10 {仏}を互いに素な可測集合の列とし， n = Unn とおく

S=J叫NP

定理 6. 10 {仏}を互いに素な可測集合の列とし， n = Unn とおく

川内上積分可能とするこのとき級数割 f(x)山収束し

( 6 . 1 2 ) I f ( x ) d x = )

I f ( x ) d x

Jn n=l Jnⁿ が成立する.

2 )

f(x) が各仏で積分可能で) ~

I I ^f ⁽ ^x ⁾ I

dx が収束すれば， f(x) は Q で積分可能で，

孟i Jnπ

(6.12) が成り立つ.

Proo

f .

1) 命題 6.9 の証明と同様 f土 (x) についてすればよい.従って，以下 f(坊さ O を仮定する .p を任意の整数とする.このとき，命題 6.9 から

会 Anf(Z)dz= ん1J(Z)dz 三か(x)伽

である.ここで， p →∞とすると級数) ~

I

f(x)dx は収束し，

n=l Jnⁿ

(6.13)

幻州z 三かい)dx

が成立する.次に，有界集合での有界関数の結果(定理 5.11) を使うと次が得られる.

( 6 . 1 4 ) I f ( x ) d x

= ) ~

I

f(x)dx 三) ~

I f ( x ) d x

JnN[1] n=l J E[OnnIN;1タ!日 JOn

ここで， N →∞とすると (6.4) から

I

f(x)dx 三) ~

I ^f ⁽ ^x ⁾ ^d ^x

J O 示二iJOn

が得られ，これと (6.13) から) :

I f ( x ) d x = I

f(x)dx がえられる.この結果を f土 (x)

長i J nn JO

に使うと (6.12) が得られる.

2 )

(6.14) と同様にすると

I ^¥ ^f ⁽ ^x ⁾ ^¥ ^d ^x

^= )~

I

\f(x)\dx 三) ~

I ^¥ ^f ⁽ ^x ⁾ ^¥ ^d ^x

山~N[ げ 1] n=l J E[OnnIN ; 111 三N] n=l JOn

が得られ，補題 6.7 から f(x) が Q で積分可能となる.これで 1) の仮定が満たされたか

ら (6.12) も成り立つ Q.E.D.

定理 6.11

1 ) 0

₁C

O

₂C ... C

On

とし， 0= UOn とおくこのとき， f(x) 三 0 であるよう

n=1

な Q 上可測な関数 f(x) に対し

( 6 . 1 5 )

^rtu

z z d p t ‑ ‑

z

一一

o

d ,

z

rt u

f l J Q

切

11n

が成立する.ここで， (6.15) の右辺が発散する数列である時は，

I f ( x ) d x

= ∞の意味

J D,

で成り立つ.

2 ) 0

₁C

O

₂C . . . C

On

とし， 0 = _{UOn とおく} このとき， 0 上積分可能な関数

f(x) に対し (6.15) が成り立つ.

3 ) ₀ 1 コ ^O 2 コ・コ ^{On コ・} ^とし， ^{0 =} nOn とおく.このとき， f(x) が 0 1 ^で積分可

能なとき

( 6 . 1 6 ) J!誌か伽=か(x)dx

が成立する.

Proof. 証明は定理 4.8 の証明とほぼ同様の方法で行われる.

叫 f(x)伽の仰が発散するときは明 M瓦に (6 日)が成立する実際， Ln ム吋JJ0jyf六仰(

=∞とすると， n> η向O なる n に対しては，

I f ( x ) d x

= ∞となるから.従って，全て

JOn

の n に対し， L n ^f ⁽ ^x ⁾ ^d ^x

O~ = 0

, O~ = O

2 ‑

01，・・・， O~ =

On ‑

On-1' ・

とおくと， {叫}は互いに素で UOn=U はとなる従って，定理 6.10 から

Lf(X)批=幻r 的)伽

=J!弘~ L~ ^f ⁽ ^x ⁾ ^d ^x = J吋L10Lf(Z)dz

=J叫州z

以上から， (6.15) が成立する.

