有界可測関数の積分

仰)三;

5 有界可測関数の積分

I を(有界な)区間とする{この節では I を一つ取り固定する] . 定義 5.1

ψ (x) : 自nite

v a l u e d m e s u r a b l e f u n c t i o n

[有限値可測関数]

(略して，

f i n i t e v a l u e d f n )

Q . E . D .

{ = } K

Uωk=I となる有限個の互いに素な可測集合の列{叶が存在して

k=l

( 5 . 1 )

_{ψ (x)}

= C k

X εωk (i.e.ωk 上定数)

ψ (x) を finite

v a l u e d

fn とする.このとき， ψ (x) の I 上の積分は

(5.2) ト)dx= 会 Ckm(W k ⁾

とするのが自然.明らかに次の命題が成り立つ9

命題 5.2

c p ( x )

， ψ (x) を I で定義された自nite

v a l u e d

fn とする.このとき，次が成立する.

( 5 . 3 ) ( 5 . 4 )

( 5 . 5 ) ( 5 . 6 ) ( 5 . 7 )

かい)+仰脚二 Jかか以仰州(い Z吟)d伽Z叶+1かか似仰州 (μωZ刈x)d fか仰例伽 Z

n: 有界可測集合当かい)dx = 州) ψ(x) ど O 当かω 三 0

11ψ(x)批1 ~ 1 ^I

^¥^O

⁽ ^x ⁾ ^l ^d ^x

f(x) を I で定義された有界な可測関数とする.ここで，関数 f(x) が有界であるとは，次を満たす定数 M がみつかることである.

( 5 . 8 )

If(x)1 三 M

このとき， f(x) にほとんどいたる所収束する白lÏte

v a l u e

function の列 {ψn(x)} の例として次の様なものがある.

9cp(X) = Ck for x Eων ψ(x) = c~ for x Eω; とする.このとき， cp(x)+ψ (x) = Ck+C~ onωk nω;.

K L K L L K

従って，

JI(

^ψ^(x)+^ψ^(x))

^批=玄乞

^(Ck

^吋

^)m(ω

^川)=玄 ^ckLm( ^{ωh 叫)+乞}

^c;

^玄

^m(ωk^nω

^~)

⁼

K L

L

^C仰(ω

^k)+Lc~m(

^ω

^{.e') =} か

^(x)dx+

JI

^ψ(x)dx より (5.3) が成立する (5.4)も同様また， (5.5)‑(5.6)

は明らかであり， (5.7) は (5.6) から得られる.

[f(x) にほとんどいたる所収束する自nite

v a l u e

function の列{仇 (x)} の例]

例 1 定理 3.11 で構成した finite

s t e p

function の列{仇 (x)}.

‑n

例 2M を If(x)1 三 M をみたす数とする.このとき，

{ Y

_j}j=O,1,2,... ，n を Uj= 一万一M と

おき，

(5.9) 仇 (x) = 乞 Y j ^- 1

^CEn^,^j

^(x) ^, En，j 三 E[O; ^Y

j‑1

~ ^f ⁽ ^x ⁾ < Y

_j]

j=l

とおくと，定理 4.15 の [ii)

= = >

i)] の証明と同様にして仇 (x) 三三ζ+ f(x) が言える.

f(x) の積分を定義するため，次の補題を用意する.

補題 5.3 f(x) を有界な可測関数とし， {仇 (x)} を (5.9) で定義された自nite

v a l u e d

_{fn の}

列とするこのとき，数列(かい)伽)はコーシー列となる

P r o o f .

任意の正数 ε に対し

とおく

， ε

ε 4M + 2 1 1 1

いn(x)} はほとんどいたる所 f(x) に収束する

=今定理 3.9 より

{ψn(x)} は f(x) に測度的に収束する.

