ルベーグ積分論（講義ノート）

ルベーグ積分論（講義ノート）

著者

谷口 和夫

発行年

2011

(講義ノート)

谷口和夫

理学系研究科情報数理科学専攻 この講義ノートは 2004 年度から 2010 年度まで，数理・情報科学科および情報数理 科学科の学生にルベーグ積分を講義した講義ノートである.基本は溝端茂先生の教科書 「ノレベーグ積分論J [1] を参考にし， JI慎序を「測度の導入J

,

r積分の定義J としたものであ る.一応半年での講義を目標としたが，フピニの定理は後半の年度で、は時間の都合上割愛 をせざるをえなかった. 最後に付録として，ルベーグ積分論でよく使われる ε-ð 論法を情報系の学生にもなじ み易い様に， ε-ð 論法の考え方を「流れ図 j を用いて紹介するとともに，ルベーグの収 束定理のー適用例として，熱方程式の初期値問題の解の考察を付け加えた. この講義ノートの要点は次の通りである. 1.ルベーグ積分論は本来次元に関係しない話であるが，話題は殆ど 1 次元に限り，イ メージがわき易いところだけ 2 次元とした.

2

.

r測度の導入J を先に議論したため，可算区間和という概念、を導入した.

3

.

n

u

l

l

set という言葉を早い自に導入し，測度の概念が出てきたときに始めて，

n

u

l

l

s

e

t

が「測度 0 の集合である J ということを述べた(命題 4.9)

.

1

序

。[この講義の目標]

1

.

lim と積分の交換を容易にしたい 1 ∞ 一色コ立 例:熱方程式の解が u

(

t

,

x

)

=

"

~I

e

-

,-

4

;

J

f

(ν) めとなること. 乙νπt .1-∞ 2. 積分の順序交換 3. 積分の方法を「縦割引から「横割引に変える

y

y

。

y

=

f

(

x

)

X

。

リーマン積分

ルベーグ積分

以下，目標とすることを箇条書きで書く. 数直線上の長さについて 1=[α ， b]

:

IR の中の閉区間

1

1

1

=

b- α:1 の長さ 次の 4 つは全て区間と考える. [α ，

b

],

[α， b) ， (α， b]， (α ，

b

)

1: し、くつかの区間の和の時

亙墾:

1=

U ん訪問(1) =芝山 1 (1 の長さ)

n=l n=l 質 性 l. 1={α} :一点つ m(1)

= 1

1

1

=

0

2

.

1

1

， 1

2

区間，

1

1

n

1

2

=日 =今

1

1

1

U

1

2

¥

= ¥

1

1

¥

+

¥

1

2

1

2

X

拡張 1

_{1 ぅ}

1

₂

， .・ . ， ln で t ヂ J 今

1

i

n

1

j

==砂とする. このとき

m(l)

=

=

m(l

r

)

+

m(1

2) + ・・・ +

m(ln)

有限加法性 完全加法性について

1

=

=

(0ヲ 1] とし，半開区間の列ん==(詰?討を考えると

U ん== (0

,

1]

=

1

n=l となる.このとき，任意の N に対して

1

1 U ん u

.

.

.

U

1

N

=

=

1

N U 1Nー1 U... U

1

2 U

1

1

==(品工?剖 U(会?古]

U . .. U

(

h

~]

U

(~，

1

]

=

=

(ホヲ 1]

であるから N

ZP=一叫

m叫州(仏川

Lい川

U叫山んU

…

U

1

N)

=

=

1 一 万七

となり，ここで N →∞とすると

玄叫ん)

=

=

1

n=l となるから

(

1

.

1

)

L

m(ん) ==m((O， l]) 三 m(l)

が成立する. (1. 1) を完全加法性という. これを目指したい.

加算集合について(復習)

定義 1.1

1

)

集合 A が加算集合宇今 f: N → A となる全単射な写像 f が存在する.

2

)

A の元の個数は型筆但である位今 A は加算集合

3

)

A の元の個数は高々加算個である字キ A は有限集合であるか加算集合である

4

命題 1.2

1) 可算個の集合族 {An} において，全ての An が可算集合であれば，

A=

UAn も可算

n=l 集合となる.

2

)

A ， B がともに可算集合のとき ， AxB も可算集合となる.

2

実軸上と平面上の区間と区間和の面積

実軸 R の区間 1=[α， b] の長さは 111

=

b- α である.今後は次の 4 つを区別せずに考 える.

(

2

.

1

)

、、 EE ，，， I O α f'zs 、、

' o

α r ，，‘、、 、、 B ，/ 7 0 α F O α それに対し，平面上の長方形は 1=[α， b]

x

[c

,

d] となる.これも「区間 J と呼ぶ.このと き， 1 に対する面積は次で定義される.

1

1

1

=

(b- α)(c

-

d

)

この様な「長さ J や「面積j を将来測度と呼ぶ

(

2

.

1

)

'

平面の区間は上記も含め次の 1 6 通りのどれかを適宜考える. [α， b]

x

[c， 司， [α， b]

x

[c

,

d)

,

[α，

b

]

x

(c

,

d

],

[α， b]

x

(c

,

d

)

[α，

b

)

x

[c

,

d]

,

[α，

b

)

x

[c

,

d)

,

[αヲ b)

x

(c， 司， [α ， b)

x

(c

,

d

)

(α， b]

x

[c

,

d

],

(α，

b

]

x

[c

,

d)

,

(α，

b

]

x

(c

,

d

],

(αぅ b]

x

(c

,

d

)

(α ，

b

)

x

[c

,

d

],

(α， b)

x

[c

,

d) ヲ (α，

b

)

x

(c

,

d

],

(α， b)

x

(c

,

d

)

注 1. なお， 。講義の最初の部分とその他必要に応じて，概念が分かり易い様に平面で話を進めるこ とがあるが，ほとんどは実軸での話をする. 実軸においては， (2.1) ばかりではなく，次の様な無限区間も考える.

(

2

.

2

)

(-∞， b]， (-∞，

b)

,

[α? ∞)， (αぅ∞)， (-∞?∞) この講義では. (2.1) と (2.2) を合わせたものを「広義区間 J という.広義区聞に対し，上 で定義した (2.1) [平面の場合は (2.1)' ]を特に強調するときはこれらを有界な区間(又 は，有界区間)という. 注 2. 実軸上の広義区間 (2.1)

&

(2.2) に対し，平面における広義区間としては， (一∞ヲ∞)x (-∞?∞)ヲ(-∞ヲ∞)

x

(0，∞)ヲ (0ヲ∞)

x

(0，∞)等を考える. (実際は 81 個ある)

.

実軸上(又は，平面上)の集合の列 {Oj} が互いに素であるとは t 子三 j を満たす任意の i ， j に対しう Oi

n

Oj

=。 が成り立つことをいう.このことを用いて，次を定義しよう.

K

定義 2.1 実軸上(又は平面上)の集合 J が J= U んと有限個の互いに素な区間{ん}

の和で書けるとき ， J を区間和と言い，その長さ(=測度 ) ih(J) を

仇(J) = 乞|ん|

で定義する. 注 3. 一つの区間 I も区間和の仲間であり ，

i

h

(

1

)

= 111 である. 命題 2.2 N

1) 区間和みに対し J=U ふと置くと

み

m

N

玄

<一 T , d

m

9 i u n=l が成立する.特に ， {J

_n

} が互いに素のときは

(2.4)仇(J)

=

~二 ih(み)

n=l が成立する. (2) 区間和 J

₁

， J

₂

が J

₁

C J

₂

を満たすとき，次が成立する.

