一様収束性

先ず，ベキ級数玄αJ について復習しよう.

n=O 

R= 乞αJ の収束半径

n=O 

とし r を O く T く R を満たす数とする.

このとき，級数玄|川n も収束するから Ixl 三 γ を満たす Z に対しては

n=O 

∞玄日 ∞ヤム判

n

ヤ臼日

三玄 i向 Ilxkl 三乞 iαkl ^r

^・k

k=n+l  k=n+l  ⁿ

玄 M ∞玄日

n

乞日

∞ヤ白日

が成立する.従って

N  •

< 

α

∞芝日

α

n

ヤ μ 日

→ィ

N > η

•

を使うと，同じ N に対し

N  •

< 

Z 

α ∞

ZM

Z 

α n

ヤ白日

→ィ

N 

> n 

•

が成立する.この N は (ε と γ には関係するが)， Ixl 三 γ を満たす z には関係しない.

このことを考慮して 次を定義しよう.

定義 A.3 区間 I で定義された関数列 {fn(x)} が f(x) に一様収束するとは 任意の正数 ε に対し

n>N 今 Ifn(x)

‑f ( x ) 1  

_{< ε}

を満たす z には関係しない整数 N が見つかる(存在する) . 

が成立すること，すなわち

ε → | n>N 今 I f n ( x )   ‑f ( x ) 1   < ε(全ての zεI に対し)|→ N

が言えるときをいう.

このとき ， f(x) を {fn(x)} の極限関数という.

[一様収束に関する定理]

定理 A.4 連続関数の関数列 {fn(x)} が f(x) に一様収束すればその極限関数 f(x) も連 続である.

系 A.5 連続関数の級数玄ん (x) が一様収束すれば，その和乞ん (x) も連続となる

n=O  n=O 

Proof. 関数列 {fn(x)} が f(x) が一様収束するから

( A . 1 3 )   ε → l n>N 今 I f n ( x )   ‑f ( x ) 1   < ε(全ての zεI に対し)|→ N

が成立する.また ， fn(x) は連続関数だから(点 α で考えると)

( A . 1 4 )   ε → |Ix ー αi くふ今 Ifn(x) ‑ fn(α)1 く ε| → ι

7 8  

も成立する(注意 (A.14) の output のふは n にも依存する) .これらを利用して，

(A 日)ε → |Ix-α1 <  _{ð キ If(x)} ‑ f(α)1 <ε| → 6

を示そう.まず， (A.15) の input の ε に対し，

， ε ε

3 

とおく.このどに対し (A.13) を ε= どとして使うと

ど→ l n>N 今 |ん (x) ‑ f(x)1 くど(全ての zεI に対し)|→ N

が成立する.次に上で output した N を利用して， (A.14) を ε=ε' ， n=N+l として使 うと

εF → |Ix-α| く 6 今 I f N + l ( x )  ‑ fN+l(α)1 くど|→ 6

が言える.従って，これら 2 つを使うと Ix-α1

< 

ð のとき

I f ( x )  ‑

f(α)1

=  I { f ( x )  ‑f N + l ( X ) }   +  { f N + l ( X )  ‑

fN+l(α)}

+ 

{fN+l(α)

‑

f(α)

} I  

三 If(x)

‑f N + l ( X ) 1  +  I f N + l ( X )  ‑

fN+l(α)1

+ 

IfN+l(α)

‑

f(α)1 くど +ε'+εε

と言え， (A.15) が成立することが分かる(すなわち， (A.15) の主盟主ができた) .最後 に， α が任意に取れることに注意すると ， f(x) が考えているところで、連続関数になって

いることが分かる Q.E.D.

定理 A.6 関数列 {fn(いx)汁}が f六(x吟)に一様収束すれば

M 

^7J! 

!吋bV〉f兵ん川 n

が成立する. (ただし α く b とする.)

系 A.7 (項別積分)連続関数の級数乞ん (x) が一様収束すれば，

n=O 

z 

G ,

Z ん

∞玄吋

ft'gFα

Z Ju 

z 

ん

ft，，Iα

∞玄日

が成立する.