二今 m*E{x;1仇 (x) ‑ f(x)1 とど}τ二ζ+0 より

= = >

=ニ〉

次を満たす N が存在する.

m*E{x;

1 仇 (x)

‑

f(x)1 どど}三 ε，

f o r n > N

,

>

N とし

On，n' 三 E{x; 1ψn(x) 一仇， (x)1 三 2ど}

とおく

On

n' c E{x;

1 仇 (x)

‑

f(x)1 三 ε'}U

E{x;

^l'P

n ' ( x ) ( x ) ‑

f(x)1 どど}

・.・) x ε On，n' とする.

|ψn(x)

‑

f(x)1 どどなら OK

l'P

n ( x ) ‑

f(x)1 三どとする当 l 'Pn'

( x ) ‑f ( x ) I

三 l 'Pn' (x) 一仇 (x)1 一|仇 (x)

‑f ( x ) 1

=今 l <Pn'(x)

‑

f(x)1 さ 2ε'- =εF

=キ OK

ヰ〉

m(nn*

n'

)三 2εF

よって ConnF(z)+CI-On

d(z)=1on

I と (5.3) ，

(5.7) ,

(5.5) から

11{仰) 一仇伽州 ωr べヤ判(い ωZ吟榊)

壬 11Cnn，n'(X){仰)一川)}伽|

+ 1 1 CI~nn，n'(X){仇( ^x ⁾ ^‑

^<^P

^' ⁽ ⁿ ^x ⁾ }批|

三 1 1 九 (x){<Pnい) ^‑

^<^Pⁿ^'⁽

^x ⁾ ^} 1伽

+ 1ICI~nn，n' 山い)-川)}Idxdx

~1か仏仏ヘn.n' 仰批 +1 佐

三 2M.2ε'+ 2ε'111 =ε

従って，数列(か(x)dx} はコーシー列となる ^Q.E.D

この補題から，有界区間で定義された有界関数の積分の定義が可能となる.

定義 5.4 f(x) を有界な可測関数とし， {仇 (x)} を (5.9) で定義された finite

v a l u e d

_{fn の}

列とする.このとき， f(x) の I 上の空会を

( 5 . 1 0 )

ω' n

z

d ^,

z

‑‑ m

均

Z 一一 11n

z

rJ PI t‑

‑

で定義する.

補題 5.5 f(x) を有界区間 I で定義された有界可測関数とし， {弘 (x)} を f(x) にほとんどいたる所収束する一様有界な自nite

v a l u e d

fn の列とする.このとき，

( 5 . 1 1 ) J叫仰)dx= か(x)dx

が成立する.

注 1. 関数列 {fn(x)} が一様有界であるとは n に関係のない M が存在して，すべての η に対し Ifn(x)1 三 M が成立することである.

きで明証

予刀ル」

るよ，『，，と

万/シ

コ

品川N

1r j

z

d ,

z

n ~ω'

l j I

、tてし

様同と明証の

。。

vhυ

髄て

本Eつ

必従

。

町る

S=J叫ω)dx

が存在する. ここで， {ψ 叫~(いx)リ}を ψ 必2n一-l(Xり)=伊仇n(x吟)， ψ 必~n(いx) 二 φ 弘n(いx) とおくと {ψ 弘~(いx)汁}も

六仰削Zり)に収束する一様有界な fr附向 fun恥山l比C

カか￥ら

8 = (2叫ω)dx ⁼ ⁾ 2叫4(z)dz=J叫仰)dx = か(x)dx

となり， (5.11) が成立する.

Q . E . D .

定理 5.6

f(x)

, g(x) を I で定義された有界可測関数とする.このとき，次が成立する.

( 5 . 1 2 ) 的) ⁼ g(x) αe 弓か(ゆ=か(x)dx

特に，

(5 同 ^f ⁽ ^x ⁾ ⁼ 0αe コル(x)批 =0

でで、ある.