(

2

.

5

)

仇 (J

₁

) 三仇 (J

₂

) Proof.演習! O最初にも述べた様に以下の話は，平面で考えた方が分かりやすいので( r外測度」につ いては)平面で話しをしよう. 。を長方形ん =[Aヲ B1

x

[C， D1 に含まれる 集合とし，んの分割

y

(Aqo<Z1 くく­

C

=

Y

O

<

Y

1

< ・・・ <

Yn=D

Y

.

y

j

-

1

-・

r..

•

r

:

.

を考える.

1

i

j

=

[

X

i

-

1

'

X

i

)

X

[

Y

j

-

1

'

Yj) に対し

111

,; : 0 と交わる 今 < -J

l

I

;

;

:

Q と交わらない

OIA

。 :0

とおく.ここで，んをタイルと考えると

乞|ん|は Q の面積を外側から測ったもので、あるから

。の面積三玄|ら i

となる. ここで，細分を細かくすると段々 Q の面積に近づく. 一気に面積を考えたいのだが 少し発展させて次を目標としよう 細分を離れる 先ほどは有限個の和 それを可算個の和にしたい 改めて 細分をやめ，可算個の長方形で覆う.

(

2

.

6

)

n

c

Uι ん:長方形

n=l

6

。に対し，この様な (2.6) を満たす長方形の列{ん}に対し，その面積の和乞 IInl の一

番小さい数が Q の「面積J を表しているだろうと考えて良し、 1 また，このことは実軸上 の「長さ J についても考えられる.そこで，次を定義しよう. 定義 2.3 (外測度) 有界区間んに含まれる部分集合 Q に対し，

(

2

.

6

)

'

n

c

Uι ん:区間

n=l を満たす区間の列 {In} を Q の被覆 (covering) といい，

Cn

=

=

{n の covering {ん}の全体}

1 さらに， r和芝山の一番小さい数j を考えているのだから， (2.6) を満たす長方形の列{ん}は重な りを持っても良いと考えて良い.

とおく.このとき， n の金塑星 m*(n) を次で定義する. r_・・怜

∞玄同

n H J Q

m

で定義する. 下限の定義から， m*(n) は次の (2.7)-(2.8) で特徴付けられることに注意しておこう.

(

2

.

7

)

ば (n) 三玄|ん(全ての Q の cove叫{ん}に対して)

n

=

l

(

2

.

8

)

全ての(任意の)正数 ε に対し，玄!九回ば (n) +ε を満たす

n

=

l

c

o

v

e

r

i

n

g

{In} が存在する 。 再度 rm*(n) は Q の面積を外側から測ったもの j であることに注意しておこう. 特に，有界集合 e が m*(e)

=

0 を満たすことは (2.8) から次の様に特徴付けられる.

(

2

.

9

)

任意の正数 ε に対し

eC

Uι 乞|ん|く ε

n

=

l

n

=

l

を満たす可算個の区間の列 {In} が存在する. このことを考慮し，必ずしも有界でない集合 e が null set であることを次で定義する. 定義 2.4 e を広義区間 3 の部分集合とする. e が (2.9) を満たすとき e を空墾全(null set) という. 注 4. (この講義では)

n

u

l

l

set は必ずしも有界でない集合に対して定義されるのに対し， 外測度は有界集合のみに定義される.また e が有界集合のときは

(

2

.

1

0

)

e は null set ゃ=今 m*(e)

=

0

であることに注意しておこう. 例 1. n: 可算集合 =今

n

:

n

u

l

l

s

e

t

[例えば，

n

=

[0ヲ 1] 内の有理数， Q={1?2f--}]

P

r

o

o

f

.

0 は可算集合 =今

n

=

{Xn}n=1，2，3，.・-と書ける.

Pε ε>0 をとり

I

n

=

[

_l"

x

_"

n

_'n

-

2

n

n

....~-L1

+

l

'

,

Xn

+ 高立! とする.

8

=二主〉 {In} は Q の covering であり

===}

_I

_I

_n

_l

= 先 =εGr だから

会|刷会ε(訟に ε占 =ε となる

ε は任意 ===}

o

:

'

n

u

l

l

s

e

t

Q

.

E

.

D

.

例 2. 平面において 0=[0 ，∞) X {O} とおくと， 0 は null set となる.

εεE Proof.ε>0 をとり ，

I

n

=

[n-1

,

n+1)

x

(一一一一一)とおく.このとき，2_n十2' 2n+2 J '-...~ '¥. - -- '-~， w

0

..,

c

'-\...ノ

l

J

I

n

となるから {In} は Q の covering となる.また，

さ|ん|=22 弁会εG)n =ε占 =ε

となるカ瓦ら， 0 は null set となる.

Q

.

E

.

D

.

定理 2.5 (外測度の性質)

1

)

0

=

UOn のとき

(0 は可算個の On の和，重なってもよし、)

(2 叫が (0) 三 Lm*(On)

き シ」 の る Q す ζ 立 h

成

f v刀勾

(

2

.

1

2

)

m*(Ol) 三 m*(02) が成立する. 注 5. (2.11) で右辺が発散するときは， m牢 0<+∞ と考えて， (2.11) が成立すると考える.

P

r

o

o

f

of 定理 2.5. 1) どを任意の正数とすると (2.8) から，各 n に対し

乞|ん|ざが (On) + εF

を満たす nn の covering

{In

,

j}

j=1，2，... が存在する. ε 改めて，任意の正数 ε をとり，ど=ーとして上を適用する.

2

n ヨ {In，j} nn の covering

s

.

t

.

(

2

.

1

3

)

Llln，jl 三ば(nn) + 会

。=

U

n

n

C

U

U

_In

,

j

n

n

c

_{Uln，j 故}

n二 1

n

=

l

j

=

l

二〉

∞ヤム

∞乞

<一

Q

by (

2

.

7

)

n

=

l

j

=

l

三乞{m*(nn) + 長}

三玄 m*(nn) + 喜多

三さが(Qn)+ITZ

三 Lm*(nn) + ε

by (

2

.

1

3

)

ε が任意だから (2.11) が成立する. 任意に正数 ε をとる. (2.8) から， ヨ {In}

:

n

₂

の covering

s

.

t

.

(

2

.

1

4

)

ι <一

m

Q

+

ε

∞ヤム同

=こヰ〉 。1 C n

₂

故 {In} は n

₁

の covering 二二二〉 ra_何

∞玄

<一

o

m

n

=

l

=今 (2.14) より m*(n

₁

) 壬 m*(n

2

) +ε ε は任意故 m*(nd 三 m*(n

2

)

_Q

_.

_E

_.

_D

_.

上の定理 2.5 の証明方法を繰り返すと次の定理が得られる. 定理 2.6

(

1

)

n

u

l

l

set の部分集合はまた null set である.

(2) 山2， ・がともに null 則ならば，

e

=

=

U

ej もまた null 附である

1

0

注 6. 有界な null set に対しては， (2.10) と定理 2.5 から，定理 2.6 は直ちに得られる. 実際 e' を有界な null

s

e

t

e の部分集合とすると， (2.12) より mキ (e') 三 m*(e)

=

=

0 であ

るからがいうこ O となり ， e' は null 則で、ある また ，

e

=

=

U

ej が有界で，全ての ej が

j=l

n

u

l

l

set であるとき， (2 叫より，

m

*

(

e

)

:

S

;

L

m*(勺)==0 となりは null 則で、ある

j=l さらに，次の定理が成り立つ. 定理 2.7 1 が区間のとき

(

2

.

1

5

)

m

*

(

I

)

=

=

1

1

1

が成立する. 系 2.8 J が区間和であるとき

(

2

.