Proof.任意の正数 ε に対して

とおく.このとき，ん (x) は f(x) に一様収束するから

ど→ i n>N 今 I f n ( x )   ‑ f(x)1 くど(全ての zεI に対し)|→ N

が言える.この N を使うと n>N のとき

I~b ^{f n ( x ) d x ‑} ~b f(材料 =I[仏似 ω(い仲 Z 三 [1的)一州dx::;[劫

となり

ε ^• |川η ^{> N}   今 I[ 心か b〉いん μ(榊 Z

が言え， (件A.16め)が成立する Q.E.D.

定理 A.8 C¹_級の関数列{ん (x)} が f(x) に収束し ， fn(x) の導関数からなる関数列 {f~(x)} が g(x) に一様収束すれば， f(x) は微分可能で f'(x) =g(x) となる.

系 A.9 (項別微分)連続関数の級数乞ん (x) が収束し，玄ぷ (x) が g(x) に一様収束す

n=O  n=O 

れば，

会ぷ仲

が成立する.

Proof. 関数列 {f~(x)} が g(x) に一様収束するから，定理 A.6 を使うと

( A . 1 7 )   J吋zf;(tル [ ^{g ( t ) d t}  

が成立する.一方

ん(x) ⁼  ん仰州い ω)+ ^[  凡仰削仰(収 ω伽 tのt)dμd

でで、あるから，この式の n を無限大にやると (A.17) から

( A . 1 8 )   的)これα) ^{+  [  g ( t ) d t}  

が成立する.次に ， f~(x) が連続であることと定理 A .4を使うと ， g(x) が連続となる.従っ て， (A.18) から f(x) は微分可能で f'(x)

= 

g(x) が言える Q.E.D.

80 

B ルベーグの定理の応用

まず，定理 6.12 と定理 7.1 を n= (一∞?∞)に適用すると，次の 2 つの定理が成立する.

定理 B.l f(x) と g(x) を(-∞?∞)で定義された連続関数とする.このとき，

If(x)1 三 g(x)

が成立し ， g(x) が(-∞，∞)で積分可能ならば ， f(x) も積分可能である.

定理 B.2

{ f n ( x ) }  

(一∞?∞)で定義された連続関数の列

f(x)

,

g ( x )  

(一∞ヲ∞)で定義された連続関数 とし，次を満たすとする.

( B . 1 )  

n →∞のとき ん (x) → f(x) (ほとんどいたる所)

( B . 2 )   I f n ( x ) 1  

~

g ( x )  

(g(x) は η に無関係な可積分関数) このとき

( B . 3 )   Jd: ん(x)dx = に的)

が成立する.

定理 B.3

f(x

,

h)

(-∞?∞)

x 

[αヲ b] で定義された連続関数

f(x)

,

g ( x )  

(-∞p ∞)で定義された連続関数 とし，次を満たすとする.

( B . 4 )   ( B . 5 )  

このとき

( B . 6 )  

が成立する.

)i~ f(x ヲ h)

=  f ( x )  

(ほとんどいたる所の x)

nー+no

If(x

, h)1 三 g(x) (g(x) は h に無関係な可積分関数)

均~i: 川)dx こに f(x)

Proof. 背理法で示す.今 (B.6) が成立しないとすると，次を満たす ε>0 が存在する.

任意の 6 に対し

( B . 7 )   t h   ‑h o t   ~ ð 且|乙川)伽 - i: 削

となる h が存在する.

特に， (B.7) で 6=j に対して存在する h を h

n

^とし，

f n ( x )   =  f(x

, h

n

) とおくと， {ん (x)}

は(一∞，∞)のほとんどいたる所で f(x) に収束し， (B.2) を満たす.従って，定理 B.2 から

J込l:f ^{n 榊こに} f(x)

が成立する.これは

ε >一

z 

d ,

z 

rJ ∞∞ rllι

z 

d 

z 

ん∞∞

fl 

一一

z 

d ,

z 

rJ ∞∞

fl

•

z 

d ,

' n  

Z ∞∞ pllト

に矛盾する.従って 定理 B.3 が成立する.

