トルクの測定（第2報）
博多哲郎
桜木正範
（昭和43年9月12日受理）Measurement of Torque by Strain Gauge Torque
Transducer (Part II)
TetsuroHAKATA MasanoriSAKURAGI Synopsis We described chiefly the transient torques， which were transfered from the separately exited DC motor to the load with moment of inertia through the connecting shaft when the system started from standstill． The general solution of the differential equations consists of the sum of two exponential damping and one damped oscillating torque components． The results detected by the strain gauge torque transducer indicate the similar waveforms to the solution． These time constants and angular velocity of oscillation will be calculated by the numerical method． This process is to find the two real．number roots of the 4th−order equation， and its coefficients are decided by the electrical and mechanical parameters of the system． のであるから，原動機および負荷のシャフトと同等の機 1． 緒 言 ひずみゲージとその応用測定器が，最近の計測技術の 多方面に使用されている。種々のひずみ量を比較的容易 に電気量に変換できるという，ひずみゲージの大きな利 点がその主な理由である。 筆者らは，抵抗線ひずみゲージを使用したトルク測定 器の一応用として，主として，直流電動機の起動の際， これと連結された負荷回転体への伝達トルクの動的特性 を測定したので，その結果を報告する。 なお，この伝達トルク検出の原理と測定方法について は，すでに前報1）に述べたのでここでは省略する。
2．理
論 本実験装置は図一1のごとく，原動機である直流電動 機，トルク変換器，および被動機である慣性体（この場 合は誘導電動機の回転子）の三老が，二組のカップリソ グにより結合されたものである。このうちトルク変換器 は，弾性シャフトにひずみゲージを貼りつけただけのも 械的性質を有するとみなせるであろう。 したがって，本実験において測定される伝達トルクの 性質は，カップリング部に使用されたゴムの機械的特性 に大きく左右されるであろう。ゴムのねじりスチフネス だけをとってみても，シャフトのそれに比して著しく小 さいからである。また厳密には，ゴムは線形要素とは言 えないが，本実験においては，得られたひずみの大きさ を考慮して，このゴムの力学的諸定数は一定であるとみ なす。 2．1他励磁直流電動機による起動の際の伝達トルク ここでは，上に述べた図一1の回転系を以下のごとく 考える。すなわち図一2のごとく慣性モーメントθiの 回転子をもつ直流電動機があり，これに慣性モーメント θ2の円筒が，ねじりスチフネスk，ねじり減衰cの結 合軸により連結されているとみなす訳である。 この電動機をあらかじめ一定電流で励磁しておき，つ ぎに電機≠に一定電圧を印加した際，結合軸を通じて負 荷回転体に伝達されるねじりトルクを求めることを考え罧一一一F