1

6

)

m*

(

J

)

==仇 (J) が成立する. この系の証明は以下に述べる定理 2.7 の証明と同様の方法で行う. (式 (2.15) と外測度の 性質から (2.16) が出るわけではない.)

P

r

o

o

f

.

1

1

=

=

1， 1

2

こん=・・・=砂と考えると

1c

Uι

n=l より， {ι} は I の covering になっており，

玄 |ι1

=

=

1

1

1

n=l である.従って

(

2

.

1

7

)

m*(I) 三 111 が成り立つ.次に逆の不等式を示そう. ε を任意の正数とし， 1 の内部に閉区間 I を

(

2

.

1

8

)

111 三 111+ε を満たすようにとる.

例えば 1=[α， b) としたとき 1=[α ， b- ε! とすると ヰ〉

(

2

.

1

9

)

111 こ b- α = {(b- ε)-α}+ε= 111+ε 次に外測度の定義から

(

2

.

2

0

)

乞|ん|三ば (1) +ε

n=l を満たす I の covering {ln} が存在する.各 1n

(

e

.

g

[α" b']) を少し広げ，次のように開区 間 I; で近似する. 1~

=

(

a

'

- εペグ +εっとすると

11~1

=

(

b

'

+ ど')

-(αF ーど')

ニグ -

a

'

+2e"

=

1

1

n

l

+2ε/1

ここで 2ε/1 去ととると (2.20) より

+

∞乞凶

+

∞乞凶

∞ヤ午同

三 m牢 (1) +ε+ε

1

:

compact

{1~}

:

1 の開被覆 K

ノ\イネーボレルの定理より

ヨ {nl' …川K} s

.

t

.

lc

U ム

k=l ===} 1

1

1

=仇(1) 付 (U ム)

三乞仇(ム)=乞|ム 1::; 2: 1乙|

k=l kニ 1 n=l

:

:

;

m

*

(

I

)

+

2ε .・.) 111 三 111+ε 三 m*(I)

+

3ε ε は任意だから 111 三 m*(I) 上式と (2.17) から m*(I)

=

111 が得られる.

Q

.

E

.

D

.

1

2

定義 2.1 を拡張し J 可算区間和j を考える.

定義 2.9 有界区間 I に含まれる集合 H が H==U んと加算個の互いに素な区間{ん}

k=l の和で書けるとき ， H を可算区間和と言う.

補題 2.10

H

==

U んのとき級数玄 l九|は収束し，

k=l k=l

(2 刈ば (H) ==乞|九|

k=l が成り立つ.

Proo

f

.

区間 {Ik} は互いに素だから，任意の整数 K に対し (2.16) と (2.12) より r i <一

H

m

ん ∞

_U

臼

m

<一 ん

kU

臼

m

T・九

k U

M

m

T_・勾 K

ヤ臼同

玄|ん|は正項級数であるから，三二|ん|は収束し

k=l k=l

H

m

<一 九

∞芝日

っ“ 今山 っ“

となる 一方， H==U ん故， {ん}は H の covenng と見なせるから，外測度の定義の

k=l (2.7) より

(

2

.

2

3

)

ば (H) 三芝山|

k=l よって， (2.22)ー (2.23) から (2.21) が成立する.

Q

.

E

.

D

.

補題 2.11

1

)

{引を有界区間に含まれる互いに素な可算区間和の列とする このとき ，

H

=

=

U

H

n

n=l とおけば

(2.24)

ば (H)

==

Lm*(ι)

が成り立つ.特に， Hj= みが区間和であるとき ， H=U みに対し

j

=

l

(

2

.

2

5

)

ば (H) = 玄仇(み)

j二 1 が成り立つ. 2) 可算区間和 H， H' が H コ H' を満たすとき，

(

2

.

2

6

)

m*(H)

=

m*(H -H

'

)

+

m

*

(

H

'

)

が成立する. 3) 有界区間に含まれる可算区間和の列 {Hn} が H

₁

_コ

H

₂

コ・・・コ

Hn コ・・・をみたし，

e=

_{nHn が null 制であれば}

n

=

l

(

2

.

2

7

)

が成立する.

Proo

f

.

l

i

m

m*(Hn)

=

0

nー~OO

1) 定義から ，

Hn=

Uι，k と書け， {Hn} が互いに素だから ， {In，k}n，k も互いに素であ

k=l

る 従って ，

H =

UHn=

U

U ん，k も可算区間和となり， (2 幻)から

n

=

l

n

=

l

k

=

l

ば (H)

=

LL ι，k = 玄ば(九)

n

=

l

k

=

l

n

=

l

となり， (2.24) が言える.

2

)

m*(H) 三 m*(H

-H

'

)

+

m*(H') だから m*(H

-H

'

)

+

m*(H') 三 m*(H) を言えばよ い. [注 H-H' が加算区間和であれば (2.24) より m*(H) =

m*(H -H

'

)

+

m*(H') で あるが ， H-H' は必ずしも可算区間和とならないと思われる .J

H=U ん ，

H'

=

UI~ とし，整数 p に対し

j

=

l

k=l

み=ん -

H;

,

H

;

=

U

I~ とおく.

k=l

=

=

=

=

*

みは区間和であり ， H-H;=U みである

1

4

る あ で よ J ∞

UH

一一 F P

H

H

C

H

H

た ま {み}は互いに素な区間和であるから (2.25) を使うと

ば (H

-H

'

)

:

:

;

m*

(H

- 巧)=乞仇(み)

===}

=乞仇(やIj一(何

H

巧;い川

n川叫Iι功

j

=

ε

i凶川ん引| 一 2玄二 m

ば川*吋(何

H

巧;

n

ん)

三ば (H) - が (UH;nl

j

H'CH だから UH; ハん=巧 nH=HJ

ミ〉

m*(H -

H') 三 m*(H)

-m

*

(

H

;

)

=ご〉

H

H

叩的

目

H

m

d

<一一

仰向

*

m

m

=<一

ーと川­

b

る∞てム

k

=すご

-汁ル」〕/

出

1

∞ぽ

PY

ム」←→ば

p

こ===> ヰ〉 よって ，

m*(H -H

'

)

+

m*(H') 三 m*(H) が言えたから m*(H

-H

'

)

+

m*(H') ど m*(H) を合わせると (2.26) が言える. 3) 任意の整数 p に対し Hl

=

(

H

l

-H

2) U

(H

2 -

H

3) u ・・・ U

(H

p-1 -

H

p) U . . . U H

p

であ るから ， 2) より ば (H

₁

) = ば (H

₁

-

H

2) + ば (H

2

-

H

3) + ・・・十ば (H

p

-

1

-

H

p) + ば (H

p

) これから

乞 m*(ι - H

n

+

1

) 三ば (H

1

)

がいえ，

となり

∞

く

+

A

A

m

∞ヤ

μ

k=l が言える.従って

(

2

.

2

8

)

比三二ば(比一品川 =0

が成り立つ.一方，

Hn

=

(Hn -Hn+1

)

U

(H

_n

₊₁

_-Hn+

2) U ・・・ U

e

2 と， (2.11) を使うと m*(Hn) 三 m*(H

n

-~η+1)

+

m*(Hn+1 -Hn

+

2) + ・・・ +

m

*

(

e

)

=

L

m*(H

k

-Hk+d

+ ば (e) 三五今ば (e)

となるから ， m*(e)=O より (2.27) が得られる.

Q

.

E

.

D

.