2 )

f(x) が Q で積分可能

===}

fx(x) が Q で積分可能

=今 1) より

J叫 f+榊=かい)伽 n叫山)dx= かい)伽

===}

(6.15) が成立する

3 )

2 r

( 0

₁_{‑ (2)}U

( 0

_{2 ‑ (3)}U... U

( O n ‑O n + 1 )

U... U 0 より， 1り)カか瓦ら

k，レレf バf六(附 Z

n1一ⁿ² ^{Jn2 一n3}

+ k.んム k.-n.一-n丸ωJJ 叫叫叩J+ 判JJ1y バf六(ωZ

M 川ら 2釘Aムムム L 仁パk- 一-nk如Q仇hhJh n ^k+1 糾叩+牡J1yf川が収束する従って

( 6 . 1 7 )

^J^u ^Z ^一一 ^{n u}

z

Q +

PI t‑ o

∞

ZM

叩

が言える.一方，

On

( O n ‑O n + 1 )

( O n + 1 ‑O n + 2 )

U . . . U 0 故

k. 仰x= ん-n.+l ^f ⁽ ^x ⁾ ^d ^x ⁺ k.刊

から

(6.18)

I f ( x ) d x = I f ( x ) d x + ) : I f ( x ) d x

J nn

Jn

k=ム Jnk-ⁿ峠¹

が成立する.従って， (6.17) と (6.18) を使うと (6.16) が得られる.

定理 6.12 CLebesgue の定理)

f(x)

, g(x) を Q 上の可測関数とする.

I f ( x ) 1

g(x)

, g(x) は Q 上積分可能

主〉

f(x) は Q 上積分可能

5 6

Q.E.D.

Proof.整数 N に対し

。N[1J

= E[O n

N; 1 1 1 : : : ; N J

とおき，自然数 t に対し

=

{x ε ON[f]; f-1 三 g(x)

<

とおく.このとき，

U Df

= ON[f]，何f'今 D f n

Df'

= 砂

である.よって， g(x) が ON[f] でも積分可能であるから

I I f ( x ) I d x

= ) _~

I I f ( x ) I d x

J nN[J] f=l J Dl

(・.・)

I f ( x ) l : : : ;

, ^UD

=

ON[f] より定理 5.11 が使える

三 ZLtg(Z)dz

=ム[f19(Z)dz ⁽⁾ 定理 6.10 のりさル(x)伽

故に(ム[fl|州批)は有界数列となるから，補題 6.7 より的)は Q 上積分可能とな

る Q.E.D.

定理 6.13

1 )

f六(x吟)， g以(x刈) :積分可能 =今 f六(x吟)+g以(x刈) :積分可能

(何仰附 6引 ω 州 1ω則9め) L{ か {υf仲引仲州Z吟榊)

2勾) f六(x刈) :積分可能で C を実数とする =今 cf(いx)ド:積分可能

何仰仰附 2却川0的) L かcf削伽←ん=可C十 Lfω

Pro∞0ぱf. 2) は略 1) について

[Step

1 ]

G ( x )

I f ( x ) 1 + I g ( x ) 1

_とおく

。川G] 三 E[O

n IN ;

G :::;

N] c E[O n I N;

Ifl 三 N]

n E[O n I N;

Igl 三 N]

= ON l [ f J l n O N [ l g l ]

(・.・) x ε(左辺)とすると If(x)1 三 If(x)1

+ I g ( x ) 1 =

G(x) 三 N 同様に Ig(x)1

: : : ;

_N. _{・ .x ε(右辺)}

よって

:::=:}

LんムんんN刈が刷[G例JGq]

(1んN 上，

If(x)l

I g ( x ) 1

~ N 故分かれる)

三 ANIlpz)|dz+ANIlg|]|仲)Idx

< : : 1 0 If(x)1批+ 10 1 州 dx

G ( x ) :

n 上積分可能 =今

f ( x ) + g ( x ) :

n 上積分可能

( I f ( x ) +

g(x)1 三 G(x) と定理 6.12 による)

[ S t e p 2 ]

(6.19) が成り立つこと.

n =

1 ， 2，'" に対し

n n =

{x εn

n l n ;

If(x)1 さ n， lg(x)1 三 n}

とおく.このとき nn は単調増加で n= Unn だから，定理 6.11 の 2) より

n=l

Lu附的))dz=J叫げ(x) ⁺ ^g ⁽ ^x ⁾ ⁾ ^d ^x

=J叫 MZ+J叫的)dx

=ル(x)批+か(x)dx

よって， (6.19) が成り立つ.

定理 6.14

58 Q . E . D .

1 ) f(x)

, g(x) を Q で定義された可測関数とし， f(x) と g(x) はほとんどいたる所等しいとする.このとき， f(x) と g(x) のいずれかが積分可能であるとき，他方も積分可能となり，次が成立する.

( 6 . 2 1 ) f ( x ) =

g(x) α.e. キ I

f ( x ) d x = I g ( x ) d x

JO JO

特に

( 6 . 2 2 ) f ( x )

= 0 _a.e. _当 _I

f ( x ) d x

= 0

が成立する.

