数学教育における関数概念の認識発達に関する研究

(1)

数学教育における関数概念の認識発達に関する研究

著者

二澤善紀

学位名

博士（教育学）

学位授与機関

関西学院大学

学位授与番号

34504甲第721号

URL

http://hdl.handle.net/10236/00029088

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5 ࡘࡢᛮ⪃Ỉ‽ࡣ㸪ࡑࢀࡒࢀࠕ➨ 1 Ỉ‽㸸どぬⓗỈ‽㸦the visual level㸧ࠖ㸪ࠕ➨ 2 Ỉ‽㸸グ㏙ⓗỈ‽㸦the descriptive level㸧ࠖ㸪ࠕ➨3 Ỉ‽㸸⌮ㄽⓗỈ‽㸦the theoretical level; with logical relations, geometry generated according to Euclid㸧ࠖ㸪ࠕ➨ 4 Ỉ‽㸸ᙧᘧⓗㄽ⌮ࡢ Ỉ‽㸦formal logic; a study of the laws of logic㸧ࠖ㸪ࠕ➨ 5 Ỉ‽㸸ㄽ⌮ⓗἲ๎ࡢỈ‽㸦the nature of logical laws㸧ࠖ࡜࡞ࡗ࡚࠸ࡿ(1986 p.53)ࠋࡇࡢ࠺ࡕ㸪➨ 1 Ỉ‽࠿ࡽ➨ 4 Ỉ‽ࡲ ࡛ࡣ1984 ᖺ࡟♧ࡉࢀ࡚࠸ࡿࡀ➨ 5 Ỉ‽ࡢグ㏙ࡣ࡞ࡃὀ _㸪➨_{5 Ỉ‽ࡣ 1986 ᖺ࡟♧ࡉࢀ࡚}