3

可測関数

S::広義区間とする. [復習] fn(x) が f(x) に各点で収束する ~ xE S:をとめるごとに!弘ん (x)

=

f

(

x

)

~ ε: 任意の正数とする n>N 当 Ifn(x)

-f

(

x

)

1

< ε となる N がみつかる(存在する)

.

[この N は z に応じて変わってよい .J 定義 3.1 {fn(x)} をなで定義された関数列とする. {fn(x)} が f(x) にほとんどいたる所収束

(

a

l

m

o

s

t

e

v

e

r

y

w

h

e

r

e

c

o

n

v

e

r

g

e

n

c

e

)

牛二二〉 ヨ e

:

n

u

l

l

s

e

t

s

.

t

.

x tj. e

今 J込ん (x)

=

f

(

x

)

2 コは明らか.X ε Hn とする .X εe なら zε(右辺) .

x

(j.e ならヨ7ZFF8.t.24Hn

,,

.d=miri{7f;Z4 Hn"} とすると ， X ε Hn よりがど n+l で， X ε Hn' ー1 より zε Hn'-l- Hn' ・よって ， X ε(右辺).

1

6

[記号] ・ lim

f

n

(

x

)

=

=

f

(

x

)

a

.

e

.

ｷ

f

n

(

x

)

)

f

(

x

)

a

.

e

.

定義 3.2

i

)

ψ (x)

:

s

t

e

p

f

u

n

c

t

i

o

n

(階段関数) 牛=今

(

3

.

1

)

l.J ιC~ となる高々可算個の互いに素な区間の列 {ω が

η=1

存在して e== ミ-l.J ι は null 制で

n=l

(

3

.

2

)

ψ (x)

=

=

C

n

X ε In

(

i

.

e

.

In 上定数)

i

i

)

ψ(x)

:

f

i

n

i

t

e

s

t

e

p

f

u

n

c

t

i

o

n

(有限値階段関数) 牛=ヰ〉

s

t

e

p

function の定義において式 (3.2) に出てくるらが有限個を除いて O のとき. 注 1. 上の定義 i) において e 上の ψ (x) の値は問わない(何で、あってもよい) .普通は， O とする. 定義 3.3 ~上で定義された関数について f(x) が可測関数

(

m

e

a

s

u

r

a

b

l

e

function，略して mもle

f

n

)

{=ご〉 ヨ {'Pn (

x

)

}

s

t

e

p

function の列 s.t.

J!弘 'Pn(x)

=

=

f

(

x

)

a

.

e

.

定理 3.4 (可測関数の性質)

f(x)

,

g(x)

:可測関数 ヰ〉

数

関 姻桝 可 、 l ，/

z

n y IIf -/ Z ,,, E ‘k rJ 、、，，/ Z 〆 'a ・‘、 Q d 、‘ BB'''

z

p T ' u

z

〆 'a ・‘、 n y

z

/11 r I d 、、‘，，，， Z 〆 'EE 、、 Q d

+

、.， f

z

〆 'aE 、、 r I d

P

r

o

o

f

.

s

t

e

p

function の列の収束を使う. [演習!

]

命題 3.5

1

)

~'，なを広義区間とし， ~'c ~とする.このとき，関数 f(x) が 3 で可測 であれば ， f(x) は~'でも可測となる.

2

)

{引を広義区間の列とし， ~

=

=

l.J ~n とおく.このとき ， f(x) が%で可測であれ

n=l ば， f(x) は 3 でも可測となる.

Proo

f

.

1

)

~で f(x) は可測だから 仇 (x) τ三ζ+

f

(

x

)

a

.

e

.

i

n

~

となる step function の列 {ψn(x)} がある.これらをな F に制限すると 仇 (x) 三三ζ+

f

(

x

)

a

.

e

.

in~' となるから ， f(x) は~'で可測となる.

2

)

J

1

=

~1 ， J2 二 ~2-Jし・・ . ， Jn= 弘一 (J1U . . . U

Jn-1)

,

.

.

.とおくと， {ム}は互いに Kn

素な広義区間の有限和となる( 区聞から引いているから 3) 各ふをふ =u 丸，k と広

k=l

義区間の和と書き ， {~~，k}n，k をー列に並べたものを{~~}と書くと

U~~ こな， {~~}

は互いに素とできる.各 SL はどれかの ~ñ に含まれるから， 1) より f(x) は SL で可測 となる.従って

(

3

.

3

)

_{CPk川 (x) τコζ-+}

f

(

x

)

i

n

~~

-

en

,

m

*

(

e

n

)

=

0

となる step function の列 {ψk，n(X)} がある. {~~}は互いに素だから

(

*

)

仇 (x) = ψた川 (x)

f

o

r

x ε3;

とおくと，~上の仰p fun伽n 仇 (x) が得られ， e

=

Ue

_n

とおくと

(3.3) から

ψk(X) コ二ζ+f(x) in~-e が言える.さらに e が null set であることに注意すると，定義より f(x) は 3 での可測 関数となる.

[

(*)についての注 :ψk，n

(

x

)

=

Ck

,

n

,

j

f

o

r

x ε I~川ヲ伊k，n(X)

=

0

f

o

r

x ε 丸一 UjI~仰と

すると，仇 (x) は UnJ4mJ で 4 定義されに残りの null

s

e

t

Uk(丸一 UjI~川)で 0 と定義

される]

Q

.

E

.

D

.

命題 3.6 ~を広義区間とする .φ (Xl， X

₂

，. ・ . ， X

_l

) をJæl で定義された連続関数とし， ん (x) (j ニ If--J) をミ上の可測関数とする.このとき ，

F

(

x

)

= φ (f1 (x) γ ・.

,

f

l

(

X

)

)

も 3 上の可測関数となる.

3例えば平面上で考えるとし 3 一 (:hU ゐ) (:11 ，ゐも平面上の広義区間i.e. 広義の長方形)を考える.ま ず，図を書くことにより C:S-Jl =

C

:

S

1 UC:S₂UC:S₃UC:S₄ と高々 4 つの長方形に分かれる.次に，C:S一 (Jl UJ2) =

(

c

:

s

ｭ

Jl) 一ゐ =

(

C

:

S

1 UC:S

2

UC:S

3

UC:S4) 一ゐ = (C:S1

一ゐ

)U(C:S

2

一ゐ

)U(C:S3 一ゐ)U(C:S

4

一ゐ

)=

U

;

=

1

C

:

S

j1U

C

:

S

j2U

C

:

S

j3U

C

:

S

j4

1

8

P

r

o

o

f

.

ん (x) が可測関数であるから，

(

3

.

4

)

_{ψj川 (x) τ二ζ今 fj(x)}

a

.

e

.

となる step function の列{的ρ (x)} が存在する. ψn(X) ==φ(ψ1川 (X) ，'" ， 仰川 (X)) とおくと (3 .4)から

(

3

.

5

)

仇 (X)

-

•

F(x)

a

.

e

.

n -tαコ が得られる.一方， 的 (x) 叩 zε ふ とすると

ψn(X)

=

=

~(C1，n，~n ・・・ ， C.e，nん ) X εIMmn---nhMt(κh ・・・ヲ κ.e

=

=

1

,

2

,

.

.

.

)

であり ， e

n

Uej，n とおくとらは n山et で、~

=

=

(

U

1

1

，n，ぉ1

n

.

.

.

n

1.e，n，~.e)

u

e

_n

4

(

{11凡κ1

n

.

.