(伊5.14刊) n仏:有界可測集合当 lか仏似 ω 州い ω 榊 Z吟)凶 d伽Z一=一m州 ρ 例 ⁾ (5.1 印川 1お同5吟) 1か(f仲引仲州Z刈)胸 =1かf六的(μx)d批x+ 1かかか炉以仲州(いZ吟)d批

( 5 . 1 6 ) 1かCげf六灼(い附 Z

(伊似附阿 5日印川 1口問7η) 六灼削Z刈)比三泊 M 川刈 g似仰桝(い ωZ吟) 弓 fρ か六灼(いZ陀 fル仲州(いZ刈)

Proo f .

{仇 (x)} を (5.9) で定義された finite

v a l u e d

fn の列とすると，

f ( x ) = g ( x ) a . e .

より，

{仇 (x)} は g(x) にもほとんどいたるところ収束する一様有界な finite

v a l u e d

_{fn の列とな}

る.従って，補題 5.5 より

1 ^f( ^x ⁾ ^d ^x ⁼ 2叫仰)dx= 1か仰州(いZり)

となり， (5.12) が成立する. (5.14) は {<Pn(x) }として仇 (x)

=

Cn(x) ととれるから (5.5) より明らか.次に， {ψ'n(x)} を g(x) に対して (5.9) で定義された finite

v a l u e d

_{fn の列と} すると，

{ < P n ( X )

+ 仇 (x)} は f(x)

+

g(x) にほとんどいたる所収束する一様有界な白lÏte

v a l u e d

fn の列となるから (5.3) と補題 5.5 より (5.15) が成り立つ. (5.16) も同様.最後

4 4

に， !(x) 三 g(x) とする.このとき，

h ( x ) = ! ( x ) ‑

g(x) とすると h(x) 三 0 だから (5.17) は

( 5 . 1 8 ) h(x) さ O 当か仰さ O

を示すことに帰着されるさて， M を o : : ; h(x) 三 M をみたす正数とし， ^Y

= _{~M (j二}

O?...?n) に対し

仇 (x) = 乞 Y j ^- 1

^CEn^,^j

^(x) ^, En，j 三 E[n; Y jー1 ^三 ^{h(x) く Ujl}

とおくと，この finite

v a l u e d

fn 列{仇 (x)} は h(x) に収束し仇 (x) さ 0 を満たすから，

かい)dz=J誌か(x)dx ど O

となり， (5.18) が成立する.

Q . E . D .

定理 5.7 (Lebesgue の収束定理)

I 上で定義された一様有界な可測関数の列 {!n(x)} が I でほとんどいたる所 !(x) に収束したとする.このとき，

( 5 . 1 9 ) 1 fn(x)dx ずか(x)dx

が成立する.

2 j ‑ k

P r o o f . I ! n ( x )

I 三 M とし，

y "

= 一一"':::"M とおく.このとき，

k

'Pn,

k(X) = 玄 UjjEhhj(z)? EnhJ 三 E[n; Y j ーバ fn(z)<Ujl

j=l

とおくとい

n，

^k(X)}は一様有界な finite

v a l u e d

_{fn の列で}

仰い)十→

^!n(x)

比一+0^。

となる.従って， 1 が有界であることに注意して，定理 3.9 を使うと ψ

n，

^k(X)

三二 ^ζ

^-t

^! ⁿ ⁽ ^X ⁾

^(測度的)

が得られるから，定理 3.9 の証明の [Step 1] と同様の議論をすると

1^, 1

k 三弘のとき

m*E{x;

_Iψ

_n，

k(X)

‑! n ( x ) I 三万}<矛

となる弘が存在する.また，定義より

かn.k附ずか(x

だから

k 三 K1 のとき \i 'Pn，k(X)伽ーか州寸

となる K1 が存在する.そこで k = max(kふば)として

とおくと

(5.20) (5.21)

仇 (x) = ψn，k(X)

m*E{x;

1仰)一的)1 寸}く去

\i ψn(x)dx 一かい)dx\ 三 j

が成立する. (5.20) と補題 3.10 の 1) より仇 (x) τ二ζ今 f(x)

a . e .