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8 ᙧ࠿ࡽ㛗᪉ᙧࢆㄆ㆑ࡋ㸪㛗᪉ᙧࡣṇ᪉ᙧ࡜␗࡞ࡿࡼ࠺࡟ࡳ࠼ࡿ࡜⪃࠼ࡽࢀࡿࠋ ➨ 2 Ỉ‽㸦グ㏙ⓗỈ‽㸧࡛ࡣ㸪እほ࡟ࡼࡗ࡚㆑ูࡉࢀࡓᅗᙧࡣᛶ㉁࡟ࡼࡾㄆ㆑ࡉࢀࡿࠋ ౛࠼ࡤ㸪㛗᪉ᙧࡣ4 ࡘࡢゅࡀ┤ゅ࡛࠶ࡿࡇ࡜ࡀㄆ㆑࡛ࡁࡿࡓࡵ㸪㯮ᯈ࡟࠿࠿ࢀࡓ㛗᪉ᙧࡀ ṇ☜࡛࡞ࡃ࡚ࡶ4 ࡘࡢゅࡀ┤ゅ࡛࠶ࡿࡇ࡜ࢆ⪺ࡃ࡜㸪㛗᪉ᙧ࡜ㄆ㆑࡛ࡁࡿࠋ ➨3 Ỉ‽㸦⌮ㄽⓗỈ‽㸧࡛ࡣ㸪ᅗᙧࡢᛶ㉁ࡣㄽ⌮ⓗ࡟㛵ಀ࡙ࡅࡽࢀࡿࠋ࠶ࡿᛶ㉁ࡣ௚࠿ ࡽᑟ࠿ࢀࡿࠋࡘࡲࡾ㸪࠶ࡿᛶ㉁ࡣ௚ࡢᛶ㉁ࡼࡾඛ࡟ᑟ࠿ࢀࡓࡾ㸪௚ࡢᛶ㉁࠿ࡽᑟ࠿ࢀࡓࡾ ࡍࡿࠋࡇࡢỈ‽࡛ࡣṇ᪉ᙧࡣ㛗᪉ᙧ࡜ࡋ࡚ㄆ㆑ࡉࢀࡿࠋ ➨4 Ỉ‽㸦ᙧᘧⓗㄽ⌮ࡢỈ‽㸧࡛ࡣ㸪ㄽ⌮ⓗ࡟㛵ಀ࡙ࡅࡽࢀࡓᅗᙧࡢᛶ㉁࡟ᑐࡋ㸪ᛮ⪃ ࡣ₇⧢ࡢព࿡㸪ᐃ⌮ࡢ㏫㸪බ⌮㸪ᚲせ᮲௳㸪༑ศ᮲௳ࢆ⪃៖ࡍࡿỈ‽࡟㐩ࡋ࡚࠸ࡿࠋ ➨5 Ỉ‽㸦ㄽ⌮ⓗἲ๎ࡢỈ‽㸧࡛ࡣ㸪ᗄఱࡢㄽ⌮ࡀᢳ㇟ⓗ࡞₇⧢య⣔࡜ࡋ࡚ᵓᡂࡉࢀࡿࠋ van Hiele ࡣ㸪ࡇࢀࡽࡢᛮ⪃Ỉ‽ࢆᅗᘧ࡛⾲ࡍࡇ࡜ࡣࡋ࡚࠸࡞࠸ࡀ㸪᪥ᮏ࡛ࡣ୰ཎ㸦1995 p.98㸧ࡀᅗᘧ໬ࡋ㸪ࡑࡢ≉ᚩࢆⓗ☜࡟⾲⌧ࡋ࡚࠸ࡿ㸦Fig.1-2㸧ࠋࡇࡢᛮ⪃Ỉ‽ࡢ≉ᚩࡣ㸪 ྛỈ‽ࡀᛮ⪃ࡢᑐ㇟࡜᪉ἲ࠿ࡽᵓᡂࡉࢀ࡚࠸ࡿⅬ࡟࠶ࡿࠋࡑࡋ࡚㸪࠶ࡿỈ‽࡟࠾ࡅࡿᛮ⪃ ࡢ᪉ἲ࡜ࡋ࡚⏝࠸ࡽࢀ࡚࠸ࡓࡶࡢࡀ㸪ḟࡢỈ‽ࡢᛮ⪃ࡢᑐ㇟࡜࡞ࡿࡇ࡜࡛Ỉ‽ࡀୖ᪼ࡋ࡚ ࠸ࡃࠋࡑࢀᨾ࡟㸪ࡇࡢ5 ࡘࡢᛮ⪃Ỉ‽ࡣ₞ḟⓗ࡞ᩘᏛࡢᛮ⪃ࡢᵝ┦ࢆ⾲ࡋ࡚࠸ࡿ࡜࠸࠼ࡿࠋ ࡇࡢࡼ࠺࡞ᛮ⪃ࡢᵝ┦ࢆ㸪ᖹᯘࡣࠕ᪉ἲࡢᑐ㇟໬ࠖ㸦1987 p.189㸧࡜࿧ࢇ࡛࠸ࡿࠋࡲࡓ㸪 ୰ཎࡣvan Hiele ࡢᛮ⪃Ỉ‽ࢆ୍⯡໬ࡋ㸦Fig.1-3㸧㸪୍⯡໬ࡋࡓࡶࡢࡣ van Hiele ࡢᛮ⪃ Ỉ‽ࡢᮏ㉁ࢆ♧ࡋ㸪ࡑࢀࡣᐇ㝿ⓗ࣭ᐇ㊶ⓗ࡛࠶ࡿ࡜ྠ᫬࡟⌮ㄽⓗ࡛࠶ࡿ࡜Ỉ‽ࡢጇᙜᛶࢆ ♧ࡋ࡚࠸ࡿ㸦p.102㸧ࠋࡉࡽ࡟㸪ᩘᏛࡢᏛ⩦ࡢ࠶ࡾ᪉ࢆ♧ࡋࡓࡶࡢ࡛࠶ࡿ࡜ࡶ࠸࠼ࡿࠋ

van Hiele ࡢᛮ⪃Ỉ‽ࡣ㸪୕ゅἲ㸪㛵ᩘ㸪☜⋡ࡸࡑࡢ௚ࡢศ㔝࡛ࡶ◊✲ࡉࢀ࡚࠸ࡿ㸦౛ ࠼ࡤ㸪☾⏣㸦2015㸧, Colignatus, T. (2014)㸪Land, J. E. (1990), ᒸ㒊㸦2006㸧㸪Walsh, R. (2015) ࡞࡝㸧ࠋ 0 1 2 3 4 ᑐ㇟ ᪉ἲ ලయ≀ ᙧ ᛶ㉁ ᛶ㉁ ࿨㢟 ㄽ⌮ ㄽ⌮ ᙧ ࿨㢟