.n1.e内向 }κ1 …κt は互いに素)となるから，仇 (X) は step function となる.従っ

て， (3.5) より F(x) は可測関数となる Q.E.D. f(x) を有界な区間 I 上の関数とし

n

0 ・十 b p u

n

U P T i n y

e

4 L Q U 斗よ -F J 、‘ l/

z

n

v

f 4 t o u

a

、 I ，/ Z JI--、 r J

一…

、‘』/ Z / 1 1 n

v

とする.このとき 正数 ε をとると

(

3

.

6

)

m*

E{x;

I 仇 (x)

-

f(x)1 と ε} → o (n →∞) が成立する[この講義では集合 {x;

/

C

P

n

(

x

)

-

f(x)/ 三 ε} を分かりやすく E をつけて

E{x; I

C

P

n

(

x

)

-

f(x)/ 三 ε} と書く.以下も同様] .以下 (3.6) の証明を行おう.仇 (x) に対

する (3.1) でいう {l

n

，j}j=はとら三 1

-

U1

n

，j をとり，

4X εS について xf/:e_n とすると Z4ej，n(j=I， ---J) より，各j に対して，ヨκj S.t.xε Ij，n.κj・よっ て ， x ε Il，n，κ1

n

.

.

.

n

~.e，nκt となる.

4=kUE(zεT，jUY ん，j; 1仰)一仰)1 主計

とおくと ， Hn は可算区間和で、あって5

(

3

.

7

)

_H1

_コ

_{H2 コ・・・コ Hn コ・・・}

が成り立つ.さらに lim 仇 (x)

=

=

f

(

x

)

a.e. より null

s

e

t

eo が存在し

仇 (x) τ二ζ+

f

(

x

)

f

o

r

x ε 1

-

e

o

が成立する.このとき

n

Hn

C

e

o

n

=

l

が成立する.実際 ===} ===} > ===} 主〉 ご二二〉

XEnHn[==nHN] とする

n

=

l

N

=

l

\IN に対し zε HN

に対しヨυ >Ns“t. I仰州)ト一仰仰州(い例

Zり)川|比三寸

i

εF=j に対し「ヨN

S

.

t

.

\1υ >N: 1仰)-<p.e(x)1 くのでない

{仇 (x)} は収束しない zε eo

従って， m*(nι)==0 となり，これと (3.7) から補題 2.11 の 3) の仮定が全て満たさ

れる.従って， (2.27) より

(

3

.

8

)

_J誌が(比)

0

=

=

.

5Hn=Ufn，k( この段階では {in，k} は互いに素とはなっていない)としたとき l

_n

，l i n,l'

l

_n,2

=

In,2 -Jn,l

,

Jn,3

=

In，3 一 (Jn， l

u

Jn,2)

, ••• ,

Jn,k

=

L叫k -_(Jn,l

u

.

.

.

u

Jn，k-l) ，'" とおくと {Jn， k} は互い に素な区間和となり Hn= U ん =u んだから ， Hn は定義 2.9 でいう可算区間和となる.

20

ところで

E{x;

_{I仇 (x)}

-

_{f(x)1 三 ε} cHnU ω Uei}

zε E{x; I 仇 (x)

-f(x)1 三 ε} とする

、‘，，ノ

•

• -r't 、、

K

O る らす なと ntnι

e

e

∞ハ〉一一∞ハ〉一一

u

u

n u n u

e

e

fヒ dL 「

z

z

~

J!曳ow(z)=f(z) 且つ \/n ~こ対し Z εU ん，k

二=主〉 ~ lim 仇， (x)

=

f(x) 故

ヨ N'

S

.

t

.

r山 N' 二今|川)一 f(x)1 三 ;J

が =

max(n

,

N') とすると |仇(

x

)

-

<

P

n" (

x

)

I

三 l <Pn(x)

-f

(

x

)

I

-

I仇ベx)

-f

(

x

)

1

>P_ー一一ε=ε _一

2 2

二二〉 zε Hn

k=n と P

=

n" に対し zεUIhjLJ UIEJ 故

--主〉 従って

ば (E{x; I仇(x)

-

f(x)1 三 ε}) さが (Hnueo

U

U サ

(

a

s

n →∞)

-•

0

さが (Hn)

+

m

*

(

e

o

)

+ が (U サ=ば (Hn)

定義 3.7 ((3.6) の一般化) 区間 I 上の関数列 {fn(x)} が f(x) に測度的に収束する 牛ニヰ〉 全ての正数 ε に対し

m*

E

{

x

;

I

f

n

(

x

)

-

f(x)1 三 ε} → o (n →∞) が成立する. [記号] ・ lim

_n

_→∞

fn(x)

=

f

(

x

)

(測度的)

ｷ

fn(x) 三二ζ+

f

(

x

)

(測度的)

注 2. 測度的収束は，有界区間で定義された関数列 {fn(x)} のみに定義される. この定義により，上で述べたことは次のように述べられる. 命題 3.8 区間 I で定義された step function の列{仇 (x)} がほとんどいたる所 f(x) に 収束するとき， {仇 (x)} は f(x) に測度的に収束する. 定理 3.9 ~を広義区間とし ， {f.~(x)} を 3 上の可測関数とする.このとき，

f

n

(

x

)

~→∞ t

f

(

x

)

a

.

e

.

であれば， f(x) は可測関数となる.さらに ， 1 が有界区間のときは

f

n

(

x

)

~→∞ t

f

(

x

)

(測度的)

が成立する. この証明のために次の補題を用意する. 補題 3.10 (有界)区間 I 上の関数列 {fn(x)} と{仇 (x)} に対し，次の仮定を考える. i) 任意のに n 対して

(

3

.

9

)

m*E{x; 川)ーん(x)1 三;}三去

が成り立つ.

i

i

)

{fn(x)} がほとんどいたる所 f(x) に収束する.

i

i

i

)

{仇 (x)} は測度的に f(x) に収束する. このとき，次が成立する.

1

)

i) と ii) を仮定するといn(x)} はほとんどいたる所 f(x) に収束する.

2

)

i) と iii) を仮定すると {fn(x)} は測度的に f(x) に収束する.

Proo

f

.

1

)

とおき

2

2

ON=

U

E{x; 同)ーん(x)1 寸}

n=N

e= ωU eoヲ

ω=

n

O

N

とおく.ここで ， eo ニ {x; {fn(x)} が収束しない}.このとき e は null set である. N=l 次に 、、 E ・ f

•

-•

-一 n >一 Z

一一ー戸

んいこ 九 -1 一2 リ

IF

一一

Z 一 1

町、=

M1

一少

∞玄日∞ヤ白山

<一<一 N

Q

m

=

=

=

>

m*ω グ(ON) 三 27LT → o

川→∞

二ニヰ〉 m*(e)

_三

m*(ω)

+

m

*

(

e

o

)

₌

0

主〉

e

は null

s

e

t

[(2.10) による

_i

x~e 今仇 (x)

_→

f(x) (n

_→∞)

(・.・

_{) x}

_~

e とする.

x~

ω=

_nON

よりヨ N s

.

t

.

x

_~

ON

Nニ1

=

=

=

>

n>N

なら!仰)ーん

(x)1

く;

=今 x

_~

_eo でもあるので n>N なら

|仇

(x)

-

f(x)1

三|仇

(x)

-f

n

(

x

)

1

+

I

f

n

(

x

)

-f

(

x

)

1

く

_;+|fn(z)

_一的

₎₁

_→

o

(n

_→∞)

=

=

=

>

VJn(x)

_•

f(x)

(n

_→∞)

以上により 1) が成立.

2

)

{ψn(x)} は測度的に f(x) に収束するから，任意の正数 ε をとると

(

3

.