が成り立つから，補題 5.5 より

か山)批ず i ^f ⁽ ^x ⁾ ^d ^x

よって， (5.21) とより

\iん川伽 - i ^f (榊|

三|かい)dx ーかω\+\かい)dx 一かい)批|

三~+\かω - ⁱ ^f ⁽ ^x ⁾ ^d ^X ^¥

以上によりが (5.19) 成立する.

[有界可測集合上での積分について]

次の設定をおく

(Q: 可舶に 1)

f(x) は Q で定義されている

(他では定義されていなくても良い)

Q . E . D .

定義 5.8 Cc .f.定義 4.10)

J f ( x )

f n ( x ) = _<ー，

‑

IU X 仕 ~l

とおき， f(x) の Q 上の積分を次のように定義する.

か(x)批 =1かんω

注 2 ん的州い ω 仲)=C 引仏似(州帆 n Lかか ^{f(榊ニ fか仏いω} ^{附州川)げ川} ^)f(x ^{汽的削(いZ刈)伽}

このとき，定理 5.6 が I の代わりに Q で成立する.

定理 5.9 f(x) ， g(x) を Q で定義された有界可測関数とする.このとき，次が成立する.

問 f六的削 (μωZ刈山)=吋寸叩叫 g以仲刷(い ωZ刈)川α

当 A ルかか六的(い附 Z

特に

伊仰仰問 2お幼3め) 六的削Zり←円)ド =0 αa.e 守 L かかか六的(いZ榊)

でで、ある.

(5.24)

I ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = I f ( x ) d x + I g ( x ) d x

J 口 Jn Jn

阿 A かcf六仰削 (μZ吟)批=十帥 μ川は実撒数) 問的削)片三川川 g引仰州(い例Z刈) 弓 Lρ かか六仰(いx)陀 L ルかか以仲州(いZ刈)

川六的削Z刈沿)沿三帆 cn仏2 弓 L，レf伽三叫LJ メ戸川 f汽的削(い ωZり)凶d批Z

また，定理 5.7 より次も成立する.

定理 5.10 CLebes♂le の収束定理 11)有界可測集合 Q 上で定義された一様有界な可測関数の列 {fn(x)} が I でほとんどいたる所 f(x) に収束したとする.このとき，

問か(x)dx τ二斗的)dx

が成立する.

10 これは， 10₁(x) 三 102(X) と (5.26) から得られる

P r o o f . Cn ( x

) を Q の定義関数とすると

!叫ん榊 =J叫ω)fn(x)dx

=か山)dx== かい)dx

よって (5.28) が成立する.

Q . E . D .

ドキュメント内ルベーグ積分論（講義ノート） (ページ 40-48)

仰)三;

5 有界可測関数の積分

v a l u e d m e s u r a b l e f u n c t i o n

f i n i t e v a l u e d f n )

Q . E . D .

Uωk=I となる有限個の互いに素な可測集合の列{叶が存在して

( 5 . 1 )

= C k

v a l u e d

(5.2) ト)dx= 会 Ckm(W k )

c p ( x )

v a l u e d

( 5 . 3 ) ( 5 . 4 )

( 5 . 5 ) ( 5 . 6 ) ( 5 . 7 )

かい)+仰脚二 Jかか以仰州(い Z吟)d伽Z叶+1かか似仰州 (μωZ刈x)d fか仰例伽 Z

n: 有界可測集合当かい)dx = 州) ψ(x) ど O 当かω 三 0

11ψ(x)批1 ~ 1 I

( x ) l d x

( 5 . 8 )

v a l u e

JI(

批=玄乞

吋

川)=玄 ckLm( ωh 叫)+乞

玄

~)

L

k)+Lc~m(

.e') = か

JI

v a l u e

s t e p

‑n

{ Y

(5.9) 仇 (x) = 乞 Y j - 1

(x) , En，j 三 E[O; Y

~ f ( x ) < Y

= = >

v a l u e d

列とする このとき，数列(かい)伽)はコーシー列となる

P r o o f .