Fig.1-2 ୰ཎ࡟ࡼࡿ van Hiele ࡢ㸳ࡘࡢᛮ⪃Ỉ‽ࡢᅗᘧ໬(1995 p.98) 㸦୰ཎࡣ㸪5 ࡘࡢỈ‽ࢆ 0 ࠿ࡽ 4 ࡛⾲ࡋ࡚࠸ࡿࠋ㸧

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10 22-3 Pirie& kieren ࡢ◊✲

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Pirie & Kieren ࡢ⌮ㄽ㸦1989 1994ab㸧ࡣ㸪㉸㉺ⓗ෌ᖐ⌮ㄽ㸦transcendent recursive theory㸧࡜࿧ࡤࢀ࡚࠾ࡾ㸪van Hiele ࡢ⌮ㄽ࡜ẚ࡭࡚ヲ⣽࡟Ỉ‽ࡀタࡅࡽࢀ࡚࠸ࡿ㸦Fig.1-4㸧ࠋ Pirie & Kieren ࡢ⌮ㄽࡣ⌮ゎࡢ㐣⛬ࢆ⾲ࡍࡶࡢ࡛㸪࠶ࡿ᫬Ⅼ࡛ࡢᏛ⩦⪅ࡢ⌮ゎࡢᵝ┦ࢆศ 㢮ࡍࡿࡢ࡛ࡣ࡞ࡃ㸪⌮ゎࡀ㐍ࢇ࡛࠸ࡃ㐣⛬඲యࢆᤊ࠼ࡿࡇ࡜ࡀ࡛ࡁࡿྍ⬟ᛶࢆࡶࡗ࡚࠸ࡿࠋ ⌮ゎࡢᵝ┦ࢆ」㞧࡞㠀⥺ᙧ࡞㐣⛬࡜ᤊ࠼㸪8 ࡘࡢỈ‽ࡀໟྵ㛵ಀ࡟࠶ࡾ㸪ྛỈ‽㛫ࡢ⛣⾜ ࡣ⥺ᙧⓗ࡜ࡣ㝈ࡽࡎ෌ᖐⓗ࡛࠶ࡿ࡜ࡋ࡚࠸ࡿⅬ࡟≉ᚩࡀ࠶ࡿࠋࡘࡲࡾ㸪࠶ࡿỈ‽࡟࠾ࡅࡿ ⌮ゎࡣ๓ࡢỈ‽࡟౫Ꮡࡍࡿࡀ㸪⌮ゎࡀ࠺ࡲࡃ࠸࠿࡞࠸࡜ࡁࡣ㸪ᛮ⪃ࡀ෌ࡧ๓ࡢỈ‽࡟ᡠࡿ ࡇ࡜ࡀ࠶ࡿ࡜࠸࠺ࡇ࡜ࢆ⾲ࡋ࡚࠸ࡿ㸦Fig.1-5㸧ࠋࡲࡓ⌮ゎࡢỈ‽ࡀ㉁ⓗ࡟㐪࠺Ỉ‽࡟Ⓨᒎ ࡋ㸪ࡲࡓࡑࡢࡼ࠺࡞Ⓨᒎࡀఱᗘࡶ⧞ࡾ㏉ࡉࢀࡿࡇ࡜ࡀ࠶ࡾ㸪ࡇࢀࢆ㉸㉺ⓗ࡜࿧ࢇ࡛࠸ࡿࠋ

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➨1 ❶ ᩘᏛᴫᛕࡢㄆ▱࣭ㄆ㆑࡟㛵ࡍࡿᇶ♏ⓗ⪃ᐹ

11

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Fig.1-5 Ỉ‽ࡢ⛣⾜ࡀ෌ᖐⓗ㸪㉸㉺ⓗ࡛࠶ࡿࡇ࡜ࢆ♧ࡍᅗ㸦Pirie & Kieren 1994a p.184㸧