カップリング ＼ 電動機 h 錫 一 一 一 一 一 黶@一 ● 一 一 一 一 一 慣性体 黶@ ● 一一 一 一 一 黶@ 一 一 一 一 一 一 一 一 一 黶@ 一 一 一 トルク変換器 図一1実験装置概念図 一†e， 図一2 他励磁直流機による起動 る。 以下の各式における文字はそれぞれつぎのことを意味 する。 E ：電機子印加電圧 e：電機子逆起電力 i ：電機子電流 R： 電機子巻線抵抗（起 L ：電機子自己インダ 動器の抵抗を含む） クタンス θ1：電機子（回転体1）の慣性モーメント θ2：連結円筒（回転体2）の慣性モーメント k ：結合軸ねじりスチフネス c ：結合軸ねじり減衰 q、，q2：回転体1および2の角変位 co 1，ω2：回転体1および2の角速度 τ：電動機発生トルク τ2： 結合軸ねじりトルクk（ψi一ψ2） まず電圧方程式は diE＝L百＋Ri＋e （1）
主磁極磁束を一定とすれば， e＝Ki・ω1（K，：定数） （2） 電圧印加後，任意の時刻tまでに，電動機により機械 的におきかえられる電力がなす仕事は，各回転体の回転 エネルギの増加，結合軸に貯えられる位置エネルギの増 加，および結合軸のねじり減衰による発熱として消費さ れるから，式（3）が成立する。 ∫：・乞d・一丁θ㎡＋†曜＋ †k（・・ 一・o・・）2＋∫1・（…一…）・dt（・） 両辺を微分して整理すれば， ・i一θ1躍＋θ・ω・讐＋fl（・i−・・）（ω一ω・） 十C（ω1一ω2）2 （4） 一方，各回転体のトルクのっり合いに関してつぎの二 方程式が得られる。 ・一θ1普＋ll（…一・O・・）＋・（ω・一ω・） ・一θ・普＋fl（□）＋・（ω・一ω1） 式（5）および（6）より， dωl dω2 τ＝θl dt＋θ・一百 式（6）および（2）を式（4）に代入して整理すると，κ1過晋＋軌讐
したがって， τ＝Ki・i 式（8）よりiを求め，式（1）に代入して整理すると， d2ω1 R K12 d2ω2 dω1 θ2 百＋τ’「読一＋Lθ、ω1＋百’百 Rθ2 dω2 K，E 十 ・一＝ Lθ， dt Lθ， 式（6）の両辺を微分して整理すると， d2ω2 c dω2 k c dω1 dt・＋可’一可＋θ、’ω一瓦͡’−aT／H k −一戎一ω1＝o （5） （6） （7） （8） （9） ⑩ ⑪ ここで，t＝0においてこの系のエネルギは0である ことを用い，式⑭および⑪をラプラス変換することによ り，ω1，ω2の変換9，，92は，それぞれ式⑫，a3）のごと く求められる。 B5S2＋B6S＋B7 9，（s）＝ q2） 9・（・）＝ヌ、・＋B，、・＋B，S・＋B、S＋B、） S（S4＋B、S3＋B2S2＋B、S＋B4） B6s十B7 ただし， 昂一』＋c（1 1 十θ， θ2） 疏一芸＋％t9・（k＋c・』） 1 ｛Rk（θ、＋θ2）＋C、κ12｝ B，＝ Lθ、θ2阜「！㌃B・一鑑
cKiE kK，E B6 ＝・ B7＝ Lθ，θ2 Lθ，θ2 ⑬ ⑭いま求めようとするものは，式（6）より，
巧輌吻一弗一・（（D・一ω・） a・）
であるから，このτ2のラプラス変換を欠2とすると， T2＝θ2s92−c（∫2、−92） ＝ D， （16） S4＋BiS3＋B2S2＋B3S＋B4 ただし， D、＝leK、E／（Lθ，） ⑰ 式（16）の右辺の分母は，B1，・・，B4＞Oであることを考 慮し，さらに自然現象として可能なものをとることによ り，結局つぎのごとく因数分解される。 （S＋α1）（S＋α，）｛（S＋α）2＋ω2｝ ただし，al， a2， a，ω：正の定数 ㈹ したがって，式⑯の右辺は式⑲のごとく部分分数に展 開される。 G3s十G4 GI G2 T2＝ 十 十 （s＋a）2＋ω2 s十al s十a2 ただし，G1・・G4：定数 これより求めるτ2は式ag）を逆変換して， τ2＝Giε一α1t＋G2ε一α2t＋G3ε一αtcoscot G4−aiG3 ε““αtsintot 十 ω ＝GiεMαit十G2ε一α2t十Gε一atsin（ω彦十ψ） ただし， G＝VG32＋（G、−aG3）2／ω2 ωG3 tanψ＝ G4−aiG3 2．2三相誘導機による起動の際の伝達トルク 2．1 ag） ⑳ ⑳ 22） 倒 に用いたと同様の回転系において，原動機が三 相誘導電動機である場合の，起動時伝達トルクはどのよ うなものであろうか。 しかしこの問題は，電源投入時の多相交流機に生ずる 自由回転磁界に関する考察が必要であり，これらと定常 磁界とからなる全磁束分布によって決定される全電流分 布を一個の電流で表わし，直流機の場合の式（1）のごとく 簡単な電圧方程式を導くことは不可能である。つまり， 誘導電動機の電源投入時の電流には，固定子に関して二 つの補償過渡電流，励磁電流および定常電流の四成分が あり，回転子に関して二つの補償過渡電流と定常電流の 三成分があって，これらはそれぞれ相手側のすべての磁 束成分との間にトルクを発生するからである2）・4）。 したがって，三相誘導電動機により起動する場合につ いては，測定結果の報告のみにとどめる。3．実