ε 4M + 2 1 1 1

二今 m*E{x;1仇 (x) ‑ f(x)1 とど}τ二ζ+0 より

= = >

m*E{x;

‑

f o r n > N

,

>

On

n' c E{x;

‑

E{x;

n ' ( x ) ( x ) ‑

‑

n ( x ) ‑

( x ) ‑f ( x ) I

‑f ( x ) 1

‑

m*(nn

n'

d(z)=1on

(5.7) ,

11{仰) 一 仇伽州 ωr べヤ判(い ωZ吟榊)

壬 11Cnn，n'(X){仰)一川)}伽|

+ 1 1 CI~nn，n'(X){仇( x ) ‑

' ( n x ) }批|

三 1 1 九 (x){<Pnい) ‑

x ) } 1伽

+ 1ICI~nn，n' 山い)-川)}Idxdx

~1か仏仏ヘn.n' 仰批 +1 佐

従って，数列(か(x)dx} はコーシー列となる Q.E.D

v a l u e d

( 5 . 1 0 )

z

z

均

z

v a l u e d

(5.2) ト)dx= 会 Ckm(W k ⁾

11ψ(x)批1 ~ 1 ^I

⁽ ^x ⁾ ^l ^d ^x

^批=玄乞

^吋

^川)=玄 ^ckLm( ^{ωh 叫)+乞}

^玄

^~)

^k)+Lc~m(

^{.e') =} か

(5.9) 仇 (x) = 乞 Y j ^- 1

^(x) ^, En，j 三 E[O; ^Y

~ ^f ⁽ ^x ⁾ < Y

列とするこのとき，数列(かい)伽)はコーシー列となる

m(nn*

11{仰) 一仇伽州 ωr べヤ判(い ωZ吟榊)

+ 1 1 CI~nn，n'(X){仇( ^x ⁾ ^‑

^' ⁽ ⁿ ^x ⁾ }批|

三 1 1 九 (x){<Pnい) ^‑

^x ⁾ ^} 1伽

従って，数列(か(x)dx} はコーシー列となる ^Q.E.D

8 = (2叫ω)dx ⁼ ⁾ 2叫4(z)dz=J叫仰)dx = か(x)dx

( 5 . 1 2 ) 的) ⁼ g(x) αe 弓か(ゆ=か(x)dx

(5 同 ^f ⁽ ^x ⁾ ⁼ 0αe コル(x)批 =0

(伊5.14刊) n仏:有界可測集合当 lか仏似 ω 州い ω 榊 Z吟)凶 d伽Z一=一m州 ρ 例 ⁾ (5.1 印川 1お同5吟) 1か(f仲引仲州Z刈)胸 =1かf六的(μx)d批x+ 1かかか炉以仲州(いZ吟)d批

1 ^f( ^x ⁾ ^d ^x ⁼ 2叫仰)dx= 1か仰州(いZり)

を示すことに帰着されるさて， M を o : : ; h(x) 三 M をみたす正数とし， ^Y

= _{~M (j二}

仇 (x) = 乞 Y j ^- 1

^(x) ^, En，j 三 E[n; Y jー1 ^三 ^{h(x) く Ujl}

三二 ^ζ

^! ⁿ ⁽ ^X ⁾

_n，

か山)批ず i ^f ⁽ ^x ⁾ ^d ^x

\iん川伽 - i ^f (榊|

三~+\かω - ⁱ ^f ⁽ ^x ⁾ ^d ^X ^¥

f n ( x ) = _<ー，

注 2 ん的州い ω 仲)=C 引仏似(州帆 n Lかか ^{f(榊ニ fか仏いω} ^{附州川)げ川} ^)f(x ^{汽的削(いZ刈)伽}