2 ) f(x)

, g(x) を Q では積分可能で f(x) 三 g(x) とする.このとき，

問ル(x陀か(x)dx

が成立する.

3 )

f(x) は Q で積分可能で f(x) 三 0 とする.このとき

( 6 . 2 4 ) I

f(x)dx ど O

J O,

が成立する.特に

( 6 . 2 5 ) f ( x )

== 0α.e. 字今

I f ( x ) d x

0 [ c

.f.

( 6 . 2 2 ) ]

JO,

が成立する.

1//州づ|的)Idx

Proo f .

1 ) f ( x )

g ( x )

a.e. のとき f土 (x) == 9土 (x) a.e. だから (5.22) より

lN[叫ん榊=ム[九lh榊

である.よって N →∞とすることにより，命題 6.5，命題 6.3， (6.8) より f(x) と g(x) のいずれかが積分可能で、あるとき，他方も積分可能となり，定義 6.6 より (6.21) が成立する.特に， (6.21) で g(x) == 0 とすると (6.22) が成立する.

2)n=1?2r- に対し

On

== {x ε OnIn;-n 三 g(x) 三 f(x) 三 n}

とおくこのとき On は単調増加で 0== U On だから (5.26) と定理 6.11 の 1) より

n=l

ル(Z)dz=J叫州QJ叫的)dx ⁼ l g(x)批

が得られる.よって， (6.23) が成り立つ.

3) 前半の (6.24) は 2) より明らか.また， (6.22) より (6.25) の[=}]が成立する.次に逆，

即ち

( 6 . 2 6 ) m{x

E 0;

f ( x ) > い=ルM

を示そう.

n+ =

_{{x εn;}

f ( x ) >

_{O} とおき，}

n n =約)

ⁿ ⁿ In; 的)>j}

6 0

とおくすると， {仏}は単調増加で Unn=n+ となる.従って， (4.23) かりさzm(Qn)=

m(n+) が言えるから，仮定 m(n+)

>

0 により m(nn)

>

0 となる η がある.従って

r f(x)dx 三 r f(x)dx ど f1dz=1m(Qn)>O

Jn Jnn Jnnn

から， (6.26) が言える.よって， (6.25) が成立する.

4) これは (6.23) により明らか Q.E.D.

7 Lebesgue の収束定理，関数列に関する定理

定理 7.1 (Lebesgue の収束定理) n 上積分可能な関数の列 {fn(x)} が Q のほとんどいたる所 f(x) に収束したとする.このとき， n 上積分可能な関数 g(x) が存在し

( 7 . 1 )

_{|ん (x)1}

: : ; g ( x )

を満たすとき

( 7 . 2 ) J込 L ^f ⁿ ⁽ ^x ⁾ ^d ^x = か)dx

が成立する.

Proof. 整数 L に対し

。L = E[nn ι ; g(x) 三 L]

とおく.このとき {n L } は単調増加で UnL=n となる.よって，定理 6.11 から

L=l

J!dy(Z)dz= か ^(x) ^批

==:::}

J! 叫 -51Lg(Z)dz= ^。

従って，任意の正数 ε をとると，

( 7 . 3 )

L ‑ O L ^g(x ^陀 ⁱ

を満たす L がとれる. n

L

^上では^，

I f n ( x ) l : : ;

g(x) 三 L であり， n

L

^{は有界集合だから，有}

界の場合の Lebesgue の収束定理(定理 5.10 )より

J 1 d L W z = A L f M

となり

( 7

.4)

ε一Qd<

z

d ,

z

n w

rJ L

P I ‑ ‑ o

きル」の

N

n

を満たす N がとれる.この N に対し， n>N とすると (7.3)-(7.4)から

|かい)伽ー Aルかf六(ωZ吟)

三 IL-nL fnい)dxl + I L

fn(x)伽 -Lf(Z)批1+ I L ‑ n L _f(川|

三 L ‑ n L ^g ⁽ ^x ⁾ ^d ^x ⁺ I L L ^的 ^{)dx 一 Lルレ} Ljyf六的削(いZり)批列|い+叫Aι ムん一 4利 JQ 仇L 引仲州州 Z吟 ^x)d ^μd

以上により， (7.2) が成立する.

Q . E . D .