験 3．1実 験 装 置 本実験に使用した回転系は，前報1）において用いたも のと同一の装置であるので，その仕様の詳細は省略する が，直流電動機は，2kW，110V，18．2A，4極，1，500rpm であり，誘導電動機は，3kW，220V，13．OA，4極，三 相巻線形である。また抵抗線式トルク変換器の測定範囲は0∼5kgmである。
なお今回電動機として用いた直流発電機は複巻である が，実験では直巻界磁巻線は結線されていない。さら に，回転子2（図一2）の，トルク変換器と反対側に回転計 用発電機が直結されており，回転速度検出に用いた。 3．2 実 験 結 果 3．2．1他励磁直流電動機による起動の際の伝達ト ルク 原動機（回転体1）が他励磁直流機である場合の起動 時オシログラムの一例を図一3に示す。 投入時電源電圧100V 投入前励磁電流0．55A 主回路用電源と励磁用電源は，それぞれ別個のものを 用いた。いずれも三相誘導機を原動機とする電動発電機 のセットであり，仕様ぱっぎのとおりである。 主回路用電源 5kW，100V，50A 励磁用電源 5kW，110V，45．5A また電機子巻線保護のために起動器を使用し，これは 最初のノッチに固定した。 オシログラムによれば，投入瞬時に約3Vの電源電圧 降下が生じている。同一条件のもとに多くのデータを得 たが，いずれも同一の特性を示した。 3．2．2 三相誘導機による起動の際の伝達トルク 前述したごとく，本実験装置の回転体2（図一2）は三 相誘導電動機である。そこで回転体2を原動機として三 相電源に投入した場合の回転体1への伝達トルクのオシ ログラムを，図一4および図一5に示す。なおこの場合 直流機は無励磁でただ慣性体の性質のみを持っていると 考えられる。このうち図一4は静止状態から起動した場 合，図一5はあらかじめ直流機によりすべり2付近で回 転させておき，直流機側電源を切り離して後，誘導機を 電源に投入して逆転させた場合である。起動瞬時の電源 電圧は，それぞれ77Vおよび143Vである。低電圧で起 動したのは，起動時間を延長させるためと，伝達トルク の大きさを直流機の場合と同程度にするためである。繕
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ω2 ㌘綾柵Vt．itm，1・i“燦deP㈱◇鞘将シ㈱tM・t㈱匂㈱旛欄鰯一 ／ 竃 馨 ぷ 図一3起動時ナシ ログラム（1） ’ （他励磁直流機によ一 る起動）
図一4起動時オシPグラム（2）（三相誘導機による起動） 冊㌔禄 w1灘憾 ㌘ 灘羅菜灘…鵜懸難獺
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図一5起動時オシログラム（3）（誘導機によるすべり2よりの逆転） 3．3 実験結果の検討および補足実験 3．3．13．21および3．2．2の検討 まず図一3の場合，結合軸の伝達トルクは，ほほ指数 関数的に減衰する成分に，ある周波数の減衰振動が重畳 された特性と言える。この振動の周波数は厳密には一定 でなく17から19Hzへと次第に増加している。 振動消滅後のトルクτ22の対数と時間の関係は図一6の とおり直線関係にあり， τ22＝10．73ε一〇’784t 〔Nm〕 ⑭ 20 10 「ξ LZ、 ご 5 1 0 05 1．0 15 t〔・〕 図一・ 6振動消滅後の減衰トルクの対数と 時間の関係（直流機による起動） 20 10 盲 己， 5 5 1 0 01 t fs〕 02 図一7 減衰振動の振幅の対数と時間の関係 （直流機による起動） の実験式が得られる。 