木星の衛星食と光の速さ : レーマーによる光速度測定

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(1)Title. 木星の衛星食と光の速さ : レーマーによる光速度測定. Author(s). 岡崎, 隆; 佐藤, 瑞紀; OKAZAKI, Takashi; SATO, Mizuki. Citation. 北海道教育大学紀要. 教育科学編, 51(1): 213-219. Issue Date. 2000-09. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/202. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . 北海道教育大学紀要（教育科学編）第５１巻第１号. ２年９月平成１. ｌｏｆＨｏ逓凱ｄｏＵＰｉｖｅｒｓｉけｏｆＥｄｕ｛盟ｎｏｎ億ｄｕｃａロｏｎ）ＶＯ１Ｊｏｕｍａ ‐５１ ‐１，Ｎｏ. Ｓｅｐｔｅ｝ｍｂｅｒ，２０００. 木星の衛星食と光の速さ－レーマーによる光速度測定－. 岡崎. 隆・佐藤. 瑞紀. 北海道教育大学札幌校物理学教室. １．はじめに. 土初‐めて光の有限な伝播速度を導いた．イオは一定レーマーは木星の第一衛星イオの衛星食の観測から史－周期で木星のまわりを公転しているが，これによって生ずる衛星食を地球で観測するとき食の周期変動からのずれが観測され，これが光の有限な伝播速度によるものと考えたわけである．レーマーは木星の「衝」から「合」における食時刻の遅れを２２分と見積もり，これを光が地球の公転軌道直径を伝播するのに要する時間であるとして光速度を導いたとされる（１６７５年）．しかし，彼の得た結論は直ちには受け入れらず，光速－－ブラッドジーによる光行差の発見以降であるといわ ▼ 度が有限であるとのｒ認識が確立するのはおよそ５０年後，れる．高校の教科書や科学史の解説等に単純化されて紹介されるレーマーの業績について，以下に実際の観測はどのようなものであり，誤差の主要な原因がどこにあるかを明らかにしつつその実像を考察する．２．木星の衛星食はじめに，木星の衛星食についてまとめておこう．木星の第一衛星イオを地球の衛星である月と比較すると，表１に示すように本体の大きさと軌道半径はほぼ同じであり，木星から眺めるイオは地球から眺める月とよく似ていることになる．ところが大きな違いは公転周期で，イオは二日たらずで木星のまわりを回っている．この違いは万有引力の大きさの違いからくるもので木星本体が地球の約３００倍の質量を持っていることによる．ケブラーの第三法則から，イオ，月の公転半径ｒ，Ｍがほぼ等しいとして公転周期Ｔ，，ｒ，ＴＭについ. て次の関係が得られる．２キ趣４ｍｄ］１２ ′ ／Ｔ，／ＴＭｒ，３ＭＥ／］１ｒＭ３ＭＪＥ；. 表１. 衛星に関するデーター（天文年鑑より）. 軌道半径（万ｋ）ＤＩイオ. 月. ・. （）１. 公転周期（日）. 軌道傾斜角（度）. 半径（ｋｍ）. ４２１６－. １７６９．. ３１３．０４０＋０．. １８１５. ３８４４ ‐. ２７３２１７ ‐. ５１５ ‐. １７３８. ２１３.