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12 ௨๓ࡢㄆ㆑ࢆ⏝࠸ࡿࡇ࡜ࡀồࡵࡽࢀࡿࠋࡘࡲࡾཎጞⓗ࡞ㄆ㆑࠿ࡽ㸪᪂ࡓ࡞ᩘᏛⓗ࡞࢖࣓࣮ ࢪࢆࡘࡃࡿỈ‽࡜࠸࠼ࡿࠋ ➨3 Ỉ‽ࡣ࢖࣓࣮ࢪࡢᡤ᭷㸦Image Having㸧࡛㸪࢖࣓࣮ࢪࢆᛮ࠸ᾋ࠿࡭ࡓࡾ࢖࣓࣮ࢪ ࡢ≉ᚩࢆ㏙࡭ࡿỈ‽࡛࠶ࡿࠋ ➨4 Ỉ‽ࡣᛶ㉁࡟Ẽ࡙ࡃ㸦Property Noticing㸧࡛㸪ேࡣ࠶ࡿ࢖࣓࣮ࢪࢆࡶࡘ࡜㸪ࡑࢀࡽ ࡢ࢖࣓࣮ࢪࢆࡳ࡚㸪ࡑࢀࡽࢆࡘ࡞࠸ࡔࡾ༊ูࡍࡿࡇ࡜ࡀ࡛ࡁࡿࠋ ➨ 5 Ỉ‽ࡣᙧᘧ໬㸦Formalizing㸧࡛㸪ேࡣⓎぢࡋࡓᛶ㉁ࢆ≉ᚩ௜ࡅࡓᑓ㛛ⓗ▱㆑࡟౫ Ꮡࡍࡿඛࡢ࢖࣓࣮ࢪ࠿ࡽ㸪᪉ἲ࡜ඹ㏻ࡢᛶ㉁ࢆᢳ㇟໬ࡍࡿỈ‽࡛࠶ࡿࠋ ➨ 6 Ỉ‽ࡣほᐹ㸦Observing㸧࡛㸪ᙧᘧ໬ࢆࡋ࡚࠸ࡿேࡣࡑࡢࡼ࠺࡞ᙧᘧⓗ࡞άືࢆ᣺ ࡾ㏉ࡗ࡚ㄪᩚࡍࡿ❧ሙ࡟࠾ࡾ㸪ㄪᩚࡋࡓࡇ࡜ࢆᐃ⌮࡜ࡋ࡚⾲⌧ࡍࡿࡼ࠺࡞⌮ゎάື࡛࠶ࡿࠋ ➨7 Ỉ‽ࡣᵓ㐀໬㸦Structuring㸧࡛㸪ᙧᘧⓗ࡞ほᐹࢆ⌮ㄽ࡜ࡋ࡚⪃ᐹࡋࡼ࠺࡜ࡍࡿỈ‽ ࡛࠶ࡿࠋࡇࢀࡣேࡀ」ᩘࡢᐃ⌮ࡢ㛵㐃ᛶࢆ⪃ᐹࡍࡿ㸪ࡑࡋ࡚ㄽ⌮ⓗࡲࡓࡣ࣓ࢱᩘᏛⓗ㆟ㄽ ࢆ㏻ࡋ࡚ࡑࢀࡽࢆṇᙜ໬ࡍࡿ㸪࠶ࡿ࠸ࡣ᳨ドࡍࡿࡇ࡜ࢆồࡵ࡚࠸ࡿࡇ࡜ࢆព࿡ࡋ࡚࠸ࡿࠋ ➨8 Ỉ‽ࡣ⬺༷㸦Inventising㸧ὀ _{࡛㸪᭱ࡶእഃࡢỈ‽࡛࠶ࡿࠋ୚࠼ࡽࢀࡓヰ㢟ࡢ୰࡛㸪} ࡇࡢỈ‽ࡢேࡣ᏶඲࡟ᵓ㐀໬ࡉࢀࡓ⌮ゎࢆࡶࡗ࡚࠸ࡿࡓࡵ㸪ࡇࡢ⌮ゎࢆࡶࡓࡽࡋࡓඛධほ ࠿ࡽ㞳⬺ࡋ㸪᏶඲࡟᪂ࡋ࠸ᴫᛕ࡟⤖ࡧࡘࡃ᪂ࡓ࡞ၥ࠸ࢆ๰ࡾฟࡍࡇ࡜ࡀ࡛ࡁࡿࠋ