さらに図一3に式⑭のτ22をt＝0まで延長し，振動 部分の振幅を測定して，その対数と時間との関係を示す と図一7のとおりこれも直線関係にあり，振動の包絡線 τ23として， τ23＝±19．5ε一16’2t 〔Nm〕 2S） の実験式が得られる。 また起動後約一秒経過より，回転数〔rps〕に等しい周波数をもっ脈動分（3．3．2参照）が現われこれは約ユ060 rpmで最大値を示して後，多少減少するが消滅するこ となく持続して無負荷速度に近づく。 っぎに図一4の場合，伝達トルクは起動直後，誘導機 の電気的および機械的両過渡現象の重畳したと考えられ る複雑な振動分を含み，その後一旦安定したのち回転数 〔rps〕に等しい周波数の脈動を含み，940∼1060rpmの 間でこの脈動の最大値を示して無負荷速度に移行する。 さらに図一5の場合，伝達トルクは投入直後および回 転方向逆転後，大きい振動分をもっ。このうち投入直後 の周波数は，平均17．6Hzで図一3の結果とほぼ等しい。 またこの振動振幅の対数減衰率は，実験式2S）の約80％ の値になった。このようにすべり2より起動した場合の 伝達トルクの特性が，他励磁直流機に相似した振動分を 伴うということは，このときの誘導機の発生トルクの振 動分の減衰率が，他のすべりの時よりも大きく，比較的 短時間にすべりに固有の発生トルクにおちっく2）という ことからもうなつかれることである。 3．3．2回転数〔rps〕に一致したトルクの脈動に関 する検討 図一3，図一4に明らかなごとく，起動の後期におい て，伝達トルクの脈動がみられる。この脈動の周波数と本 回転系の速度との関係をみると，誘導機の無負荷運転に より得られた脈動のオシログラムによれば，1390∼1480 rpmの回転速度範囲において脈動の周波数は，回転計 により得られた回転数〔rps〕との間に誤差±0．3％以 内であった。これより図一3，図一4等の起動後期の脈動 の周波数は回転速度に一致しているものと考えられる。 また図一3および図一4によれば，この脈動分の振幅 は，940∼1060rpmの間で最大となっているが，この原因 は不明であった。そこでこのトルクの脈動を回転系の機 械的性質に基づく振動とみなし，つぎのような比較を行 なった。 まず第一の実験。差動変圧器を用いた電気マイクロメ ータの検出端を図一8のごとく誘導機のトルク変換器側 のブラケット上端に接触させる。この状態において本回 転系を直流電動機により無負荷運転し，速度を変化させ て各速度におけるマイクロメータの出力波形を，ブラウ ン管オシロスコープに描かせ写真撮影する。 こうして得られた各速度に対する波形は，振幅がある 周期で脈動する振動波形であるが，この振幅の最大値と 最小値の各速度に対する関係は図一9のとおりである。 この結果により約900rpmの点に，この回転系の，測定 された範囲における最初の振動の極大値がある。 つぎに第二の検討。図一3，図一5等の起動直後の振動 マイクロメータ検出部 ＼ ◎ ◎
．衰
誘導機固定子 図一8 振動検出方法 冨 ㌣色5
’㍑9
藻 500 ユ000 1500 n〔rpm〕 図一 9’固定子振動の大きさの速度に対する変化 分の周波数は，約18Hzで，これは回転速度に換算する と1080rpmに相当する。 上の二つの場合を比較すると，回転数は同じではない。 つまり前者の実験の振幅の極大値は，ユ080rpmでは小さ い値である。これは両者の振動の原因が異なるためかも 知れない。しかし約18Hzの周波数はこの回転系の固有 周波数と考えてよさそうである。 3．3．3他励磁直流電動機のみを起動した際の電流 波形 図一3の電流波形には，投入初期にわずかではあるが 振動分が含まれている。この電流だけのオシログラムを 図一10に示す。 ところで，他励磁直流電動機を電源に粗接続した場合 の電流は，っぎの式⑳で表わすことができる5）。i−R㎡、詰討担L醐 e・）
ただし，Eは電源電圧， Rは電機子抵抗， T，T，はそ れぞれ電磁時定数および電気機械的起動時定数。 また普通α1，α2は負の実数である，したがって式㈱に は振動分は含まれない。 そこで，実験装置において，直流機とトルク変換器の間 のカップリングを外し，直流機電機子のみを起動して電 流に振動分が含まれるかどうか確かめてみた。図一11 はそのオシログラムの一例であるが，投入初期に振動分 は見出せない。この結果は，結合時の投入初期の電流の表一1 トルク測定器の較正