(3) . 岡崎. 隆・佐藤瑞紀. 木星の強い引力によって，イオは月の１５倍を超えるスピードで動いているわけである．この公転運動に伴）が生ずる（図１）い，衛星が木星の影に入ることによって輝きを失う衛星食（Ｅｃ．月でいえば月食に相当する．この食には木星の影に衛星が入る「消滅（ＥｃＤ）」と影から衛星が出る「出現（ＥｃＲ）」があり，これらは太陽，木星，衛星の位置関係のみで決まる現象であるが，地球からは木星の「合」以降「衝」に向かっては「消滅（ＥｃＤ）」が，「衝」から「合」にむかつては「出現（ＥｃＲ）」が観測できる（図２）．. ○ 太陽. 地球. ＥｃＲ. ＥＣＤ. 合から衝. 図１. 衝から合. 図２. 衛星食と天体の配置. 地球から見た衛星食. ）），衛星の木星面経過（Ｔｒ食現象としてはこの他に衛星が木星の背後にかくれる掩蔽（ｏｃ，衛星の影の木）がある．稀にしか起こらない月食と異なり，イオは公転のたびに食を起こすが，これは木星面経過（Ｓｈ）））ｉ星の大きさ（ＲＪｒｎゅ＜Ｒｊｒ，ｓ，，イオの軌道半径（，イオの公転軌道傾斜角（ゐ）の間に成立する条件（１３度）が極めて小さいという偶然が０４度）３によっている．イオの軌道傾斜角（００．．，木星の赤道面傾斜角（われわれに格好の周期現象を提供しているといえる．５時間）で起こるが地球は公転運動によって木星に近付いたり遠ざかったりイオの食は一定周期Ｔ（約４２．をくり返すため，地球で観測される食周期は変動することになる．周期的な現象（周期Ｔ）は，伝播速度ｒ）（）、に対して無視できないスピード（Ｖ）で近づきながら（遠ざかりながら）観測すると異なる周期（Ｔｖで観測される．音によるドップラー効果の表式を用いれば以下が得られる．（光によるドップラー効果との相違は（Ｖ／ｃ）２であらわれるためこれは無視できる．）Ｔ▼ ＝ ▽ ／（ｖ± ▽｝Ｔキ（１± Ｖ／ｖ）Ｔ，Ｖ／ｖ《１. 吃）. ４ノ地球の木星に対する相対速度が最大になるとき（「矩」）ｓによって周期はお，地球の公転速度ＶＥ＝３ ×１０１ｎ. ０よそ０１％ずれる．約１５秒ほどの周期の増加または減少である． ‐ ／Ｔキ（Ｔ‐Ｔ）. ＶＥ／ｃ＝１０－４. 御. 周期のわずかな遅れ（進み）は累積されて食の遅れ（進み）として観測されることになる．レーマーは「衝」２分の遅れが，地球の公転軌道を光が横切るのに要する時間であるとして有限な光速－「合」における食の２）） ’２度を得たとされる．１２１４.

(4) . 木星の衛星食とその速さ一レーマーによる光速度測定一. ３．. 光速度の導出. ）が有限である時，衛星食の起こった時刻をｔ光の伝播速度（ｃ，地球‐木星，地球で観測する食の時刻をで ’ ｄ）までの時間間隔は，間距離をｒとすると，で＝ｔ／ｔｔ＋ｒｃｏ）してからｎ回目の食（ ‐ 従って，はじめに観測（. 食周期をＴとすると ▼ ＝ｔ ‐ｔ十（／ｔゴーｔｏ））／ｃｃ；ｎＴ十（ｒ。－ｒｏ。ｏｒ。－ｒｏ. ４（）. すなわち地球で観測する食の時間間隔は，食周期の整数倍からこの間に変化した地球‐木星間距離を光が伝播するのに要する時間だけずれる．有限な光速度の効果は食の周期的変動からのずれ△ｔ＝ｔゴーｔｏ’‐ｎＴとし／△ｔとして求められてあらわれ，このときの地球‐木星間距離変化△ｒ＝ｒ－ｒｏが分れば光の速度がｃ＝ △ｒ。るわけである．「衝」と「合」における食が観測できれば，この間の地球‐木星間距離の変化は地球の公転直径であるから容易に光の速度が得られる．しかし「合」において木星は地球から見て太陽と同方向あり，衛星食を観測することはほぼ不可能である．一方，木星の「衝」から三ヶ月後の地球‐木星間距離は１％以下の誤差で木星の公転軌道半径で近似できるため，この食の観測から以下のように光速度を求めることができる．. －＝ｒ‐ 木星の「衝」における食から観測をスタートする（）．三ヶ月後の食（ムヒＴＥ４）は，こ／ｔｏ，ｒｏＪｒＥ。，ｒ. のときの木星‐太陽‐地球のなす角度をｅとすると，地球の木星に対する相対角速度がの. １１／ＴＥ－／Ｔ．）であ冗（. るからβ＝のＴＥ４／，地球‐木星間距離は次式で与えられる．