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➨1 ❶ ᩘᏛᴫᛕࡢㄆ▱࣭ㄆ㆑࡟㛵ࡍࡿᇶ♏ⓗ⪃ᐹ 13 22-4 Lakoff ࡽࡢ࣓ࢱࣇ࢓࣮◊✲ ㄆ▱ព࿡ㄽࡣ㸪Lakoff, G.࡜Johnson, M.ὀ _{ࡽࡀ๰ጞ࡜࠸ࢃࢀ࡚࠸ࡿࠋㄆ▱ព࿡ㄽ࡛ࡣ㸪} ࣓ࢱࣇ࢓࣮ὀ _{ࡣゝㄒ⾲⌧࡟㝈ࡽࡎே㛫ࡢᛮ⪃㐣⛬ࡢ኱㒊ศࡣ࣓ࢱࣇ࢓࣮࡟ࡼࡗ࡚ᡂࡾ❧} ࡗ࡚࠾ࡾ㸪ே㛫ࡢᴫᛕయ⣔ࡀ࣓ࢱࣇ࢓࣮࡟ࡼࡗ࡚ᵓ㐀ࢆ୚࠼ࡽࢀ㸪つᐃࡉࢀ࡚࠸ࡿ࡜⪃࠼ ࡽࢀ࡚࠸ࡿ(Lakoff & Johnson 1980 ; Ώ㒊௚ 1986)ࠋ

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14 ⬟ᛶࢆ♧ࡋ࡚࠸ࡿ࡜࠸࠼ࡿࠋࡓࡔࡋ㸪㛵ᩘ࡞࡝ࡢಶࠎࡢᴫᛕᙧᡂࢆಁࡍࡼ࠺࡞ᩍᮦࡸᏛ⩦ ࡢ࠶ࡾ᪉࡟ࡣヲ⣽࡟ゝཬࡉࢀ࡚࠸࡞࠸ࠋ Fig.1-6 2 ࡘࡢᴫᛕ࣓ࢱࣇ࢓࣮ࡢ㉳Ⅼ㡿ᇦ࡜┠ᶆ㡿ᇦ 㸦G.M ࡜ L.M.ࡣࡑࢀࡒࢀᇶ♏௜ࡅ࣓ࢱࣇ࢓࣮࡜㛵㐃௜ࡅ࣓ࢱࣇ࢓࣮ࢆ⾲ࡍࠋ㸧 22-5 ⌮ゎ◊✲࡜࣓ࢱࣇ࢓࣮◊✲ࡢ⪃ᐹ

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ὀ7 Pirie & Kieren㸦1989㸧࡛ࡣⓎ᫂໬㸦Inventing㸧࡜ࡉࢀ࡚࠸ࡓࠋ ὀ8 Johnson, M.㸦1949- 㸧࢔࣓ࣜ࢝ࡢㄆ▱ᚰ⌮Ꮫ⪅ࠋ ὀ9 Ḣ⡿࡟࠾ࡅࡿࠕ࣓ࢱࣇ࢓࣮ࠖࡣࠕẚ႘ࠖࡢព࿡࡛౑ࢃࢀࡿࡇ࡜ࡀከ࠸ࠋࠕẚ႘ࠖ࡜ࡣࠕᗈ ⩏࡟࠾ࡅࡿ㞃႘ࠖࡢࡇ࡜࡛㸪ࠕᗈ⩏࡟࠾ࡅࡿ㞃႘ࠖ࡜ࡣࠕ㌿⩏ⓗẚ႘ࡢ୍ษࢆ↓ᕪู࡟ᣦ ࡍࠖ(బ⸨௚ 2006 p.216)࡜ࡉࢀ࡚࠸ࡿࠋࠕᗈ⩏࡟࠾ࡅࡿ㞃႘ࠖࡣࠕẚ႘ࠖ࡜࠸࠺ㄒ࡛⾲ ⌧ࡉࢀࡿ(ᅧᒸ 2009)ࠋ ࠙ ࠙ᘬ⏝࣭ཧ⪃ᩥ⊩ࠚ C

