｌｎ ｔ ａ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｆｕｎｃｔ ｏｎｏｆ ｓ ｐａｐｅｒ ｕｎｃｔ ａｓ ， ｗｅｓｈｏｗｅｄｔ. ｉ ｌ ｉ ｉ ｆ ｆ ｉ ｉ ｏｎ ｗｈｉｃｈ ｗａｓ ｍａｄｅｏｆａＣｏｎｔ ｌｎｕｏｕｓ ｄ ｒｅｎｔ ａ ｂｏｕｎｄｅｄ ｖａ ａｂ ｅ ｅ ｏｎ ｈａｄ ｔｈｅ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｆｕｎｃｔ ｒ ａｔ ｉ ｉｎｕｏｕｓ ｆ ｆｕｎｃｔ ｉ ｎ ｓｏｍｅ ｓｕｂｉｎｔｅｒｖａｌ ｏｎｉ ｕｎｃｔ ｏｎ ａｎｄ ａ ｃｏｎｔ ． １. 序. 実数の有界な区間を１とする。 ｅは可附番無限集合 で， １で細密とする。 ｅで一様連続な函数ｆと， １－ｅで可微分な函数９の組に対して， ｅを与えれば， 一意に定まる１上の函数について， 第２節で述 べ る。. 第３節では， 測度零の集合を， 可附番綱密集合と， そう でない集合に分け， 有界変動連続函数の 場合について， 第２節で取り扱っ た函数との関聯を述べる。 ２. 連続性と可微分性. １で綱密とする。 実数の有界閉区間を， １＝［α ］とする（α＜ｂ ）。 １の部分集合ｅは，可附番集合 で， ，ｂ ｆ， と す る。 １－ｅで， ｒ（ズ）＝ α（ェ）で， ｆ（α）＝９（α） と す ．９は， ｅで連 続 で， １－ｅで 可 微 分 な 函 数， ｉの 有 限 増 分 の 定 理 を用 い て， α≦×≦ もな る 任 意 のヱに 対 して， ｆ（に）－ｆ（α） ≧ ９ る と， Ｂｏｕｒｂａｋ. ）－９ （ズ）－９（α ） （工 （α）となり， ｆ（ｘ）＝９（ヱ）と・なる。 ， かつｆ（ズ）－ｆ（α）≦９ 一 方， ｆ， ９が１で連 続 であ る か ら， ｅでｆ＝９な ら ば， １ でｆ＝９と な る。. 改めて， １で連続な函数ｆと， １－ｅで可微分な１上の連続函数９をとる。ｅ上でｆと 一致し，１－ｅ上で導 函数９′を持つ１上の函数を考える。 この函数を（ｆ）９と記す。（ｆ）９を求める方法については，既に発 （１）.
(3) . 藤. 戸. 伊佐美. 表 を した が， こ ・ では， 少 し 異 な っ た 観 点 か ら の 説 明 と， こ の 函 数 の 性 質 に つ い て 述 べ る。 △ 〃 は ｅ 上に 分 点 を 持 つ 分 割 であ る. （ｉ＝１ 。 即 わ ち， α＝×。 ＜×，＜ … … … ＜×。＝ ｂで， ズｆ ，２ ，… … …. “ －１）はｅの 元 であ る。. －△” １＝ 誓 劃為－ェ←・ ー と して， れ 一 ｍ の と き １△。１→ ０ と す る。 ｆはｅ で連 続 で， １－ｅ で 可 微 分 とす る。 Ｗｅ ｉ ｔ ｒａｓｓの 定 ｅｒ ｓ 理 を用 い て， ム を［ェぎ ］（ｉ＝１ ．， ェぎ － ，２ ，… … …，〃）で一 次 函 数 と し， １ で連 続 とすると， ム→ｆ（〃→ 仰）と な る よ う に， Ｚれを と る こ と が 出 来 る。 １－ｅでｆが 可 微 分 よ り， １－ｅ でＺ ん一ｒ （れ一の）とな る。 