２２２／ｒ，＋ｒＥ ‐２ｒ立Ｅｃｏｓｅ］１ｒ。＝［. ２１００６１十（／／／）６］＝ｒ））２（ｒＥ－ ‐０ｒｒｒｒ．ＥＪ［Ｊ（Ｊ。キｒ．. （５）. ここでｒＪ２（ＴＥ）とした．ｒ／ＴＪＥ。は１％，ｒ，ＴＪ，ＴＥはそれぞれ木星，地球の公転半径，公転周期，また６＝冗／. 以下の誤差でｒ，と近似でき，「衝」から三ヶ月間の地球‐木星間距離変化△ｒは地球の公転軌道半径とするこ ’ とができる．この間の食の回数ｎ＝Ｑｕｏｄｅｎｔ［／□ は約５０回である．従って，木星の「衝」とその三ヶｔゴーｔ（）ｏ. ▼ ｔ’ ）を見積もり，これが月後の食の観測（ｔｔｏｏＬＰＴ（ｎ＝５０，。）から食の周期的変動に対する遅れ△ｔ＝ｔゴー．地球の公転軌道半径を光が伝播するのに要する時間であるとして光速度を算出することができる．ｉｃ＝ｒ（ムーｏ－ｎＴ）Ｅ／. （）６. レーマーはこの観測を次のように記述している．「１１月９日にパリで観測された第一衛星の出現（ＥｃＲ）は，. …. 地球が木星に最接近した８月に観測された出現（ＥｃＲ）から考えて，当然予想される時刻よりも１０分. ）遅れていた．」１. レーマーが見積もった「合」における食の遅れはこの観測結果を外挿したものに他ならない，ところで，光速度に換算する前段階の「レーマーの観測した遅れ（１０分）」には大きな誤差がある（２５パーセント）．この原因が食周期の観測，評価によって生ずるものであることを以下で明らかにする．. ２１５.

(5) . 岡崎. 隆・佐藤. 瑞紀. ４．食周期について. ▼ ）は食周期Ｔをどうとるかに強く依存する．食周期を１秒小さくと食の遅れの評価△ｔ＝ｔゴーｔ－ｎＴ（ｎ；５０ｏると遅れは５０秒大きく見積もられることになる．今日知られている光速度から逆算すると，地球の公転半径０秒大きく評価していたわけであり，を光が伝播するのに要する時間は８３分であるからレーマーはこれを約１０．食周期に２秒の誤差があったことになる．（）式から得られる誤差の関係は，食周期の測定誤差をど秒，光速度，地球軌道半径の相対誤差をそれぞれ６ △．， △２とするとｎｅキ（）（△．十△２）ｒＥ／ｃｏ. （７）. ｌｌｍｃ＝３×１０８キ５０であるから，ここで，ｒＥ＝１５×ｌｏ１ｎノｓ．，ｏ，ｎ. どキ１０×（△，十△２）ｓｅｃ. （８）. ｃの許容誤差を１０％，地球軌道半径の誤差も同程度とすると，食周期Ｔの測定誤差Ｅは数秒程度でなければならない．. 食周期Ｔは，「衝」における連続した食の観測から得られる．即ち，式蝿）において右辺第二項を無視する－ことができるためｔｏ＝Ｔとすることができる．ところで，数秒の精度が要求される食周期とはどのよう，Ｌｔなものであるだろうか？. ８６年であり，この二５時間に対し木星の公転周期はＴＪ；１１イオの公転周期Ｔ，＝４２．．. ／つから食周期はＴ＝Ｔ，ＴＪ）で与えられる．公転運動によって移動する木星の影に追いつくためにイオ（ＴｒＴ．の食周期は公転周期Ｔ，より約６２秒長い．数秒の精度が要求されるとき，食周期は衛星の固有運動だけでは決まらず，木星の軌道運動の影響を受けることになる．イオの公転角速度をの，，木星のそれをのＪとすると食周期ＴはＴ. ＝２冗／（の１－のｊ）. ｛９）. で与えられ，のＪは一定でない．従って食周期Ｔも変動していることになる．万有引力の下で楕円軌道（離）を描く天体（質量ｍ）の角速度のは，角運動量をＬ（一定）とすると次式であらわされる変動をする．心率ｅ. の＝. ２ｍ）ｒ＝え／（１十ｅｃｏｓｅ）０≦ ｅ ≦２冗Ｌ／（ｒ，，. （０１０. ０４８５）を考慮に入れると，食周期は木星の一公転周期を通じて平均食周期木星の公転軌道の離心率（＝０ｅ．ＴＡｖ＝Ｔ，ＴＪ／）に対しておよそ ± ６秒の範囲で変動していることが分る．（ＴｒＴ．. ０００４１十△（１＋２ｅｃｏｓｅ）ＴキＴ，［／ＴＪ＝０］，４＝Ｔ， ‐ ，. ーＴＡＶ－Ｔ－ ≦２４ｅＴ，寺６ｓｅｃ. ＱＰ. 従って，「衝」に近い時期に連続して起こる食時間間隔を数秒の精度で正確に測り，これをこの年の食周期２１６.