定理 B.4

f(t， x) α， b]

x 

(-∞?∞)で定義された連続関数で， t に関し微分可能

g ( x )  

(-∞?∞)で定義された連続関数 とし，次を満たすとする.

|θf -(い)

_θt ¹ 

^{5 :   9  (  x  )} 

^(g ( 

^x  ) は t ，こ無関係な可積分関数)

このとき

叩)=ル(t， x)批

とおくと ， F(t) も微分可能で

iF(t)= にまf(t， x)伽

が成立する.

Proof.微分商

F ( t + h ) ‑ F ( t )  

r∞ f (t+h， x)-f(t， h) ^{L ̲}  

h  .1一∞ h ー

を考える.このとき，各 z に対し

f ( t   +  h , x )  ‑ f(t ,

h) θf

ヲゴ友 (t， x )  

であり，平均値の定理から

1

1 ^{( t +   hう-削) I} 

_{1=1 友 (t}

^Iθf

^I

  ^{L .} ₊ 

^I 

_h

^L¥ 

₎   ^I 

_{I 三仲)}

_{( f o r  some  h )}  

が成立する.従って 定理 B.3 から

F ( t + h ) ‑ F ( t )   I 

r∞ f (t+h， x)-f(t， h) ^J \~ ^I  .~'~~ ^J \~"~I

d

^{̲ L}  

x   ‑ ‑ ‑ ‑ +

^•

  I 

r∞

:.L f(t , x)dx

j一∞ h h→o 人∞

が成立する.

Q . E . D .  

応用として，熱方程式の初期値問題

( B . 8 )   ( B . 9 )  

の解が

θ2U θx²

u(O , x )   =  f ( x )  

(B 川 u(い)=斗ヰ/∞ e-(X一山f(y)dy

2vπt .仁∞

となることを示そう.ここで ， f(x) は有界，すなわち If(x)1 三 M

を仮定しよう.先ず， (B.I0) が積分可能であることを示す.

( x  ‑y ) 2   =  X 2  ̲  2 x y   + 

y2 三 y2 一 (y2/2

+ 

2X2) 十 x²

=  y 2 / 2  ̲  X 2 

より，

t> 

0 に対し

e一(x-yf /^4tlf(ν)1 三 M

e ‑ y 2 / 8 t e X 2 / 4 t  

だから，定理 B.l より (B.I0) は積分可能である.また ， T 三 t>O のとき，

e ‑ ( x ‑ y ) 2 / 4 t l f ( y )  

1 三 e一 (x-y)2/4T

I f  

(ν)1::;

Me‑y 2/8T ex 2/4T 

だから，定理 B .4が適用できて次の計算ができる.まず，

δu 1 

r 

fT?!? 

I 

e一(x-y)2/4tf(ν)dy θt 4'\βrt³j2 Jー∞

1 

_(∞(x

‑ y )

^2‑fI2/4t 

fで jω e-^tx-^yr

/ 4 t  f  ( y ) d y  

2ゾπt .1_∞ 4t~

θu

1 

r∞品川

一=一一宍/ -1e一(日)2/4t f  ( y ) d y  

θx 2vπt ./-∞ 2t

θ2U 1  r∞( 1  /市川 \2)

一一一一 I ~ト一一(ト一一斗笠斗) ~ ~いレド e-( 一ベ(ト門Uω仰)

θx² 2ゾ石 jよ一∞ l2幻t

¥ 

2幻t

)  J 

ユ M I ∞ e一(x-y戸/4t ^{f ( y ) d y}  

4'\/πt³j2 J_∞

1  _(∞(x

‑ y )

2‑fV/4t  fで I

,-

^AI?~I

^{e ‑ t x ‑ y r / 4 t f ( y ) d y}  

2vπt .lー∞ 4t~

82 

よって， (B.I0) は方程式 (B.8) を満たす.次に， (B.I0) で y=x+ ゾ2tz と変数変換す

ると

u(t , x) = マiz に円

ドキュメント内 ルベーグ積分論（講義ノート） (ページ 77-84)