ドキュメント内ルベーグ積分論（講義ノート） (ページ 55-62)

10 {仏}を互いに素な可測集合の列とし， n = Unn とおく

S=J叫NP

定理 6. 10 {仏}を互いに素な可測集合の列とし， n = Unn とおく

川内上積分可能とするこのとき級数割 f(x)山収束し

( 6 . 1 2 ) I f ( x ) d x = )

I f ( x ) d x

2 )

I I f ( x ) I

f .

会 Anf(Z)dz= ん1J(Z)dz 三か(x)伽

I

幻州z 三かい)dx

( 6 . 1 4 ) I f ( x ) d x

I

I f ( x ) d x

I

I f ( x ) d x

I f ( x ) d x = I

2 )

I ¥ f ( x ) ¥ d x

I

I ¥ f ( x ) ¥ d x

1 ) 0

O

On

とし， 0= UOn とおく このとき ， f(x) 三 0 であるよう

( 6 . 1 5 )

z z d p t ‑ ‑

z

o

z

切

I f ( x ) d x

2 ) 0

O

On

とし， 0 = UOn とおく このとき， 0 上積分可能な関数

3 ) 0 1 コ O 2 コ・コ On コ・ とし， 0 = nOn とおく.このとき ， f(x) が 0 1 で積分可

( 6 . 1 6 ) J!誌か伽=か(x)dx

叫 f(x)伽の仰が発散するときは明 M瓦に (6 日)が成立する実際， Ln ム吋JJ0jyf六仰(

I f ( x ) d x

の n に対し ， L n f ( x ) d x

O~ = 0

, O~ = O

01，・・・ ， O~ =

On-1' ・

とおくと， {叫}は互いに素で UOn=U はとなる 従って，定理 6.10 から

Lf(X)批=幻r 的)伽

=J!弘~ L~ f ( x ) d x = J吋L10Lf(Z)dz

=J叫州z

2 )

J叫 f+榊=かい)伽 n叫山)dx= かい)伽

3 )

2 r

( 0

( 0

( O n ‑O n + 1 )

k，レレf バf六(附 Z

+ k.んム k.-n.一-n丸ωJJ 叫叫叩J+ 判JJ1y バf六(ωZ

M 川ら 2釘Aムムム L 仁パk- 一-nk如Q仇hhJh n k+1 糾叩+牡J1yf川が収束する 従って

( 6 . 1 7 )

z

ZM

叩

On

( O n ‑O n + 1 )

( O n + 1 ‑O n + 2 )

k. 仰x= ん-n.+l f ( x ) d x + k.刊

I f ( x ) d x = I f ( x ) d x + ) : I f ( x ) d x

Jn

f(x)

I f ( x ) 1

g(x)

5 6

Q.E.D.

= E[O n

N; 1 1 1 : : : ; N J

=

<

= ON[f]， 何f'今 D f n

I I ^f ⁽ ^x ⁾ I

I ^f ⁽ ^x ⁾ ^d ^x

I ^¥ ^f ⁽ ^x ⁾ ^¥ ^d ^x

I ^¥ ^f ⁽ ^x ⁾ ^¥ ^d ^x

とし， 0= UOn とおくこのとき， f(x) 三 0 であるよう

とし， 0 = _{UOn とおく} このとき， 0 上積分可能な関数

3 ) ₀ 1 コ ^O 2 コ・コ ^{On コ・} ^とし， ^{0 =} nOn とおく.このとき， f(x) が 0 1 ^で積分可

の n に対し， L n ^f ⁽ ^x ⁾ ^d ^x

01，・・・， O~ =

とおくと， {叫}は互いに素で UOn=U はとなる従って，定理 6.10 から

=J!弘~ L~ ^f ⁽ ^x ⁾ ^d ^x = J吋L10Lf(Z)dz

M 川ら 2釘Aムムム L 仁パk- 一-nk如Q仇hhJh n ^k+1 糾叩+牡J1yf川が収束する従って

k. 仰x= ん-n.+l ^f ⁽ ^x ⁾ ^d ^x ⁺ k.刊

= ON[f]，何f'今 D f n

, ^UD

=ム[f19(Z)dz ⁽⁾ 定理 6.10 のりさル(x)伽

Lu附的))dz=J叫げ(x) ⁺ ^g ⁽ ^x ⁾ ⁾ ^d ^x

とおくこのとき On は単調増加で 0== U On だから (5.26) と定理 6.11 の 1) より

ル(Z)dz=J叫州QJ叫的)dx ⁼ l g(x)批

ⁿ ⁿ In; 的)>j}

とおくすると， {仏}は単調増加で Unn=n+ となる.従って， (4.23) かりさzm(Qn)=