(6) . 木星の衛星食とその速さ一レーマーによる光速度測定一. 、の誤差で行ったことになる．この誤差には二Ｔとして用いることが必要であり，レーマーはこの測定を二秒回の食時刻の測定誤差とこの間の時計の誤差が含まれている．前者は後に述べる観測上の困難があり，後者はレーマーの時代の時計の精度がどれほどであったかと関わっている．木星の衛星食の観測は，もともと標）を考えると時計の精度が数秒以下であったとは考え準時の較正を目的として始まったとされていること３られない．従って，食周期の測定にレーマーの観測の信頼性に対する疑問と検証の困難さがあり，ここに彼の得た結論が広く受け入れられなかった理由があると考えられる．５．．衛星食の観測イオ本体の大きさ（半径Ｒ．），公転速度（）から，食の開始から終了に要する時間（２Ｒ，）を約３５／ｖ，ｖ，．分と見積もることができる．原理的にこれだけの時間を要する現象を地球の大気を通して観測することになる．従って，食の開始または終了の一瞬をとらえた観測時刻をデータとすることになるが，観測時の気象条件，ー観測の熟練度によって，この時刻の測定誤差は大きく影響される．眼視観測による精度は０１分程度と．）特に「衝」における食時刻の測定に高い精度を要求されるがこの食は木星本体のごく近されている４．，，くで生ずるために，相対的に微弱な光度の衛星を捕らえるという点での困難さをもつ」我々の観測には３００ｍｍ）４０ｍｍを用いたが，この場合，ｃｍカセグレイン式反射望遠鏡（西村製，焦点距離４５０，接眼レンズｏｒ眼視観測で食の開始から終了まではおよそ１分を要した．「消滅（ＥｃＤ）」の開始，「出現（ＥｃＲ）」の終了は眼視による判定が困難であり，「消滅（ＥｃＤ）」では終了時刻，「出現（ＥｃＲ）」では開始時刻が測定に適している．時刻測定には，標準電波時報ＪＪＹを利用する．日本水路協会による食予報時刻が天文年鑑に掲載され）これを目安として観測を準備することができるまた同協会による地球‐木星間距離（地心距ており５，，．離）予報値を利用することによって式錘）から直接，食周期Ｔ，光速度ｃを求めることもできる．｝１９９８年は食（ＥｃＲ）を五回観測することができ，結果は表２のとおりである６．表２１９９８年の食観測データー. データ. 番号食時刻時：分：秒. 地心距離予報値（ＡＵ）. １. ２. ３. ４. ５. ９２８／２０２３００：：. １０５／２２：１９１６：. １０１３／００１４１２：：. １０２１／２０８３５５：：. ２２：３３：３５. ３９６１．. ３９７５．. ４００５ ‐. ４０６３ ‐. ４．１２１. １０／２８. 気象条件のため「衝」（９月１７日）前後で連続した食を観測することができなかったため，観測から食周期Ｔをおさ ‐えることができない．観測時刻における地球‐木星間距離を予報値から近似関数を使って求め，式は）を使って，三つの観測データ（ｉ，ｊ，ｋ）から食周期Ｔ，光速度ｃを求める．. ｃ＝悶ｈ（ｔｊ）－Ｎｉ（ｔｉ－ｔｋ－）］／｛無ね（ｒｋ－ｒｉ（ｔｉｒｉ‐ｒｊ）‐Ｎｉ）］ｊｊ. ，. Ｔ；［ｔｒｔｔｔ（）（）（ ‐ ）－（ｒｋｒｉ）］／回ガｒｒ－（） ‐Ｎ駁（］ｒｒｎ）ｒｉ－ｒｉ‐ ｋｊｉｊｊ. （）１２. ここでＮｉｔｔｉ＝Ｑｕｏ口ｅｎｔ【ｊはデータ番号ｉとｊの食の間に起こった食の回数である（Ｎｉ，‐ ｉｊ，ｊ，ｋ）として，Ｔ］）．（），（（２１）をとったときの結果を表３に示す．，３，３，５，４２１７.