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22 ࡜ࡋ࡚ὶ⋡㸦fluxion㸧ࢆ⏝࠸࡚࠾ࡾ㸪ᐇ㉁ⓗ࡟㛵ᩘࢆ౑࠺ࡇ࡜࡛ᚤ✚ศࡢⓎᒎ࡟ᐤ୚ࡋ࡚ ࠸ࡿࠋࡉࡽ࡟࡯ࡰྠ᫬ᮇ࡟㸪Descartes, R.ὀ _㸪_{Fermat, P.}ὀ _{ࡽ࡟ࡼࡾゎᯒᗄఱࡀ๰ጞࡉࢀ㸪} ᗄఱⓗ࡞ᑐ㇟࡛࠶ࡿ᭤⥺࡜௦ᩘⓗᑐ㇟࡛࠶ࡿ᪉⛬ᘧࢆᑐᛂࡉࡏࡿࡇ࡜࡟ࡼࡾ㸪ᖹ㠃᭤⥺ࡣ ᪉⛬ᘧ݂ሺݔǡ ݕሻ ൌ Ͳ࡜⾲ࡍࡇ࡜ࡀ࡛ࡁࡿࡇ࡜ࢆⓎぢࡋࡓࠋࡇࢀ࠿ࡽ㸪ኚᩘࡢᴫᛕࡀࡘࡃࡽࢀ ࡚࠸ࡃࡇ࡜࡟࡞ࡿࠋࡓࡔࡋ㸪ࡇࡢ࡜ࡁࡣኚᩘ࡜㛵ᩘࡢᴫᛕࡀ᫂☜࡟ᤊ࠼ࡽࢀ࡚࠸ࡓࢃࡅ࡛ࡣ ࡞࠸㸦࣎࢖࣮ࣖ 1984 ; ᒸᮏ࣭㛗ᒸ 2014㸧ࠋ 㛵ᩘࢆ⾲ࡍfunction [ⱥㄒ] ࡜࠸࠺⏝ㄒࡣ㸪Leibniz, G. W.ὀ _ࡀ_{1670 ᖺ௦࠿ࡽ⏝࠸ࡣࡌ} ࡵࡓ࡜ࡉࢀ࡚࠸ࡿࠋ㛵ᩘࡢព࿡ࡀ୍⯡໬ࡉࢀ㸪࠶ࡿ㔞࡟ᚑᒓࡋ࡚ኚືࡍࡿ㔞ࡲࡓࡣࡑࢀࢆ⾲ ⌧ࡍࡿᘧࢆព࿡ࡍࡿࡼ࠺࡟࡞ࡗࡓ㸦᪥ᮏᩘᏛ఍ 2007㸧ࠋEuler, L. ὀ _{࡟ࡼࡾ㸪㛵ᩘࡢᐃ⩏ࡣ} ࠕ࠶ࡿኚᩘࡢ㛵ᩘ࡜ࡣ㸪ࡑࡢኚᩘ࡜࠸ࡃࡘ࠿ࡢᩘ㸪ࡍ࡞ࢃࡕᐃᩘࢆ⏝࠸࡚ఱࡽ࠿ࡢ௙᪉࡛⤌ ࡳ❧࡚ࡽࢀࡓゎᯒⓗ⾲⌧ࡢࡇ࡜࡛࠶ࡿࠖὀ _{㸦ᒸᮏ࣭㛗ᒸ 2014 p.25㸧࡜୚࠼ࡽࢀ㸪㛵ᩘグྕ} ࡜ࡋ࡚݂ሺݔሻࢆ⏝࠸ࡿࡼ࠺࡟࡞ࡗࡓࠋCauchy, A. L. ὀ _ࡶ_{Euler ࡜ྠࡌ⪃࠼࡛㛵ᩘࢆᢅࡗ࡚} ࠸ࡿࠋ 19 ୡ⣖࡟࡞ࡾ㸪Dirichlet, P. G. L.ὀ _{ࡣኚᩘࡢᑐᛂࢆ㛵ᩘ࡜ࡋ࡚⪃࠼ࡿࡼ࠺࡟࡞ࡾ㸪} ݂ሺݔሻ ൌ ൝ͳ൫ݔࡣ᭷⌮ᩘ൯ Ͳ൫ݔࡣ↓⌮ᩘ൯ ࡶ㛵ᩘ࡛࠶ࡿ࡜ࡋ࡚࠸ࡿࠋࡇࡢ㛵ᩘࡣ㸪⌧ᅾࡣDirichlet 㛵ᩘ࡜ࡋ࡚▱ࡽࢀ࡚࠸ࡿࠋDirichlet ࡟ࡼࡿ㛵ᩘࡢᐃ⩏ࡣ㸪 ܽ࡜ܾࢆ 2 ࡘࡢᐃᩘ࡜ࡋ㸪ݔࡣܽ࡜ܾࡢ㛫ࡢࡍ࡭࡚ࡢ್ࢆ࡜ࡿኚᩘ࡜ࡍࡿࠋࡶࡋ㸪ݔࡢྛ ್࡟㸪ࡓࡔ 1 ࡘࡢ᭷㝈࡞್ݕࡀᑐᛂࡋ㸪ݔࡀܽ࠿ࡽܾࡲ࡛ࡢ༊㛫ࢆ㐃⥆ⓗ࡟ືࡃ࡜ࡁ㸪 ݕࡶྠᵝ࡟ኚࢃࡿ࡞ࡽ㸪ࡇࡢ༊㛫࡛ݕࢆݔࡢ㐃⥆㛵ᩘ࡛࠶ࡿ࡜࠸࠺ࠋࡇࡢ࡜ࡁ㸪ݕࡣࡇࡢ ༊㛫࡛ྠ୍ࡢつ๎࡟ᚑ࠸ݔ࡟౫Ꮡࡍࡿᚲせࡣ࡞࠸ࠋࡲࡓ㸪ࡑࡢ౫Ꮡ㛵ಀࡀᩘᏛⓗ₇⟬࡛ ⾲ࡉࢀࡿᚲせࡣ࡞࠸ࠋ ࡛࠶ࡿ㸦Fig.2-1㸧ࠋࡇࡢᐃ⩏ࡣ㐃⥆㛵ᩘࢆᑐ㇟࡜ࡋࡓࡶࡢ࡛࠶ࡿࡀ୍ពᑐᛂ࡜࠸࠺⪃࠼ࡀ♧ ࡉࢀ࡚࠾ࡾ㸪ゎᯒⓗ⾲⌧࡟ࡇࡔࢃࡽࡎ࡟ᣑᙇࡉࢀࡓⅬ࡟≉ᚩࡀ࠶ࡿ࡜࠸࠼ࡿࠋ 20 ୡ⣖௨㝆ࡉࡽ࡟୍⯡ᛶࢆࡶࡘࡼ࠺࡟Ⓨᒎࡋ㸪ḟࡢࡼ࠺࡟⌧௦ⓗ࡞ᐃ⩏ࡀ୚࠼ࡽࢀࡿࡼ ࠺࡟࡞ࡗࡓࠋ 㞟ྜA ࡢྛඖ࡟㞟ྜB ࡢඖࢆࡓࡔ1 ࡘᑐᛂࡉࡏࡿᑐᛂ㛵ಀ݂ࢆ㸪A ࠿ࡽB ࡬ࡢ෗ീ 㸦map㸧࡜࠸࠸㸪݂ǣ ܣ ՜ ܤࡲࡓࡣܣ՜ ܤ࡛⾲ࡍ㸬Ṕྐⓗ⤒⦋➼࡟ᛂࡌ࡚㸪෗ീࡢ௦ࢃࡾ௙ ࡟㛵ᩘ㸦function㸧㸪₇⟬㸦operation㸧㸪ኚ᥮㸦transformation㸧➼࡜࠸࠺ࡇ࡜ࡶ࠶ࡿ.

