2013.1.15.
経済統計 レポート問題 No.2
加藤 賢悟
注意事項
• 提出レポートはA4レポート用紙を使用し，片面に手書きすること．表紙はあってもなくて もよいが，レポートの一枚目に必ず所属・学年・学籍番号・氏名を書くこと．以上の注意点 のうちどれか一つでも守られていない場合，原則無効とする．
• 他人のレポートを写したと判断された場合は，写した側写された側を問わず双方無効とする．
• 提出期限：1.22.（水）講義開始時に回収．遅れて提出することは認められない．
1. (層別抽出) 有限母集団{a1, . . . , aN}をL個の層に分割する．
{a11, . . . , a1,N1
| {z }
N1個
, a21, . . . , a2,N2
| {z }
N2個
, . . . , aL1, . . . , aL,NL
| {z }
NL個
}.
層別の母平均と母分散を
µh= 1 Nh
Nh
∑
i=1
ahi, ˜σh2= 1 Nh− 1
Nh
∑
i=1
(ahi− µh)2
とおく．各層hに対して標本Xh1, . . . , Xh,nh を非復元無作為抽出するとし，異なる層に対 しては標本は独立とする．層別の標本平均を
ˆ µh= 1
nh nh
∑
i=1
Xhi
とおく．母集団全体の平均µN = (1/N )∑Nj=1aj の推定を考える．母平均の推定量として
ˆ µst =
∑L
h=1
Nh
N µˆh=
∑L
h=1
Whµˆh, Wh= Nh/N,
を用いることにする．nをgivenとして，層ごとの標本サイズn1, . . . , nLを
nh= nWh,
となるように選ぶ(比例配分)．
（a）このとき，µˆstの平均，分散を計算せよ．
1
（b）上で求めた分散をVpropとおく．また，{a1, . . . , aN}からの単純非復元抽出を用いたと きの標本平均の分散をVranとおく．いま，さらに
nh/Nh= n/N, h = 1, . . . , L
であるとき，
Vprop≤ Vran
となるための平易な条件を導出し，導出した条件について議論せよ．
2. 有限母集団を{a1, . . . , aN}とする．また，N はnで割り切れるとする．N = nk．いま， (X1, . . . , Xn)を有限母集団からの系統抽出とするとき，標本平均
ˆ µ = 1
n
∑n
i=1
Xi
の平均と分散を計算せよ． 3. トレンドモデル
yt = α + βt + ut,
を考える．ここで，utは独立な確率変数で，E[ut] = 0, Var(ut) = σ2とする．いま，標本 がt = 1, . . . , T 期間で得られたとし，αの最小二乗推定量をαˆとする．このとき，αˆの分散 を計算せよ．
4. f (t)がtのp次多項式であるとき，
f (t) = a0+ a1t + · · · + aptp,
(p + 1)階差分を取ることで，トレンドが除去できることを示せ．
∆p+1f (t) = 0.
ただし，
∆f (t) = f (t) − f (t − 1), ∆2f (t) = ∆(∆f (t)), · · ·
である． 5. AR(1)モデル
yt = φ1yt−1+ ut, {ut} ∼ W N (0, σ2), σ2> 0,
を考える．φ1 = −1のとき，上のAR(1)モデルに従う{yt}は弱定常になり得ないことを 示せ．(φ1= 1のときは講義でやった．それをまねすればよい．)
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