(7) . 岡崎. 表３. 隆・佐藤. 端紀. 観測データーから得られた光速度，食周期. ｉ，ｊ，ｋ. ）ｎ／ｓＩｃ（×１０８. ／ｃｏｃ. ）Ｔ（ｓｅｃ. ）Ｔ－ＴＡＶ（ｓｅｃ. ３１，，４. ３５８．. １１９．. １５２９３２. １９Ｏ．. ２，３，５. ６２１．. ０５４．. １５２９１７. ５４．. 光速度が２０～５０パーセントの精度で求められた．食周期については，一方は木星の離心軌道から予想される変動を大きく超えている．他の観測データの組み合わせからは上で得たより小さな光速度しか得られず，負の値を導くものがある．これらは，食時刻の測定誤差が全体として数秒以内におさまっていないこと，それによって矛盾した結果を導くデータの組み合わせが存在することを意味している．食時刻の測定に熟練が必要であるが，気象条件（大気の状態等）による不可避の誤差が影響していると考えられる．６．レーマーによる光速度測定について食時刻の測定を数秒の誤差内で行うには食の一瞬をとらえる熟練が求められ，また正確に時刻を刻む時計も必要である．食周期を求めるための時計には二日間に誤差一秒以下の精度が求められる．こうした測定を行ってはじめて数十パーセントの誤差の範囲で光の速度が得られるわけであるから，レーマーの観測と光速度の導出が決して容易なものでなかったことが分かる．一方で，木星という地球から適度に離れた惑星に，規則正しい食をくり返す衛星が存在しているという幸運にもこの歴史的発見はよっている．木星は他の惑星に比べて赤道面の対軌道傾斜角が極めて小さいという特徴があり，これが周期的な衛星食をもたらす要因となっている．. 食周期の変化の累積を食の目に見える遅れとして観測することで有限の光速度を得たとしてとしてレーマーの業績が紹介されることがある．しかしながらこの方法は，デモンストレーションとしての性格が強く，前提として食時刻測定，食周期測定に困難で厳しい精度が要求されていることを忘れてはならない．食時刻の測定を数秒の誤差の範囲で行うことができるなら，食周期そのものの変動あるいは，最大の変動となる「東矩」「西矩」における食周期の相違から光速度を求めることが可能でありレーマーも論文においてはじめに）この場合地の公転速度と光速度の比（３）が得られることになる．レーマーの業このことに言及している１，．. 績を引用する際に，こうした点に注意が払われる必要があると考える．レーマーの光速度測定を理科教育教材として生かすことが考えられる．衛星の運動とその結果生ずる衛星食はそれ自体興味深い自然現象である．木星の衛星の発見がガリレイに地動説の正しさを確信させように， ′衛星の運動は，万有衛星の運動の観察は我々に世界を異なる視点から眺める機会を提供しているといえる．引力によりひき起こされる運動として力学法則を理解する題材となり，地球で観測される衛星食周期の変動はドップラー効果の例として取り上げることができる．物理法則の発見と実験・観察（測定精度）との関わりを考えるうえで興味深い事例でもある．また，レーマーの業績の科学史上の意味を考えることも重要であろう．光速度が有限であるという主張は従来の常識をくつがえすという点で，地動説（コペルニクス），惑星の楕円軌道の発見（ケプラー）に匹敵する内容をもっていたと考えられる．またそれは，現代物理学の成果のひとつである相対性理論へ至る道筋の出発点ともなっている．１７ｃという時代の制約のなかで，自然現象を注目深く観測することによって得ら２１８.

(8) . 木星の衛星食とその速さ－レーマーによる光速度測定－. れた科学的発見としての意義をとらえることが重要である．引用文献１）大野陽朗監修，近代科学の源流＝（レーマー，「光の運動に関する証明」），北大図書刊行会. ｐ‐ ２３６，. ２）霜田光一，講座：歴史的物理実験，パリティー０８（）７９１９９５３）鬼塚史朗，物理教育４５（１９９７）３６４６（９９８）１３３５，. ４）田中済，惑星とその観測，恒星社厚生閣５）天文年鑑，誠文堂新光社０年度卒業論文，北海道教育大学札幌校６）佐藤瑞紀，平成１. ２１９.

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