こ れ は， 九，元＞ ０ と す る と， １－ｅの 点×に 対 して，. デー 当 量（ ズーリ ー 語＊. ズ 琴 －パリ）＋ ★＊（′に三 パリ）. よ り， 九， た→ ０のとき， ｒ（ｘ）に収束するからである 。 改 め て， ム を］×． －． ，エゴ （ｉ＝１ ，２ ，… … …， た）の 夫 々 で 一 次 函 数 と し， ｆは１上 の 連 続 函 数 で， Ｚ“ （ェ‘ ）＝ｆ（ズ－ ）と す る。 Ｌれを， △ の分点を除きＬ脅＝ 院とし， １で連続とする 更に ９を１－ｅ で可. 。 ， 微分な１上の連続函数とし， Ｌ。一９（〃→仰）とする。 但し， 任意のれに対して， ム（α）＝Ｌ （α）と する。 このとき，０“ ， Ｌ。）で函数の組（ｆ ， ９）が一意に定まる。 ムの極限として定まる１上の函数が となる （ｆ） ″ 。 ｅの 元 の工 に つ い て は， 一 般 にＬれ；（ｘ）≠ ムキ（ズ）で， ムキ（ズ）は 十 ｍ， 又 は － ” と な る。 ｅの ・ 元磯こ対して， （ｆ） （ズ）の値は， Ｚ １（ェ）の れ→ ｍ と し た と き の 極 限 値 と す る。 従 っ て，ｅ の 元 嗣こ ９１. 対して， （ｆ） （ズ）は， 十の， 一の，ｇ ｉ（に） 〆（ズ）のいずれかの値をとる。 夕１ 特に， ム が１－ｅの 任 意 の 元ェ と， 任 意 のｅ＞ ０に対して 適当な自然数Ｎがと れて Ｎ≦“＜ 粥 ， ， の と き， Ｚれに 対 す る 分 割 △。 で， ズ を 含 む 分 割 △れの 一 つ の 開 区 間 を △“（尤）と 記す と △ （ェ）の任 ， 意の元″について，ｌｚ を（ェ）一 輪（ｇ） １＜ｅ が 成 立 す れ ば， ９′は１－ｅで連 続 と な る。. （ｆ） 〃の積分は，. 差（ｆＭ ズ）αズ‐ 麹 ．ｆＭ ズ）α. Ｍ 尤 励 と定める。 従って，. ズ ‘ ｆに 尾にとなる。. ｅの任意の元ズに対して，９；（ェ）（ｘ≠６）が存在して，（ｆ）”（ｘ）≧ｇｉ（ェ）ならば，（ｆ） ９一９ は単 調 増 加 函 数 と な り， ｅの 元ズ， ″に 対 して ″＞ 工 の と き ｆ（″）－９（″）≧ ｆ（ズ）－ ９（ズ）と なる ｆ ， ， 。. －９は１で連続函数だから， １でｆ－９は単調増加函数となる。 又， ｅの任意の元にに対して， （ｆ） も十 （ズ）＝９；（工）ならば， ｆ＝９となる。 特に， ９が１で連続可微分函数のとき， ｆ≠９ならば， ｅの元ｘに対して，（ｆ）”（ズ）≠ α（ｘ） 又は ， ′ （ｆ）小（ズ）≠９′ （ズ）となる。 （ｆ） ｇｉ（ｘ）≠ 〆（ｘ）のとき，（ｆ） ９キ（ェ）＞９（ｘ）となるｅの部分集合をｅ． ， （ｆ） のいずれかが非 適当な部分区 矛 周密の時 ｅ ９ｉ（ズ）＜ 〆（ｘ）となるｅの部分集合をｅ２とする。 ｅ ． ２ ， ， 間をとれば， 一方 の場合か， 又は連続可微分函数と一致 するの で， ｆ一９は単調函数となる ｅｈ ｅ２ 。 のいずれもが細密 であるときは， 除外集合を＆，ｅ ２として考えれば， 夫々の場合にｆ－９は単調函数 と な る こ と よ り， ｆ＝９ と な り， こ の 場 合 は 起 り 得 な い 。. （２）.