1

0

)

m*

E{

X;

I 仇 (x)

-

f(x)1 三 ε/2} → o (n →∞)

ところで n>? のとき

ε

E{x; I

f

n

(

x

)

-

f(x)1 三 ε}

c

E{x;

Ifn(x) 一仇(x)1 と ~}UE{x;1ψn(x)

-

f(x)1 三 ε/2}

n (・.・) x ε E{x;

I

f

n

(

x

)

-

f(x)1 と ε} とする よって (3.10) から

=*

.

I

f

n

(

x

)

-C

P

n

(

x

)

I 三 1

今 zε(右辺)

n

Ifn(x) 一仰)1 三;

=*

|仇 (x)

-

f(x)1 ど Ifn(x)

-f

(

x

)

l

-

I 仇 (x)

-f

n

(

x

)

I

>ε 一一 >ε 一?こで ηz

z

=二?- x ε(右辺)

m*

E{x; I

f

n

(

x

)

-

f(x)1 と ε}

三 m*E{x; I的)一山)1 寸}

+m*E{x;

1 仇 (x)

-

f(x)1 と ε/2}

三去 +m*E{x; I仰)一削 I ~

ê/2}

•

o

以上により ， {fn(x)} は測度的に f(x) に収束する Q.E.D.

P

r

o

o

f

of 定理 3.9.

[

S

t

e

p

1

]

1

(

=

S:)が有界区間のとき. fn(x) は I で可測だから

ψn，k(X) 三二ζ-+

f

n

(

x

)

a

.

e

.

となる step function の列{仇 k(X)} がある . 1 が有界だから，命題 3.8 により

伊川 (x)

-.-•

fn(x)

(測度的)

fi，ー+00 となっている.従って，任意の正数 ε に対し

が成立する.特に ε=t ととると

,li

m m*

E{x; 仰い)ーん(x)1 三 ;}=O

A:-+oo だから，んが存在し

1

_

1

k どんのとき mキ E{x; Iψn，k(X) -fn(x)1 三万}<五

24

が言える.従って仇 (x) = 仇ん (x) とおくと，関数列{仇 (x)} と {fn(x)} が補題 3.10 の 仮定 i)-ii) を満たす.従って，補題 3.10 の 1) から，関数列 {ψη (x)} がほとんどいたる 所 f(x) に収束する.従って f(x) は I で可測となる.さらに，関数列{仇 (x)} が step function であるから，命題 3.8 より補題 3.10 の仮定 iii) も満たされる.よって，補題 3.10 の 2) よりん (x) は f(x) に測度的に収束する.

[

S

t

e

p

2

]

~が一般の広義区間のとき. 整数 N に対し ，

IN

=

~n ト N，

N]

(

e

.

g

.

1 次元の場合)6 とおくと，命題 3.5 の 1) より， fn(x) は IN で可測となる.従って ， IN は有界区間であり ， fn(x) は IN でほとんどいた る所 f(x) に収束するから [Step 1] により ， f(x) はんで可測となる.次に命題 3.5 の 2) を使うと ， f(x) が 3 で可測であることが言える Q.E.D. 最後に次節で、必要な事実を示しておこう. 定理 3.11 1 を有界区間とし f(x) を I 上の可測関数とする.このとき，ほとんどいた る所 f(x) に収束する finite

s

t

e

p

function の列 {'Pn(x) }が存在する.さらに ， f(x) が

I

f

(

x

)

1

:

:

;

M を満たすとき， {仇 (x)} を i 仇 (x)1

:

:

;

M を満たすようにとることができる. また ， f(x) が 0 三 f(x) 三 M を満たすときは， {'Pn(x)} を 0 三仇 (x) 三 M を満たすよ うにとることができる.

P

r

o

o

f

.

f(x) が可測関数だから定義により ， f(x) にほとんどいたる所収束する step

f

u

n

c

t

i

o

n

の列仇 (x) が存在する.

s

t

e

p

function の定義により，各仇 (x) に対し

Uln

,

j

C

1 となる高々可算個の互いに素な区間の列 {In，j} が存在して

j=l

e

n

=

1

-

Uln，j は null 制で

j=l ψn(x)

=

Cn

,j X ε In，j とできる.そこで， ψn，k(X) を

川)

=

Cn

,j

X ε 匂(お j 三 k)

ψn，k(X)

=

0

_{X εU}

In

,j U

e

n

j=k+l

と定義すると ， 'Pn，k(X) は五nite

s

t

e

p

function となり ω (x) 十一→仇 (x)

a

.

e

.

おー+00 となる.従って，定理 3.9 の証明の Step 1 と同様にすると

ψn，k(X) 三三ζ+ψ'n(X)

(測度的)

となるから

1

_

1

k 三 k

n

のとき

m*E{x;

Iψn，k(X) 一仇 (x)1 三万}<矛

をみたすんをみつけることができる.そこで仇 (X) = 仇み (X) とおくと関数列の組 {ψn(X)} といn(X)} が補題 3.10 の仮定 i) ， ii) を満たす.従って，補題 3.10 を使うと 1) か ら仇 (X) が f(x) にほとんどいたる所収束することが分かる.次に ， f(x) が If(x)1 三 M を満たしたとし，上でとった仇 (x) を便宜上弘 (x) とおき，仇 (x) を次の様に定義する. ゃい)

=

Cn X 叫

仇 (x)

=

0

x εU

I

n

U としたとき

1M

x ε んらと M のとき

仇 (x)

=

<

C

n

X ε In

I

c

n

l

<

M のとき

(-M

x ε In C

_{n 三}

-M のとき 'P

n

(

x

)

=

0

x εU In ωη

j=n+l このとき， {仇 (x)} は|仇 (x)1 三 M を満たす自nite

s

t

e

p

function で

(

3

.

1

1

)

を満たす. ψη (x) τ三ζ-+

f

(

x

)

a

.

e

.

、、， E ， f •

•

・ z について弘 (x) 一一→ f(x) とする. nー+00

I

f

(

x

)

1

<

M のとき ヨN

s

.

t

.

n>

N であれば |φn(x)

-f(x)1 三 M

-

l

f

(

x

)

1

ミ〉 n>N のとき|弘 (x)1 三 M ==} 'P

n

(

x

)

= 仇 (x) 一一→ f(x)

f

(

x

)

=

M のとき Vε ヨN

s

.

t

.

n

>

N であれば|弘 (x)

-M/

< ε =今 n>N とする

(f

「|怜陥刷川

ψ仇州仰

ηバ

ω(μ

糾仲…一

Z刈寸山)ト川刈一

4

川

M

川|ドく ε (ωφ仰山

nバ

ω(

いZ

|怜伊仇nバ(x吋)一 M\ く ε (ωφn(いωZ刈)

> M

のとき) [.卜.\ 伊仇η(い例Z刈)

=

M]

===}

CPn(x) 一一→ f(x)

n一-+00

f

(

x

)

=-M のとき

同様にして 仇 (x) 一一→ f(x)

n --to:コ 以上により (3.11) を満たす.

2

6

同様にして ， f(x) が o

:

S

;

f(x) 三 M を満たすときは， {CPn(x)} を o

:

S

;

C

P

n

(

x

)

/

:

S

;

M を満 たすようにとることができる Q.E.D.

4

可測集合と測度

3 を広義区間とし， 0 を 3 の部分集合とする.このとき，

ω)=(;:;;?

で定義される関数を Q の定義関数という. 定義 4.1 0 の定義関数 Cn(x) が可測関数であるとき，。を可測集合と呼ぶ.また，可 測集合の全体を加と書き，加を可測集合族と呼ぶ. 注 1. 集合 Q の可測性は OC~ を満たす広義区間ミの取り方によらない. 例 1 区間，及び，広義区間は可測集合である.