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୊ 2 হ ਼ָؖस͹қٝͳ՟ୌ 23 㸦᪥ᮏᩘᏛ఍ 2007 p.508㸧 ⌧ᅾ㸪୰Ꮫᰯ➨1 Ꮫᖺ࡛ࡣ㸪㛵ᩘࡢᐃ⩏ࡣࠕ࡜ࡶ࡞ࡗ࡚ኚࢃࡿ 2 ࡘࡢኚᩘݔǡ ݕࡀ࠶ࡗ࡚㸪 ݔࡢ್ࢆỴࡵࡿ࡜㸪ࡑࢀ࡟ᑐᛂࡋ࡚ݕࡢ್ࡀࡓࡔ 1 ࡘ࡟Ỵࡲࡿ࡜ࡁ㸪ݕࡣݔࡢ㛵ᩘ࡛࠶ࡿ࡜ ࠸࠸ࡲࡍࠖ㸦ᒸᮏ௚ 2016 p.106㸧࡜ࡉࢀ㸪㧗➼Ꮫᰯ➨ 1 Ꮫᖺ࡛ࡣࠕ2 ࡘࡢኚᩘݔǡ ݕࡀ࠶ࡗ࡚㸪 ݔࡢ್ࢆᐃࡵࡿ࡜ࡑࢀ࡟ᑐᛂࡋ࡚ݕࡢ್ࡀࡓࡔ 1 ࡘᐃࡲࡿ࡜ࡁ㸪ݕࡣݔࡢ㛵ᩘ࡛࠶ࡿ࡜࠸࠺ࠖ 㸦኱ᓥ௚ 2012 p.64㸧࡜♧ࡉࢀ࡚࠸ࡿࠋࡇࢀࡽࡣ㸪Dirichlet ࡢ㛵ᩘࡢᐃ⩏࡟ᇶ࡙ࡃ⌧௦ⓗ ࡞ᐃ⩏࡟ᚑࡗ࡚࠸ࡿࠋࡲࡓࠗ୰ᏛᰯᏛ⩦ᣦᑟせ㡿㸦ᖹᡂ29 ᖺ࿌♧㸧ゎㄝ ᩘᏛ⦅࠘㸦2018b㸧 ࡛ࡣ㸪ࠕ㛵ᩘ㛵ಀ࡜ࡣ㸪㛵ಀࡍࡿ஧ࡘࡢᩘ㔞࡟ࡘ࠸࡚㸪୍᪉ࡢ್ࢆỴࡵࢀࡤ௚᪉ࡢ್ࡀࡓࡔ ୍ࡘỴࡲࡿࡼ࠺࡞㛵ಀࢆព࿡ࡋ࡚࠸ࡿࠖ㸦p.83㸧࡜♧ࡉࢀ࡚࠸ࡿࠋ ᩘᏛ◊✲࡛ࡣ㛵ᩘࡢᴫᛕࢆᗈࡃ㐺⏝ࡍࡿ┠ⓗ࡛㸪ࡑࡢព࿡ࡀᢳ㇟࣭ᣑᙇࡉࢀ࡚ࡁࡓࠋࡲࡓ㸪㛵ᩘᴫᛕࡣᚤศ✚ศᏛࡢⓎᒎࡢ㐣⛬࡛㸪ኚ໬ࢆᤊ࠼ࡿᩘᏛᴫᛕࡢ 1 ࡘ࡟࡞ࡗ࡚࠾ࡾ㸪⌧ᅾ ࡟⮳ࡿࠋ