(4) . 実数値函数の連続性と可微分性について. ３. 有界変動連続函数の可微分 性. ｅは有界閉区間１の部分集合とし， 粥（ｅ）はｅの測度を示す。 ｅが非可算集合 で， 肌（ｅ）＝ ０ の と き ｅは非細密集合となる。 何故なら， ｅを細密集合と仮定してみる。 １の分割列△“をとり， △ ” は △“の細分割列となるようにし， 更に１△ １→○（箆→ｍ）とする。 △“る ） こより定まるれ個 の開区間を△“ ） ） ） ） （ｉ＝１ ，２ ，… … …， れ）と 記す。 仮 定 よ り， △“ （ｅ≠≠と な る。 △“ ）Ｆ“ と な る 閉 区 間Ｆｙ を と る。ｅ. ｝は一点からなる閉区間とはならない ｅはｎ（ＵＦｙ が非可算集合 であることより， Ｆ“ ｝ ）を含む。 肌 。 ｝ １ （ｅ）＝０よりＺＩＦ榊一０（れ→”）となる。 一方， 任意の”に対して ＺＩ△“ １ １ となる ことより， ， ’があって △“ ｝（ｅ＝≠と な１ 適当な△“ ）， ｅを細密集合としたことに反する。 ， 次に， ｅは可算集合で， １で細密とする。 ｒを１－ｅで可積分とすると， ｅの任意の元ｘにに対して ｒ（に十０）＝ ｒ（エー０）となる。 即わち， ｒは１で連続となるように拡張出来る それは △”をｅ 。 ， ′が可積分より △ の各区間 で定数値を 上に分点を持つ分割列とし，１△ １→０（れ一ｍ）とする。 ｆ ， 。 ′ とる階段函数の”を適当にとれば， の。→ｆ （“→の， 測度的）となる。何故なら， 上記の性 質をもつ ど ′は △ の分点のれについての 和集合 んな階段函数に対しても上記のことが成立しないならば， ｆ ， をｅ，とす る と， １－ｅ，で可 積 分 でな い。 従 っ て， ｆ′は１－ｅで可 積 分 でな い こ と に な り 仮 定 に 反 す ，. る。 そ こ で， ２ 種 類 の 分 割 列 △“， △ムを と る １△。－→ ０（冗→ ”） １△を１→ ０（た→ ①）と し △ △た 。 ， ， ， は い づ れ もｅ上 に 分 点 を 持 つ。 △”， △ムの 分 点 の れに つ い て の 和 集 合 を夫 々 ＆ ｅ２と し ｅ，ｎｅ２＝≠ ， ， ） と す る。 こ の と き， り妙一 ｒ（“→ ”， 測 度 的） ， の芽 → ｒ（れ一 の， 測 度 的）と な る よ う な，△ ，△脅の. ）が仮定よりとれる 従って ｅ に属する任意の元ェ に対し 各区間で定数値をとる階段函数の階 の好 。 ， ， ては， の炉（尤）一ｒ（ェ）（れ一ｍ）となり， ｅ ２に属する任意の元ｘに対しては， の野（ェ）→ｒ（ｘ）（れ→ ′ ｍ）となる。 こ・ でｆ （ズ）は， 他の階段函数の極限値を示すのに， 便宜的に使用 した。 とにかく ｅ． ， Ｕｅ２の 元にに 対 して は， ｆ′ （ズ ＋ ０）＝ｆ′ （ズー ０）と な るこ と が 示 さ れ た。 ｅの 任 意 の 元ェ を 分 点 と し. て持つ分割列とズを分点として持たない分割列が作れることより， 上記命題が成立する。 ′が存在し 可積分 であるので 上のこ ｆが有界変動連続函数のときは， 測度零の集合を除き， ｆ ， ， ′ とと， 第２節より適当な区間列 の中で， （ｆ） ′ ′ ′ αＭｘと表わされ， ｆ（ｘ）はその区間列の区間の中で 連続に拡張する ことが出来る。 云いか えると， ｆが有界変動連続函数ならば， 適当な区間の中 小 ′. に 励 は連続解散分となる。 又， 第２節の結果より， 各区間で， デー 身 ◎ α“ま単調函数とな る。 従っ て， その区間では， ｆは単調函数 である。 尚， ｆが絶対連続函数のときは， ｆ（ズ）－ｆ（α） － Ｅ 門 ェ 励 とな－ ）， 適当な区間 でｆ労 連 続に拡張出来ることより，その区間でｆ は連続可微分 函数となる。. （３）.
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