(

.

:

C~(X) を近似する step function と して C~(x) そのものがとれる.

)

定理 4.2 (可測集合族の完全加法性) 可測集合族紛は完全加法的である，すなわち，次が成り立つ.

(

4

.

1

)

(

4

.

2

)

(

4

.

3

)

{Oふ=1ム :可測集合 =今 UOn: 可測集合

n=l 。1 ， 0

₂

:可測集合ニヰ>-

0

1

n

O

2 :可測集合 。 1 ， 0

₂

:可測集合 =今

0

1 -

O

2 :可測集合

また，次も成立する.

(

4

.

4

)

_{On}n=は

Proof. まず，

(

4

.

2

)

-

(

4.3) から証明する.これは

C

n

l

n

n

2

(

X

)

=

Cn

1

(

x

)

C

_n

₂₍

x

)

Cn

1-n

2(

X

)

=

Cn

1

(

x

)

-

C

n

l

n

n

2

(

x

)

n

=

l

が成立するから ，

Cnlnn2(X)

,

C

n1

-

n2

(X) が可測関数となり，

(

4

.

2

)

-

(

4.3) が言える.次に， (4.1) を証明しよう . {On}n=1，2 …を可測集合とし，先ず， {On} は互いに素と仮定する.こ のとき，

(

4

.

5

)

C

n

(

X

)

=

Cn

1

(

x

)

+

C

n

2

(

X

)

+ ・・・ + Cnn(x) 十・ であり ，

Cn

n

(x) は可測関数であるから，定理 3.9 より Cn(X) も可測関数となる.従って，

0 =

UOn は可測集合である 次に， {仏}は必ずしも互いに素ではないとする

この

n

=

l

とき

(

4

.

6

)

O~

=

₀

₁

,

O~

=

O

2 -

0

1

,

・・・ヲ 。~

=

On 一 (0

1

U... On-1) ヲ .. .

とおくと， {O~} は互いに素であり，任意の p に対し，

UOn=

UO~ となるから，先

ほどの結果と (4.3) から各 QL は可測集合となる.よって， 0=UOn=U はも可測

n

=

l

n

=

l

関数となる.

次に， (4.4)を示そう.今， {On}同2， を可測集合とし，

0=

nOn とおく.このとき，

C

n

(

X

)

=

J担。 II

C

n

n

(

x

)

であるから，定理 3.9 より Cn(X) も可測関数となり，

0 =

nOn は可測集合となる

Q

.

E

.

D

.

例 1 と定理 4.2 より次が直ちに成り立つ. 系 4.3 区間和と可算区間和は可測集合である. また，有界な可測集合は次で特徴付けられる. η二 1

28

補題 4.4 (可測集合の特徴付け) n を有界な可測集合とし， {ψη (X)} を Cn(X) にほとん どいたる所収束する自nite

s

t

e

p

function の列とする.このとき，

J

_n

二時;山)三

j}?

e

n

=

n

-

J

n ヲ

4=Jn-Q

とおくと，みは区間和となり，

(

4

.

7

)

(

忠

T

炉

m州山川(い仇

ωe

白ωnρ)

!!民!弘!忠 m

州*吋刈

*(e~)

い悦仰

ε4ω;ω

ト)ド

=0

が成立する. 注 2. n は有界であるから ncI となる有界区間 I が存在し ， Cn(x) は I で可測とな る.従って，定理 3.11 により ， Cn(x) にほとんどいたる所収束する白lite

s

t

e

p

f

u

n

c

t

i

o

n

の列{仇 (X)} が存在する.

Proo

f

.

{仇 (X)} を ψ 件 k

on

1吋 (k

=

1 ， 2ヲ 3，'"

)

onI-

U ん，k

ιh 叩 ιh 叩 rnHH 相 u

r i

-f

E

z

-ｭ

一一 ''お き F_句 、4 》刀 シ」

Cn.k 三;のとき

ら，k <!のとき

と書く. ==}

Jn=U 凡，k となるからみは区間和である.

一方

(

4

.

8

)

(

九

μU

山

cE

叫

E

引仰靴配川{ヤ杭判

Z町川山;パ巾

Icp

陥

ψ仇叶

nバ(

e~cE{x;1νψ

n

(

X

)

一 Cn(X吟刈)川| 三 i訂

}

となる. ・.・)

ｷ

X ε らとする zεQヲ X

t

J

.

J

n ==} ιh 叫 ん ι

ハ〉い一

r l

u

r -n

l

> k ε Z

===} ===}

仰)く;

===} |仇 (x)

-

C

n

(

x

)

1

=

=

1 仇 (x)

-

1

1

•

x εeL とする zε J

_n

，

x

r

J

.

f

2

===}

zεU 凡，k

主〉

仰)三;

今

さ 1 一|仰)1 三 1-i=;

川)

-

C

n

(

x

)

1 二同)

-

01 三;

'Pn(x) 三三ζ-+

C

n

(

x

)

a.e. だから

仇 (x) τ二ζ-+

C

n

(

x

)

(測度的)

ば(九)

:

:

;

m*(E{休|仰)

-

C

n

(

x

)

1 どかす O

m*(ι) 何 (E{(x); 1 仇(日 よって (4.7) が成立する.

Q

.

E

.

D

.

IN

==卜 N， N] とおく.このとき，可測集合 Q に対して f2 nI

_N

は有界な可測集合となる. このことに注意して次の定義を行う. 定義 4.5 有界な可測集合 Q に対しその測度 m(f2)を

m(

f

2

)

=

=

m*

f

2

と定義する.また，一般に非有界な可測集合 Q に対し!im

m(

f

2

n

I

_N

) が有限のとき，そ N→∞ の値を Q の測度といい，

(

4

.

9

)

とかく.

m(

f

2

)

=

=

Jim m(

f

2

n

I

N) N ー+0。 注 3.

m(

f

2

n

I

_N

) ニ m*(f2

n

I

_N)

:

:

;

m*(

f

2

n

I

_N+

1)

=

=

m(

f

2

n

IN+d が成り立ち，数列

{m(

f

2

n

I

_N

)} は単調増加数列となる.従って， (4.9) の右辺!im

m(

f

2

n

I

_N

) は収束する N→∞

か無限大に発散するかのいずれかである.とくに， (4.9) の右辺が発散するときは

m(O)

=∞ と書き， 0 の測度は無限大という.これに相応して，測度が有限のときは m(O) く∞ と書く. 定理 4.6 (測度の有限加法性) 0 を可測集合とすると 次が成立する.

(

4

.

1

0

)

m(O) 三 0 特に，

(

4

.

1

1

)

0 :

n

u

l

l

set 仁今 m(O)

=

0

(

4

.

1

2

)

01

n

O2

=砂当 m(01

U

_O2

)

=

m(01) +

m(02)

(

4

.

1

3

)

O

₂

を有限な測度をもっ =今

m(01 -O2

)

=

m(Od -m(02)

(

4

.

1

4

)

01

C

O

₂

訪問(0

₁

) 三 m(02)

3

0

P

r

o

o

f

.

(4.10) は定義より明らか. (4.11) は後に命題 4.9 で証明される.次に，測度の定義 から

(

4

.

1

2

)

'

_{0 1}

,

O2

:有界 =今

m(01 U

O2

)

~

m(01) +

m(02)

(

4

.