蠣
（1） 算定トルク〔Nm〕 1．45 2．77 3，88 6．85 9． 58 12．05 14，29 15．82 （2）トルク測定 器表示トルク〔Nm〕 1．59 2．83 3． 87 6．79 9，45 12．02 14．07 15．40 （2）一（1） ×100〔％〕 （1） 102 2．2 −0，2 −10 −1，3 −O．3 −1，6 −2．7 図一10 図一2の状態で起動した際の電流波形㈱騰
図一11直流機のみを起動した際の電流波形 振動が，回転体間の結合軸およびゴムのねじり減衰振動 の影響によることを示す一っの証拠ともいえる。 3．3．4 トルク測定器の補正 本実験に用いたようなトルク測定器は，動的に最もす ぐれた補正方法といったものは存在しない。したがって 実際の使用状態における比較により類推する以外に方法 はない。ここでは誘導電動機を原動機として定常運転 し，直流発電機をトルク負荷機として，この出力と損失 とから機械的入力を求めトルクを算定した。方法の詳細 は省略するが，得られた結果を表一ユに示す。これによ れば，本トルク測定器は，ほぼ忠実に伝達トルクを表示 するということができる。約10％の誤差をもつ最初の結 果は，本測定器の定格トルクの3％程度のトルクを測定 したものであるから，この程度の誤差はやむを得ないと 考えられる。4．考
察 実験および検討は，以上のとおりであるが，これらを 総合して，っぎのような結論と，今後の課題が得られる。 （1）実験により得られた結果から，定性的にではある が，他励磁直流機の起動時伝達トルクの波形は，ほぼ式 ⑳の形をもっということが結論できる。つまり，二っの 指数関数的減衰と減衰振動の重畳波形となる。・このう ち，一方の指数関数的減衰はきわめて短時間に消滅して しまうで乞）ろう，まこ秀享奨こよる室力）易｝二よ， 電気的過渡現象の短かいすべり2のような点において直 流機の場合と相似の減衰振動がみられる。 したがって，本実験装置のごとく2個あるいはそれ以 上のシャフトおよびカップリングからなる伝達軸を，等 価的に一個のねじりスチフネスとねじり減衰を持っ機械 的要素とおきかえて考えることが可能となろう。 （2）今回微分方程式をたてて解いたのは，結合軸の伝 達トルクのみである。したがって電流あるいは電動機発 生トルクの波形に関しては，何の結果も得られない。こ れを求めることは今回の日的ではなかったが，最初の微 分方程式は同じであるから，式（8），（9），a2）， a3）等から解 けばよい。 また式08に得られた減衰に関する定数a、，a2， a，振動 の角速度ω等と，この回転系の電気的および機械的パラ メータとの関係を簡単に式化することは困難である。さ らにこれらのパラメータの中にも，ねじりスチフネス， ねじり減衰等のごとく，その大きさを知ることが容易で ないものがある。したがって，これら不明のパラメータ を仮定して式⑯を求め，電子計算機を用いるなどによ り，数値計算の方向から，現象波形に一致するものを見 出していくのが今後の課題であろう。 なお現実の機器において各パラメータが既知のとき は，上の数値計算より，過渡的な伝達トルクの形や最大 値等を求め，シャフトの強度を計算する一資料とすると いった利用方法も考えられる。5．結
言 数値計算やその他の応用にっいても，今後とも実験， 検討をつづけるつもりである。 おわりに，本研究にあたり，終始懇切に御指導いただ きました，本学部中村元和先生，金丸春雄先生に深く感 謝致します。また実験に際して多くの御助力いただきま した電気工学科技官石川多俊氏，×学院工学研究科一年 水越明男君の皆様に厚くお礼申し上げます。参 考 文 献 1）博多，桜木：山梨大学工学部研究報告，第18号 （1967） 2）N．C． Ens］in他：P．1． E． E．1 1 3−6， 1035（1966） 3） 4） 5） M．G， Say 他：P．1． E． E，115−1，128（1968） 山村，安井：電学誌75，p493−497（1955） R．RUdenberg（コロナ会訳）：過渡現象論， p．137−145， コロナ社（1929）