Let us suppose that a and b are two definite values and x is a variable quantity which is to assume, gradually, all values located between a and b. Now, if to each x there corresponds a unique, finite y in such a way that, as x continuously passes through the interval from a to b, ൌ ሺሻvaries likewise gradually, then y is called a continuous…function of x for this interval. It is, moreover, not at all necessary, that y depends on x in this whole interval according to the same law; indeed, it is not necessary to think of only relations that can be expressed by mathematical operations. Geometrically represented, i.e. x and y imagined as abscissa and ordinate, a continuous function appears as a connected curve, for which only one point corresponds to each abscissa between a and b.

Fig.2-1 Dirichlet ࡟ࡼࡿ㛵ᩘࡢᐃ⩏ 㸦RÝthing 1984 p.74, RÝthing ࡟ࡼࡿཎⴭࡢⱥㄒ⩻ヂ࡛࠶ࡿࠋ㸧 11-3 ᩘᏛᩍ⫱Ꮫ࠿ࡽࡳࡿ㛵ᩘࢆᢅ࠺ព⩏ ᩘᏛᩍ⫱ᨵ㐀㐠ື ࠿ࡘ࡚࣮ࣚࣟࢵࣃ࡛ࡣ㸪ᩘᏛᩍ⫱ࡢෆᐜࡣ୺࡟᪉⛬ᘧ୰ᚰࡢ௦ᩘ࡜࣮ࣘࢡࣜࢵࢻᗄఱ࡛ ࠶ࡗࡓࠋࡑࡢ㡭ࡣࠕᙧᘧ㝡෬࡟ᇶ࡙ࡃศ⛉୺⩏ࡢᩍ⫱ほࡢ᫬௦ࠖ㸦ᰗᮏ 2008 p.129㸧࡛࠶ࡾ㸪㛵ᩘࢆᢅ࠺ࡇ࡜ࡣ࡞࠿ࡗࡓࡼ࠺࡛࠶ࡿࠋ18 ୡ⣖ᚋ༙ࡢ⏘ᴗ㠉࿨௨㝆㸪ᵝࠎ࡞ศ㔝࡛ᩘᏛࡢ 㟂せࡀ㧗ࡲࡾ㸪1900 ᖺ௦࡟࢖ࢠࣜࢫࡢ Perry, J.ὀ _{㸪࢔࣓ࣜ࢝ࡢ}_{Moore, E. H.}ὀ _㸪ࢻ࢖ࢶ

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数学教育における関数概念の認識発達に関する研究