1

4

)

'

_{0 1}

_,

_O2

:有界

01

C

O

₂

今 m(01) ~

m(02)

も成り立っている. [実際，

m(01 U02)

=

m牢 (01 U02) 三 m*(01)+m*(02)

=

m(01)+m(02)

から (4.12)' が言える. (4.14)' も同様]さて， 0

₁

， 0

₂

が 0

_{1 n02}

=砂を満たす有界集合と し，

0

=

₀₁

U

O

₂

とする.このとき，

0 1

,

O

₂

が可測だから，それぞれ C

_n1

(x)

,

C

_n2

(X) に ほとんどいたる所収束する自nite

s

t

e

p

function の列 {ψ1，n(X)} ， {ψ2，n(X) }が存在する.こ のとき

J

1

,

n

=

E{x; 川x) さ;}?

J

2,n

=

E{x; 川)三;}ヲ

el,n=Q1-JI,n e2,n=Q2-J2,n とおくと，補題 4.4より ，

J

Ln

,

J

2

•

n

は区間和で、あって

(

4

.

1

5

)

l

i

m

m(e1

,

n)

=

0

,

l

i

m

m(e2

,

n)

=

0

n-+oo n一-t oo である.よって， (4.12)' と区間和の加法性から得られる

m(J1

,

n)

+

m(J

1

川

)=仇(J

1

，n)

+

rñ(J

1

川

)=仇(J

1

，n

U

J

2

川

)+仇(J

1

，n

n

J2

,

n)

=

m(

_J1

,

n

U

_J2

,

n)

+

m(

_J1

,

n

n

J

2

川)

を使うと，

0

=

₀₁

U02 に対し

(

4

.

1

6

)

m(O

t

)

+

m(02) 三 m(J1，n)

+

m(e1ρ)

+

m(J2

,

n)

+

m(e2

,

n)

=

m(J1

,

n

U

_J2

,

n)

+

m(J1

,

n

n

J2

,

n)

+

m(e1ρ)

+

m(e2

,

n)

三 m((J1，n

U

_J2

,

n)

n

0

)

)

+

m((J1

,

n

U

_J2

,

n)

n

O

C

)

+

m(J1

,

n

n

_J2

,

n)

+

m(e1

,

n)

+

m(e2

,

n)

三 m(O)

+

m((J1

,

n

U

J2

,

n)

n

O

C

)

+

m(J1

,

n

n

J2

,

n)

+

m(e1

,

n)

+

m(e2

,

n)

ところで， 0

₁

， 0

₂

は互いに素であるから であり

(

4

.

1

7

)

(

4

.

1

8

)

ψ1，n(X) + ψ2，n(X) 一一→ C

_n1

(X) 十 C

_n2

(X)

=

C

n

(

x

)

a

.

e

.

n-+o。 ψ1，n(X) ψ2，n(X) τ三ζ-+

Cn

1

(

x

)

C

n

2(

x

)

=

C

n

l

n

n

2

(

x

)

=

0 a

.

e

.

ψ1ρ (X)

+

'P2，n(X) τ二ζ-t

C

n

(

x

)

(測度的)

ψ1，n(X) ψ2，n(X) τ二ζ-t 0 (測度的)

である.よって， (4.17) から ===? ここ主〉 ニニ〉

(

4

.

1

9

)

また， (4.18) から zε (J1，n U

_J2

,

n)

n

OC

州X) + ぬ，n 山

(品川 Uωn

OC

c

E{x;

1'P1，n(X) 村山)

-

C

n

(

X

)

I 三;}

m((J1

,

n

U ゐ，n)

n

O

C

)

今 ===?

三ば(E{x;

1'P1,

n(X)

+

'P2,

n(X)

-C

n

(

X

)

I 三~})ー→ o

L n ー争 00 zεJInn

J2

,n

川仇山:

J川 J

2

_バ

E{x;

1'P1,

n(X)

'P2,

n(X)

- 恥 j}

3

2

今

(

4

.

2

0

)

m(J1

,

n

n

J2

,

n)

三ば(E{x; 1'P1，n(X)陶(x) 一山~})ー→ o

_{LJ. nー+00} よって，

(4.16)

,

(4.19)-(4.20)

,

(4.15) から

m(Ol)

+

m(02)

三 m(O)

+

m((J1

,

n

u

J2

,

n)

n

O

C

)

+

_m(J1

,

n

n

J2

,

n)

+

m(e1

,

n)

+

m(e2

,

n)

一一→ m(O)

n ー-+00 ====}

m(Ol)

+

m(02) 三 m(O) 一方， (4.12)' より

m(Ol)

+

m(02) 三 m(f!) 以上から 0

₁

， 0

₂

が有界のとき ， (4.12) が言えた.

0

1, O

2

が必ずしも有界でないときは

m(Ol)

+

m(02) =

Ji~_

m(Ol

n

I

N)

+

m(02

n

I

N)

=

Ji~_

m(

(0

1

n

I

N)

U

(

02

n

I

N))

N→∞ N→∞

づ担。 m((Ol

U

O2

)

n

I

N)

= m(Ol

U

O2

)

により(4.12) が成立する.今得た結果より m(Or)

= m(02)

+

m(Ol -

O

₂

) だから (4.13) と (4.14) が得られる Q.E.D. 定理 4.7 (測度の完全加法性)

{On} を有限な測度をもっ互いに素な可測集合の列とする

このとき，

0

=

UOn とお

けば

(

4

.

2

1

)

m

Q

∞乞

Q

m

n=l が成り立つ.ここで， (4.21) の右辺が発散する級数である時は，

m(O)

=∞の意味で成 り立つ. Proof. 先ず， m(n) く∞とする.このとき，任意の整数 p に対し (4.12) と (4.14) より

土m(Qn)=m(Oon) 三 m(n)

である 従って，数列 {m(九)}は正項数列だから ， Lm(仏)は収束し

n=l

(

4

.

2

2

)

Lm(仏)三 m(O)

が成立する 逆に，級数乞 m(On) が収束したとする このとき， On んは有界だから，

測度の定義と外測度の性質 (2.11) より

叫OnI

N

) ==ば (On ん)三乞が (Onn ん)==乞 m(Onn ん)三乞 m(On)

n=l n=l n二 1 だから m(O) <∞となり ， N →∞とすると 。

m

∞玄日

<一

o

m

が得られ，これと (4.22) をあわせると (4.21 )が成立する. 次の定理も成り立つ. 定理 4.8

Q

.

E

.

D

.

1

)

0

₁

C

O

2

C .

.

.

C

On

C .

.

とし， 0

=

=

UOn とおく

このとき，

(

4

.

2

3

)

l

i

m

m(On)

=

=

m(O)

nー+00 が成立する.ここで， (4.23) の右辺が発散する数列である時は，

m(O)

==∞の意味で成 り立つ.

2

)

0

₁

_コ

O

_{2 コ・}

_コ

On コ

とし， 0

=

=

nOn とおく

このとき， m(Od <∞であれば

(

4

.

2

4

)

l

i

m

m(On)

=

=

m(O)

が成立する.

P

r

o

o

f

.

1

)

On のどれかの測度が無限大のときは，明らかに (4.23) が成立する.実際，

m

(

O

n

o

)

==∞ とすると ，

n

>

no なる n に対しては ，

m(On)

==∞となるから.従って，全ての n に対 し ， On の測度は有限と仮定する.このとき， 。~

=

=

0

1, O~

=

=

O

2 -

0

1

,'

.

.

， O~

=

=

On -

On-1， ・

とおくと， {O~} は互いに素で U On

=

=

_{U はとなる 7 従って， (4 刈から}

7 ・.・)コは明らか.X εU之:::1 f2_n とすると，ヨn S.t.X E f2n・ no = min{n; X ε f2n} とすると ， X fjf2nO-l